Sol Entera

(1)

PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN ENTERA DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

Problema 3:

El equipo de gimnasia olímpica de Transilvania consta de 6 personas. Transilvania tiene que seleccionar tres personas para viga de equilibrio y ejercicios de piso. También tiene que presentar un total de cuatro personas por cada evento. La calificación que cada gimnasta puede obtener en cada evento se muestra en la tabla 1.Plantee un PE con el que se maximice la calificación total que obtengan los gimnastas de Transilvania.

TABLA 1 Gimnasta Viga de equilibrio Ejercicios de piso 1 8.8 7.9 2 9.4 8.3 3 9.2 8.5 4 7.5 8.7 5 8.7 8.1 6 9.1 8.6 Solución:

1, si el gimnasta i entra en ambos eventos. (i = 1, 2, 3, 4, 5,6) 0, si no es así.

1, si el gimnasta i entra solo en vigas de equilibrio. (i = 1, 2, 3, 4, 5,6) 0, si no es así.

1, si el gimnasta i entra solo en ejercicios de piso. (i =1, 2, 3, 4, 5,6) 0, si no es así.

Función objetivo:

Max z = 16.7 X1+17.7 X2+17.7 X3+16.2 X4+16.8 X5+17.7 X6 +8.8 Y1+9.4

Y2+9.2 Y3+7.5 Y4+8.7 Y5+9.1 Y6 +7.9 W1+8.3 W2+8.5 W3+8.7 W4+8.1 W5+8.6 W6

Sujeto a:

X1+ X2+ X3+ X4+ X5+ X6 = 3 (seleccionar a 3 personas que hagan ambos

eventos)

Y1+ Y2+ Y3+ Y4+ Y5+ Y6 =4 (se quiere un total de 4 personas que hagan el

mismo evento, en este caso el evento 1: vigas de equilibrio) Xi =

Yi =

(2)

W1+ W2+ W3+ W4+ W5+ W6 =4 (se quiere un total de 4 personas que hagan el

mismo evento, en este caso el evento 2: ejercicios de piso) Xi, Yi, Wi =0 ó 1 SETS: Cant/1..6/:X,Y,W,VIGA,EJRPISO,PUNTAJE; ENDSETS DATA: VIGA = 8.8 9.4 9.2 7.5 8.7 9.1 ; EJRPISO = 7.9 8.3 8.5 8.7 8.1 8.6; ALVEZ=3; POREVNTO=4; ENDDATA max=@SUM(cant(i):PUNTAJE*X(i))+@SUM(cant(i):VIGA*Y(i)) +@SUM(cant(i):EJRPISO*W); @FOR(cantidad(I): PUNTAJE(i)=VIGA(i)+EJRPISO(i); ); ! RESTRICCIONES; @SUM (cant(I):X(i))=ALVEZ; @SUM (cant(I):Y(i))=POREVNTO; @SUM (cant(I):W(i))=POREVNTO; ! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS; @FOR (cant(I):

@BIN(X);

@BIN(Y);

@BIN(W);

(3)

La solución nos dice que los gimnastas que entran solo en viga de equilibrio son el 1,2,3,6 ;los gimnastas que entran solo en ejercicio de piso son el 2,3,4,6 y los gimnastas que entran a ambos eventos son el 2,3,6 ;uno se da cuenta ya que el valor de cada una de estas variables es 1.

La calificación total máxima que obtienen los gimnastas de Transilvania es 123.70.

Problema 4 :

La decisión de una corte estableció que la matricula de cada escuela de bachillerato en Metrópolis debe tener por lo menos 20% de negros. El número de estudiantes de bachillerato, blancos y negros, en cada uno de los 5 distritos escolares de la ciudad se muestra en la tabla 1. La distancia en millas que un estudiante debe viajar a cada escuela de bachillerato en cada distrito, se proporciona en la tabla 2.La política escolar establece que todos los estudiantes en un distrito dado asistan a la misma escuela. Si se supone que cada escuela debe tener una matricula de por lo menos 150 estudiantes, formular el PE con el cual se pueda minimizar la distancia total que los estudiantes de Metrópolis tienen que recorrer hasta la escuela.

DISTRITO BLANCOS NEGROS

1 80 30 2 70 5 3 90 10 4 50 40 5 60 30 Tabla 1

DISTRITO ESCUELA 1 ESCUELA 2

1 1 2 2 0,5 1,7 3 0,8 0,8 4 1,3 0,4 5 1,5 0,6 Tabla 2

(4)

Sol: sea

Xij = distrito i, escuela de bachillerato j

Min z = X11 +2X12 + 0.5X21 + 1.7X22 + 0.8X31 +1.3X41 + 0.4X42 + 1.5X51 + 0.6X52

Sujeto a:

110X11 + 75X21 + 100X31 + 90X41 + 90X51 >= 150 (restricción alumnos por escuela) 110X12 + 75X22 + 100X32 + 90X42 + 90X52 >= 150 100*(30X11 + 5X21 + 10X31 + 40X41 + 30X51)/ (110X11 + 75X21 + 100X31 + 90X41 + 90X51)>=20 100*(30X12 + 5X22 + 10X32 + 40X42 + 30X52)/ (110X12 + 75X22 + 100X32 + 90X42 + 90X52)>=20 X11 + X12 <=1 X21 + X22 <=1 X31 + X32 <=1 X41 + X42 <=1 X51 + X52 <=1 Xij =0 ó 1 (i,j =1,2,3,4,5) PROBLEMA 6 :

Los datos del problema se pueden expresar de la siguiente manera:

(5)

Cal. (1) Inv. Op. (2) Estr. Dat. (3) Estadi . Adm. (4) Sim. Comp. (5) Intr. Prog. (6) Pred. Requ. (7) tota l matemáticas 1 1 1 1 0 0 1 2 Inv. operativa 0 1 0 1 1 0 1 2 computació n 0 0 1 0 1 1 0 2 Pre- requisito

Nin. Nin. (6) (1) (6) Nin. (4)

Se Utilizara el programa lingo para resolver el problema

!x= 1-->si se estudia el curso i (i=1..7) 0-->si no se estudia el curso i (i=1..7); !min = cantidad mínima de curso;

!pcurso =posibilidad de tomar un curso i (1..7) para la materia j (1..3); sets: cursos/1..7/:x; materias/1..3/:tot; matcur(materias,cursos):pcurso; endsets data: tot= 2 2 2; pcurso= 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0; enddata

min=@sum(cursos:x);

@for(materias(i):@sum(cursos(j):pcurso(i,j)*x(j))>=tot(i));

x(3)<=x(6); x(4)<=x(1); x(5)<=x(6); x(7)<=x(4);

@for(cursos:@bin(x););

(6)

MIN X( 1) + X( 2) + X( 3) + X( 4) + X( 5) + X( 6) + X( 7) SUBJECT TO 2] X( 1) + X( 2) + X( 3) + X( 4) + X( 7) >= 2 3] X( 2) + X( 4) + X( 5) + X( 7) >= 2 4] X( 3) + X( 5) + X( 6) >= 2 5] X( 3) - X( 6) <= 0 6]- X( 1) + X( 4) <= 0 7] X( 5) - X( 6) <= 0 8]- X( 4) + X( 7) <= 0 END INTE 7

La solución que me proporciona es la siguiente:

Interpretación

Los cursos que utilizaran para lograr la especialización son 4 y son los siguientes:

• Investigación operativa

• Estructura de datos

• Simulación por computadora

• Introducción a la programación

Por lo tanto significa que al llevar estos 4 cursos podré satisfacer los requerimientos para la especialización con la menor cantidad de cursos llevados

PROBLEMA Nª12:

Una compañía planea abrir unas bodegas en cuatro ciudades; Nueva York, Los Ángeles, Chicago y Atlanta. Desde cada bodega se pueden embarcar 100 unidades por semana. El costo fijo por semana por mantener en operación cada bodega es de 400 dólares para Nueva York, 500 dólares para Los Ángeles, 300 dólares para Chicago y 150 dólares para Atlanta. La región 1 del país requiere 80 unidades por semana, la región 2 demanda 70 unidades por semana y la región 3 necesita 40 unidades por semana. Los costos (sin olvidar los costos de producción y embarque) por enviar una unidad desde una planta desde una región se señala en la tabla 11. Se desea cumplir con las demandas

(7)

semanales a un costo mínimo, sujeto a la información precedente y a las restricciones siguientes:

1. Si se abre la bodega de Nueva York, entonces se debe abrir la bodega de Los Ángeles.

2. Es posible abrir a lo más dos bodegas.

3. Se tiene que abrir la bodega de Atlanta o la de Los Ángeles.

Formule un PE que se pueda usar para minimizar los costos semanales de cumplir con las demandas.

TABLA11 Hasta (dólares) Desde Región 1 Región 2 Región 3 Nueva York 20 40 50 Los Ángeles 48 15 26 Chicago 26 35 18 Atlanta 24 50 35 Formulación de la PE:

Xi { = 1 Si se abre la bodega i (i=0,1,2,3,4) = 0 En caso contrario.

Yj = Cantidad de unidades destinadas para la región j (j=1,2,3)

Yij = Cantidad de unidades trasladadas de la bodega i (i=1,2,3,4) hasta la región j (j=1,2,3)

PE :

Minz = 400X1 + 500X2 + 300X3 + 150X4 + 20Y11 + 40Y12 + 50Y13 +

48Y21 + 15Y22 + 26Y23 + 26Y31 + 35Y32 + 18Y33 + 24Y41 + 50Y42 + 31Y43

S.a:

Y11 + Y21 + Y31 + Y41 = Y1 Y12 + Y22 + Y32 + Y42 = Y2 Y13 + Y23 + Y33 + Y43 = Y3 Y11 + Y12 + Y13 <= 100 Y21 + Y22 + Y23 <= 100 Y31 + Y32 + Y33 <= 100 Y41 + Y42 + Y43 <= 100

X1 <= MY11 X2 <= MY21 X3 <= MY31 X4 <= MY41 X1 <= MY12 X2 <= MY22 X3 <= MY32 X4 <= MY42 X1 <= MY13 X2 <= MY23 X3 <= MY33 X4 <= MY43 Y1=>80

(8)

Y3=>40 X1 – X2 <= 0 X1 + X2 + X3 + X4 <= 2 X4 + X2 <= 1 X1,X2,X3=0 ó 1; Y1,Y2,Y3,Y11,Y12,Y13,Y21,Y22,Y23,Y31,Y32,Y33,Y41,Y42,Y43 = # enteros M = # muy grande P roblema 13

Glueco fabrica tres tipos de pegamento en dos líneas de producción distintas. Hasta 7 trabajadores usan a la vez cada línea. Cada trabajador recibe un pago de 500 dólares por semana en la línea de producción 1, y 900 dólares por semana en la línea de producción 2. Una semana de producción en la línea de producción 1 cuesta 1000 dólares para organizarla y 2000 en la línea de producción 2.

Durante una semana en una línea de producción cada trabajador elabora la cantidad de unidades de pegamentos indicada en la siguiente tabla::

Se tienen que elaborar a la semana, por lo menos, 120 unidades del pegamento 1, por lo menos 150 unidades del pegamento 2 y por lo menos 200 unidades del pegamento 3.

Formule un PE para minimizar el costo total por cumplir con las demandas semanales.

Solución:

Sea:

Línea de producción Pegamento

1 2 3

1 20 30 40

(9)

xi = número de trabajadores empleados en la línea i (i =1,2).

1 se usa la línea i, (i =1,2). yi =

0 si no es así

Entonces, la PE apropiada es:

F:O : min z = 1000y1 + 2000y2 + 500x1 + 900x2

s.a. 20x1 + 50x2  120 30x1 + 35x2  150 40x1 + 45x2  200 x1  7 y1 x2  7 y2 x1, x2  0; y1,y2 = 0 ó 1

(10)

Y La solución en LINDO sería:

CONCLUSIÓN:

Como se puede observar en el resultado se tendrá un costo de 4000 dólares para cumplir las demandas semanales, con 6 trabajadores trabajando en la línea número 1 solamente.

(11)

PROBLEMA 15

PROBLEMA 15:

En el hospital general Blair se ejecutan 6 tipos de operaciones quirúrgicas. Los tipos de operaciones que cada cirujano esta calificado para practicar (señalados como 1) se proporciona en la tabla. Suponga que el cirujano 1 y el cirujano 2 no simpatizan entre si, y no pueden estar en el mismo tiempo de servicio. Se necesita la cantidad mínima de cirujanos necesarios para que el hospital pueda desarrollar todo tipo de operaciones.

CIRUJANO OPERACIÓN 1 2 3 4 5 6 1 x x x 2 x x x 3 x x 4 x x 5 x 6 x x SOLUCION: SOLUCION:

Si consideramos a cada X como 1 y cada espacio vacío como 0:

CIRUJANO OPERACIÓN 1 2 3 4 5 6 1 1 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 1 1 3 0 0 1 0 1 0 4 1 0 0 0 0 1 5 0 1 0 0 0 0 6 0 0 0 1 1 0

Definimos las variables a utilizar:

Xi = 1 Si el cirujano i realiza alguna operación. (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)

0 en caso contrario.

El PE apropiado para este problema es:

(12)

MIN Z= X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6; S.A:

C i r u j a n o s q u e e s t a n d i s p o n i b l e s p a r a

r e a l i z a r c a d a u n a d e l a s 6 o p e r a c i o n e s

s e g ú n l a t a b l a .

X1 + X4 >= 1 X1 + X5 >= 1 X2 + X3 >= 1 X1 + X6 >= 1 X2 + X3 + X6 >= 1 X2 + X4 + X5 >= 1

X1 + X2 <= 1 (el cirujano 1 y 2 no simpatizan entre si) Xi >= 0 (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6);

PROGRAMACIÓN EN LINGO

PROGRAMACIÓN EN LINGO:

VARIABLES UTILIZADAS:

DISPONIBILIDAD = Operaciones que pueden realizar los cirujanos

SETS: CIRUJANO/1..6/:X; OPERACION/1..6/; COMBINACION(CIRUJANO,OPERACIÓN):DISPONIBILIDAD; ENDSETS DATA: DISPONIBILIDAD=1,1,0,1,0,0, 0,0,1,0,1,1, 0,0,1,0,1,0, 1,0,0,0,0,1, 0,1,0,0,0,0, 0,0,0,1,1,0; ENDDATA ! FUNCION OBJETIVO;

MIN=@SUM(CIRUJANO:X);

! RESTRICCIONES;

! CIRUJANOS DISPONIBLES;

@FOR(OPERACION(J):@SUM(CIRUJANO(I):DISPONIBILIDAD(I,J)*X(I))>=1);

! CIRUJANO 1 Y 2 NO SIMPATIZAN ENTRE SI;

X(1)+X(2)<=1;

! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS;

@FOR(CIRUJANO:@BIN(X));

(13)

LA SOLUCIÓN DEL PROGRAMA CON LINGO ES:

RESPUESTA:

Como se nota en la solución con LINGO, la cantidad mínima de cirujanos para que se puedan realizar las 6 operaciones es 3. Los cirujanos que pueden realizar las operaciones son 1, 3 y 4.

PROBLEMA 16 : Cárdenas Rondoño, Bryan 04170102

Eastinghouse embarca 12 000 capacitores por mes para sus clientes. Se podrían producir los capacitares en plantas distintas. La capacidad de producción, costos fijos mensuales y costos variables por la producción de un capacitor en cada planta se proporcionan en la tabla 96. el costo fijo en una planta se contrae sólo si la planta se usa para hacer capacitares. Desarrolle un modelo de programación con enteros cuya solución le indique a eastinghouse cómo minimizar sus costos mensuales por cumplir con la demanda de sus clientes.

Tabla 96

Planta Costos fijos (en miles de dólares) Costos variables (dólares) Capacidad de producción 1 80 20 6000 2 40 25 7000 3 30 30 6000 SOLUCIÓN

El programa en Lingo es:

!DESCRIPCIÓN DE LAS VARIABLES UTILIZADAS; !X = Cantidad de capacitores producidos por fabrica;

!Y = Si se produce i(cada planta) entonces 1, caso contrario 0; !CAP = capacidad de producción de cada planta;

!CF = costos fijos de cada planta en dólares; !CV = costos variables de cada planta en dólares; !DEM = demanda total de los clientes;

SETS: PLANT/1..3/:X,Y,CAP,CF,CV; DEMAND/TOTAL/:DEM; ENDSETS DATA: CAP = 6000 7000 6000; CF = 80000 40000 30000;

(14)

CV = 20 25 30; DEM = 12000;

ENDDATA

MIN=@SUM(PLANT:CF*Y+CV*X);

@FOR(PLANT:@BIN(Y););

@FOR(PLANT:X<=CAP);

@FOR(DEMAND:@SUM(PLANT:X)>=DEM);

@FOR(PLANT:X<=(12000*Y));

La solución del Lingo es:

Global optimal solution found at step: 14 Objective value: 390000.0 Branch count: 0

Variable Value Reduced Cost X( 1) 6000.000 0.0000000 X( 2) 6000.000 0.0000000 X( 3) 0.0000000 5.000000 Y( 1) 1.000000 80000.00 Y( 2) 1.000000 40000.00 Y( 3) 0.0000000 30000.00 CAP( 1) 6000.000 0.0000000 CAP( 2) 7000.000 0.0000000 CAP( 3) 6000.000 0.0000000 CF( 1) 80000.00 0.0000000 CF( 2) 40000.00 0.0000000 CF( 3) 30000.00 0.0000000 CV( 1) 20.00000 0.0000000 CV( 2) 25.00000 0.0000000 CV( 3) 30.00000 0.0000000 DEM( TOTAL) 12000.00 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 390000.0 1.000000 2 0.0000000 5.000000 3 1000.000 0.0000000 4 6000.000 0.0000000 5 0.0000000 -25.00000 6 6000.000 0.0000000 7 6000.000 0.0000000 8 0.0000000 0.0000000

(15)

Problema16: García Paz María 03170054

Eastinghouse embarca 12 000 capacitores por mes para sus clientes. Se podrían producir los capacitores en tres plantas distintas. La capacidad de producción, costos fijos mensuales de operación y costos variables por la producción de un capacitor en cada planta se proporciona en la tabla. El costo fijo en una planta se contrae solo si la planta se usa para hacer capacitores. Desarrolle un modelo de programación con enteros cuya solución le indique a Eastinghouse como minimizar sus costos mensuales por cumplir con la demanda de sus clientes.

Planta Costos fijos (en miles de dólares) Costos variables (dólares) Capacidad de producción 1 2 3 80 40 30 20 25 30 6 000 7 000 6 000 Solución:

Podemos observa por el enunciado que se trata de un problema al que se denomina

“problema de cargo fijo”.

Definimos las variables a utilizar:

Xi = Numero de capacitores producidos en la planta i. (i = 1, 2,3) 1, si se produce en la planta i. (i =1, 2,3)

0, si no es así.

M = Cantidad muy grande, que puede ser de un millón.

Entonces, el PE apropiado es:

FUNCIÓN OBJETIVO:

MIN Z= 20 X1 + 25 X2 + 30 X3 + 80 Y1 + 40 Y2 + 30 Y3;

S.A.:

X1 + X2 + X3 = 12 000; (Se embarca 12 000 capacitores al mes) X1 <= 6 000 (Capacidad de producción en la planta 1 de 6 000)

X2 <= 7 000 (Capacidad de producción en la planta 2 de 7 000)

X3 <= 6 000 (Capacidad de producción en la planta 3 de 6 000)

X1 <= M Y1

X2 <= M Y2

X3 <= M Y3 Yi =

(16)

Xi >= 0 (i = 1, 2,3); Yi =0 ó 1 Programación en Lingo:

VARIABLES UTILIZADAS:

• COSTO = Costo variables (dólares) sujeto a la cantidad de producción que se

produzca.

• COSTOADIC = Costos fijo (dólares) adicional por utilizar las instalaciones de

alguna planta.

• CAP= Capacidad de cada planta. • M = valor muy grande

• REQUERIMIENTO = cantidad de capacitares embarcados al mes

SETS:

PLANTA/1..3/: COSTO, COSTOADIC, X, Y, CAP;

ENDSETS DATA: COSTO = 20 25 30; COSTOADIC = 80 40 30; CAP= 6000 7000 6000; M=1000000; REQUERIMIENTO=12000; ENDDATA ! FUNCION OBJETIVO:

MIN=@SUM(PLANTA(I):COSTO(I)*X(I))+ @SUM(PLANTA(I):COSTOADIC(I)*Y(I));

! RESTRICCIONES:

! RESTRICCION DE REQUERIMIENTO;

@SUM(PLANTA(I):X(I))=REQUERIMIENTO;

! RESTRICCION DE LA MAXIMA CAPACIDAD DE CADA PLANTA;

@FOR(PLANTA(I):X(I)<=CAP(I));

@FOR(PLANTA(I):X(I)<=M*Y(I));

@FOR(PLANTA(I):@BIN(Y));

END

Respuesta:

Como se nota en la solución con LINGO, para poder cumplir la demanda de los clientes y a su vez minimizar los costos se deben producir en las plantas 1 y 2 con una cantidad de 6 000 capacitores en cada planta, de esta forma el costo de producir capacitores en estas plantas será de 270 120 dólares.

(17)

Problema 17

Un producto se puede fabricar en cuatro maquinas distintas. Cada maquina tiene un costo fijo de preparación, costos variables de producción por unidad procesada y una capacidad de producción que se proporciona en la tabla 15. Se tiene que fabricar un total de 2000 unidades del producto. Plantee un PE cuya solución indique como minimizar los costos totales.

1 1000 20 900

2 920 24 1000

3 800 16 1200

4 700 28 1600

Solución:

X i = Cantidad de producto fabricado en la maquina i.

(i = 1,2,3,4.)

1, si el producto se fabrica en la maquina i. (i =1, 2, 3, 4.) 0, si no es así.

Función objetivo es:

MIN Z = 20 X1 + 24 X2 + 16 X3 + 28 X4 + 1000 Y1 + 920 Y2 + 800 Y3 + 700 Y4

Sujeto a:

X1 + X2 + X3 + X4 = 2000 (Total de producción requerida)

X1 - 2000 Y1 <= 0 (Si produce en maquina 1, se considera CF 1) X2 - 2000 Y2 <= 0 (Si produce en maquina 2, se considera CF 2) X3 - 2000 Y3 <= 0 (Si produce en maquina 3, se considera CF 3) X4 - 2000 Y4 <= 0 (Si produce en maquina 4, se considera CF 4)

TABLA

MAQUINA COSTO FIJO ($)

COSTO VARIABLE POR UNIDAD ($)

CAPACIDAD

(18)

X1 <= 900 (Capacidad de la maquina 1) X2 <= 1000 (Capacidad de la maquina 2) X3 <= 1200 (Capacidad de la maquina 3) X4 <= 1600 (Capacidad de la maquina 4) X i, Yi =0 ó 1 ( i =1, 2, 3, 4. ) En Lindo MIN 20 X1 + 24 X2 + 16 X3 + 28 X4 + 1000 Y1 + 920 Y2 + 800 Y3 + 700 Y4 SUBJECT TO X1 + X2 + X3 + X4 = 2000 X1 - 2000 Y1 <= 0 X2 - 2000 Y2 <= 0 X3 - 2000 Y3 <= 0 X4 - 2000 Y4 <= 0 X1 <= 900 X2 <= 1000 X3 <= 1200 X4 <= 1600 END GIN X1 GIN X2 GIN X3 GIN X4 INTE Y1 INTE Y2 INTE Y3 INTE Y4

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 37000.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 800.000000 20.000000 X2 0.000000 24.000000 X3 1200.000000 16.000000 X4 0.000000 28.000000 Y1 1.000000 1000.000000 Y2 0.000000 920.000000

(19)

Y3 1.000000 800.000000 Y4 0.000000 700.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 1200.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 800.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 100.000000 0.000000 8) 1000.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 1600.000000 0.000000 NO. ITERATIONS = 26 En conclusión:

El productor para minimizar sus costos totales deberá producir 800 productos en la maquina 1 y 1200 productos en la maquina 3, de esta manera incurrirá en menos costos fijos y variables. Con esto la empresa incurrirá en un costo total

de 37 000 dólares.

PROBLEMA 18

Monsanto produce anualmente 359 millones de libras de anhídrido maleico. Dispone De un total de cuatro reactores para elaborar este producto. Cada reactor tiene la aptitud de funcionar en uno de tres regimenes. El costo (en miles de dólares) y libras

producidas 8en millones) anuales para cada reactor y cada régimen se proporcionan en la séte tabla. Un reactor solo puede funcionar a un régimen el año completo. Prepare un P.E cuya solución indique a Monsanto el método de costo mínimo para cumplir con su demanda anual de anhídrido maleico.

MODEL: SETS: REACTOR/RX1 RX2 RX3 RX4/:P; REGIMEN/RM1 RM2 RM3/; FUNC(REACTOR,REGIMEN):X,COSTO,LIBRAS; ¡DEFINICION DE ATRIBUTOS:;

¡P:RESTRICCION DE QUE UN REACTOR SOLO PUEDE TRABAJAR A UN REGIMEN EN UN AÑO;

¡COSTO:EN MILES DE DOLARES;

¡LIBRAS:CANTIDAD DE LIBRAS PRODUCIDAS EN EL REACTOR;

ENDSETS DATA:

(20)

65 90 120 70 90 110 40 60 70; LIBRAS = 80 140 170 100 140 215 112 153 195 65 105 130; ENDDATA

@FOR(REACTOR(J):@SUM(REGIMEN(I):X(I,J))<=P(I));

@FOR(REGIMEN(I):@BIN(P(I));

@FOR(FUNC(I,J):@SUM(FUNC:COSTO*X(I,J))=359);

MAX=@SUM(FUNC:LIBRAS(I,J)*X(I,J));

END

El reactor 2 y el reactor 4 serán los que trabajen con el régimen 3 durante todo el año

Problema 20

Gasahol, Inc. Tiene 14 000 galones de una mezcla de gasolina y alcohol almacenada en su

instalación de Fresno y 16 000 galones almacenados en su instalación de Bakersfield. Desde estas instalaciones, Gasahol debe proveer a Fresh Food Farms (FFF) 10 000 galones y a American Growers (AG) 20 000 galones. El costo de embarcar un galón desde cada instalación de almacenado a cada cliente es:

Formule un modelo de programación lineal para determinar el plan de embarque de costo mínimo que satisfaga las restricciones de provisión y demanda.

(21)

Variables de Decisión:

FRFFF: Cantidad de galones para proveer de Fresno a Fresh Food Farms. FRAG: Cantidad de galones para proveer de Fresno a American Growers. BKFFF: Cantidad de galones para proveer de Bakersfield a Fresh Food Farms. BKAG: Cantidad de galones para proveer de Bakersfield a American Growers. Restricciones de no negatividad: FRFFF, FRAG, BKFFF y BKAG >= 0 Restricciones de Disponibilidad: FRFFF + BKFFF >= 10000 FRAG + BKAG >= 20000 FRFFF + FRAG <= 14000 BKFFF + BKAG <= 16000 Función Objetivo:

Min = ( FRFFF * 0.04 ) + ( FRAG * 0.06 ) + ( BKFFF *0.05 ) + ( BKAG * 0.03)

Mediante Lindo:

MIN 0.04 FRFFF + 0.06 FRAG + 0.05 BKFFF + 0.03BKAG

SUBJECT TO FRFFF + BKFFF >= 10000 FRAG + BKAG >= 20000 FRFFF + FRAG <= 14000 BKFFF + BKAG <= 16000 END

Respuesta en Lindo luego de compilar y ejecutar: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE

(22)

1) 1120.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST FRFFF 10000.000000 0.000000 FRAG 4000.000000 0.000000 BKFFF 0.000000 0.040000 BKAG 16000.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -0.040000 3) 0.000000 -0.060000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.030000 NO. ITERATIONS= 1 PROBLEMA 21

Gotham City fue divida en 8 distritos. El tiempo en minutos que tarda una ambulancia en llegar de un distrito a otro se muestra en la tabla. La población de cada distrito en miles es como se indica:

Distrito 1 2 3 4 5 6 7 8

Población 40 30 35 20 15 50 45 60

La ciudad solo tiene 2 ambulancias y desea ubicarlas en tales lugares que se maximice el numero de personas que viven a dos minutos de una ambulancia.

DISTRITO DISTRITO 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 3 4 6 8 9 8 10 2 3 0 5 4 8 6 12 9 3 4 5 0 2 2 3 5 7 4 6 4 2 0 3 2 5 4 5 8 8 2 3 0 2 2 4 6 9 6 3 2 2 0 3 2 7 8 12 5 5 2 3 0 2

(23)

8 10 9 7 4 4 2 2 0 SOLUCION:

Definimos las Variables de Decisión:

Xi = 1 si el distrito i cuenta con ambulancia

0 en caso contrario Yi = 1 si el distrito i es atendido

0 en caso contrario Donde i = 1,2,3,4,5,6,7,8

Si se quiere atender a las personas que viven a dos minutos o menos de una de las ambulancias entonces en la siguiente tabla el valor 1 significa si la ambulancia del distrito i atiende en 2 o menos minutos al distrito j , y 0 en caso contrario. La ambulancia de un distrito atiende a su propio distrito en 0 min.

DISTRI TO DISTRITO 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 1 1 1 0 0 0 4 0 0 1 1 0 1 0 0 5 0 0 1 0 1 1 1 0 6 0 0 0 1 1 1 0 1 7 0 0 0 0 1 0 1 1 8 0 0 0 0 0 1 1 1

o La tabla anterior va a estar representada por el parámetro tviajeij

Definimos la siguiente FUNCION OBJETIVO:

MAX Z= 40 Y( 1) + 30 Y( 2) + 35 Y( 3) + 20 Y( 4) + 15 Y( 5) + 50 Y( 6)+ 45 Y( 7) + 60 Y( 8)

RESTRICCIONES:

o RESTRICCION 1: La ciudad solo tiene dos ambulancias.

X( 1) + X( 2) + X( 3) + X( 4) + X( 5) + X( 6) + X( 7) + X( 8) = 2

o RESTRICCION 2: En cada una de las siguientes ecuaciones se muestra cuales son los distritos Xi que pueden atender a un distrito Yj . Por ejemplo en la

(24)

tercera ecuación si por lo menos uno de los distritos 3, 4 ,5 posee una ambulancia entonces Y(3) podria ser 0 o 1 (1 >=Y(3)) y como Y(3) esta en la función objetivo y esta es de maximización el valor de Y(3) seria 1, es decir que la ciudad si es atendida. X( 1) - Y( 1) >= 0 X( 2) - Y( 2) >= 0 X( 3) - Y( 3) + X( 4) + X( 5) >= 0 X( 3) + X( 4) - Y( 4) + X( 6) >= 0 X( 3) + X( 5) - Y( 5) + X( 6) + X( 7) >= 0 X( 4) + X( 5) + X( 6) - Y( 6) + X( 8) >= 0 X( 5) + X( 7) - Y( 7) + X( 8) >= 0 X( 6) + X( 7) + X( 8) - Y( 8) >= 0 FORMULACION EN LINGO:

!x= 1-->si el distrito cuenta con la ambulancia 0-->si el distrito no cuenta con la ambulancia ; !y= 1-->si el distrito es atendido

0-->si el distrito no es atendido;

!pob= cantidad de pobladores de un distrito;

!tviaje=posibilidad de viaje segun el tiempo que requiera de un distrito a otro; sets: distrito/1..8/:pob,x,y; distime(distrito,distrito):tviaje; endsets data: tviaje=1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1; pob=40,30,35,20,15,50,45,60; enddata max=@sum(distrito(i):pob(i)*y(i));

(25)

!RESTRICCION 1; @sum(distrito:x)=2; !RESTRICCION 2;

@for(distrito(j):@sum(distrito(i):tviaje(i,j)*x(i))>=@sum(distrito(j): y(j)));

! X e Y SON VARIABLES BINARIAS; @for(distrito:@bin(x););

@for(distrito:@bin(y);); end

SOLUCION EN LINGO:

El máximo número de personas atendidas es 225. Para que esto ocurra los distritos con ambulancia deben ser el 3 y 8. Se va a dejar de atender a los distritos 1 y 2.

ROBLEMA 22

Una compañía debe terminar tres trabajos. El tiempo de proceso ( en minutos) requerido se muestra en la tabla. Un trabajo no se pueda procesar en la maquina j a menos que para toda i<j el trabajo ha completado su proceso en la maquina i. Una vez que un trabajo empieza su proceso en la maquina j, dicho trabajo debe continuar en la maquina j . El tiempo de flujo para un trabajo es la diferencia entre su tiempo de terminación y el tiempo en el cual el trabajo empieza su primera etapa de proceso. Planteé un PE cuya solución se pueda usar para minimizar el tiempo de flujo promedio de los tres trabajos.

Maquina Trabajo 1 2 3 4 1 20 - 25 30 SETS: TRABAJO/1..3/:; MAQUINA/1..4/:; MATRIZ(TRABAJO,MAQUINA):T,X,Y; ENDSETS DATA: T=20 0 25 30 15 20 0 18 0 35 28 0;

!M, mayor valor posible para quer no afecte a las restricciones M=1000; ENDDATA

MIN=@SUM(MATRIZ(I,J):X(I,J));

!tiempo para trabajar c/u de los 3 trabajos >= tiempo establecido para optimizar la produccion por ejemplo:

X(1,1)<=MY(1,1)

20-X(1,1)<=M*(1-Y(1,1);

@FOR(TRABAJO(I):@FOR(MAQUINA(J):X(I,J)<=M*Y(I,J)));

@FOR(TRABAJO(I):@FOR(MAQUINA(J):T(I,J)-X(I,J)<=M*(1-Y(I,J)))); !cada maquina debe realizar solo un trabajo completo

@FOR(MAQUINA(J):@SUMA(TRABAJO(I):Y(I,J)=1); !el producto1 solo requiere 3 procesos;

Y(1,1)+Y(2,1)+Y(1,3)+Y(1,4)=3; !el producto2 solo requiere 3 procesos; Y(2,1)+Y(2,1)+Y(2,3)+Y(2,4)=3; !el producto3 solo requiere 2 procesos; Y(3,1)+Y(3,1)+Y(3,3)+Y(3,4)=2; !Y es la variable binaria;

(26)

Problema 26:

El gobernador Blue del estado de Berry pretende conseguir la legislatura del estado para dividir injusta y arbitrariamente los distritos electorales de de Berry. El estado consiste en 10 ciudades y el número de republicanos y demócratas (en miles) en cada ciudad es el que se presenta en la tabla. Berry tiene cinco representantes electorales. Para formar los distritos electorales; las ciudades se tienen que agrupar según las restricciones siguientes.

1.- Todos los electores en un a ciudad deben estar en el mismo distrito.

2.- cada distrito debe tener entre 150000 y 250000 electores (no hay electores independientes).

El gobernador Blue es demócrata. Suponga que cada votante siempre vota por todos los candidatos de un partido. Formule un PE que para ayudar al gobernador Blue a maximizar el número de demócratas que ganaran curules en el congreso.

Tabla

Ciudad Republicanos Demócratas

1 80 34 2 60 44 3 40 44 4 20 24 5 40 114 6 40 64 7 70 14 8 50 11 9 70 54 10 70 64 Solución:

Xi = 1: si ganan los demócratas en el distrito i

0: caso contrario

Yij =cantidad de votantes del tipo j (1=Demócratas, 2= Republicanos)

(27)

0 caso contrario Max Z = X1 + X2+ X3+ X4 + X5 Y11 + Y12 ≥ 150000 Y21 + Y22 ≥ 150000 Y31 + Y32 ≥ 150000 Y41 + Y42 ≥ 150000 Y51 + Y52 ≥ 150000 Y11 + Y12 ≥ 250000 Y21 + Y22 ≥ 250000 Y31 + Y32 ≥ 250000 Y41 + Y42 ≥ 250000 Y51 + Y52 ≥ 250000 Y12 = 80 W11 + 60 W12 + 40 W13 + 20 W14 + 40 W15+40 W16+70 W17 +50 W18 +70 W19+70 W1 10 Y22 = 80 W21 + 60 W22 + 40 W23 + 20 W24 + 40 W25+40 W26+70 W27 +50 W28 +70 W29+70 W2 10 Y32 = 80 W31 + 60 W32 + 40 W33 + 20 W34 + 40 W35+40 W36+70 W37 +50 W38 +70 W39+70 W3 10 Y42 = 80 W41 + 60 W42 + 40 W43 + 20 W44 + 40 W45+40 W46+70 W47 +50 W48 +70 W49+70 W4 10 Y52 = 80 W51 + 60 W52 + 40 W53 + 20 W54 + 40 W55+40 W56+70 W57 +50 W58 +70 W59+70 W5 10 Y11 = 34 W11 + 44 W12 + 44 W13 + 24 W14 + 114 W15+64 W16+14 W17 +44 W18 +54 W19+64 W1 10 Y21 = 34 W21 + 44 W22 + 44 W23 + 24 W24 + 114 W25+64 W26+14 W27 +44 W28 +54 W29+64 W2 10 Y31 = 34 W31 + 44 W32 + 44 W33 + 24 W34 + 114 W35+64 W36+14 W37 +44 W38 +54 W39+64 W3 10 Y41= 34 W41 + 44 W42 + 44 W43 + 24 W44 + 114 W45+64 W46+14 W47 +44 W48 +54 W49+64 W4 10 Y51 = 34 W51 + 44 W52 + 44 W53 + 24 W54 + 114 W55+64 W56+14 W57 +44 W58 +54 W59+64 W5 10 W11 + W21+ W31 + W41 + W51 = 1 W12+ W22+ W32 + W42 + W52 = 1 W13+ W23+ W33+ W43 + W53= 1 W14+ W24+ W34 + W44 + W54 = 1 W15+ W25+ W35+ W45+ W55 = 1 W16+ W26+ W36 + W46 + W56 = 1 W17+ W27+ W37 + W47 + W57 = 1 W18+ W28+ W38 + W48 + W58 = 1 W19+ W29+ W39 + W49 + W59 = 1 W1 10 + W2 10 + W3 10 + W4 10 + W5 10 = 1 Y11 - Y12 = a11 – a12 Y21 - Y22 = a21 – a22 Y31 - Y32 = a31 – a32 Y41 - Y42 = a41 – a42 Y51 - Y52 = a51 – a52 a11 ≥ X1 a21 ≥ X2 a31 ≥ X3

(28)

a41 ≥ X4

a51 ≥ X5

PROBLEMA 26

Houseco Developers planean construir tres edificios de oficinas. El tiempo requerido para terminar cada uno de ellos y la cantidad de trabajadores necesarios para ejecutar la obra en todos los tiempos se proporcionan en la tabla 106. Una vez que se termina un edificio se renta por la siguiente cantidad anual: edificio 1, 50 000 dólares; edificio 2, 30 000 dólares; edificio 3, 40 000 dólares. Houseco afronta las restricciones siguientes:

a Durante cada año se dispone de 60 trabajadores.

b Se puede iniciar cuando mucho un edificio durante cualquier año. c El edificio 2 se debe terminar al final del año 4.

Formule un PE que maximice la renta total que gana Houseco al final del año 4.

Tabla 106

Edificio Duración del proyecto (años) Numero de trabajadores necesarios 1 2 30 2 2 20 3 3 20 SOLUCION VARIABLES: i=1, 2, 3; j=1, 2, 3

X(i,j)= 1 si el edificio i se empieza a construir en el año j 0 en caso contrario

AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 AÑO 4 |________|________|________|________| X11 X12

X23 X31 X32

(29)

MAX Z = 50(4-2) X11 + 50(4-3) X12 + 40(4-3) X31

RESTRICCIONES:

X11 + X31<=1 (restricción del año 1) X23 =1 (restricción del año 2) X13 + X33<=1 (restricción del año 3) X11 + X13<=1 (restricción del edificio 1) X31 + X33<=1 (restricción del edificio 3)

30 X13 + 20 X31<=60 (restricción mano de obra en el año 1) (30X11 + 20 X31)+20 X23<=60 (restricción mano de obra en el año 2)

(30X11 + 20 X31 + 20 X23)+30 X13 + 20 X33<=60 (restricción mano de obra en el año 3) FORMULACIÓN EN LINGO: SETS: EDIFICIO /1..3/:NUMTRAB,INGRESO; YEAR/1..3/; EDIFYEAR(EDIFICIO,YEAR):X; ENDSETS DATA: NUMTRAB= 30 20 20; INGRESO= 50 30 40; ENDDATA MAX= 100*X(1,1)+50*X(1,2)+40*X(3,1);

@FOR(YEAR(J):@SUM(EDIFICIO(I):X(I,J))<=1);

@FOR(EDIFICIO(I):@SUM(YEAR(J):X(I,J))<=1);

X(2,3)=1;

@SUM(EDIFICIO(I):NUMTRAB*X(I,1))<=60;

@SUM(EDIFICIO(I):NUMTRAB*X(I,1)+NUMTRAB*X(I,2))<=60;

@SUM(EDIFICIO(I):NUMTRAB*X(I,1)+NUMTRAB*X(I,2)+NUMTRAB*X(I,3))<=60;

@FOR(EDIFYEAR:@BIN(X));

El máximo ingreso por la renta total de Houseco es 100 mil dólares. El edificio 1 se construye en el año 1, el edificio 2 en el año 3 para que este listo a finales del año 4 y el edificio 3 se empezara a construir recién en el año 4 debido a la restricción de la mano de obra.

Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 100.0000

Variable Value Reduced Cost NUMTRAB( 1) 30.00000 0.000000 NUMTRAB( 2) 20.00000 0.000000 NUMTRAB( 3) 20.00000 0.000000 INGRESO( 1) 50.00000 0.000000 INGRESO( 2) 30.00000 0.000000 INGRESO( 3) 40.00000 0.000000

(30)

X( 1, 1) 1.000000 -100.0000 X( 1, 2) 0.000000 -50.00000 X( 1, 3) 0.000000 0.000000 X( 2, 1) 0.000000 0.000000 X( 2, 2) 0.000000 0.000000 X( 2, 3) 1.000000 0.000000 X( 3, 1) 0.000000 -40.00000 X( 3, 2) 0.000000 0.000000 X( 3, 3) 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 100.0000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 1.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 1.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 30.00000 0.000000 10 30.00000 0.000000 11 10.00000 0.000000 Problema 27:

Hay cuatro camiones disponibles para entregar leche a cinco tiendas. La capacidad y los costos de operación diarios de cada camión se muestran en la tabla 107, la demanda de cada tienda puede ser surtida por sólo un camión, pero un camión podría entregar a más de una tienda. La demanda diaria de cada tienda es como se indica: tienda 1, 100 galones; tienda 2, 200 galones; tienda3, 300 galones; tienda 4, 500 galones; tienda 5, 800 galones. Formule un PE con el que se pueda minimizar el costo diario de cumplir con la demanda.

camión capacidad

(galones) costos de operación diarios(dólares)

1 400 45 2 500 50 3 600 55 4 1100 60 Solución 1, si se usa el camión i. (i =1, 2, 3, 4) 0, si no es así. yi =

(31)

1, si se usa el camión i para repartir a la tienda j (j=1, 2, 3, 4, 5) x ij=

0, si no es así.

El PE sería:

min z= 45y1+50y2+55y3+60y4

s.a

100x11+200x12+300x13+500x14+800x15<=400y1 (restricción de la capacidad)

100x21+200x22+300x23+500x24+800x25<=500y2

100x31+200x32+300x33+500x34+800x35<=600y3

100x41+200x42+300x43+500x44+800x45<=1100y4

x11 + x21 + x31 + x41=1 (la demanda de cada tienda no puede ser surtida

por más de un camión) x12 + x22 + x32 + x42=1

x13 + x23 + x33 + x43=1

x14 + x24 + x34 + x44=1

x15 + x25 + x35 + x45=1

todas las variables son 0 o 1

EN LINGO EL PROGRAMA SERÍA:

SETS: CAMION/1..4/:CAP,COST,Y; TIENDA/1..5/:DEM; REPARTO(CAMION, TIENDA):X; ENDSETS DATA: CAP=400 500 600 1100; COST = 45 50 55 60; DEM= 100 200 300 500 800; ENDDATA

(32)

MIN=@SUM(CAMION(I):COST(I)*Y(I)); @FOR(CAMION(I): @SUM(TIENDA(J):X(I,J)*DEM(J))<=CAP(I)*Y(I); ); @FOR(TIENDA(I): @SUM(REPARTO(J,I):X(J,I))=1; ); @FOR(CAMION(I): @BIN(Y); ); @FOR(REPARTO(I,J): @BIN(X(I,J)); );

El mínimo costo en que se incurriría para cumplir con la demanda y ajustándose a las restricciones es de 155 dólares.

Problema 28

El estado de Texas efectúa con frecuencia auditorias a compañías que tienen negocios en Texas. Las oficinas centrales de estas compañías están ubicadas a menudo fuera del estado de modo que los auditores tienen que viajar a lugares fuera del estado. Los auditores tienen que hacer al año 500 viajes a ciudades en el noroeste, 400 viajes a ciudades en el oeste medio, 300 viajes a ciudades en el oeste y 400 viajes a ciudades en el sur. Texas está proyectando ubicar a sus auditores en Chicago, Nueva York, Atlanta y Los Ángeles. El costo anual por ubicar auditores en cualquier ciudad es 100 000. El costo por enviar un auditor desde cualquiera de estas ciudades a una región dada del país, se muestra en la tabla 108.

Costo del auditor (dólares)

Noreste _medioOeste Oeste Sur

Nueva York 1 100 1 400 1 900 1 400

Chicago 1 200 1 000 1 500 1 200

Los Ángeles 1 900 1 700 1 100 1 400

Atlanta 1 300 1 400 1 500 1 050

Plantee un PE cuya solución minimice el costo anual que se genera por enviar a los auditores fuera del estado.

(33)

(34)

(35)

El estado de Texas efectúa con frecuencia auditorias a compañías que tienen negocios en Texas. Las oficinas centrales de estas compañías están ubicadas a menudo fuera del estado, de modo que los auditores tienen que viajar a lugares fuera del estado. Los auditores tienen que hacer al año 500 viajes a ciudades en el noreste, 400 viajes a ciudades en el oeste medio, 300 viajes a ciudades en el oeste y 400 viajes a ciudades en el sur. Texas esta proyectando ubicar a sus auditores en Chicago, Nueva York, Atlanta y Los Ángeles.

El costo anual por ubicar auditores en cualquier ciudad es 100 000. El costo por enviar un auditor desde cualquiera de estas ciudades a una región dada del país, se muestra en la siguiente tabla.

CIUDAD

COSTO DE AUDITOR (miles dólares) NORESTE OESTE MEDIO OESTE SUR Nueva York 1 100 1 400 1 900 1 400 Atlanta 1 200 1 000 1 500 1 200 Chicago 1 900 1 700 1 100 1 400 Los Ángeles 1 300 1 400 1 500 1 050 Solución:

Xij = Cantidad de viajes de los auditores de la ciudad i ( i = 1: NY,2:A, 3:C, 4:LA) hacia

una región j ( j = 1: NO, 2:OM , 3: O, 4: S)

1, si el auditor es asignado a la ciudad i ( i = 1: NY, 2:A, 3:C, 4:LA)

0, si no es así.

Función objetivo es:

Min z = COSTO X ASIGNAR AUDITORES + COSTO X VIAJE DE AUDITORES

Costo x viajes de auditores :

1 100 * X11+ 1 400 * X12 +1 900 * X13 + 1 400 * X14 + 1 200 * X12 +1000 *X22 + 1 500

* X23 + 1 200 * X24 + 1 900 * X31+ 1 700 * X32 + 1 100 * X33 + 1 400 * X34 + 1 300 * X41

+ 1 400 * X42 + 1 500 * X43 + 1 050 * X44

Costo x asignar auditores :

(36)

100 000Y1 + 100 000 Y2 + 100 000Y3 +100 000 Y4 Restricciones :

Restricción de cantidad de viajes:

Noreste: X11+ X21 + X31 + X41 >= 500 Oeste Medio: X12+ X22 + X32 + X42 >= 400 Oeste: X13+ X23+ X33 + X43 >= 300 Sur: X13+ X23+ X33 + X44 >= 400

Restricción de asignación de auditores:

M= un numero muy grande

El auditor 1 puede ir a una región que pueden ser (j=1, 2, 3, 4) X11+ X12 + X13 + X14 <= M * Y1

El auditor 2 puede ir a una región que pueden ser (j=1, 2, 3, 4) X21 + X22 + X23 +X24 <= M * Y2

Yi = 0 ó 1 (i = 1:A, 2:B, 3:C, 4:D) , (j = 1, 2, 3, 4) Xi,j >= 0 (i = 1:A, 2:B, 3:C, 4:D) , (j = 1, 2, 3, 4)

(37)

El programa del Lingo es:

!COSTOS EN DOLARES; !M=VALOR MUY GRANDE;

!Y =1 O 0 (1 = SI SE ASIGNA AUDITOR EN LA CIUDAD Y 0 = SI NO LO ES A SI);

!CANT_V= CANTIDAD DE VIAJES HACIA LAS REGIONES;

!COST_V= COSTO POR VIAJE A LA CIUDAD I HACIA LA REGION J; !COST_A= COSTO POR ASIGNAR UN AUDITOR A UNA LA CIUDAD; SETS:

CIUDAD /1..4/: Y;

REGION /1..4/: CANT_V;

VIAJES (CIUDAD,REGION) : COST_V,X;

ENDSETS DATA: COST_V = 1100 1400 1900 1400 1200 1000 1500 1200 1900 1700 1100 1400 1300 1400 1500 1050 ; CANT_V = 500 400 300 400 ; M=10000000000; COST_A=100000; ENDDATA

MIN=@SUM(VIAJES :COST_V*X)+ @SUM(CIUDAD:Y)*COST_A;

! RESTRICION DE VIAJES;

@FOR(REGION(J):@SUM(CIUDAD(I):X(I,J))>=CANT_V(J));

! RESTRICCION DE ASIGNACION DE AUDITORES;

@FOR(CIUDAD(I):@SUM(REGION(J):X(I,J))<=M*Y(I));

@FOR(CIUDAD(I):@BIN(Y));

MODEL:

[_1] MIN= 1100 * X_1_1 + 1400 * X_1_2 + 1900 * X_1_3 + 1400 * X_1_4

(38)

1200 * X_2_1 + 1000 * X_2_2 + 1500 * X_2_3 + 1200 * X_2_4 + 1900 * X_3_1 + 1700 * X_3_2 + 1100 * X_3_3 + 1400 * X_3_4 + 1300 * X_4_1 + 1400 * X_4_2 + 1500 * X_4_3 + 1050 * X_4_4 + 100000 * Y_1 + 100000 * Y_2 + 100000 * Y_3 + 100000 * Y_4 ; [_2] X_1_1 + X_2_1 + X_3_1 + X_4_1 <= 500 ; [_3] X_1_2 + X_2_2 + X_3_2 + X_4_2 <= 400 ; [_4] X_1_3 + X_2_3 + X_3_3 + X_4_3 <= 300 ; [_5] X_1_4 + X_2_4 + X_3_4 + X_4_4 <= 400 ; [_6] X_1_1 + X_1_2 + X_1_3 + X_1_4 - 10000000000 * Y_1 <= 0 ; [_7] X_2_1 + X_2_2 + X_2_3 + X_2_4 - 10000000000 * Y_2 <= 0 ; [_8] X_3_1 + X_3_2 + X_3_3 + X_3_4 - 10000000000 * Y_3 <= 0 ; [_9] X_4_1 + X_4_2 + X_4_3 + X_4_4 - 10000000000 * Y_4 <= 0 ;

@BIN( Y_1); @BIN( Y_2); @BIN( Y_3); @BIN( Y_4);

END

CONCLUSIONES:

El menor costo que se puede asignar para tener el costo en auditorias a compañías que tienen negocios en el estado de Texas será por los cálculos obtenidos de 2010000 dólares al año.

No se ha realizado viajes de la ciudad Nueva York a la región de Noreste. No se ha realizado viajes de la ciudad Nueva York a la región de OM. No se ha realizado viajes de la ciudad Nueva York a la región de Oeste. No se ha realizado viajes de la ciudad Nueva York a la región de Sur. Se ha realizado 500 viajes de la ciudad Chicago a la región de Noreste. Se ha realizado 400 viajes de la ciudad Chicago a la región de OM. No se ha realizado viajes de la ciudad Chicago a la región de Oeste. Se ha realizado 400 viajes de la ciudad Chicago a la región de Sur.

No se ha realizado viajes de la ciudad Los Ángeles a la región de Noreste. No se ha realizado viajes de la ciudad Los Ángeles a la región de OM. Se ha realizado 300 viajes de la ciudad Los Ángeles a la región de Oeste. No se ha realizado viajes de la ciudad Los Ángeles a la región de Sur. No se ha realizado viajes de la ciudad Atlanta a la región de Noreste. No se ha realizado viajes de la ciudad Atlanta a la región de OM. No se ha realizado viajes de la ciudad Atlanta a la región de Oeste. No se ha realizado viajes de la ciudad Atlanta a la región de Sur.

Como se observa en la ciudad de Chicago y Los Ángeles se han realizado viajes por lo que en estos lugares se asignaran auditores, en tanto como la ciudad de Nueva York y de Atlanta no se han realizado viajes no se asignaran auditores.

Problema 29:

Alumno: milla luyo

(39)

Usted fue asignado para acomodar las canciones del ultimo álbum de Madona en la versión audio cinta. Una cinta tiene dos lados ( 1 y 2 ). Las canciones de cada lado de la cinta deben hacer en total entre 14 y 16 minutos de duración. La duración y tipo de cada canción se proporcionan en la tabla 28.

Las asignaciones de canciones en la cinta debe cumplir con las condiciones siguientes:

1. Cada lado debe llevar dos baladas, exactamente. 2. El lado 1 debe tener por lo menos tres canciones hit 3. La canción 5 o la canción 6 tiene que estar en el lado 1.

4. Si las canciones 2 y 4 están en el lado 1, entonces la canción 5 debe estar en el lado 2. 1 Balada 4 2 Hit 5 3 Balada 3 4 Hit 2 5 Balada 4 6 Hit 3 7 5 8 Balada y Hit 4 Solución:

Considerando a M un valor grande.

Canción

(40)

1; Si en el lado i esta la canción numero j. Xij = 0; Si no es así Función objetivo: max Z = X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 + X17 + X18 + X21 + X22 + X23 + X24 + X25 + X26 + X27 + X28 Sujeto a: 2) 4 X11 + 5 X12 + 3 X13 + 2 X14 + 4 X15 + 3 X16 + 5 X17 + 4 X18 <= 16 3) 4 X11 + 5 X12 + 3 X13 + 2 X14 + 4 X15 + 3 X16 + 5 X17 + 4 X18 >= 14 4) 4 X21 + 5 X22 + 3 X23 + 2 X24 + 4 X25 + 3 X26 + 5 X27 + 4 X28 <= 16 5) 4 X11 + 5 X12 + 3 X13 + 2 X14 + 4 X15 + 3 X16 + 5 X17 + 4 X18 >= 14 6) X11 + X13 + X15 + X18 = 2 7) X21 + X23 + X25 + X28 = 2 8) X12 + X14 + X16 + X18 >= 3 9) X15 + X16 >= 1 10) X12 + X14 >= M (1 - X25) END INTE X11 INTE X12 INTE X13 INTE X14 INTE X15 INTE X16 INTE X17 INTE X18 INTE X21 INTE X22 INTE X23 INTE X24 INTE X25 INTE X26 INTE X27 INTE X28 Problema 29:

(41)

Una compañia de consultoria tiene 10 empleados ,cada uno de los cuales puede trabajar cuando mucho en 2 proyectos de grupos.Hay 6 proyectos en planes .Cada proyecto requiere 4 de nuestros 10 trabajadores. Los trabajadores necesarios y las ganancias generadas en cada proyecto se muestra en la tabla 109.

A cada trabajador que interviene en cualquier proyecto se debe pagar el anticipo de la tabla 110 .

Por ultimo ,cada trabajador que interviene en un proyecto se le paga la tarifa del proyecto que se muestra en la tabla 111.

¿Como se puede maximizar su ganancia? Tabla 109 Proyecto Trabajadore s necesarios Rendimiento($) 1 1,4,5,8 10000 2 2,3,7,10 15000 3 1,6,8,9 6000 4 2,3,5,10 8000 5 1,6,7,9 12000 6 2,4,8,10 9000 Tabla 110 Trabajadores 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Anticip o 800 500 600 700 800 600 400 500 400 500 Tabla 111 Proyecto 1 2 3 4 5 6 Tarifa($) 250 300 250 300 175 180 Resolución:

1, si el trabajador i integra el grupo de trabajo del proyecto j Xij =

0, si no es así.

1, si se realiza el proyecto i Yi =

0, si no es asi.

Funcion objetivo es:

Max z= 10000*Y1 + 15000*Y2 + 6000*Y3 + 8000*Y4 + 12000*Y5 + 9000*Y6 –

(42)

800*(X51+X54) – 600*(X63+X65) – 400(X72+X75) – 500(X81+X83+X86) – 400*(X93+X95) –

500*(X102+X104+X10 6) – 250*( X11 + X41 + X51 + X81 ) – 300*( X22 + X32 + X72 + X10.2) –

250*( X13 + X62 + X83 + X93) – 300*( X24 + X34 + X54 + X10 4) – 175*( X15 + X65 + X75 +

X95) – 180*( X26 + X46 + X86+ X10 6)

Sujeto a:

Restricción de participación de cada trabajador en cada proyecto

X11+X12+X13+ X14+X15+X16 ≤ 2 X21+X22+X23+ X24+X25+X26 ≤ 2 X31+X32+X33+ X34+X35+X36 ≤ 2 X41+X42+X43+ X44+X45+X46 ≤ 2 X51+X52+X53+ X54+X55+X56 ≤ 2 X61+X62+X63+ X64+X65+X66 ≤ 2 X71+X72+X73+ X74+X75+X76 ≤ 2 X81+X82+X83+ X84+X85+X86 ≤ 2 X91+X92+X93+ X94+X95+X96 ≤ 2 X10 1+X10 2+X10 3+ X10 4+X10 5+X10 6 ≤ 2

Restricción de participación necesaria por proyecto X11 + X41 + X51 + X81 >= 4*Y1 X22 + X32 + X72 + X10 2 >= 4*Y2 X13 + X62 + X83 + X93 >= 4*Y3 X24 + X34 + X54 + X10.4 >= 4*Y4 X15 + X65 + X75 + X95 >= 4*Y5 X26 + X46 + X86+ X10 6 >= 4*Y6

El Programa de Lingo es: SETS: TRABAJADOR/1..10/:ANTICIPO; PROYECTO/1..6/:TARIFA,RENDIMIENTO,Y; MATRIZ(TRABAJADOR,PROYECTO):X; ENDSETS DATA: ANTICIPO = 800 500 600 700 800 600 400 500 400 500; TARIFA = 250 300 250 300 175 180; RENDIMIENTO = 10000 15000 6000 8000 12000 9000; MAXIMOP = 2; ENDDATA MAX=@SUM(PROYECTO:RENDIMIENTO*Y)- 800*(X(1,1)+X(1,3)+X(1,5) ) - 500*(X(1,2)+X(2,4)+X(2,6)) - 600*(X(3,2)+X(3,4)) - 700*(X(4,1)+X(4,6)) - 800*(X(5,1)+X(5,4)) - 600*(X(6,3)+X(6,5)) - 400*(X(7,2)+X(7,5)) - 500*(X(8,1)+X(8,3)+X(8,6)) - 400*(X(9,3)+X(9,5)) - 500*(X(10,2)+X(10,4)+X(10,6)) - 250*(X(1,1)+X(4,1)+X(5,1)+X(8,1)) - 300*(X(2,2)+X(3,2)+X(7,2)+X(10,2)) - 250*(X(1,3)+X(6,3)+X(8,3)+X(9,3)) - 300*( X(2,4)+X(3,4)+X(5,4)+X(10,4)) - 175*(X(1,5)+X(6,5)+X(7,5)+X(9,5)) - 180*(X(2,6)+X(4,6)+X(8,6)+X(10,6));

!RESTRICCION DE CAPACIDAD DEL TRABAJADOR;

@FOR(TRABAJADOR(I):@SUM(PROYECTO(J):X(I,J))<=MAXIMOP); !RESTRICCION DE TRABAJADOR POR PROYECTO;

(43)

Nota 1: No se pudo probar el Programa puede encontrar un Lingo de otra version pues la cantidad de variables binarias es superior al limite que presenta esta version.

Nota 2: Se intento tratar de reducir el número de variables pero no llegue a ninguna solución.

Nota 3: Gran parte de las restricciones se encuentran escritas en forma literal pues no encontre la regla de adecuada para poder solo visualizar las variables que se necesitan para la resolución de este problema.

Problema 29.

Una compañía de consultaría tiene 10 empleados , cada uno de los cuales puede trabajar cuando mucho en dos proyectos de grupo. Hay seis proyectos en planes . Cada proyecto requiere cuatro de nuestros 10 trabajadores . los trabajadores necesarios y las ganancias generadas en cada proyecto se muestran en la tabla 1.

A cada trabajador que interviene en cualquier proyecto se debe pagar el anticipo de de la tabla 2.

Por ultimo cada trabajador que interviene en un proyecto se le paga la tarifa del proyecto que se muestra en la tabla 3.

¿Cómo se puede maximizar la ganancia ?

TABLA 1 PROYECTO TRABAJADORES NECESARIOS RENDIMIENTO (DOLARES ) 1 1,4,5,8 10000 2 2,3,7,10 15000 3 1,6,8,9 6000 4 2,3,5,10 8000 5 1,6,7,9 12000 6 2,4,8,10 9000 TABLA 2 TRABAJADOR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Anticipo(Dólares) 800 500 600 700 800 600 400 500 400 500 TABLA 3 PROYECTO 1 2 3 4 5 6 TARIFA(DOLARES) 250 300 250 300 175 180 Solución

(44)

MODEL: SETS: TRABAJADOR/1..10/:ANTICIPO, Y ; PROYECTO/1..6/:R, T, Z; MATRIZ(PROYECTO , TRABAJADOR):C, X ; ENDSETS DATA: ANTICIPO = 800 500 600 700 800 600 400 500 400 500; RENDIMIENTO = 10000 15000 6000 8000 12000 9000; TARIFA = 250 300 250 300 175 180; C = 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1; ENDDATA

MAX = @SUM(PROYECTO(I):R(I)*Z(I))+@SUM(TRABAJADOR(I):ANTICIPO(I)*Y(I))

+@SUM(PROYECTO(I):T(I)*X(I,J));

! RESTRICCIONES;

@FOR(TRABAJADOR(J):@SUM(PROYECTO(I):X(I,J)*C(I,J))<=2 );

@FOR(TRABAJDOR(J):@SUM(PROYECTO(I): X(I,J))<=2);

@FOR(PROYECTO(I):@SUM(TRABAJADOR(I): X(I,J))>=M*Y(I));

@FOR(PROYECTO(I):@SUM(TRABAJADOR(J): X(I,J))>=M*Z(J));

@FOR(PROYECTO(I):@SUM(TRABAJADOR(J): X(I,J)*C(I,J))<=4);

@FOR(PROYECTO(I):@SUM(TRABAJADOR(J): X(I,J))<=4);

@FOR(MATRIZ(I,J):@BIN(X));

@FOR(PROYECTO(I):@BIN(Z));

@FOR(TRABAJADOR(I):@BIN(Y));

END

(45)

La ciudad de Nueva Cork tiene 10 distritos de recolección de basura y pretende determinar cuál de los distritos debería un tiradero. Cuesta 1000 dólares acarrear una tonelada de basura un tramo de una milla. La ubicación de cada distrito, el costo fijo anual (en millones de dólares) por operar un tiradero, y el costo variable (por tonelada) por procesar una tonelada de basura en un tiradero, se muestra en la tabla 112.

Por ejemplo, el distrito 3 se localiza en las coordenadas (10,8). El distrito 3 produce 555 toneladas de basura al año, y cuesta un millón de dólares al año en costos fijos operar un tiradero en el distrito 3. Cada tonelada de basura procesada en el sitio 3 incurre en un costo variable de 51 dólares.

Cada tiradero puede procesar cuando mucho 1500 toneladas de basura. Cada distrito debe enviar toda su basura a un solo sitio. Determine dónde localizar los tiraderos de tal manera que se minimice el costo total por año.

TABLA 112:

Distrito Coordenadas Toneladas Costos(millones de $)

x y Fijo Variable 1 4 3 49 2 310 2 2 5 874 1 40 3 10 8 555 1 51 4 2 8 352 1 341 5 5 3 381 3 131 6 4 5 428 2 182 7 10 5 985 1 20 8 5 1 105 2 40 9 5 8 258 4 177 10 1 7 210 2 75 SOLUCIÓN: Xi = Yi j =

Dij = Distancia del distrito i al distrito j; (Donde i y j = 1, 2, ...10)

FO:

1: Si el distrito i, será un tiradero. (i=1,2....10) 0: Si el distrito i, no será un tiradero. (i=1,2....10)

1: Si el distrito i manda basura al distrito j (i=1,2....10)

0: Si el distrito i, no manda basura al distrito j. (i=1,2....10)

(46)

Min Z = (2 + 49*310)*X1 + (1+40*874)*X2 + (1+51*555)*X3 + (1+341*351)*X4 + (3+131*381)*X5 + (2+182*428)*X6 + (1+20*985)*X7 + (2+40*105)*X8 + (4+177*258)*X9 + (2+75*210)*X10 +

(D11*Y11 + D12*Y21 + D13*Y31 + D14*Y41 + D15*Y51 + D16*Y61 +D17*Y71 +D18*Y81 + D19*Y91 + D110*Y101)*1000*X1

+ (D21*Y12 + D22*Y22 + D23*Y32 + D24*Y42 + D25*Y52 + D26*Y62 +D27*Y72 +D28*Y82 + D29*Y92 + D210*Y102)*1000*X2

+(D51*Y15 + D52*Y25 + D53*Y35 + D54*Y45 + D55*Y55 + D56*Y65 +D57*Y75 +D58*Y85 + D59*Y95 + D510*Y105)*1000*X5

+(D101*Y110 + D102*Y210 + D103*Y310 + D104*Y410 + D105*Y510 + D106*Y610 +D107*Y710 +D108*Y810 + D109*Y910 + D1010*Y1010)*1000*X10 Sa: X1*(Y11*49+Y12*874+Y13*555+Y14*352+Y15*381+Y16*428 +Y17*985+Y18*105+Y19*258+Y110*210) <=1500; X2*(Y21*49+Y22*874+Y23*555+Y24*352+Y25*381+Y26*428 +Y27*985+Y28*105+Y29*258+Y210*210) <=1500; X3*(Y31*49+Y32*874+Y33*555+Y34*352+Y35*381+Y36*428 +Y37*985+Y38*105+Y39*258+Y310*210) <=1500; X4*(Y41*49+Y42*874+Y43*555+Y44*352+Y45*381+Y46*428 +Y47*985+Y48*105+Y49*258+Y410*210) <=1500; RESTRICCION DE LA CAPACIDAD DE LOS TIRADEROS

(47)

X5*(Y51*49+Y52*874+Y53*555+Y54*352+Y55*381+Y56*428 +Y57*985+Y58*105+Y59*258+Y510*210) <=1500; X6*(Y61*49+Y62*874+Y63*555+Y64*352+Y65*381+Y66*428+Y 67*985+Y68*105+Y69*258+Y610*210) <=1500; X7*(Y71*49+Y72*874+Y73*555+Y74*352+Y75*381+Y76*428+Y 77*985+Y78*105+Y79*258+Y710*210) <=1500; X8*(Y81*49+Y82*874+Y83*555+Y84*352+Y85*381+Y86*428+Y 87*985+Y88*105+Y89*258+Y810*210) <=1500; X9*(Y91*49+Y92*874+Y93*555+Y94*352+Y95*381+Y96*428+Y 97*985+Y98*105+Y99*258+Y910*210) <=1500; X10*(Y101*49+Y102*874+Y103*555+Y104*352+Y105*381+Y106 *428+Y107*985+Y108*105+Y109*258+Y1010*210) <=1500; Y11+Y21+Y31+Y41+Y51+Y61+Y71+Y81+Y91+Y101<=1; Y12+Y22+Y32+Y42+Y52+Y62+Y72+Y82+Y92+Y102<=1; Y13+Y23+Y33+Y43+Y53+Y63+Y73+Y83+Y93+Y103<=1; Y14+Y24+Y34+Y44+Y54+Y64+Y74+Y84+Y91+Y104<=1; Y15+Y24+Y35+Y45+Y55+Y65+Y75+Y85+Y91+Y105<=1; Y16+Y24+Y36+Y46+Y56+Y66+Y76+Y86+Y91+Y106<=1; Y17+Y24+Y37+Y47+Y57+Y67+Y77+Y87+Y91+Y107<=1; Y18+Y24+Y38+Y48+Y58+Y68+Y78+Y88+Y91+Y108<=1; Y19+Y24+Y39+Y49+Y59+Y69+Y79+Y89+Y91+Y109<=1; Y110+Y24+Y310+Y410+Y510+Y610+Y710+Y810+Y91+Y1010<= 1; El programa en lingo: SETS: DISTRITO/1..10/:TN,CF,CV,CT,X; DISTANCIA (DISTRITO,DISTRITO):D,Y; ENDSETS DATA: TN=49 874 555 352 381 428 985 105 258 210; CF=2 1 1 3 2 1 2 4 2; CV=310 40 51 341 131 182 20 40 177 75; D=0 2.83 7.81 5.38 1 2 6.32 2.23 5.09 5 2.83 0 8.54 3 3.61 2 8 5 4.24 2.23 7.81 8.54 0 8 7.07 6.71 3 8.6 5 9.05 5.38 3 8 0 5.83 3.6 7.61 7.62 3 1.41 1 3.61 7.07 5.83 0 1.49 5.38 2 5 5.65 2 2 6.71 3.6 1.49 0 6 4.12 3.16 3.6 6.32 8 3 7.61 5.38 6 0 6.4 5.83 9.22 2.23 5 8.6 7.62 2 4.12 6.4 0 7 7.21 CADA DISTRITO DEBE ENVIAR TODA SU BASURA A UN SOLO SITIO. RESTRICCION DE LA CAPACIDAD DE LOS TIRADEROS

(48)

5.09 4.24 5 3 5 3.16 5.83 7 0 4.12 5 2.23 9.05 1.41 5.65 3.6 9.22 7.21 4.12 0; ENDDATA !FUNCION OBJETIVO; MIN = @SUM(DISTRITO(I):CT(I)*X(I)) +@SUM(DISTANCIA(I,J):@SUM(DISTANCIA(I,J):D(I,J)*Y(I,J))*1000*X(I)); !COSTO TOTAL; @FOR(DISTRITO:CT=CF+CV*TN); !RESTRICCIONES; @FOR(DISTANCIA(I,J):@SUM(DISTRITO(I):TN(I)*Y(I,J))*X(I)<=1500); @FOR (DISTANCIA:@SUM(DISTANCIA(I,J):Y(I,1))<=1);

!RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS; @FOR(DISTRITO(I):@BIN(X););

@FOR (DISTANCIA(I,J):@BIN (Y););

Problema 30:

La universidad estatal tiene que comprar 1100 computadoras de tres vendedores. El vendedor 1 carga 500 dólares por computadora mas un encargo por la entrega de 5000 dólares , el vendedor 2 carga 350 dólares por computadora mas un cargo por la entrega de 4000 dólares. El vendedor 3 carga 250 dólares por computadora mas un cargo por la entrega por de 6000 dólares. El vendedor 1 venderá a lo mas 500 computadoras, el vendedor a los mucho 900 y el vendedor cuando mas 400. Se necesita minimizar el costo de la compra de computadoras necesarias.

SOLUCION:

VARIABLES:

X(i,j) = Cantidad de computadoras que vende el vendedor i

Y(i,j) = 1 Si el vendedor i vende computadoras a la universidad estatal 0 en caso contrario.

FUNCION OBJETIVO:

MIN Z = 5000Y(1) + 4000Y(2) + 6000Y(3) + 500X(1) + 350X(2) + 250X(3) RESTRICCIONES:

o RESTRICCION 1: La universidad estatal tiene que comprar 1100 computadoras de tres vendedores.

X( 1) + X( 2) + X( 3) >= 1100

(49)

X( 1) <= 500 X( 2) <= 900 X( 3) <= 400

o RESTRICCION 3: Si la universidad compra computadoras al vendedor i entonces también tendrá que pagar el cargo respectivo por la entrega de computadoras.

1000000 Y( 1) + X( 1) <= 0 1000000 Y( 2) + X( 2) <= 0 1000000 Y( 3) + X( 3) <= 0 FORMULACION EN LINGO:

! MODELO DE WINSTON CAP 9 # PROB 6 COSTOS EN DOLARES;

!M=VALOR MUY GRANDE;

!COSTOE ES EL COSTO DE ENTREGA;

!X CANTIDAD DE COMPUTADORAS QUE VENDE EN VENDEDOR I; !Y 1 SI EL VENDEDOR I VENDCOMPUTADORAS ! 0 EN CASO CONTRARIO; SETS: VENDEDOR/1..3/:COSTOE,COSTO,X,Y,MAXVEND; ENDSETS DATA: COSTOE = 5000 4000 6000; COSTO = 500 350 250; MAXVEND= 500 900 400; M=1000000; REQUERIMIENTO=1100; ENDDATA

MIN=@SUM(VENDEDOR(I):COSTO(I)*X(I)) +@SUM(VENDEDOR(I):COSTOE(I)*Y(I)); ! RESTRICCION 1; @SUM(VENDEDOR(I):X(I))>=REQUERIMIENTO; ! RESTRICCION DE 2; @FOR(VENDEDOR(I): X(I)<=MAXVEND(I); ); ! RESTRICCION DE 3; @FOR(VENDEDOR(I): X(I)<=M*Y(I); );

(50)

! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS; @FOR(VENDEDOR(I):

@BIN(Y););

El mínimo costo para comprar computadoras es de 355 000 dolares, y la universidad tendrá que comprar 700 y 400 computadoras a los vendedores 1 y 2 respectivamente.

Global optimal solution found at step: 8 Objective value: 355000.0 Branch count: 0

Variable Value Reduced Cost M 1000000. 0.0000000 REQUERIMIENTO 1100.000 0.0000000 COSTOE( 1) 5000.000 0.0000000 COSTOE( 2) 4000.000 0.0000000 COSTOE( 3) 6000.000 0.0000000 COSTO( 1) 500.0000 0.0000000 COSTO( 2) 350.0000 0.0000000 COSTO( 3) 250.0000 0.0000000 X( 1) 0.0000000 150.0000 X( 2) 700.0000 0.0000000 X( 3) 400.0000 0.0000000 Y( 1) 0.0000000 5000.000 Y( 2) 1.000000 4000.000 Y( 3) 1.000000 6000.000 MAXVEND( 1) 500.0000 0.0000000 MAXVEND( 2) 900.0000 0.0000000 MAXVEND( 3) 400.0000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 355000.0 1.000000 2 0.0000000 -350.0000 3 500.0000 0.0000000 4 200.0000 0.0000000 5 0.0000000 100.0000 6 0.0000000 0.0000000 7 999300.0 0.0000000 8 999600.0 0.0000000

(51)

PROBLEMA30:

La ciudad de Neva York tiene 10 distritos de recoleccion de basura y pretende determinar cual de los distritos deberia ser un tiradero. Cuesta 1 000 dolares acarrear una tonelada de basura un tramo de una milla. La ubicación de cada distrito, la cantidad de toneladas de basura producidas en un año por el distrito, el costo fijo anual (en millones de dólares) por operar un tiradero, y el costo variable(por tonelada) por procesar una tonelada de basura en un tiradero, se muestra en la tabla 112.

Distrito Coordenadas x

Coordenadas y

toneladas Costo fijo (millones) Costo variable(millones) 1 4 3 49 2 310 2 2 5 874 1 40 3 10 8 555 1 51 4 2 8 352 1 341 5 5 3 381 3 131 6 4 5 428 2 182 7 10 5 985 1 20 8 5 1 105 2 40 9 5 8 258 4 177 10 1 7 210 2 75

Por ejemplo el distrito 3 se localiza en las coordenadas (10,8). El distrito 3 produce 555 toneladas de basura al año, y cuesta un millon de dolares al año en costos fijos operar un tiradero en el distrito 3. Cada tonelada de basura procesada en el sitio 3 incurre en un costo variable de 51 dólares.

Cada tiradero puede procesar cuando mucho 1500 toneladas de basura. Cada distrito debe enviar toda su basura a un solo sitio. Determine dónde localizar los tiraderos de tal manera que se minimice el costo total por año.

Soluciòn (LINGO) min 2015190x1+1034960x2+1028305x3+120032x4+3049911x5+ 2077896x6+1019700x7+2004200x8+4045666x9+2015750x10 +7000x1+7000x2+18000x3+10000x4+8000x5+9000x6+15000x7 +6000x8+13000x9+8000x10 subject to 49x1+874x2+555x3+352x4+381x5+428x6+985x7+105x8+258x9+210x10<=15000 end INT X1 INT X2 INT X3

(52)

INT X4 INT X5 INT X6 INT X7 INT X8 INT X9 INT X10 Problema 31:

Usted es el Gerente de ventas de Eli Lilly. Ud. Desea Ubicar oficinas de ventas en cuatro de las ciudades de la tabla 1. La cantidad de llamadas telefónica de ventas (en miles) Que se deben hacer en cada ciudad que se dan e n la tabla 1. por ejemplo San Antonio requiere 2000 llamadas y está a 602 millas de Phoenix. La distancia entre cada ciudad se da en la tabla 2. ¿En donde se deben ubicar las oficinas centrales con el objeto de minimizar la distancia total que se debe recorrer para hacer las llamadas necesarias?

Tabla N° 1

Ciudad (i) Llamada requeridas_{(en miles)}

San Antonio (1) 2 Phoenix (2) 3 Los Angeles (3) 6 Seattle (4) 3 Detroit (5) 4 Minneapolis (6) 2 Chicago (7) 7 Atlanta (8) 5 Nueva York (9) 9 Boston (10) 5 Filadelfia (11) 4 Tabla N° 2 San

Antonio Phoenix Angeles Sealtle Detroit Minneap. Chicago AtlantaLos Nueva York Boston Filadelfia San Antonio 0 602 1376 1780 1262 1140 1060 935 1848 2000 1668 Phoenix 602 0 851 1193 1321 1026 1127 1290 2065 2201 1891 Los Angeles 1376 851 0 971 2088 1727 1914 2140 2870 2995 2702 Sealtle 1780 1193 971 0 1834 1432 1734 2178 2620 2707 2486 Detroit 1262 1321 2088 1834 0 403 205 655 801 912 654 Minneapolis 1140 1026 1727 1432 403 0 328 876 1200 1304 1057 Chicago 1060 1127 1914 1734 205 328 0 564 957 1082 794 Atlanta 935 1290 2140 2178 655 876 564 0 940 1096 765 Nueva York 1848 2065 2870 2620 801 1200 957 940 0 156 180 Boston 2000 2201 2995 2707 912 1304 1082 1096 156 0 333 Filadelfia 1668 1891 2702 2486 654 1057 794 765 180 333 0 PROBLEMA N°