ÉMILE BOREL
LAS PROBABILIDADES Y LA VIDA
INTRODUCCIÓN
La ley única del azar. — Plan de la obra.
1. La ley única del azar.— ¿Existen leyes del azar? Parece evidente que la respuesta debería ser negativa, ya que precisamente el azar se define como característica de los fenómenos que no tienen ley, fenómenos cuyas causas son demasiado complejas para que podamos preverlas. Sin embargo, los matemáticos, a partir de Pascal, Galileo y de otros muchos pensadores eminentes, han establecido una ciencia, el cálculo de probabilidades, cuyo objeto ha sido generalmente definido como el estudio de las leyes del azar. En realidad, el principal objetivo del cálculo de probabilidades, como su mismo nombre indica, es calcular las probabilidades de fenómenos complejos en función de probabilidades conocidas de fenómenos más sencillos.
¿Cómo puede permitir el cálculo de probabilidades prever algunas eventualidades aleatorias? El mecanismo de la previsión es siempre el mismo y hace intervenir de manera invariable a la única del azar, de la que hablaremos con más detalle, y que consiste esencialmente en que no se producen los fenómenos muy poco probables. Se trata, pues, de combinar las probabilidades de fenómenos sencillos, de manera que lleguen a definirse fenómenos complejos cuyas probabilidades son demasiado pequeñas para que sea aplicable la ley única del azar.
En esta obra utilizaremos algunos resultados del cálculo de probabilidades, pero no es absolutamente necesario que el lector conozca al detalle los métodos a través de los cuales estos resultados han sido obtenidos; es suficiente que confíe en los matemáticos, del mismo modo que un industrial tiene confianza en su sección de contabilidad, sin verse obligado a repasar todas las sumas y todas las multiplicaciones.
Los fundamentos sobre los que se basa el cálculo de probabilidades son extremadamente sencillos y tan intuitivos como los razonamientos que llevan a un contable a sumar o multiplicar. Algunas veces las probabilidades simples son conocidas por razones de simetría: si uno lanza al aire una moneda (juego de cara o cruz), las probabilidades de los dos lados de la moneda son iguales y cada una de ellas es de una mitad; existe una posibilidad sobre dos de que salga cara, y una sobre dos de que salga cruz. Para un dado de seis caras, la probabilidad de cada una de ellas es de un sexto; hay una probabilidad sobre seis de obtener la cara con el número cuatro. Otras probabilidades, de naturaleza más compleja, se deducen de la
experiencia o de la estadística; si de 10.000 hombres de 80 años de edad mueren 1.300 en el curso de un año, se llega a la conclusión de que la probabilidad de morir en un año para un hombre de 80 años es de alrededor del 13%, es decir, igual a 0’13. Es evidente que las probabilidades nunca se conocen rigurosamente; únicamente se conocen valores aproximados, lo que, por otra parte, acontece en todas las magnitudes físicas que se pueden medir. Por más precisos que sean los medios de conocimiento, su precisión es limitada. En un dado o en una moneda, nunca es rigurosa su simetría, y el valor 1/2 o 1/6 de probabilidad es asimismo solamente aproximado.
Conociendo las probabilidades simples, es cuestión de combinarlas; si simultáneamente se lanzanal aire dos monedas o sucesivamente dos veces la misma moneda, la probabilidad de obtener dos veces cruz será igual al producto de una mitad por una mitad, es decir, un cuarto. Si se tiran dos dados, la probabilidad de obtener el doble seis será de 1/6' multiplicado por 1/6, o sea 1/36. Pero la probabilidad de obtener 6 y 5 con dos dados será 1/18, ya que puede obtenerse 6 con el primer dado y 5 con el segundo, o 6 con el segundo y 5 con el primero, y cada una de estas eventualidades tiene por probabilidad 1/36.
Por procedimientos y observaciones semejantes, los agentes de compañías de seguros, conociendo los cuadros de mortalidad de los hombres y de las mujeres, pueden resolver un problema como el que sigue. Dos esposos mayores, el marido de 60 años y la mujer de 55, invierten una suma de 2.000 dólares a cambio de una renta vitalicia que deberá ser satisfecha hasta la muerte del último superviviente: ¿cuál debería ser el importe de esta renta, para un valor dado del tipo de interés, si no se tuviera en cuenta el beneficio que debe reservarse la compañía de seguros para hacer frente a sus gastos generales y para formar reservas que son la garantía para los asegurados de ser pagados en cualquier caso? Un problema más difícil, pero que se puede resolver de acuerdo con los mismos fundamentos, consiste en calcular la reducción a que es preciso someter la renta para que la compañía esté prácticamente segura de poder hacer frente a sus compromisos para con todos los asegurados en rentas vitalicias, incluso si algunos de ellos tienen la suerte de vivir mucho tiempo. Para la resolución de este segundo problema, es necesario acudir a la ley única del azar, de la que ya hemos hablado.
Esta ley es extremadamente simple y de una evidencia intuitiva, aunque no sea racionalmente demostrable:los acontecimientos cuya probabilidad essuficientemente escasa, nunca se producen; o, por lo menos, en todas las circunstancias, deben ser tratados como imposibles.
Un ejemplo clásico de estos acontecimientos imposibles es el del milagro de los monos mecanógrafos1, al que se puede dar la forma siguiente: una mecanógrafa que conoce 1Borel, E., Le Hasard, págs. 164-339, Alean.
solamente el castellano es encerrada en un lugar aislado durante varios meses con su máquina de escribir y papel en blanco; se distrae escribiendo al azar y, al cabo de seis meses, resulta que ha escrito sin ningún error las obras completas de Shakespeare en su texto inglés y las obras completas de Goethe en su texto alemán. Este es el tipo de acontecimientos que, aunque no puede demostrarse racionalmente que son imposibles, son, sin embargo, tan extraños, que cualquier persona de sentido común no dudará en declararlos efectivamente imposibles. Si alguien nos asegurara haber observado un acontecimiento semejante, no dudaríamos en pensar que nos engaña, o que él mismo ha sido víctima de una superchería.
El caso de la mecanógrafa reproduciendo las obras de Shakespeare y de Goethe sin conocerlas es tan milagroso, que nadie puede dudar de su imposibilidad; no obstante, uno podría imaginarse acontecimientos menos inverosímiles, si bien muy improbables; por ejemplo, si la mecanógrafa hubiese escrito simplemente un verso de Shakespeare o de Goethe, o sencillamente tan sólo las dos primeras palabras de una de sus obras. Es en casos parecidos que el cálculo de probabilidades debe intervenir, pues permite establecer el valor exactode la probabilidad del suceso en cuestión; en el Capítulo III veremos los límites dentro de los cuales uno puede llegar a considerar rechazable esta probabilidad.
2. La repetición crea la inverosimilitud.— Si examinamos el caso de la mecanógrafa milagrosa, comprobaremos que la inverosimilitud es el resultado de que el éxito total exige que el éxito parcial se realice sucesivamente gran número de veces; el éxito parcial consistirá en que la primera letra escrita por la mecanógrafa sea precisamente la primera letra de Fausto. Este resultado no es probable, ya que existen 29 letras en el alfabeto; pero sin embargo, no es completamente inverosímil. Igualmente ocurre con la segunda letra, que podría tener muy bien la suerte de coincidir con la segunda letra de Fausto; lo mismo para la tercera, y así sucesivamente. Cada uno de estos resultados parciales, considerándolo aisladamente, puede ser perfectamente posible; es su casi indefinida repetición lo que crea la inverosimilitud y que nos parece razonablemente imposible.
Uno de los problemas más clásicos que estudia el cálculo de probabilidades es precisamente el de las probabilidades de este o aquel resultado cuando se repite indefinidamente una misma prueba. Por ejemplo, se lanza al aire una moneda y se considera como un hecho favorable si sale cruz. ¿Cuál es la probabilidad para que este hecho se produzca10.000veces seguidas en 10.000 pruebas sucesivas? ¿cuál es la probabilidad para que se produzca más de 6.000 veces a lo largo de 10.000 pruebas? El cálculo indica que estas probabilidades son tan escasas, que es imposible, según la ley única del azar, llegar a estos resultados.
3. Plan de esta obra.— Tenemos la intención de estudiar en esta obra las aplicaciones del cálculo de probabilidades en cierto número de cuestiones elegidas de entre las que interesan de un modo directo a todo el mundo, la mayoría de ellas relacionadas con la vida cotidiana o con la enfermedad y la muerte. Dejaremos a un lado, pues, las importantes aplicaciones del cálculo en las ciencias, especialmente en las físicas2;
recordemos, sin embargo, que la importancia de estas aplicaciones y los descubrimientos que han originado constituyen una de las pruebas más sólidas de la exactitud del cálculo de probabilidades. No desarrollaremos en absoluto las aplicaciones de este cálculo a la teoría de los juegos de azar, aplicaciones que han sido el origen del cálculo de probabilidades y que forman una de las ramas más atractivas de esta ciencia. Nos contentaremos en hacer alusión algunas veces a ella, tomando sencillos ejemplos destinados a ilustrar y a hacer comprender mejor algunos de los resultados que utilizaremos.
Las breves explicaciones que acabamos de dar acerca de la ley única del azar y del milagro mecanográfico, son suficientes para hacer comprender una dificultad preliminar, a la cual están destinados nuestros dos primeros capítulos. Esta dificultad es la siguiente: el cálculo de probabilidades es una ciencia exacta, cuyos resultados son tan ciertos como los de la aritmética o los del álgebra, tanto, que se limita en calcular numéricamente las probabilidades. De esta manera se llegaría a calcular la probabilidad para realizar el milagro mecano- gráfico de las obras de Shakespeare y de Goethe;si estas obras forman 50 volúmenes de la dimensión de la presente, o sea, alrededor de diez millones de caracteres, la probabilidad del suceso milagroso que hemos tratado es igual a la unidad dividida por un número de más de diez millones de cifras. Este resultado es tan indiscutible como el de toda operación aritmética correctamente efectuada. Pero, si de la extraordinaria pequeñez de la probabilidad se concluye que el milagro mecanográfico es imposible en virtud de la ley única del azar, se sale del dominio de la ciencia matemática y es necesario reconocer que la afirmación, que nos parece evidente e indiscutible, no es una verdad matemática estrictamente hablando. Incluso un matemático, apasionadamente abstraído, podría pretender que bastaría volver a empezar la experiencia un número suficiente de veces, a saber, un número de veces representado por un número de 20 millones de cifras, para estar seguro de que el milagro se producirá varias veces a lo largo de estas innumerables experiencias. Pero es humanamente imposible imaginar que la experiencia se produzca tan a menudo. Si consideramos que las dimensiones del Universo son iguales a un trillón de años luz, el número de átomos que podría contener, si estuviera lleno de materia, se expresa por un número menor de 200 cifras y, en el transcurso de un trillón de años, transcurren menos segundos que los que se podrían expresar con un número de 50 cifras. Ya que, si durante este tiempo cada átomo del Universo se transformara en mecanógrafa y repitiera la experiencia cada
milésima de segundo, el número de experiencias realizadas sería muy inferior a un número de 300 cifras. No se puede pensar, pues, en experiencias cuyo número comporte más de un millón de cifras; este es un punto de vista pura-mente abstracto, un pasatiempo matemático, que no puede corresponder a nada, y debemos confiar en nuestra intuición y en nuestro sentido común, que nos permiten afirmar la imposibilidad práctica del milagro mecanográfico que hemos descrito.
Sin embargo, se presentarán casos en que la evidencia intuitiva será menos manifiesta y en los cuales, en virtud de la ley del azar, será legítimo concluir en afirmaciones de valor práctico. El hecho de que estas afirmaciones no participen del valor absoluto de los teoremas matemáticos no se debe disimular, ya que tal disimulo correría el peligro de justificar todas las dudas sobre su exactitud; es preciso comprender que la ley única del azar lleva consigo una certeza de otra naturaleza que la matemática, pero esta seguridad es comparable a la que se nos impone sobre la existencia de tal personaje histórico o de tal ciudad situada en los antípodas, de Luis XIV o de Melbourne, igual a la que atribuimos a la existencia del mundo que nos es desconocido.
Esta digresión hace comprender la naturaleza de la dificultad preliminar a la que están consagrados los dos primeros capítulos. El sentido común basta a cada uno para darse cuenta, de manera más o menos confusa, del carácter particular de las afirmaciones basadas sobre el cálculo de probabilidades; de aquí a dudar sobre la exactitud de estas afirmaciones no hay más que un paso, que será salvado rápidamente, ya que, como veremos, existe mucha gente que tiene motivos psicológicos que les inducen a rechazar algunos resultados deducidos del cálculo de probabilidades.
El Capítulo Primero estará dedicado a las relaciones entre el cálculo de probabilidades y la psicología de los jugadores; el Capítulo II estará dedicado a las dificultades que surgen en muchos espíritus de hombres muy razonables, cuando se trata de probabilidades concernientes a la vida humana.
En el Capítulo III intentaremos precisar cuáles son los valores de las probabilidades que pueden y deben considerarse prácticamente negligibles. De esta manera nos veremos llevados a definir sucesivamente las probabilidades negligibles a escala humana, a escala terrestre, a escala cósmica y a escala supercósmica; acabaremos con unas observaciones sobre la definición de las probabilidades de la vida práctica. En el Capítulo IV estudiaremos los acontecimientos cuya probabilidad es muy escasa, pero sin ser absolutamente despreciable cuando el número de pruebas es muy elevado. Entonces veremos que de la ley única del azar se puede deducir una ley muy útil en la práctica: la ley de Poisson.
En el Capítulo V se estudiarán de un modo más profundo las probabilidades de fallecimientos, tratadas ya en el Capítulo II, así como las probabilidades de enfermedades y de accidentes y, por último, en el Capítulo VI se tratará sobre algunas aplicaciones curiosas del cálculo de probabilidades a algunos problemas concernientes a la herencia en la especie humana. En los Apéndices hemos desechado algunos desarrollos que habrían entorpecido el texto y que no son indispensables para seguir la lógica de las ideas. El Apéndice I está dedicado al estudio de las repeticiones en los números de seis cifras, números que naturalmente llaman la atención a todos los adictos a la lotería y a todos los propietarios de lotes de obligaciones. El Apéndice II da algunas precisiones aritméticas sobre la fórmula de Poisson.Uno de mis antiguos alumnos, autor de brillantes investigaciones personales sobre el cálculo de probabilidades, Jean Ville, profesor en la Facultad de Ciencias de Poitiers, ha leído cuidadosamente y corregido las pruebas del original francés de esta obra. Le doy mis más sinceras gracias por su valiosa colaboración.
CAPÍTULO PRIMERO
LAS PROBABILIDADES Y LA OPINIÓN COMÚN LOS PREJUICIOS DE LOS JUGADORES
4. Las probabilidades y el sentido común.— Nohay duda de que algunos resultados, los más seguros, del cálculo de probabilidades, a mucha gente se les muestran contrarios a lo que comúnmente se llama sentido común, es decir, a la opinión común. No empezaré a analizar esta noción, algo imprecisa, del sentido común, contentándome en citar una brillante página de Paul Valéry3: «Yo no me
encuentro a mis anchas cuando me hablan del sentido común. Creo tenerlo, pues, ¿quién consentiría lo contrario?; ¿quién podría vivir tan sólo un momento sin él? Si alguien me lo niega, me desconcierto, me dirijo hacia mi interlocutor que no lo tiene, que se burla y que pretende que el sentido común es la facultad que en otro tiempo tuvimos para negar y rechazar claramente la pretendida existencia de los antípodas; lo que todavía hace hoy, cuando busca y encuentra en la historia de ayer los medios de no comprender nada de lo que ocurrirá mañana.
»Añade que el sentido común es una intuición completamente local que deriva de las experiencias inexactas, sin cuidado, que se mezcla con una lógica y con analogías bastante impuras para ser universales. La religión no lo admite en sus dogmas. Cada día las ciencias lo aturden, lo confunden, lo desconciertan.
»Este crítico de sentido común añade que no hay por qué vanagloriarse de que sea lo más difundido en el mundo.
»Pero yo le respondo que todavía no hay nada que pueda sacar al sentido común esta gran utilidad que tiene en las disputas sobre las cosas más imprecisas, en las que no es el argumento más poderoso invocarlo para sí, proclamar que los demás no razonan y que este bien tan precioso, por ser común, reside sólo en el que habla.»
La consecuencia que creo deducir de estas delicadas reflexiones es que, cuando la ciencia tropieza con el sentido común, es útil volver a buscar el porqué e intentar encontrar los argumentos necesarios para convencer a los que recurren al sentido común contra la ciencia.
5. Los números de los billetes de lotería. — Muchas personas rechazarán comprar un billete de lotería cuyas cifras tengan para ellos alguna característica especial por su disposición; tal sería, por ejemplo, el caso del número 272727 y, con mayor razón, el número 222222. No obstante, todos los que han reflexionado sobre las probabilidades y sobre los métodos empleados para obtener los números premiados en la lotería, saben que las probabilidades de premio son las mismas para todos los billetes, cualquiera que sea su número. Y, sin embargo, un gran número de ellos afirmarán, en nombre del sentido común: «es completamente imposible que un número tan singular como el 222222 obtenga el primer premio». Quien afirma esto comprueba, cuando se publican los resultados del sorteo, que el primer premio, efectivamente, lo ganó un billete cuyo número es el 825717 o el 203409, y acaba por decir que el sentido común no lo engañó y que ha hecho muy bien en no comprar el número 222222 y sí el número 138615, que tampoco ha ganado.
No hay duda de que es muy débil la probabilidad para que el número que gane el primer premio esté formado por seis cifras iguales, ya que es equivalente a cien milésimas, pues hay 10 billetes sobre un millón que están formados por seis cifras idénticas. Si se realizaran 25 sorteos por año, podríamos observar que el ganador del primer premio formado por seis cifras iguales tiene un promedio de una vez cada 4.000 años; así pues, es bastante probable que este hecho no será observado por un hombre a lo largo de toda su vida; pero ello no contradice en absoluto el cálculo de probabilidades, según el cual, la posibilidad de ganar es la misma para todos los billetes.
En efecto, si uno señala concretamente un número, o incluso un lote de diez números, comprobará frecuentemente que no sale ninguno de estos diez números. Pero, si estos números son cualesquiera, que no tienen ninguna característica especial, uno no se fija en cada sorteo que estos números tampoco han salido.
6. Los números formados por dos cifras.— Unose dará cuenta mejor del hecho de que las posibilidades de todos los números son iguales al estudiar cierta clase de ellos muy característica, pero lo suficientemente conocida para que la salida de unos de ellos sea, de vez en cuando, efectivamente observada.
Un ejemplo nos lo darán los números formados por dos cifras, entre los cuales puede figurar el cero. Sea, por ejemplo, el número 233322, o el número 200200, o incluso el número 55555, ya que debe escribirse 055555; al contrario, el número 55444 está formado por tres cifras, ya que debe escribirse 055444. El sorteo se hace con seis bombos, cada uno de los cuales da una de las seis cifras del número ganador.
Es fácil calcular la cantidad de billetes cuyos números estén formados sólo por dos cifras.
Si una de las cifras figura 5 veces y la otra 1 vez, hay 10x9x6 = 540 números4.
Si una de las cifras figura 4 veces y la otra 2, hay
10x9x ((6x5) / (1x2)) = 1.350 números. Por último, si cada una de las cifras figura 3 veces, hay
((10x9) / (1x2)) x ((6x5x4) / (1x2x3)) = 900 números5.
En total hay, pues, 540 + 1.350 + 900 = 2.790 números sobre 1.000.000 que responden a la condición de estar formados sólo por dos cifras; si se añaden los diez números formados por una sola cifra resultan 2.800, o sea, casi 1 de cada 357. La probabilidad para que tal número obtenga unpremio determinado es, pues, de alrededor de 1/357. Si admitimos que la cantidad de series y el número de premios son tales que hayan 360 premios importantes por año (por ejemplo, 30 series de 12 premios, o 18 series de 20 premios), se podrá observar la ganancia de un premio importante por uno de estos números un promedio de aproximadamente una vez por año6. Será un hecho
extraño, pero, sin embargo, bastante frecuente, que podrá ser observado por todos aquellos que siguen de cerca la lista de los números que han ganado los premios importantes en cada sorteo.
Efectivamente, si uno se tomara la molestia de consultar varias listas de sorteos que comprendan un millón de números, comprobaría con facilidad que la proporción de los números ganadores formados sólo por dos cifras está muy conforme con las previsiones del cálculo de probabilidades7.
4La cifra que figura 5 veces puede ser una cualquiera de las 10 cifras, y la que figura I vez, una cualquiera de las otras 9, lo que hace posible
90 elecciones; la cifra que no figura más que una vez puede ocupar 6 lugares distintos; en total se tienen, pues, 90 x 6 = 540 números.
5Si cada una de las cifras figura 3 veces, se puede elegir una de ellas de 10 maneras distintas y la segunda de 9 maneras. Pero cada
combinación, como 3 y 4, se obtiene 2 veces (3 y 4, después 4 y 3); hay, pues, 45 combinaciones como la de 4 y 3 y, para cada una de ellas, 20 disposiciones distintas: 444333, 443433, etcétera, o sea, en total, 45 x 20 = 900.
6Según la fórmula de Poisson (ver Capítulo IV), se llega a la conclusión de que en 100 años habrá alrededor de 36 en que ninguno de estos
números ganará un premio, 36 en que uno de estos números ganará, 18 en que dos de estos números ganarán, 6 en que tres números ganarán y 1 ó 2 en que cuatro números o más ganarán.
En el Apéndice I estudiaremos con más detalle los números de 6 cifras desde el punto de vista de la repetición de una misma cifra en un número.
7. Las series en la ruleta. — El problema de las series en un juego como la ruleta es en extremo semejante al que acabamos de estudiar; incluso se le podría considerar idéntico si se utilizara el sistema de numeración binaria (de base 2). Se puede convenir en representar la salida del rojo por la cifra 0 y del negro por la cifra 1 (nos estamos basando en una ruleta que no tiene el cero); una serie de juegos de ruleta saliendo el rojo o bien el negro, es entonces presentada por una serie de 0 y de 1, como 10100100101110101. Una serie así puede ser considerada como un número escrito en el sistema binario y se puede representar razonándose sobre estos números tal como lo hemos hecho con los números escritos en el sistema decimal; uno se verá obligado a admitir que estos números tan distintos tienen todos la misma probabilidad. Un número compuesto exclusivamente por la cifra 1 es muy singular y su salida es muy poco probable, sobre todo si el número de cifras es elevado, igual a 30 por ejemplo; pero la salida de cualquier otro número bien determinado de 30 cifras es igualmente improbable.
Dejemos de lado el sistema de numeración binario y tratemos la cuestión por un razonamiento directo, poniendo en evidencia, desde un principio, el delicado punto en que los resultados del cálculo de probabilidades se discuten en nombre del sentido común.
Este delicado punto es el siguiente: todos los jugadores de ruleta han observado que, en una larga serie de jugadas, las salidas del rojo y del negro son casi tan numerosas unas como otras. Por ejemplo, en 1.000 jugadas se observarán 483 rojos y 517 negros; pero nunca se observarán 217 rojos y 783 negros. La mayoría de jugadores creen poder deducir de esta observación —que es exacta y, además, completamente conforme con los resultados del cálculo de probabilidades— que, si durante cierto período han observado a menudo más el rojo que el negro, la ruleta ha contraído de alguna manera una deuda para con el negro y deberá pagar esta deuda haciendo salir más el negro queel rojo a lo largo de las próximas jugadas. En algunos casos, la deuda incluso deberá ser pagada inmediatamente; si un jugador, consultando los archivos de la ruleta a lo largo de un gran número de años, ha comprobado que la serie más larga observada ha sido de 24 rojos o de 24 negros, incluso si nunca se ha observado una serie que sobrepase 24, este mismo jugador, si un día observa una serie de 24 rojos, no dudará en deducir que el negro debe salir forzosamente a la siguiente jugada, «puesto que nunca hay una serie de 25»
7En el caso de algunas categorías de obligaciones, cuyo número no es precisamente 1.000.000, sino por ejemplo 500.000, se comprobaría
A ello Joseph Bertrand, junto con aquellos que han profundizado sobre el estudio de las probabilidades, responde: «La ruleta no tiene conciencia ni memoria». Es hacerle demasiado favor pensar que guarda el recuerdo de sus desvaríos y que tiende a repararlos.
El «sentido común» debería bastar para persuadir a los jugadores de que las sucesivas jugadas de la ruleta son independientes unas de otras; es imposible imaginar algún mecanismo por el cual las jugadas anteriores modificarían el resultado de la que va a ser jugada. Pero los jugadores están influidos por un hecho innegable y que es confirmado por multitud de observaciones: en un gran número de jugadas, las salidas del rojo son casi tan frecuentes como las del negro y, para explicar este hecho de observación, no se les ocurre otro medio que imaginar la existencia de un mecanismo desconocido que desempeñaría el papel de la conciencia y memoria de la ruleta, es decir, este mecanismo obligaría a la ruleta a compensar sus veleidades.
Un estudio profundo del conjunto de todas las posibilidades, estudio completamente semejante al que se ha desarrollado en el Apéndice I para losnúmeros decimales de seis cifras, muestra que si las combinaciones en las que los rojos son casi tan numerosos como los negros son observadas más a menudo que las combinaciones en que los rojos serían más numerosos que los negros, únicamente es debido a que las primeras combinaciones son mucho más numerosas que las otras, del mismo modo que los números de seis cifras formados por 3, 4, 5 o 6 cifras distintas son mucho más numerosos que los que no están formados más que por una o dos cifras diferentes. No es porque los bombos de la lotería tengan ninguna atracción particular hacia los números en los que figuran uno o dos pares, es decir, con una o dos cifras figurando dos veces en el número, que tales números salen más a menudo que los otros, sino porque, sobre un millón de números, hay más de 680.000 que tienen uno o dos pares. Igual ocurre en la distribución de los rojos o de los negros en una serie de jugadas de ruleta (no tenemos en cuenta el cero). Por ejemplo, si se considera una serie de 30 jugadas, se obtienen los resultados siguientes. El número de posibles resultados de las 30 jugadas es igual a la 30.ª potencia de 2, o sea, algo más de mil millones (exactamente 1.073.741.824). Sobre estos mil millones de posibilidades, los distintos resultados globales siguientes representan el número de veces indicado:
30 rojos y 0 negro 1 vez
28 rojos y 2 negros 435 veces
27 rojos y 3 negros 4.060 veces
26 rojos y 4 negros 27.405 veces
25 rojos y 5 negros 142.506 veces
24 rojos y 6 negros 593.775 veces
23 rojos y 7 negros 2.035.800 veces 22 rojos y 8 negros 5.852.925 veces 21 rojos y 9 negros 14.307.150 veces 20 rojos y 10 negros 30.045.015 veces 19 rojos y 11 negros 54.627.300 veces 18 rojos y 12 negros 86.493.225 veces 17 rojos y 13 negros 119.759.850 veces 16 rojos y 14 negros 145.422.675 veces 15 rojos y 15 negros 155.117.520 veces 14 rojos y 16 negros 145.422.675 veces
……… ………
……… ………
1 rojo y 29 negros 30 veces
Hemos omitido la mayor parte de la segunda mitad del cuadro, ya que evidentemente es simétrica a la primera mitad. Existe el mismo número de combinaciones con 17 rojos y 13 negros que con 17 negros y 13 rojos.
La serie de 30 rojos, así como la serie de 30 negros, son de combinaciones únicas; cada una de ellas no es ni más ni menos singular que cada una de las otras combinaciones particulares, cuyo número sobrepasa los mil millones, pero toda combinación particular es en extremo poco probable; tal sería el caso de la combinación consistente en obtener rojo y negro alternativamente, de tal manera que el rojo saliera en todas las jugadas impares y el negro en todas las pares.
Los jugadores de ruleta nunca han observado una serie de 30 rojos, o de 30 negros, y con agrado consideran tal serie como imposible. Si una ruleta llega a jugar 1.000 veces por día (1 jugada por minuto durante algo más de 16 horas), sería necesario un millón de días, o sea, alrededor de 27 siglos, para llegar a jugar mil millones de veces y tener, de este modo, verdaderas posibilidades para obtener una serie de 30 rojos (ver Capítulo IV, ley de Poisson).
Los casos en que, como mínimo, salen 28 rojos o bien 28 negros, son 2 x (1 + 30 + 435) = 932, o sea, menos de una millonésima parte del número total de jugadas; tal eventualidad será muy rara, pero algunas veces observable si un jugador paciente anota todas las jugadas durante algunos años; al compás de 1.000 jugadas diarias le bastarían 3 años para observar más de un millón de jugadas.
Las combinaciones que al menos contienen 27 rojos o 27 negros son superiores a 8.000, o sea, cerca de la cienmilésima parte del número total de combinaciones; tal eventualidad se presentará alrededor de una vez de cada 100.000.
Hay casi 63.000 combinaciones con al menos 26 rojos o negros; este conjunto de combinaciones se presentará casi una vez de cada 15.000.
Las combinaciones con al menos 25 rojos o negros llegan casi a 350.000; se presentarán con un promedio de algo más de una vez de cada 3.000; el jugador que anotara 1.000 jugadas por día podría observarlas 2 veces por semana.
Pasando, como mínimo, a 24 rojos o negros, el número de combinaciones sobrepasa ampliamente el millón y la probabilidad de observar una sobrepasa, pues, una milésima.
Con al menos 22 rojos y negros, el número de combinaciones sobrepasa los 10 millones (alrededor de 17 millones); la probabilidad está comprendida entre 1 y 2 centésimas.
Por último, con un mínimo de 20 rojos o negros, el número de combinaciones es algo superior a los100 millones y la probabilidad, muy cercana a una décima. Hay, pues, nueve posibilidades de cada 10 para que, en una serie de 30 jugadas, ni el número de los rojos ni el de los negros sobrepase de 19. Siendo el número medio 15 se dirá, si el número observado es 19, que el error con relación al promedio o, más concretamente, el error9 es igual a 4.
Hay, pues, 9 posibilidades de cada 10 para que el error sea como máximo igual a 4, es decir, que sea inferior a 5. Se observará que 5 es la parte entera de la raíz cuadrada de 30, número de jugadas observadas. Esta es la ley general: la probabilidad de un error igual o superior a la raíz cuadrada del número de jugadas es aproximadamente igual a una décima.
8. La ley de los errores. — Puede verse que el cálculo de probabilidades está lejos de imponer al azar leyes rígidas a las que debería conformarse. No sólo son posibles los errores relativamente importantes, sino que, hasta cierto límite, son probables y necesarios. Quien observa con cuidado y perseverancia las series de 30 jugadas verá, bastante a menudo, series que contienen más de 20 rojos en las 30 jugadas, e incluso algunas veces series que contienen más de 25 rojos; pero no observará series que contengan 29 rojos y, con mayor razón, series de 30 rojos con la exclusión de los negros.
Si el número de jugadas de la serie es mucho más elevado, por ejemplo de 3.000 en lugar de 30, la probabilidad de los errores permanece igual, a condición de hacer corresponder los errores que están en la misma relación con la raíz cuadrada del número de jugadas9 es decir, los errores que son 10 veces mayores para 3.000 jugadas que para
30. Los erro-res de 50 serán, pues, bastante probables, y los errores de 150 prácticamente imposibles. Si el número de jugadas fuera de 300.000, los errores de 1.500 son los que serían extremadamente raros y casi imposibles. El error relativo, es decir, la relación del error con el número de jugadas decrece cada vez más a medida que el número de jugadas aumenta. Es la ley de los grandes números de Bernoulli, que es una sencilla consecuencia aritmética de la ley única del azar: las series de 300.000 jugadas en las cuales el error es inferior a 1.500, es decir, que encierran menos de 301.500 y más de 298.500 rojos, son extraordinariamente más numerosas que las series en las que el error es más considerable. Estas no se encuentran porque, aunque sean muy numerosas, son extremadamente raras con relación a las otras.
No sólo es en los juegos que uno debe tener en cuenta el aforismo de Joseph Bertrand: «la ruleta no tiene ni conciencia ni memoria». Esto es igualmente cierto en la mayoría de los fenómenos accidentales por los que nos interesamos en la vida, salvo en casos en que los fenómenos sucesivos no son independientes unos de otros.
Un ejemplo muy conocido de estos casos es el de la lluvia y del buen tiempo. Una larga serie de días de lluvia aumenta las posibilidades para que llueva aún al día siguiente y, del mismo modo, una larga serie de días buenos aumenta las posibilidades para que haya aún otro día bueno. Pero, si uno observa la lluvia y el buen tiempo, no en días consecutivos, sino, por ejemplo, en una misma fecha, todos los años se aplicarán las reglas de las probabilidades. Las estadísticas meteorológicas nos indicarán, por ejemplo, que, en tal o cual ciudad y en el mes de mayo, hay el mismo número de días de lluvia y de días sin lluvia.Hay, pues, una posibilidad de cada dos para que el 14 de mayo sea un día de lluvia; si observamos esta fecha durante cierto número de años consecutivos, podremos aplicar a estas observaciones los resultados obtenidos para el rojo y el negro en la ruleta; el hecho de que haya llovido el 14 de mayo 5 años seguidos, no aumenta ni disminuye las posibilidades para que llueva en la misma fecha el año siguiente; son de una sobre dos.
Si un abonado de teléfono ha observado minuciosamente que, de las 2 a las 6 de la tarde, su teléfono está ocupado completamente durante 2 horas de las 4, es decir, la mitad del tiempo, por numerosas comunicaciones, cada una de corta duración, tengo una posibilidad sobre dos de encontrarlo libre si llamo. Si he obtenido 3 veces seguidas la señal «comunica», tengo siempre una posibilidad sobre dos de encontrarlo libre si telefoneo de nuevo. Si telefoneo cada día, llegaré casi una vez por mes a obtener 5 veces seguidas la señal «comunica», y más de una vez por año obtenerla 8 veces seguidas. Si admitimos que, debido a una avería en el teléfono, recibimos automáticamente la señal «comunica» en una media de una o dos veces por año, será razonable que sospeche dicha avería cuando habré, al menos, obtenido 8 veces seguidas tal señal; si la obtengo 10 o 12 veces seguidas, la alteración será muy probable; sería casi seguro si la señal «comunica» fuera obtenida 20 veces seguidas en intervalos de 5 o 10 minutos.
Si circulo en coche por una ciudad en la que numerosos cruces están equipados con señales rojas y verdes alternativamente, de tal modo que, sobre las dos vías que se cruzan, los coches tengan derechoa pasar sólo por una en un momento dado, tengo una posibilidad sobre dos de encontrarme en cada cruce con la luz roja o con la luz verde. Si mi camino comporta doce cruces, deberé esperar encontrar, como promedio, 6 luces rojas y 6 verdes. Pero, si un día tengo la mala suerte de encontrarme luces rojas en los 6 primeros cruces, no podré llegar a la conclusión de que tendré luces verdes en los otros 6. Podría muy bien sucederme tener 10 si hago el mismo trayecto varias veces por día, o incluso 11, mucho más extraño 12 luces, todas rojas o, al contrario, todas verdes; si un día he tenido la mala suerte de estar detenido así en casi todos los cruces, ello no aumentará en absoluto mis posibilidades de encontrar al día siguiente luces verdes en la mayoría. Y, sin embargo, si tuviera la paciencia de llevar una estadística durante un año entero, comprobaría que la relación entre el número total de luces rojas y luces verdes sería muy próxima a la unidad.
CAPÍTULO II
CONJETURAS SOBRE LAS PROBABILIDADES CONCERNIENTES A LA VIDA Y A LA MUERTE
9. La mística del azar. — Una de las razones por las que algunas conjeturas están tan aferradas en los jugadores, es la gran importancia que conceden a ganar o perder; así, están muy dispuestos a recibir favorablemente las sugestiones más irrealizables si creen ver en ellas un medio para vencer al azar y asegurarse el éxito. Es por el mismo motivo que algunas opiniones especiales sobre la buena o mala suerte se dan con frecuencia en los hombres de teatro, actores o autores, cuyo éxito o reputación pueden depender de un incidente en el transcurso de un ensayo general. Les parece que la más mínima circunstancia puede traerles un brillante éxito o, al contrario, un fracaso del que no se saldrán fácilmente, estando dispuestos a usar de todos los medios, en apariencia los más absurdos, para volver a tener suerte.
Pero, aun siendo muy importante el hecho de ganar o perder en el juego, el éxito o el fracaso en el teatro es una realidad a la que los hombres están todavía más ligados, ya que forma parte de su propio ser. Asimismo, en todas las cuestiones que conciernen más o menos directamente a la vida y a la muerte, la mayoría no razonan bien, dejándose llevar por su sensibilidad o por sus prejuicios.
Las ideas confusas y, a veces, misteriosas, que muchos hombres se hacen del azar y de su papel en la vida, han sido resumidas con mucho talento por Rémy de Gourmont:
«No hay nada más esperado que lo inesperado, nada que, en el fondo, nos sorprenda menos. Lo que nos asombra, por encima de todo, es el desarrollo lógico de los hechos. El hombre está en perpetua espera del milagro, e incluso se enfurece si este no sucede, con lo cual se descorazona. Pero el milagro acontece a menudo. Las vidas más humildes no son más que una serie de milagros o, más bien, de azares. Se dirá
que verdaderamente no hay azar y que esta palabra no hace más que confirmar nuestra ignorancia sobre el encadenamiento de las causas. Pero, siendo indescifrable este encadenamiento para nuestro espíritu, llamamos azar a todos los acontecimientos que, aun prestando nuestra mayor atención, nos sería imposible discernir su llegada. Se forman, se producen, pero no los conocemos ni podemos conocerlos. Y es bueno que no podamos. Es una acción indiferente, ya que la vida sólo es un acto de confianza en nosotros mismos y en la benevolencia del azar.
»Contamos con el azar. No existe ningún ser, incluso el más falto de imaginación, que no lo tenga presente en sus vagas previsiones. Contar tan sólo con el azar es de locos; no contar con él, aún lo es más. Tan irrazonable es esperar como desesperar. En cada momento de la vida lo imposible resulta posible. Del mismo modo que puede ser motivo de esperanza encontrarse perdido en un laberinto a doscientos metros bajo tierra, puede uno desesperarse por completo el día en que nuestro corazón rebosa de felicidad, en que la vida nosresulta agradable, colmando todos nuestros deseos8.»
Existen muchos motivos, que la razón no conoce, para que las aplicaciones del cálculo de probabilidades a la mayoría de problemas que conciernen a la vida humana sean a menudo sistemáticamente ignoradas e, incluso, a veces, despreciadas y puestas en duda, por las cuales, no obstante, debería uno interesarse.
Los resultados del cálculo de probabilidades que se han estudiado mejor son los concernientes a la mortalidad; desde hace más de un siglo, las compañías de seguros de vida distribuyen a sus accionistas dividendos que son una prueba tangible de la exactitud de los estudios de sus dirigentes, basados sobre el cálculo de probabilidades y sobre los cuadros de mortalidad, es decir, sobre datos estadísticos. Este indudable valor de los datos sacados de estadísticas hechas con seriedad, contrasta con las conjeturas corrientes sobre la estadística. En gran parte, estas conjeturas tienden a lo que se ha llamado «mentalidad individualista». Al hombre no le gusta ser considerado como una simple unidad, idéntica a otras unidades; cada uno tiende hacia su individualidad y tiene un sinnúmero de buenas razones para considerarse realmente distinto de todos los demás hombres. Por consiguiente, cuando los estadistas comprueban que se produce cierta proporción de defunciones entre los hombres de 40 años, cada uno de estos pensará que esta estadística no le concierne en absoluto, ya que, considerándose aún joven y disfrutando de buena salud, no existe ninguna razón para fallecer en el curso del año. A menos que tal individuo se considere, con o sin razón, gravemente enfermo, pensando que su muerte no tardará.
10. El promedio de vida.— Los resultados estadísticos son tan exactos, que no es preciso aplicarlos sin discriminación a todos los hombres de 40 años; las compañías de seguros obligan a un examen médico a los que quieren asegurarse. En los coeficientes de mortalidad deducidos de los cuadros es conveniente distinguir la parte que se aplica a los p individuos que, tras el examen médico, se consideran con
buena salud, y la parte que se aplica a los individuos a quienes dicho examen revela la existencia de enfermedades o de algunas taras hereditarias (tuberculosis, cáncer, sífilis, etc.). Pero, hecha esta salvedad, no hay duda de que hay cierta probabilidad de morir en el curso del año para cualquier ser humano, probabilidad que depende de diversas causas, de las que la edad y el sexo son las más importantes. Esta probabilidad puede ser calculada gracias a los cuadros de mortalidad, de los que hablaremos más adelante9.
Estos cuadros de mortalidad permiten calcular, en una época y en un país determinado, la vida media de los hombres y la de las mujeres, que generalmente es algo más elevada que la de los hombres.
El promedio de vida de cierto número de individuos es la media aritmética de la duración de la vida de cada uno de ellos. Definida así, el promedio de vida sólo puede ser calculado con exactitud si se trata de un grupo de individuos que estén todos muertos. Es de esa forma que, con los análisis de los registros del estado civil del siglo xix, se podría calcular la vida media de los individuos nacidos en 1800 que murieron en un país determinado.
Tratándose de una población numerosa, si los cuadros de mortalidad están seriamente establecidos, se puede admitir que las edades de fallecimiento del conjunto de personas que viven en la actualidad se repartirán en el futuro, si el estado de salud no cambia, siguiendo proporciones muy semejantes de las que resultarían de estos cuadros de mortalidad. Esto es lo que permite hablar del promedio de vida de los habitantes de un país en una fecha dada.
Se podría pensar en otro método para calcular el promedio de vida: tomar la media aritmética de las edades de fallecimiento de todos los hombres o de todas las mujeres muertos a lo largo de un año. Reflexionando un poco, nos daríamos cuenta de que este método sólo sería correcto si la población permaneciera sensiblemente estacionaria en el transcurso de un largo período. Si anotamos el número de fallecimientos a lo largo del año 1941, los muertos a la edad de 20 años pertenecen a personas nacidas en el año 1921, mientras que los muertos a la edad de 80 años conciernen a personas nacidas en 1861. Por lo tanto, si la población del país en cuestión hubiera aumentado notablemente de 1861 a 1921, el número de muertos de 20 años resultaría demasiado elevado en relación con el número de fallecimientos de
los de 80 años, de manera que la vida media calculada sería inferior a la vida media real.
Las estadísticas revelan que, en todos los países civilizados, el promedio de vida ha aumentado notablemente en el transcurso de los dos últimos siglos; este aumento se debe, en gran parte, a la disminución considerable de defunciones de niñosde menos de un año, debido a los progresos de la higiene. Además, sería interesante desde varios puntos de vista, considerar la vida media calculándola no por el conjunto de nacimientos, sino por el conjunto de niños que hayan alcanzado un año. Volveremos a tratar este punto en el Capítulo V.
11.Interpretación de los cuadros de mortalidad.—Algunas de las indicaciones que acabamos de dar son suficientes para señalar la importancia que tienen para cada uno de nosotros las indicaciones de los cuadros de mortalidad y el valor del promedio de vida, a condición de comprender bien su significado y no exagerar su valor. No cabe duda de que cada habitante de un país está interesado en el aumento de la vida media del mismo, aumento que puede ser consecuencia de las medidas de higiene tomadas para evitar la propagación de algunas enfermedades epidémicas o contagiosas, de la construcción de hospitales, sanatorios, etc.
Sé perfectamente que una persona individualista podría encerrarse en su egoísmo y decir: tomo personalmente todas las precauciones para evitar los contagios, tengo un excelente médico que me vigila y cuida bien si caigo enfermo; así pues, poco me importa que se construyan o no hospitales donde yo no iré nunca, que se higienicen barrios insalubres donde no pienso residir. Incluso, desde su punto de vista puramente egoísta, a este individuo le falta razón, pues no puede vivir aislado del conjunto de los demás seres humanos, estando expuesto a ser víctima de contaminaciones más o menos directas, que se habrían evitado de haberse eliminado algunas enfermedades gracias a los progresos de la higiene.
Además, las excesivas precauciones tomadas contra varias contaminaciones por algunas personas demasiado preocupadas por su salud, producen, a veces, desastres imprevistos; se citan casos de personas que, no habiendo bebido más que agua hervida durante muchos años para evitar la fiebre tifoidea, mueren de esta enfermedad a causa de un único descuido; lo habría soportado mejor aquel cuyo organismo se hubiera acostumbrado poco a poco a la lucha contra los microbios. Bertrand dedica10 unas páginas muy interesantes a la controversia que se produjo en
el momento en que se descubrió la vacuna contra la viruela, controversia en la que tomaron parte especialistas del cálculo de probabilidades. El problema que se planteaba era el siguiente: la vacunación producía la muerte de una persona de cada
100; pero, en aquella época, eliminaba probabilidades muy considerables de fallecimiento por viruela; ¿es aconsejable la vacunación? o, al contrario, ¿no debe practicarse?
Calculando la vida media en las dos hipótesis (vacunación o no vacunación), Bernoulli llegó al resultado de que la vacunación aumentaba el promedio de vida en tres años, llegando a la conclusión de que no debía dudarse en practicarla.
Bertrand, después de Alembert, no dudó en indicar que el cálculo de la vida media no es suficientemente decisivo y que deben intervenir otras consideraciones.
He desarrollado los argumentos de Bertrand11; la principal razón por la que muchas
personas dudarán. y con motivo, en dejarse convencer por el cálculo de la vida media, es ignorar la fecha exacta en la que se producirá su muerte, ignorancia que es uno de los elementos más importantes de su cotidiana felicidad. Si los progresos de la ciencia lograran que cada uno conociera la fecha exacta en la que se produciría su muerte, la mentalidad humana cambiaría completamente, dando cada cual una importancia especial a diversas circunstancias que podrían modificar la fecha de su fallecimiento prevista por los médicos. Sin embargo, es inútil razonar sobre una hipótesis irrealizable; veamos las cosas tal como son.
Evidentemente, frente a los peligros de enfermedades, los hombres se dividen en dos categorías, pasando algunos de ellos de una categoría a otra según su humor, o perteneciendo alternativamente a una u otra según la enfermedad de que se trate. Una de las categorías es la de los apáticos; la otra, la de los obsesos. Los primeros se desentienden queriendo ignorar que hay microbios de la fiebre tifoidea y de los peligros de contagio; comen y beben tal como lo han hecho sus padres y sus antepasados y piensan que su robusta constitución les evitará el contagio; si este se produjera, lo aceptarían con fatalidad. Contrariamente, los obsesos, cuya atención se habrá despertado unas veces por una lectura, otras veces por una enfermedad mortal observada en torno suyo, continuamente sólo pensarán en tomar precauciones para evitar las enfermedades que los preocupan en particular (olvidando, a veces, peligros de enfermedades más peligrosas y más frecuentes). Pero, tanto unos como otros, no se interesarán en absoluto por el conocimiento exacto de las probabilidades de contagio o de fallecimiento relativos a cierta enfermedad; estas cifras abstractas no les dirían nada; lo que únicamente tiene valor para ellos es la reacción de su sensibilidad personal frente a tal o cual enfermedad; uno temerá la tifoidea; otro, el cáncer, etc.
CAPÍTULO III
LAS PROBABILIDADES NEGLIGIBLES Y LAS PROBABILIDADES DE LA VIDA PRÁCTICA
12. Certeza científica y certeza práctica.— Cuando hemos enunciado la ley única del azar: «los acontecimientos cuya probabilidad es bastante pequeña nunca se producen»9 no
hemos disimulado la imprecisión del mismo. Es uno de los casos sobre los que no cabe ninguna duda; por ejemplo, el caso del milagro mecanográfico, en el que las obras completas de Goethe son reproducidas por una mecanógrafa desconocedora del alemán y escribiendo a máquina al azar. Pero, entre este caso, difícil en extremo, y aquellos de probabilidades muy pequeñas, a pesar de lo cual su acaecimiento no es inverosímil, hay un gran número de casos intermedios. Vamos a intentar precisar lo más posible qué valores de la probabilidad deben ser considerados como despreciables en estas o aquellas circunstancias.
Es evidente que las exigencias que puedan formularse sobre el grado de certeza que deben esperarse de la ley única del azar no serán las mismas según se trate de una certeza casi absoluta, o bien de una con la que nos contentamos en determinada circunstancia de la vida práctica.
Si se trata de una ley científica, como el principio de Carnot, según el cual el calor no puede pasar espontáneamente de un cuerpo caliente a otro frío, podremos exigir que la probabilidad del fenómeno, considerado según la ley como imposible, sea en realidad extraordinariamente pequeña; para que la ley merezca el nombre de ley la de física es preciso que a esta no se le produzca la menor infracción en, ninguna circunstancia, en ninguna época, en ningún punto del Universo. Para abreviar, diremos que la probabilidad debe ser despreciable a escala supercósmica, y los cálculos que hemos hecho antes referentes al número de átomos que podrían existir en un Universo cuyas dimensiones alcanzaran miles de millones de años luz, y sobre el número de segundos contenidos en miles de millones de siglos, nos conducirán a señalar en 10—500, es decir, en la unidad dividida por un número de 500 cifras, la
en el enunciado de una ley científica. Evidentemente, esta evolución es, en parte, arbitraria; en lugar del exponente 500 hubiésemos podido escribir 1.000, o sólo 200 o 300. Verdaderamente, las probabilidades a las que conduce la teoría cinética de los gases para una infracción posible al principio de Carnot son mucho más débiles: iguales a la unidad dividida por cantidades de millones de cifras. Tales probabilidades deben ser consideradas como universalmente despreciables.
Pero, tratándose simplemente de acciones humanas de la vida cotidiana, veremos que no es preciso que una probabilidad sea tan débil para que tengamos el derecho y el deber de despreciarla en la vida práctica, es decir, de tratarla como si fuera nula. De este modo nos vemos obligados a definirlas probabilidades despreciables a escala humana, a escala terrestre, a escala cósmica, escalas a las que corresponden grados de certeza práctica que no alcanzan a la certeza científica y casi absoluta que nos da la escala supercósmica.
13.Las probabilidades despreciables a escala humana.— Diremos que una probabilidad es despreciable a escala humana cuando los hombres más prudentes y más razonables deben tratarla como si esta probabilidad fuese nula, es decir, deben correr el riesgo de ver realizarse el suceso que concierne a esta probabilidad, incluso si la llegada de este acontecimiento es considerado por ellos como una gran desgracia. Tal es el caso, por ejemplo, si se trata de la muerte de la persona interesada o de una persona que le es particularmente querida.
Demos un ejemplo sencillo. Según las estadísticas en tiempo de paz, el número de accidentes mortales de circulación en una ciudad cuya población sea de varios millones de habitantes, es de unos pocos por día. Es decir, que por cada ciudadano que circula diariamente, la probabilidad para que se muera a lo largo del día por un accidente de circulación es de casi una millonésima. Si para evitar este ligero peligro un hombre renunciara a toda actividad exterior y se encerrara en su casa o impusiera esta reclusión a su esposa o a su hijo, se le consideraría loco. Es decir, que las personas más cuerdas y más razonables no dudan en afrontar normalmente un peligro de muerte, cuya probabilidad es de una millonésima. Claro está que no nos encontramos aquí con un caso en que la ley única del azar permite asegurar que el acontecimiento considerado nunca se produce; el que sale cada día por las calles de una gran ciudad sabe muybien que un accidente mortal es posible. Solamente piensa en ello, de una manera inconsciente, tomando cierto número de precauciones que le disminuyen las posibilidades de accidente; no se arriesga en la calzada sin haber mirado antes si viene un coche; pero, durante todo el día, no está obsesionado por el temor de un probable accidente.
Comparando el número de accidentes con el de los habitantes de una gran ciudad, hemos designado una millonésima como el valor que razonablemente se puede adoptar para una probabilidad despreciable a escala humana. Llegaríamos a un resultado semejante si centráramos nuestra atención en el número de veces que un hombre puede realizar, a lo largo de toda su vida, gestos o actos muy sencillos, como trazar una letra del alfabeto, avanzar un paso al andar, o respirar. Este número de veces es del orden de un millón en algunas semanas, o en algunos meses, o en algunos años, según la naturaleza y frecuencia del acto considerado. Por ejemplo, un escritor tan fecundo como Balzac llegaba a escribir dos o tres millones de letras a lo largo de un año; una mecanógrafa profesional sobrepasaría ampliamente esta cifra. Con esto se llega a la conclusión de que la probabilidad de escribir una letra a continuación de otra, si se trata de un escritor que se sirve de su pluma o de una mecanógrafa muy experta, es verdaderamente superior a una millonésima. Si esta probabilidad es sólo de una millonésima, produciéndose un único error en 500 páginas escritas a máquina, estaremos de acuerdo en considerarla despreciable y en afirmar que la mecanógrafa logra la perfección.
14. Las probabilidades despreciables a escala terrestre. — Si fijamos la atención en el conjunto de hombres que viven en el mundo, y no en uno solo, las probabilidades, para ser despreciables, deben ser notablemente más débiles. Cualquier accidente completamente improbable para un hombre determinado, es relativamente bastante frecuente si se consideran todos los hombres. Ganar el primer premio en la lotería de un millón de billetes es una probabilidad despreciable para quien sólo tiene un billete; si es sensato, no realizará proyectos para el futuro basados con lo que pueda obtener del primer premio; al contrario, si se venden todos los billetes y considerando a todos los compradores, con toda seguridad sí habrá un ganador. Admitiendo que el número de seres humanos es de algunos miles de millones, se considerará despreciable a escala terrestre la probabilidad mil millones de veces más pequeña que la probabilidad despreciable a escala humana, es decir, la mil millonésima parte de una millonésima, o 10-15, la unidad dividida por un número de
15 cifras. Se puede aceptar igual valor considerando a todos los seres humanos que han vivido a lo largo de algunos centenares de siglos, pues su número es apenas mil veces mayor que el número actual de hombres vivos. Igualmente podríamos considerar tales probabilidades, como veremos en el Capítulo VII, en el estudio de algunos problemas relativos a la herencia en la especie humana.
La probabilidad de obtener 50 veces seguidas el rojo en la ruleta, o cruz en el juego de cara o cruz, es de 2-50; si se usa la igualdad aproximada, muy práctico en esta clase
de cuestiones, 210 = 103 (en realidad, 210 = 1.024, es decir, algo más dé 1.000), se
comprobará que 2-50 equivale casi a 10-1S, es decir, a la probabilidad despreciable a
escala terrestre. Verdaderamente, si todos los hombresde la tierra pasaran todo su tiempo jugando a la ruleta al compás de 1.000 veces por día, o sea, alrededor de
1.000.000 de veces cada tres años, tan sólo en un promedio de una vez en este tiempo uno de ellos obtendría una serie de 50 rojos.
15.Las probabilidades despreciables a escala cósmica.— Considerando no ya el globo terrestre, sino la porción del Universo que es accesible a nuestros instrumentos de astronomía y de física, nos veremos llevados a definir las probabilidades despreciables a escala cósmica. Algunas leyes astronómicas, como la de Newton sobre la atracción universal y algunas leyes físicas relativas a la propagación de las ondas luminosas, son verificadas por numerosas observaciones que se efectúan sobre todos los astros visibles. La probabilidad para que una nueva observación contradiga todas estas observaciones concordantes es extremadamente débil. De esta manera, podremos fijar en 10-50 el valor de las probabilidades despreciables a escala cósmica;
cuando la probabilidad de un accidente es inferior a este límite, se puede afirmar que el acontecimiento no se producirá en absoluto., cualquiera que sean el número de ocasiones que se presenten en el Universo entero. El número de estrellas observables es del orden de los 1.000 millones, o sea, de 109, y las observaciones que todos los
habitantes de la tierra, observando el cielo, podrían hacer de las estrellas a lo largo de los siglos, son ciertamente en número inferior a 1020. Por consiguiente, un fenómeno
cuya probabilidad es 10-50 nunca se producirá o, por lo menos, nunca será observado.
16. Las probabilidades despreciables a escala supercósmica. — Recordemos que las leyes físicas deducidas de la mecánica estadística (y también las leyes matemáticas deducidas igualmente del cálculo de probabilidades) tienen una certeza incomparablemente mayor aún y pueden caracterizarse diciendo que la probabilidad del acontecimiento contrario es despreciable a escala supercósmica; tales son las probabilidades inferiores a 10-n, cuando n es un número de más de 10 cifras. Si, por
ejemplo, se tiene en un recipiente de un litro una mezcla de volúmenes iguales de oxígeno y de nitrógeno, la probabilidad de que en un momento dado todas las moléculas de oxígeno se encuentren en la mitad inferior del recipiente y todas las moléculas de nitrógeno en la mitad superior es, igual a 2-n, siendo n el número de
moléculas12. Es despreciable a escala supercósmica.
Un cálculo fácil indica que, si evaluamos las dimensiones de nuestro Universo, es decir, la distancia de las galaxias más alejadas, a 10.000 millones de años luz, el volumen de este Universo es inferior a 1085 centímetros cúbicos, conteniendo pues,
menos de 10110 átomos, ya que la densidad media es verdaderamente inferior a 1025
átomos por centímetro cúbico.
12Una molécula-gramo de gas conteniendo 6’062 X 1023 moléculas, el número n de moléculas contenidas en un litro es del orden de 3x1022,
Imaginemos, pues, con Boltzmann, un Universo U2 que abarcara tantos universos U1
análogos al nuestro como número de átomos posee; luego, un Universo U3 que
encerrara tantos universos U2 como número de átomos posee U1; después, un
Universo U4 que contuviera tantos U3 como número de átomos posee U1, y así
sucesivamente, repitiendo un millón de veces la misma operación, es decir, hasta un Universo UN, con N = 106.Este superuniverso contendría un número de átomos igual
a 10 elevado a la potencia 110 millones, o sea, que estaría representado por un número de 110 millones de cifras. Imaginemos también un tiempo T2 conteniendo
tantos miles de millones de años como segundos contienen los 1.000 millones de años de T1; luego un tiempo T3 conteniendo tantos años T2 como segundos contiene T1; y
así sucesivamente hasta un tiempo TN, cuyo índice N sería un millón. Supongamos
que volvemos a empezar un experimento tantas veces como átomos hay en el Universo UN, y tan a menudo como segundos hay en el tiempo TN, es decir, un
número de veces ciertamente inferior a 10 a la potencia 109. Si la probabilidad de
éxito de un experimento aislado es despreciable a escala supercósmica, un cálculo fácil indica que la probabilidad para que el experimento se produzca una sola vez será tan débil, que podrá ser despreciada. Si tomamos como ejemplo la separación espontánea del oxígeno y del nitrógeno contenidos en un recipiente de un litro, podemos, pues, afirmar que este experimento no se logrará nunca, ni en el tiempo ni en el espacio.
17. Las probabilidades y la vida práctica. — A menudo no se encontrarán en la vida práctica probabilidades inferiores a 10-6 o a 10-15, es decir, despreciables a escala
humana o terrestre; pero debe señalarse que las probabilidades mucho más débiles deben despreciarse en numerosos casos en que el acontecimiento correspondiente a tales probabilidades no presente para nosotros una grave desdicha, sino simplemente un accidente desagradable. Por ejemplo, si se trata de salir sin paraguas y sin impermeable un día en que el tiempo es bueno, podría calcularse la probabilidad de lluvia haciendola estadística de los días en que el tiempo era bueno a las 10 de la mañana y que, sin embargo, llovió a lo largo de toda la tarde. Sin haber hecho el cálculo, creo no equivocarme afirmando que la probabilidad es superior a una milésima, al menos en algunos climas. No obstante, a no ser que una persona esté particularmente delicada hasta el punto de que una lluvia imprevista pueda comprometer su salud y su vida, no la tacharemos de imprudente si, un día en que nada hace prever tormenta, sale sin paraguas o impermeable.
Es inútil multiplicar los ejemplos. Todos los hombres, incluso aquellos que no han oído hablar nunca del cálculo de probabilidades, las hacen sin saberlo, como el personaje de Moliere con la prosa; muchas de sus decisiones están influidas por la idea más o menos vaga que tienen sobre la probabilidad de algunos acontecimientos. Puede deducirse que es inútil conocer el cálculo de probabilidades, ya que el simple
sentido común lo suple en la mayoría de los casos; no necesito dicho cálculo para tomar el paraguas si amenaza tormenta o dejarlo si brilla el sol. Es cierto, pero también lo es que, en algunos casos, tenderé a consultar el barómetro antes de decidirme, ya que sus indicaciones me permitirán conocer la probabilidad de lluvia con menos posibilidad de error que si me contento con mirar al cielo desde la ventana. Si me es posible, podré igualmente consultar un boletín meteorológico, interesándome por la dirección y fuerza del viento. No deberán ser despreciadas estas precauciones suplementarias, porque no se trata solamente de correr el riesgo de mojarse con la lluvia, sino que, si salgo al mar en un pequeño bote de vela, el mal tiempo puede acarrearme graves accidentes.
La mayoría de los hombres ignoran el valorexacto de las probabilidades, que usan más o menos conscientemente, al igual que los niños y los poblados salvajes desconocen el valor exacto de la moneda y el precio de los objetos corrientes. Tanto en un caso como en otro, estos valores son evaluados según las impresiones subjetivas, las cuales, a menudo, comportan graves errores. Normalmente, antes de entregar dinero a un niño se le instruye sobre el valor de los objetos que puede adquirir con él. Igual ocurre con las probabilidades, sobre las cuales quiere estar exactamente informada aquella persona que se ve obligada a correr ciertos peligros. Tal es el caso, por ejemplo, de las probabilidades que conciernen a algunos peligros o a algunas enfermedades; cuando uno de nosotros ha sido testigo de un accidente grave, o ha observado a su alrededor algunos casos contagiosos, a menudo se ha impresionado mucho, llevándole a exagerar de una manera inconsciente el valor de la probabilidad para que este accidente o este contagio vuelvan a repetirse. Por el contrario, si se trata de un accidente grave o de una enfermedad que no hemos experimentado de cerca, nos inclinaremos a despreciar la probabilidad, por más elevada que pueda ser.
La comparación que hemos hecho entre la ignorancia del valor de las probabilidades y la del valor del dinero y de los diversos productos, puede ser continuada; en muchos casos es necesario correr algún riesgo, salir a pie o en coche, o bien permanecer constantemente en casa con peligro de volverse anémico; aun teniendo el estómago delicado, es necesario comer y optar entre los posibles inconvenientes que puedan tener algunos alimentos entre los que nos es posible elegir.
La situación de quien ignora las probabilidadeses, pues, análoga a la de un hombre o de un niño que tiene una cantidad limitada de dinero y que ignora los precios de los productos; corre el riesgo de malgastar toda su pequeña fortuna de una manera torpe; del mismo modo, la ignorancia de las probabilidades puede llevar a correr los mayores riesgos queriendo evitar los más pequeños.
Hay otra analogía entre los precios y las probabilidades: el conocimiento exacto de los precios es uno de los elementos de nuestras decisiones, pero no es el único: si
tenemos que elegir entre dos objetos de una misma naturaleza, nos gustará a veces uno más que el otro, y quizá lo elegiremos siendo incluso más caro. No obstante, será razonable por nuestra parte informarnos de los precios para poder tratar con conocimiento de causa; si el precio es diez veces más costoso, quizá no dudaremos en hacer un sacrificio también elevado para contentar nuestra fantasía. Igual ocurre para la probabilidad. Si tenemos razones serias para desplazarnos con rapidez, aceptaremos correr peligros de accidentes mayores usando un automóvil muy rápido o un avión. Pero, si supiéramos que, vistas las circunstancias, el peligro de accidente mortal alcanza una décima, reflexionaríamos sin duda antes de correr este peligro. Para el niño .que ignora aún el valor de la moneda, las expresiones diez dólares, cien dólares y mil dólares, son, si no equivalentes, por lo menos desprovistas de un significado preciso; igualmente lo es para quien no ha reflexionado nunca sobre las probabilidades cuando se le habla de aquellas cuyos valores respectivos son una décima, una centésima y una milésima. Sin embargo, basta un poco de reflexión y de costumbre para darse cuenta de que hay muchos casos en que sería razonablecorrer el peligro cuya probabilidad es de una milésima, mientras que sería muy poco prudente correr el mismo riesgo si su probabilidad fuese de una décima.
Insistamos aún sobre el hecho de que, al igual que el precio no es el único elemento de nuestra decisión cuando se trata de comprar algo, así la probabilidad no debe ser absolutamente el único elemento de nuestra decisión cuando se trata de correr un peligro. Uno de los motivos por los cuales algunos espíritus desprecian la precisión de las matemáticas es porque imaginan que esta precisión pone en peligro su libre albedrío. Una persona suficientemente rica puede, evidentemente, elegir los objetos que compra sin preocuparse por el precio, basándose sólo en sus gustos. Pero, cuando se trata de correr un peligro, sobre todo estando en juego la salud o la vida misma, nadie es bastante rico para poder despreciar ciertas probabilidades, salvo en el caso en que altas consideraciones de moralidad o de honor nos obliguen a correr el peligro de muerte, por elevado que este sea. En tales casos es preferible ignorar la probabilidad del peligro. Pero, en la vida ordinaria, el conocimiento de la probabilidad es un elemento útil en nuestra decisión, del mismo modo que lo es el conocimiento del precio cuando se trata de una compra, sin que este conocimiento nos impida tener en cuenta otras consideraciones antes de decidirnos.
18. Las probabilidades son sólo aproximadas. —Las probabilidades deben ser consideradas análogas a la medida de las magnitudes físicas; es decir, que nunca pueden ser conocidas exactamente, sino sólo con cierta aproximación. Además, el grado de esta aproximación varía mucho, según la naturaleza de las probabilidades. En los casos en que estas pueden ser valoradas por razones de simetría, el error cometido en su evaluación es generalmente muy débil. Tal es el caso de la
