Universidad de San Carlos de Guatemala Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ciencias Económicas
Facultad de Ciencias Económicas Escuela de Auditoría
Escuela de Auditoría Seminario de
Seminario de Integración ProfesionalIntegración Profesional Código 11196 Código 11196 Edificio S-12 Salón 211 Edificio S-12 Salón 211 GRUPO 7 GRUPO 7 FASE I FASE I
TEMA: INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO TEMA: INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO
TRABAJO No. 7 TRABAJO No. 7
Nombre:
Nombre:
Carné:
Carné:
Villagrán
Villagrán Reynoso,
Reynoso, Mauricio
Mauricio Estuardo
Estuardo 200315915
200315915
Rodríguez
Rodríguez Mauricio,
Mauricio, Brenda
Brenda Verónica
Verónica 200316142
200316142
Yaguas
Yaguas Morales,
Morales, Brenda
Brenda Josefina
Josefina
200316164
200316164
Moscoso
Moscoso Ramos,
Ramos, Leyda
Leyda Ninette
Ninette
200316589
200316589
Guzmán
Guzmán Rivas
Rivas Luis
Luis Guillermo
Guillermo
200713029
200713029
Lic. Walter Augusto Cabrera Hernández M.SC.
Lic. Walter Augusto Cabrera Hernández M.SC.
Guatemala, 06 de febrero de 2013
Guatemala, 06 de febrero de 2013
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN
El presente documento trata sobre el interés simple e interés compuesto, las El presente documento trata sobre el interés simple e interés compuesto, las formulas y simbología utilizada en el tratamiento de los problemas de aplicación formulas y simbología utilizada en el tratamiento de los problemas de aplicación de estos temas, en el primer capítulo se presenta las generalidades sobre las de estos temas, en el primer capítulo se presenta las generalidades sobre las matemáticas, sus rama
matemáticas, sus ramas, características e s, características e historia, historia, en las cuales sen las cuales se enmarca ele enmarca el tema primordial como una aplicación de
tema primordial como una aplicación de las matemáticas financieras.las matemáticas financieras.
En el segundo capítulo se presenta la conceptualización de las matemáticas En el segundo capítulo se presenta la conceptualización de las matemáticas financieras, rama que se desprende de la matemática y contiene los conceptos financieras, rama que se desprende de la matemática y contiene los conceptos de interés simple y compuesto. En este capítulo, se hará una exposición del de interés simple y compuesto. En este capítulo, se hará una exposición del origen de esta rama hasta los días presentes, así mismo se mostraran las origen de esta rama hasta los días presentes, así mismo se mostraran las relaciones existentes con otras ciencias, los elementos integrantes a nivel relaciones existentes con otras ciencias, los elementos integrantes a nivel general de esta rama matemática.
general de esta rama matemática.
En el capítulo III se definen y explican los datos primordiales para una correcta En el capítulo III se definen y explican los datos primordiales para una correcta interpretación, aplicación y resolución de problemas de interés simple, formulas interpretación, aplicación y resolución de problemas de interés simple, formulas aplicable y utilizadas por la facultad de ciencias económicas de la Universidad aplicable y utilizadas por la facultad de ciencias económicas de la Universidad d San Carlos de
d San Carlos de Guatemala, simbología y ejercicios de interés simple resueltos.Guatemala, simbología y ejercicios de interés simple resueltos. En el capítulo IV se definen los conceptos del interés compuesto, las formulas En el capítulo IV se definen los conceptos del interés compuesto, las formulas aplicable y utilizadas por la facultad de ciencias económicas de la Universidad aplicable y utilizadas por la facultad de ciencias económicas de la Universidad d San Carlos de Guatemala, así como su simbología y ejercicios resueltos d San Carlos de Guatemala, así como su simbología y ejercicios resueltos utilizando las diferentes formulas del
utilizando las diferentes formulas del interés compuesto.interés compuesto.
El objetivo de la preparación de este trabajo fue refrescar la información que se El objetivo de la preparación de este trabajo fue refrescar la información que se adquirió durante nuestra formación en los cursos de Matemáticas Financieras, adquirió durante nuestra formación en los cursos de Matemáticas Financieras, con vistas a una preparación para el Seminario de Integración Profesional y los con vistas a una preparación para el Seminario de Integración Profesional y los exámenes privados de Áreas Practicas de la Facultad de Ciencias Económicas exámenes privados de Áreas Practicas de la Facultad de Ciencias Económicas
CAPÍTULO I CAPÍTULO I MATEMATICA MATEMATICA
•
• 1.1 Qué Son Las Matemáticas1.1 Qué Son Las Matemáticas
Es una ciencia formal que, partiendo de
Es una ciencia formal que, partiendo de axiomasaxiomas y siguiendo el razonamientoy siguiendo el razonamiento
lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos (números,
lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos (números,
figuras,
figuras, símbolos)símbolos). Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones. Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones
cuantitativas, estructuras,
cuantitativas, estructuras, relaciones geométricasrelaciones geométricas y lasy las magnitudes variables.magnitudes variables.
Los
Los matemáticosmatemáticos buscan buscan patrones, patrones, formulan formulan nuevasnuevas conjeturasconjeturas e intentane intentan
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permiten establecer los
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fin. Algunas definiciones clásicas restringen las matemáticas al razonamiento
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sobre cantidades,
sobre cantidades, aunque sólo unaunque sólo una parte de las ma parte de las matemáticas actuales uatemáticas actuales usansan
números, predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no
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Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números
Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números
y
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matemático
matemático Benjamín PeirceBenjamín Peirce definió las matemáticas como "la ciencia quedefinió las matemáticas como "la ciencia que
señala las conclusiones necesarias". Por otro lado,
señala las conclusiones necesarias". Por otro lado, Albert EinsteinAlbert Einstein declaró quedeclaró que
"cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son exactas;
"cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son exactas;
cuando son exactas, no se refieren a
cuando son exactas, no se refieren a la realidad".la realidad".
Mediante la abstracción y el uso de la
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los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin
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Las explicaciones que se apoyaban en la
Las explicaciones que se apoyaban en la lógicalógica aparecieron por primera vezaparecieron por primera vez
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con la matemática helénicamatemática helénica,, especialmente con los ―especialmente con los ―Elementos de EuclidesElementos de Euclides‖‖.. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones,
hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.
Hoy en día, las matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.
1.2 Etimología
El término matemáticas viene del griego "máthema", que quiere decir aprendizaje, estudio y ciencia, y justamente las matemáticas son una disciplina académica que estudia conceptos como la cantidad, el espacio, la estructura y el cambio. El alcance del concepto ha ido evolucionando con el tiempo, desde el contar y calcular hasta abarcar lo mencionado anteriormente. Aunque algunos las consideran como una ciencia abstracta, la verdad es que no se puede negar que está inspirada en las ciencias naturales, y uno de sus aplicaciones más comunes se lleva a cabo en la Física.
La palabra "matemática" se referencia con lo que se aprende y viene del griego
antiguo ―máthema‖, que quiere decir (campo de estudio o instrucción). El
significado se contrapone a (musiké) (lo que se puede entender sin haber sido instruido), que refiere a poesía, retórica y campos similares, se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido
en las mismas (astronomía, aritmética). Aunque el término ya era usado por los pitagóricos (matematikoi) en el siglo VI a.C., alcanzó su significado más técnico y reducido de "estudio matemático" en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es (mathématikós), "relacionado con el aprendizaje", lo cual, de manera similar, vino a significar "matemático". En particular, (mathematikétékhné; en latín arsmathematica), significa "el arte matemática". La forma más usada es el plural matemáticas, que tiene el mismo significado que el singular y viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el plural en griego (tamathematiká), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas". Algunos autores, sin embargo, hacen uso de la forma singular del término; tal es el caso de Bourbaki, en el tratado Élements de mathématique (Elementos de matemática), (1940), destaca la uniformidad de este campo aportada por la visión axiomática moderna, aunque también hace uso de la forma plural como en Élémentsd'histoire des mathématiques (Elementos de historia de las matemáticas) (1969), posiblemente sugiriendo que es Bourbaki quien finalmente realiza la unificación de las matemáticas.
Así mismo, en el escrito L'Architecture des mathématiques (1948) plantea el tema en la sección "Matemáticas, singular o plural" donde defiende la unicidad conceptual de las matemáticas aunque hace uso de la forma plural en dicho escrito. Es importante señalar también que Bourbaki no hace referencia a una sola persona, sino que en realidad consistía de un colectivo de diferentes matemáticos escribiendo bajo un pseudónimo.
1.3 Características de las Matemáticas
Cuando hablamos de matemáticas automáticamente nos formamos una imagen mental sobre los distintos temas que esta abarca , sin embargo para adentrarnos en su estudio debemos preguntarnos
Muchos suelen preguntarse cuál es el rol de la matemática en la sociedad y de sus consecuencias sobre la enseñanza. A continuación se presentan algunas de sus características específicas:
1.3.1 Relación Particular con el Lenguaje
Es importante para esto colocarse en una perspectiva histórica. La forma de expresar la matemática ha evolucionado en el curso de la historia. Se tiene hoy la idea de que una matemática perfecta sería totalmente formalizada, sabiendo sin embargo que esta matemática perfectamente formalizada no coincidiría con la matemática producida por los matemáticos en su trabajo, ni con una matemática que se enseñe.
El ideal de una formalización posible de la matemática se traduce, cuando se quieren enunciar hechos matemáticos, por la condición de utilizar un lenguaje preciso. De la misma manera, existe la obligación, cuando se utiliza un lenguaje imaginado, de vigilar que no introduzca imágenes erróneas. Esta condición puede ser vivida como una restricción insoportable, sobre todo si se acompaña, como es el caso a menudo, de un cambio o modificación de las palabras del lenguaje cotidiano. La utilización del lenguaje natural tiene evidentemente sus ventajas, ya que permite hacer frases, manipular permanentemente juegos de palabras. El peligro es de todos modos que, haciendo esto, se esté forzado a vivir una especie de doble vida, lo que no es nunca fácil de mantener.
Esta relación particular con el lenguaje explica seguramente en parte la tentación de reducir la matemática a un lenguaje, ya que desde el primer contacto que se tiene con ella es este aspecto el que puede ser más inquietante.
Esto supone que se reflexione realmente sobre eso y probablemente que se tome el tiempo de discutirlo con los alumnos, aunque más no sea porque constantemente se siembra el discurso matemático de frases no matemáticas,
creando riesgos de confusión, y esto vale tanto para los estudiantes avanzados como para los que recién se inician.
1.3.2 Relación Particular con la Verdad
Para abordar esta discusión de manera totalmente seria, habría que entrar en un debate filosófico. Esquematizando mucho, que se puede ubicar a los matemáticos en una escala. En un extremo están los platónicos, que piensan que hay una realidad matemática a la cual se accede como a otras realidades, pero con un lenguaje particular y con miradas un poco particulares, y para los cuales haciendo matemáticas no se hace otra cosa que descubrir objetos y hechos preexistentes, y después, en el otro extremo, están los intuicionistas o formalistas, quienes, por el contrario, piensan que la matemática es una construcción humana que representa un consenso entre comunidades que se definen a ellas mismas. Para ellos, no hay realidad matemática, sino simplemente un discurso que tiene sus propias reglas, en particular, reglas de coherencia bien definidas sobre campos semánticos bien definidos, pero ninguna de ellas sería una realidad en sí misma. No existe ningún matemático en un cierto momento de su trabajo, no reconozca adoptar un punto de vista un poco platónico. En efecto, demandarse si tal hecho es verdadero o falso fuerza “ipso facto” a plantear la realidad de ese hecho para saber que trabajo
es el que se ha realizado. La relación particular con la verdad tiene que ver con el hecho de que los enunciados matemáticos pueden atravesar los siglos, trascender las culturas y ser también fácilmente trasmisibles. Una de las consecuencias es que la comunidad matemática es una de las más internacionales que existen.
El rol central que juega la noción de demostración como piedra angular de la disciplina, exige rigor y también esfuerzo para tomar distancia en relación con las concepciones personales o locales.
Esta relación particular con la verdad tiene otra dimensión que, hay que tener en cuenta seriamente al considerarla sobre el plano de la pedagogía y de la
función que puede asumir la matemática en la enseñanza. En efecto, una vez que una persona (y esta persona puede ser tanto un docente como un alumno) ha establecido o comprendido una propiedad, de cierta forma se la apropia, y esto le da un recurso suplementario para resistir a las presiones exteriores que se apoyarían sobre argumentos de autoridad.
• 1.4 Historia de la Matemática •
• La historia de las matemáticas es el área de estudio que abarca las
investigaciones sobre los orígenes de los descubrimientos en matemáticas, de los métodos matemáticos, de la evolución de sus conceptos y también en cierto grado, de los matemáticos involucrados.
•
• Antes de la edad moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del
mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz solo en unos pocos escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la tablilla de barro Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), el papiro de Moscú (c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (c. 1650 a. C.) y los textos védicos ShulbaSutras (c. 800 a.C.). En todos estos textos se menciona el teorema de Pitágoras, que parece ser el más antiguo y extendido desarrollo matemático después de la aritmética básica y la geometría.
•
• Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia,
surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y elcambio.
•
• Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente
desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en
ciencia. La matemática en el islam medieval, a su vez, desarrolló y extendió las matemáticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Muchos textos griegos y árabes de matemáticas fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las matemáticas en la Edad Media.
•
• Desde tiempos ancestrales hasta la Edad Media, las ráfagas de
creatividad matemática fueron seguidas, con frecuencia, por siglos de estancamiento. Pero desde el renacimiento italiano, en el siglo XVI, los nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, fueron creciendo exponencialmente hasta el día de hoy.
•
• 1.5 El Éxito Histórico de la Matemática •
• Un punto al cual se le otorga mucha importancia es el gran éxito de la
matemática, en efecto, uno de los grandes éxitos de la historia del pensamiento humano. Es así que la herencia de los matemáticos del pasado hace que se puede decir algo sensato sobre el infinito. El gran cambio se produjo hacia el fin del siglo XVII alrededor de Newton, Leibniz y algunos otros. Este período es muy importante, ya que sirvió de fundamento para el desarrollo de todo el modo de desarrollo industrial de la sociedad de hoy en día. Sin el cálculo diferencial inventado por Leibniz y Newton no habría existido la mecánica y por lo tanto tampoco la industria tal como se la conoce. Para mí, no hay duda de que la matemática, como ciencia, ha aportado cosas radicalmente nuevas que otras ciencias no habían aportado.
• 1.6 La Matemática como Ciencia •
• Carl Friedrich Gauss, apodado el "príncipe de los matemáticos", se
refería a la matemática como "la reina de las ciencias". Tanto en el latín original Scientiarum Regina, así como en alemán Königin der Wissenschaften, la palabra ciencia debe ser interpretada como campo
de conocimiento. Si se considera que la ciencia es el estudio del mundo físico, entonces las matemáticas, o por lo menos matemáticas puras, no son una ciencia.
•
• Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmente
falseables y, por tanto, no es una ciencia según la definición de Karl Popper. No obstante, en la década de 1930 una importante labor en la lógica matemática demuestra que las matemáticas no puede reducirse a la lógica, y Karl Popper llegó a la conclusión de que "la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de física y biología, hipotético-deductivas.
•
• Por lo tanto, las matemáticas puras se han vuelto más cercanas a las
ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, así ha sido hasta ahora". Otros pensadores, en particular ImreLakatos, han solicitado una versión de Falsacionismo para las propias matemáticas.
•
• Una visión alternativa es que determinados campos científicos (como
la física teórica) son matemáticos con axiomas que pretenden corresponder a la realidad. De hecho, el físico teórico, J. M. Ziman, propone que la ciencia es conocimiento público y, por tanto, incluye a las matemáticas. En cualquier caso, las matemáticas tienen mucho en común con muchos campos de las ciencias físicas, especialmente la exploración de las consecuencias lógicas de las hipótesis. La intuición y la experimentación también desempeñan un papel importante en la formulación de conjeturas en las matemáticas y las otras ciencias. Las matemáticas experimentales siguen ganando representación dentro de las matemáticas.
•
• El cálculo y simulación están jugando un papel cada vez mayor tanto en
las ciencias como en las matemáticas, atenuando la objeción de que las matemáticas se sirven del método científico. En 2002 Stephen Wolfram sostiene, en su libro ―Un nuevo tipo de ciencia‖, que la
matemática computacional merece ser explorada empíricamente como un campo científico.
•
• Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son muy variadas.
Muchos matemáticos consideran que llamar a su campo ciencia es minimizar la importancia de su perfil estético, además supone negar su historia dentro de las siete artes liberales. Otros consideran que hacer caso omiso de su conexión con las ciencias supone ignorar la evidente conexión entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y la ingeniería, que ha impulsado considerablemente el desarrollo de las matemáticas.
•
• Otro asunto de debate, que guarda cierta relación con el anterior, es si la
matemática fue creada (como el arte) o descubierta (como la ciencia). Este es uno de los muchos temas de incumbencia de la filosofía de las matemáticas.
•
• Los premios matemáticos se mantienen generalmente separados de sus
equivalentes en la ciencia. El más prestigioso premio dentro de las matemáticas es la Medalla Fields, fue instaurado en 1936 y se concede cada 4 años. A menudo se le considera el equivalente del Premio Nobel para la ciencia. Otros premios son el Premio Wolf en matemática, creado en 1978, que reconoce el logro en vida de los matemáticos, y el Premio Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en 2003. Estos dos últimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigación innovadora o la solución de un problema pendiente en un campo determinado.
• Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver, denominada los
"Problemas de Hilbert", fue recopilada en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemáticos y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resueltos. Una nueva lista de siete problemas fundamentales, titulada "Problemas del milenio", se publicó en 2000. La solución de cada uno de los
problemas será recompensada con 1 millón de dólares. Curiosamente, tan solo uno (la Hipótesis de Riemann) aparece en ambas listas.
CAPÍTULO II
MATEMATICA FINANCIERA 2.1 Definiciones
• Es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del
dinero en el tiempo combinando elementos fundamentales (capital, tasa, tiempo) para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permitan tomar decisiones a la hora de una inversión. Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o ingeniería económica.
• Conjunto de herramientas matemáticas, las cuales permiten analizar
cuantitativamente la viabilidad o factibilidad económica y financiera de los proyectos de inversión.
Matemática financiera: es una rama de lamatemática aplicada que se ocupa de los mercados financieros. El tema naturalmente tiene una cercana relación con la disciplina de la economía financiera, pero su objeto de estudio es más angosto y su enfoque más abstracto. La "matemática financiera" es una rama de la Matemática que estudia las variaciones cuantitativas que se producen en los capitales financieros en el transcurso del tiempo, estudia las operaciones financieras simples (interés y descuento) y complejas (rentas).
Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera. La ley financiera que se aplique puede ser mediante un régimen de interés simple cuando los intereses generados en el pasado no se acumulan y, por tanto, no generan, a su vez, intereses en el futuro. Los intereses se calculan sobre el capital original.
intereses generados en el pasado sí se acumulan al capital original y generan, a su vez, intereses en el futuro (los intereses se capitalizan).
Según el sentido en el que se aplica la ley financiera existen operaciones de capitalización: cuando se sustituye un capital presente por otro capital futuro y de actualización o de descuento: cuando se sustituye un capital futuro por otro capital presente.
2.2 Reseña Histórica y Evolución de las Matemáticas Financieras
Las matemáticas han sido aplicadas a muchas áreas de las finanzas a través de los años. No hay mucha información acerca de la historia de las matemáticas financieras, ni de cuál era el problema que se intentaba solucionar con ellas, lo que se cree es que se dieron como un desarrollo involuntario, pero necesario, que complementaba algunas transacciones comerciales o determinados pagos, por ejemplo los que habían de realizar los aldeanos a sus señores feudales en la época del feudalismo en Europa. Las matemáticas financieras aparecieron inicialmente con los intereses, se cree que "alguien" se dio cuenta que si otro le debía dinero o vacas o cabras o lo que fuera, él debía recibir una compensación por el tiempo que esta persona tardara en cancelar la deuda.
En la segunda mitad del siglo XX hemos asistido a una notable evolución de la economía financiera, que sólo ha sido posible mediante la aplicación sistemática y con intensidad creciente del pensamiento matemático. Una vez más, las matemáticas han permitido formular con rigor los principios de otra ciencia, y han proporcionado un método de análisis que conduce al establecimiento de propiedades y relaciones que, lejos de ser triviales, incorporan un alto nivel de complejidad, son fáciles de contrastar desde el punto de vista empírico y tienen aplicación práctica inmediata.
Merton, entre otros muchos, cambiaron radicalmente los análisis que se hacían hasta entonces. Este nuevo enfoque, que coincide con el nacimiento de la teoría de los mercados eficientes, permite que disciplinas como la teoría de la optimización, el cálculo de probabilidades, el cálculo estocástico, la teoría de ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales entre otras, pasen a ser de vital importancia en el estudio de problemas de valoración de activos financieros, selección de inversiones o equilibrio en los mercados de capitales. Otro paso importante se da cuando Ross introduce el concepto de arbitraje, verdadera piedra angular en el estudio de la valoración de activos y el equilibrio de mercados. Fueron numerosos economistas y matemáticos los que consiguieron extender este concepto y caracterizar la ausencia de arbitraje a través de la existencia de funciones lineales de valoración neutral al riesgo o la teoría de la martingala. Vemos que disciplinas como el análisis funcional o la teoría de la medida pasan a jugar un papel esencial para probar resultados fundamentales de la economía financiera.
Un mundo como el financiero, en constante crecimiento y evolución, está generando problemas que tienen cada vez mayor complejidad. Hoy nos encontramos ante cuestiones que tienen un gran contenido matemático y del máximo interés para las instituciones financieras, quienes se encuentran ante una competitividad muy intensa, un mercado con márgenes cada vez menores y un mundo sin fronteras. Temas como la gestión y medición de riesgos, el riesgo de crédito, la valoración de nuevos activos o la valoración de nuevos derivados con subyacente no negociable (temperaturas, catástrofes naturales, sequías), no almacenable (electricidad) o al menos no financiero(mercancías) presenta cada vez más dificultades matemáticas.
Finalmente, la teoría de mercados financieros está motivando el desarrollo de otras partes de la economía financiera (finanzas empresariales, gestión de
tesorería, mercados emergentes…) en las que también hay un alto contenido
en formulación y razonamiento matemático. Por consiguiente, desde el análisis funcional hasta el cálculo de probabilidades, todas las ramas que constituyen la matemática han jugado un papel esencial en el proceso de desarrollo de la economía financiera.
2.3 Relación de la matemática financiera con otras ciencias
Se relaciona multidisciplinariamente, con la contabilidad, por cuanto suministra en momentos precisos o determinados, información razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones realizadas por una entidad privada o institución del Estado, que le permiten tomar la decisión más acertada en el momento de realizar una inversión; con el derecho, por cuanto las leyes regulan las ventas, los instrumentos financieros, transportes aéreos terrestres y marítimos, seguros, corretaje, garantías y embarque de mercancías, la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden adquirir, los contratos de compra venta, hipotecas, préstamos a interés; con la economía, por cuanto brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o empresa, podrían obtener mayores beneficios económicos; con la ciencia política, por cuanto las ciencias políticas estudian y resuelven problemas económicos que tienen que ver con la sociedad, donde existen empresas privadas, empresas de capital mixto e instituciones controladas por los gobiernos. Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuento a inversiones, presupuestos, ajustes económicos y negociaciones que beneficien a toda la población; con la ingeniería, que controla costos de producción en el proceso fabril, en el cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de los equipos industriales de producción; con la informática, que permite optimizar procedimientos manuales relacionados con movimientos económicos, inversiones y negociaciones; con la sociología, la matemática financiera trabaja con inversiones y proporciona a la sociología las herramientas necesarias para que las empresas produzcan más y mejores beneficios económicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad y con las finanzas, disciplina que trabaja con activos financieros o títulos valores e incluyen bonos, acciones y préstamos otorgados por instituciones financieras, que forman parte de los elementos fundamentales de las matemáticas financieras.
2.4 Elementos de las Matemáticas Financieras
Las matemáticas financieras tiene como objeto fundamental el estudio y análisis de todas aquellas operaciones y planteamientos en los cuales intervienen las magnitudes de: Capital, interés, tiempo y tasa
• 2.4.1 Definición de Capital
• El término capital viene del latín ―Caput‖, que significa ‗cabeza‘, y se
refiere en derecho y finanzas a una cantidad de dinero que se fía o se presta o se impone, de la cual se distinguen los réditos, utilidades o interesescobrados por el préstamo. En lo que respecta a la definición de capital en economía, es uno de los factores de la producción, junto con el trabajo y la tierra.
También se refiere a las existencias de bienes o patrimonio acumulado que están disponibles o se usan para hacer o producir más patrimonio. En términos más corrientes el capital es un monto o cantidad entregado por un prestamista sin incluir utilidades o intereses ni cargos adicionales. Se puede decir además que son todos aquellos recursos o medios, que pueden provenir del ahorro o del préstamo, y que se destinan a la compra o adquisición de activos financieros o reales. Capital en términos cotidianos es el monto de dinero en efectivo disponible o libre para una inversión o negocio determinado.
El Capital financiero se refiere a: fondos disponibles para la compra de capital real, o activos financieros, tales como bonos o acciones. Bajo el punto de vista bursátil, un capital es un caudal de dinero colocado, o destinado o asignado a serlo, en valores.
Capital es un término genérico que designa un conjunto o grupo de bienes y una cantidad de dinero de los que se puede obtener, en el futuro o con posterioridad, una serie de ingresos o beneficios. En general, los bienes de consumo o gasto y el dinero empleado en satisfacer las necesidades actuales
no se incluyen o se incorporan en la definición económica de la teoría del capital. Capital también significa cantidad, caudal, haber o patrimonio o bienes. En el ámbito hipotecario, se entiende como el valor o importe nominal o representativo del préstamo hipotecario. Es decir, el total de la deuda o adeudo pendiente, excluidos los intereses o réditos.
Otra forma de definirlo sería decir que se trata de bienes que son utilizados o empleados para elaborar otros bienes o riqueza, en otras palabras son recursos materiales o dinero que puede generar un beneficio o renta. En el contexto de un préstamo es la cantidad o monto que una entidad financiera está prestándole. Capital también puede ser el patrimonio, fortuna o propiedades poseídos, susceptible de producir una renta. Es la suma de dinero considerada como instrumento de producción y, más propiamente, potencia o poder económico en dinero, crédito, influencia moral, entre otros, capaz de proporcionar los elementos necesarios para la creación o establecimiento y marcha en la industria, empresa o negocio cualquiera. También es la cantidad a la que asciende o sube un préstamo.
El Capital también es un factor de producción constituido por inmuebles, maquinaria o instalaciones de cualquier género, que, en colaboración o asistencia con otros factores o circunstancias, principalmente el trabajo, se destina o designa a la producción de bienes.
Podemos decir también que es la cantidad de recursos, bienes y valores disponibles o libres para satisfacer una necesidad o llevar a cabo una actividad determinada. Estos bienes, valores o recursos pueden generar una ganancia o beneficio particular denominada renta o rédito.
Otra forma de verlo se refiere a la cantidad de equipo e infraestructura utilizados o empleados en la producción de bienes y servicios, o bien el grupo o conjunto de activos financieros utilizados para generar ingresos. Es la suma de todos los recursos, bienes y valores movilizados para la formación y desarrollo
de una empresa o negocio.
Por ejemplo cuando se habla de capital real se refiere a: edificios, equipos y otros materiales utilizados en el proceso de producción y que han sido producidos a su vez en el pasado.
En un sentido amplio es el conjunto de recursos monetarios (o que se pueden convertir en dinero) de una persona. En el contexto de una empresa, son las participaciones o aportaciones realizadas por sus socios para su creación. Cuando se trata de una sociedad anónima, el capital social se divide en acciones y estas pueden ser negociadas u operadas en Bolsa.
También se denomina capital (por oposición a los intereses) al principal de una renta o deuda. En el sentido económico simple es un instrumento o bien material destinado a la producción o generación de nuevas riquezas o fortuna. Es el resultado de la acción del hombre sobre la naturaleza. Una pala, una mesa, un camión, un ladrillo son capital por que son instrumentos de producción. No debe confundirse con los bienes que se producen para el consumo o gasto directo del individuo, que constituyen o forman capital.
En política se denomina capital, a un pueblo, aldea, villa o ciudad en donde se encuentran la mayoría de los elementos culturales, formativos, pedagógicos, políticos y en ocasiones económicos de un país o estado.
• 2.4.1.1 Capital Financiero - Capital en Finanzas
Cuando se habla de capital financiero se refiere al capital que se encuentra invertido en entidades u organismos financieras y no en actividades lucrativas o productivas que generen empleos o riqueza para más personas. El capital financiero es llamado también capital especulativo y tiene la característica principal de ser a veces "cruel", esto quiere decir que esta clase de capital se presenta o hace su aparición en los lugares donde hay capital, donde hay
utilidades. Por presentar un ejemplo, los capitales golondrina son un tipo de capital financiero que muestra esta perversidad, ya que cuando llegan a una economía, esta presenta comportamientos distintos a los normales o a los que su desempeño llegaría. Es decir, crean distorsiones que, luego de que el capital sale, afectan la economía y la productividad. La situación macroeconómica, tipo de cambio y de interés, son factores que incurren en la movilización de este tipo de capitales. En conclusión, el capital financiero es un tipo de capital que sólo provoca o produce rentas para quienes se hayan o se encuentran en las actividades financieras y para nadie más.
El término oligarquía financiera se refiere a que hay un grupo muy pequeño de personas, particularmente en países, que detentan el capital. Latinoamérica es una de las regiones que presenta mayor concentración de los ingresos y la riqueza, esta concentración lleva mucho tiempo y ha permitido que las familias mejor acomodadas en el pasado, guarden fortunas grandes que muchas veces se han basado en la mediación financiera.
El capital financiero: es el formado por la unión del capital de los monopolios bancarios e industriales en los países. La existencia del capital financiero y la consecuente aparición de la oligarquía financiera constituyen uno de los rasgos fundamentales del imperialismo. La formación del capital financiero, hecho que corresponde a los últimos años del siglo pasado y comienzos del presente, fue una consecuencia de la alta concentración de capitales en la industria y en la
banca. ―La concentración de la producción; los monopolios que surgen de tal
concentración; la unión o fusión de los bancos con la industria, esta es la historia del surgimiento del capital financiero. Utilizando los recursos monetarios libres, los bancos no sólo comienzan a conceder a las empresas industriales los préstamos a corto plazo, sino, además, créditos o fondos a largo plazo. Con ello alcanzan la posibilidad de influir en la operación de las empresas e incluso determinan el destino de las mismas. Los recursos de los bancos se trasladan asimismo a la industria mediante la adquisición de
acciones y creando el denominado ―sistema de colaboraciones‖, con el cual,
se pueden controlar sumas muy superiores de capitales ajenos. Al mismo tiempo, se da un proceso de absorción de los pequeños bancos por parte de los magnos, se forman las uniones acaparadoras o monopolios denominadas sociedades o consorcios bancarios.
2.4.2 Definición de interés
• Interés es un índice utilizado para medir la rentabilidad de los ahorros o
también el coste de un crédito. Se expresa generalmente como un porcentaje.
• Cargo de servicio por el empleo de dinero o de capital que el usuario
para a intervalos convenidos y que se expresa comúnmente como porcentaje del capital ganado no pagado.
• El tipo de interés es el precio del dinero. Más específicamente el tipo de
interés es el precio que se paga por utilizar el dinero. Como en todos los mercados, los precios regulan la oferta y la demanda a través de los precios. El dinero también tiene su mercado y la utilización del mismo tiene un precio que es el tipo de interés.
En todas las economías hay personas e instituciones que tienen excedentes de ahorros (prestamistas), y otras que tienen necesidades de fondos para gastos e inversión (prestatarios).
El dinero que los prestamistas ceden a los prestatarios tiene un precio, que normalmente se establece en términos de porcentaje sobre la cantidad prestada y durante un tiempo determinado.
2.4.2.1 Relevancia del Tipo de Interés en una economía
• Tipo de interés en la política monetaria. Dentro de las políticas
económicas, las políticas monetarias tienen un protagonismo decisivo a la hora de mantener sendas de crecimiento estables y sin tensiones inflacionistas. El tipo de interés es utilizado por los responsables de las
decisiones de política monetaria para la consecución de determinados objetivos.
• Políticas monetarias restrictivas. Tienen como objetivo evitar el
calentamiento de las economías y las alzas de precios. Se lleva a cabo con una política de tipos de interés elevados, incrementando el coste de acceso al crédito de empresas y particulares y reduciendo por tanto la inversión y el consumo.
• Políticas monetarias expansivas. Tiene como objetivo impulsar
la economía y alcanzar la tasa de paro no inflacionista o tasa de paro no aceleradora de inflación.
2.4.2.2 Tipos de interés existentes
En cualquier economía de un país existen diferentes tipos de interés, esto suele crear cierta confusión a la hora de determinar el tipo de interés realmente aplicado en una determinada operación.
2.4.2.2.1 Interés Simple
Es el interés cuando el capital original sobre el que se calculan los intereses permanece sin variación alguna durante todo el tiempo que dura la operación.
Los elementos que intervienen en una operación de interés simple son:
• El capital que se invierte o se presta, • El tiempo o plazo por el cual se presta, • El interés simple,
• El monto (capital + interés) • La tasa de interés.
Capital: Es la suma entregada por el prestamista por un periodo fijo, dicha cantidad varia a lo largo del periodo del préstamo.
Interés: Es la cantidad adicional de dinero que recibirá el prestamista como beneficio del préstamo realizado.
Monto: Es la cantidad total de dinero que recibirá el prestamista al terminar el periodo del préstamo, el monto varia uniformemente con el tiempo.
El capital y el valor actual representan lo mismo solo que en contextos diferentes pues el capital es una cantidad que se invierte ahora para obtener un monto superior y el valor actual es precisamente el que tiene en este momento una cantidad cuyo valor se ha planteado en una fecha futura.
2.4.2.2.2 Interés sobre saldos insolutos
Es el interés que existe cuando ocurren abonos al capital y en consecuencia se paga interés únicamente sobre el monto de la deuda pendiente de liquidar.
2.4.2.2.3 Interés Compuesto
Es cuando los intereses que se van generando se van incrementando al capital original en periodos establecidos y a su vez van a generar un nuevo interés adicional para el siguiente periodo de tiempo. La característica de este tipo de interés es que se capitaliza el interés del periodo anterior.
El periodo de capitalización es el intervalo de tiempo convenido en la obligación para capitalizar los intereses, la tasa de interés compuesto es el interés fijado por periodo de capitalización. La tasa convenida para una operación financiera es una tasa nominal. La tasa real o efectiva de interés es la que realmente actúa sobre el capital de la operación financiera. La tasa nominal puede ser igual o distinta a la tasa efectiva y esto solo depende de las condiciones convenidas para la operación.
En estas operaciones el capital no es constante a través del tiempo ya que al final de cada periodo aumenta por la adición de los intereses ganados de acuerdo con la tasa convenida. El interés puede ser convertido en capital
anualmente, semestralmente, trimestral, mensualmente, o de acuerdo a lo
establecido en el contrato. A dicho periodo es denominado como ―periodo de capitalización― al número de veces que el interés se capitaliza durante un año
se le denomina cantidad de capitalización. 2.4.2.2.4 Interés Bancario
Se debe distinguir en principio básicamente entre tipos de interés aplicado a «clientes de activo» o a «clientes de pasivo». Esto es, si actúan como prestamistas o prestatarios.
• Tipo de interés preferencial a mejores clientes. Dentro de los tipos de
interés de las entidades de crédito también está el tipo de interés preferencial que es el que las entidades de crédito aplican a los préstamos que conceden a sus mejores clientes de activo.
• Tipos de interés aplicados a créditos normales. Los que se conceden a
la mayor parte de los clientes de activo, tienen tipos de interés más elevados que el preferencial.
• Tipos de interés de hipotecarios, los préstamos hipotecarios suelen
concederse a tipos de interés más bajos que el de los créditos normales por estar destinados a la adquisición de viviendas y tener la propia vivienda adquirida por garantía.
• Los tipos de interés de los depósitos son los que abonan las entidades
de crédito a sus clientes, y que varían si son:
• Cuentas corrientes (tipos de interés muy bajos o nulos), • Depósitos de ahorro (un poco más elevados)
• Depósitos a plazo (tipos más altos dependiendo del plazo en que
se mantengan inmovilizados los fondos). 2.4.2.2.4.1 Otros tipos de Interés Bancario
en los medios de comunicación o contratos; se caracteriza porque en él no se descuenta la tasa de inflación.
• Tipo de interés real, este tipo de interés es corregido para tener en
cuenta los efectos de la inflación. Suele medirse por la diferencia entre el tipo de interés nominal menos la tasa de inflación esperada.
• Tipo de interés interbancario: tipo de interés que aplican los bancos al
intercambiarse dinero entre sí.
• Tipo de descuento tipo de interés de los préstamos que concede el
Banco Central a las entidades de crédito. También se denomina tipo de intervención del Banco Central o tipo de regulación monetaria. El BCE lo denomina «tipo de interés oficial» y lo define como tipo de interés que fija el BCE y que indica la orientación de la política monetaria expansiva o restrictiva.
2.4.3 Definición de Tiempo
Es la duración del lapso en el que se calcula el interés. Es decir, el plazo de la operación. Las unidades cronológicas utilizadas generalmente son el año, el mes, bimestre, trimestre, cuatrimestre, día...
2.4.4 Definición Tasa de interés
La Tasa de Interés representa el costo del alquiler del capital involucrado en un negocio. Normalmente se representa con la letra i, y se da en porcentaje por unidad de tiempo.
La tasa de interés se aplica al ―periodo de composición‖, o sea al período en
el que se causan los intereses; es importante anotar que esta tasa se
denomina ―tasa periódica‖, y que el período para el que ella se declara debe
días...). La tasa de interés periódica puede aplicarse en forma anticipada o vencida, según lo estipule el contrato. Es indispensable identificar la tasa en tal situación
La tasa de interés (o tipo de interés) es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo, determinando lo que se refiere como "el precio del dinero en el mercado financiero".
En términos generales, a nivel individual, la tasa de interés (expresada en porcentajes) representa un balance entre el riesgo y la posible ganancia (oportunidad) de la utilización de una suma de dinero en una situación y tiempo determinado. En este sentido, la tasa de interés es el precio del dinero, el cual se debe pagar/cobrar por tomarlo prestado/cederlo en préstamo en una situación determinada. Por ejemplo, si las tasas de interés fueran las mismas tanto para depósitos en bonos del Estado, cuentas bancarias a largo plazo e inversiones en un nuevo tipo de industria, nadie invertiría en acciones o depositaria en un banco. Por otra parte, el riesgo de la inversión en una empresa determinada es mayor que el riesgo de un banco. Sigue entonces que la tasa de interés será menor para bonos del Estado que para depósitos a largo plazo en un banco privado, la que a su vez será menor que los posibles intereses ganados en una inversión industrial.
2.4.4.1 Historia del concepto
Aparentemente el cobro de interés se remonta a la antigüedad más remota. Por ejemplo, en textos de las religiones abrahámicas se aconseja contra el cobro de interés excesivo.
Posteriormente, en la Edad Media europea el cobro de interés fue, bajo la influencia de las doctrinas católicas, considerado inaceptable: el tiempo se consideraba propiedad divina, cobrar entonces por el uso temporal de un objeto o bien (dinero incluido) era considerado comerciar con la propiedad de Dios, lo que hizo que su cobro fuese prohibido bajo pena de excomunión.
Posteriormente, Tomás de Aquino adujo que cobrar interés es un cobro doble: por la cosa y por el uso de la cosa. Consecuentemente, cobrar interés llego a ser visto como el pecado de Usura. Esta situación empezó a cambiar durante el Renacimiento. Los préstamos dejaron de ser principalmente para el consumo y empezaron (junto al movimiento de dineros) a jugar un papel importante en la prosperidad de ciudades y regiones. Frente a eso, la escuela de Salamanca propone una nueva visión del interés: si el que recibe el préstamo lo hace para beneficiarse, el que lo otorga tiene derecho a parte de ese beneficio dado que no sólo toma un riesgo pero también pierde la oportunidad de beneficiarse de ese dinero usándolo de otra manera, el llamado coste de oportunidad.
Con esas nuevas proposiciones se empiezan a crear las bases para la percepción del dinero como una mercadería, la cual, como cualquier otra, puede ser comprada, vendida o arrendada. Una importante contribución a esta visión se origina con Martín de Azpilcueta, uno de los más prominentes miembros de esa escuela. De acuerdo con él, un individuo prefiere recibir un bien en el presente a recibirlo en el futuro. Esa "preferencia" implica una diferencia de valor, así, el interés representa un pago por el tiempo que un individuo es privado de ese bien.
En la época modernaLos primeros estudios formales del interés se encuentran en los trabajos de Mirabeau, Jeremy Bentham y Adam Smith durante el nacimiento de las teorías económicas clásicas. Para ellos, el dinero está sujeto a la ley de la oferta y demanda transformándose el interés, por así decirlo, en el precio del dinero. Posteriormente, Karl Marx ahonda en las consecuencias de esa transformación del dinero en mercadería, que describe como la aparición del capital financiero.
Esos estudios permiten, por primera vez, al Banco Central de Francia intentar controlar la tasa de interés a través de la oferta de dinero (cantidad de dinero en circulación) con anterioridad a 1847.
diferentes elementos que lo afectan (tal como la inflación) introduciendo la diferencia entre las tasas de interés nominal y real. Fisher retoma la idea de la escuela de Salamanca y aduce que el valor tiene una dimensión no solo cuantitativa sino también temporal. Para este autor, la tasa de interés mide la función entre el precio futuro de un bien con relación al precio actual en términos de los bienes sacrificados ahora a fin de obtener ese bien futuro.
En la actualidad la concepción de la tasa de interés tanto entre académicos como en la práctica en instituciones financieras está fuertemente influida por las visiones de John Maynard Keynes y Milton Friedman.
2.4.4.2 Los tipos de interés como instrumento de la política monetaria
Desde el punto de vista de la política monetaria del Estado, una tasa de interés alta incentiva el ahorro y una tasa de interés baja incentiva el consumo. De ahí la intervención estatal sobre los tipos de interés a fin de fomentar ya sea el ahorro o la expansión, de acuerdo a objetivos macroeconómicos generales. Dado lo anterior, las tasas de interés "reales", al público quedan fijadas por:
• La tasa de interés fijada por el banco central de cada país para
préstamos (del Estado) a los otros bancos o para los préstamos entre los bancos (la tasa interbancaria). Esta tasa corresponde a la política macroeconómica del país (generalmente es fijada a fin de promover el crecimiento económico y la estabilidad financiera).
• La situación en los mercados de acciones de un país determinado. Si los
precios de las acciones están subiendo, la demanda por dinero (a fin de comprar tales acciones) aumenta, y con ello, la tasa de interés.
• La relación a la "inversión similar" que el banco habría realizado con el
Estado de no haber prestado ese dinero a un privado. Por ejemplo, las tasas fijas de hipotecas están referenciadas con los bonos del Tesoro a 30 años.
Las tasas de interés son el instrumento primario de la política monetaria y deben moverse en una dirección consistente con el logro de las metas de inflación. Esto quiere decir que si el pronóstico de inflación está por encima de la meta, el Banco ajustaría sus tasas de interés al alza, y las bajaría en caso contrario.
2.4.4.3 Las tasas de interés en la banca
En el contexto de la banca se trabaja con tasas de interés distintas:
• Tasa de interés activa: Es el porcentaje que las instituciones bancarias,
de acuerdo con las condiciones de mercado y las disposiciones del banco central, cobran por los diferentes tipos de servicios de crédito a los usuarios de los mismos. Son activas porque son recursos a favor de la banca.
• Tasa de interés pasiva: Es el porcentaje que paga una institución
bancaria a quien deposita dinero mediante cualquiera de los instrumentos que para tal efecto existen.
• Tasa de interés preferencial: Es un porcentaje inferior al "normal" o
general (que puede ser incluso inferior al costo de fondeo establecido de acuerdo a las políticas del Gobierno) que se cobra a los préstamos destinados a actividades específicas que se desea promover ya sea por el gobierno o una institución financiera. Por ejemplo: crédito regional selectivo, crédito a pequeños comerciantes, crédito a ejidatarios, crédito a nuevos clientes, crédito a miembros de alguna sociedad o asociación, etc.
CAPITULO III INTERES SIMPLE
• 3.1 Definición
Es el rendimiento calculado siempre por el capital original, el que permanece invariable durante todo el tiempo o plazo de la operación. El interés que se obtiene en cada período es siempre del mismo valor.
Es el Precio que se paga por un dinero obtenido en préstamo. Es aquel que se paga al final de cada periodo y por consiguiente el capital prestado o invertido no varía y por la misma razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser la misma, es decir, no hay capitalización de los intereses.
La falta de capitalización de los intereses implica que con el tiempo se perdería poder adquisitivo y al final de la operación financiera se obtendría una suma total no equivalente a la original, por lo tanto, el valor acumulado no será representativo del capital principal o inicial. El interés a pagar por una deuda, o el que se va a cobrar de una inversión, depende de la cantidad tomada en préstamo o invertida y del tiempo que dure el préstamo o la inversión, el interés simple varía en forma proporcional al capital (P) y al tiempo (n).
En concreto, de la expresión se deduce que el interés depende de tres elementos básicos: El capital inicial (P), la tasa de interés (i) y el t iempo (n). CARACTERÍSTICAS
a) El capital es igual al principio como al final del plazo.
b) Los intereses siempre son calculados por el mismo capital. c) En el interés siempre, los intereses nuca se suman al capital. d) Los intereses crecen en progresión aritmética.
MÉTODOS
El interés se llama ordinario cuando se usa para su cálculo 360 días al año, mientras que será exacto si se emplean 365 o 366 días. En realidad, se puede afirmar que existen cuatro clases de interés simple, dependiendo si para el cálculo se usen 30 días al mes, o los días que señale el calendario. Con el siguiente ejemplo, se da claridad a lo expuesto con anterioridad.
a) Interés ordinario con tiempo exacto. En este caso se supone un año de 360 días y se toman los días que realmente tiene el mes según el calendario. Este interés, se conoce con el nombre de interés bancario; es un interés más costoso y el que más se utiliza.
b) Interés ordinario con tiempo aproximado. En este caso se supone un año de 360 días y 30 días al mes. Se conoce con el nombre de interés comercial, se usa con frecuencia por facilitarse los cálculos manuales por la posibilidad de hacer simplificaciones
c) Interés exacto con tiempo exacto. En este caso se utilizan 365 o 366 días al año y mes según calendario. Este interés, se conoce comúnmente con el nombre de interés racional, exacto o real, mientras que las otras clases de interés producen un error debido a las aproximaciones; el interés racional arroja un resultado exacto, lo cual es importante, cuando se hacen cálculos sobre capitales grandes, porque las diferencias serán significativas cuando se usa otra clase de interés diferente al racional. Lo importante, es realizar cálculos de intereses que no perjudiquen al prestamista o al prestatario.
d) Interés exacto con tiempo aproximado. Para el cálculo de éste interés se usa 365 o 366 días al año y 30 días al mes. No se le conoce nombre, existe teóricamente, no tiene utilización y es el más barato de todos.
3.1.1 DESVENTAJAS DEL INTERES SIMPLE
Se puede señalar tres desventajas básicas del interés simple: a) Su aplicación en el mundo de las finanzas es limitado
b) No tiene o no considera el valor del dinero en el tiempo, por consiguiente el valor final no es representativo del valor inicial.
c) No capitaliza los intereses no pagados en los períodos anteriores y, por consiguiente, pierden poder adquisitivo.
3.2 Factores que Intervienen en el Cálculo del Interés Simple
• Capital o Principal: Es el dinero sobre el que se aplica el interés. • El Tiempo: Período durante el que se presta el dinero.
• Tasa de Interés: Medida de cobro o pago que se utiliza. Se expresa en
forma porcentual, ejemplo: 5%, 10%,... 3.3 Generalidades del Interés
• Interés: Es el rendimiento del capital entregado en préstamo. Es la renta
que gana un capital. Es la ganancia producida por un capital.
• Operaciones Financieras a corto plazo: Son todas las operaciones
realizadas hasta por un año plazo. Son aplicadas en el Interés y el Descuento Simple.
3.3.1 Estandarización u Homogeneización de Factores (Estandarizar los datos sobre una misma base)
Es muy importante saber homogenizar los factores que se relacionan en un problema de interés simple a continuación se presenta los principales datos sujetos a estandarización.
Estandarización Capital de Q.15, 000.00 P = Q. 15,000.00 Deuda de Q.25.5 miles P = Q. 25,500.00 Plazo de 8 años n = 8 Plazo de 8 meses n = 8/12 ó 0.6666666 Tiempo de 8 días n = 8/360 ó 0.02222222
Tasa del 25% anual i = 0.25
Tasa del 15% semestral i = 0.30
Tasa del 5% trimestral i = 0.20
Tasa del 5% bimestral i = 0.30
Tasa del 10% cuatrimestral i = 0.30
Tasa del 2% mensual i = 0.24
Tasa del 2% bimensual i = 0.48
3.4 Simbología
En el cálculo de interés simple utilizaremos la siguiente simbología.
P = Capital o Principal n = Plazo o tiempo i = Tasa de interés I = Interés
3.5 Formulas de Interés Simple
• Interés I = Pn i
• Capital ó Principal P = _ _I_
ni
• Tasa de Interés i = _ _ I_
Pn
• Tiempo n= ____I __
P i
3.5.1 Factores que sustituyen a la variable “n” para calcular interés simple
en periodos menores de un año, dependiendo del método
Método Simbología Factores
Interés Exacto Ie t/365 ó t/366
Interés Ordinario Io t/360
De las Obligaciones Ieb h/360
Mixto Im h/365 ó h/366
Donde:
t = Número de días exacto entre dos fechas dadas
h = Número de días entre dos fechas, considerando todos los meses de 30 días
3.5.2 Formulas Derivadas del Monto • Monto S = P(1+ni) • Capital o Principal P = __ S __ 1 + ni • Tasa de Interés i = __ S/P - 1 __ n • Tiempo n= __S/P- 1 __ i
• 3.6 Métodos para la Aplicación del Interés Simple
En la práctica todos los problemas de interés tienen alguna fracción de año, por lo cual se aplican los siguientes métodos:
3.6.1 Método Interés Exacto (Ie)
En la aplicación de este método se toma en cuenta el año de 365 días o 366 si es bisiesto por lo que se dividirá el número exacto de días entre fechas, dentro de los días que corresponden al año que se está efectuando dicho cálculo, la
n = t/365 o 366 t = número exacto de días entre fechas
3.6.2 Método Interés Ordinario (Io)
En la aplicación de este método se toma en cuenta el año comercial o de 360 días por lo que se dividirá el tiempo dentro de los 360 días del año que se está
efectuando dicho cálculo, la aplicación será sobre ―n‖ de la siguiente manera:
n = t/360
3.6.3 Método Interés de las Obligaciones (Ieb)
En la aplicación de este método se toma en cuenta el año comercial o de 360 días por lo que se dividirá el número de días entre fechas dentro de los 360 días del año que se está efectuando dicho cálculo, tomando en cuenta que todos los meses se suponen de 30 días, la aplicación será sobre ―n‖ que en la aplicación de este método será sustituido por el símbolo ―h‖ de la siguiente
manera:
n = h/360
3.6.4 Método Interés Mixto (Im)
En la aplicación de este método se toma en cuenta el año de 365 días o 366 si es bisiesto por lo que se dividirá el número de días entre fechas, dentro de los
días que corresponden al año ya sea 365 o 366, la aplicación será sobre ―n‖ de
la siguiente manera: n = h/365 o 366
• 3.7 Interés Simple con Fracción de Año
En la aplicación del interés simple existen factores que sustituyen a la variable
―n‖ para el cálculo del interés en periodos menores de un año y se aplican
acorde al método sobre el cual se trabaje el interés
3.7.1 Calculo del Tiempo “n” en Fracción de año
El día que se recibe dinero en préstamo, como el día en que se paga, se conocen como días terminales. Para el cómputo del tiempo se toma en cuenta uno solo de ellos ya sea el primero o el último.
La Junta Monetaria, en resolución contenida dentro de las medidas de política
monetaria describe lo siguiente: ―Para el cálculo de interés y recargo se incluirá
el día de la apertura de la cuenta o entrega de los fondos, y se excluirá el día de
vencimiento de la obligación‖.
Entre dos fechas cualesquiera, se puede encontrar el número de días exacto
―t‖, o bien considerando todos los meses de 30 días, el número de días ―h‖, en
ambos casos se deberá computar uno solo de los días terminales. Ejemplos
para el cálculo de ―t‖ y ―h‖:
Valores ―t‖:
Del 15 de enero al 18 de septiembre del 2008
t=31-15=16+29+31+30+31+30+31+31+18= 247 días.
• Del 23 de marzo al 29 de octubre del 2007:
t= 31-23= 8+30+31+30+31+31+30+29= 220 días.
• Del 15 de enero al 15 de septiembre del 2008:
h= 30-15= 15+30+30+30+30+30+30+30+15= 240 días.
• Del 3 de mayo al 8 de noviembre del 2008:
h= 30-3= 27+30+30+30+30+30+8= 185 días.
3.7.2 Cálculo del Tiempo “n” Incluyendo Años Completos y Fracción de
Año
Para el cálculo de los años completos no existe ninguna dificultad, pero para el cálculo del tiempo de la fracción de año, se tiene que tener especial cuidado en
determinar si se trata de tiempo ―t‖ o ―h‖.
Para la determinación del tiempo ―n‖, se debe interpretar el resultado,
dependiendo del método aplicado, el número de días que se obtenga puede
corresponder a días calendario ―t‖, o a días comerciales ―h‖.
• 3.8 Incógnitas a Resolver Derivados y con Aplicación del Interés
Simple
•
• (Cálculo del Principal, Tasa de Interés y Tiempo)
Para el cálculo de estas incógnitas se utilizaran las formulas básicas contenidos en el prontuario respectivo.
3.8.1 Calculo del Monto (S)
Es la suma del capital o principal más los intereses. Es la suma o cantidad que se tiene que pagar por un capital prestado.
tiempo puede ser ―n‖ para años completos y para fracción de tiempo ―t‖ o ―h‖,
según sea el método a aplicar. 3.8.2 Cálculo del Valor Actual (P)
Es el valor de una suma, en cualquier fecha anterior a la que tiene que hacerse efectiva. Es el valor que se tiene antes de su vencimiento, y posee las siguientes generalidades:
Es el valor de una cantidad de dinero en cualquier fecha anterior a la que debe ser defectiva o sea la fecha de su vencimiento.
• Se aplican los 4 métodos conocidos, si no se indica cuál, se aplica el
Método Ordinario,
• El Valor Actual siempre será menor que el Monto,
• El Valor Actual es igual al Monto menos el Interés, (P = S—I)
Fechas de Valuación de las Obligaciones
Las obligaciones se pueden Valuar
Al inicio
En cualquier fecha intermedia Un día antes de su vencimiento
3.8.2.1 Deudas que no Indican que Devengan Interés y Deudas que si Indican que Devengan Interés
Para formalizar una deuda, generalmente se usan los siguientes documentos:
• Escrituras Públicas o Privadas, • Pagarés,
• Facturas Cambiarias y otros
Pagaré, y en otros no se indica que devenga interés, como en el caso de la Letra de Cambio
• Valor al Vencimiento
En algunos casos, es el mismo valor nominal del documento, como sucede en las Letras de Cambio; pero en otros casos el valor al vencimiento, será el valor nominal del documento más los intereses correspondientes, si se indica que devenga interés, como en el Pagaré.
3.8.3.1 Procedimiento de Cálculo del Valor Actual, de Deudas que no Indican que Devengan Interés:
En este caso, se limita a obtener el valor actual, respecto al valor nominal de la deuda, el cual es el mismo valor al vencimiento que deberá pagarse en fecha futura
3.8.3.1.1 Procedimiento de Cálculo del Valor Actual, de Deudas que si Indican que Devengan Interés
Se debe tener el cuidado de establecer primero, el valor al vencimiento del documento u obligación, el cual no es igual a su valor nominal, para luego determinar el valor actual correspondiente.
Pasos a Seguir:
• Se calcula el valor al vencimiento del documento, con base al valor
nominal, tomando como tiempo el plazo total (fecha de emisión a fecha de vencimiento), aplicando la tasa de interés que se menciona que devenga el documento.
