Tema B-6. Modulaciones en frecuencia y fase

Tema B-6. Modulaciones en frecuencia y fase

Joaquín Granado Romero

Contenido

1. Introducción

2. Definición de modulación FM y PM

1. Relaciones FM-PM

2. Características de las modulaciones

3. Frecuencia Instantánea

4. Desviación en Frecuencia y Fase: Íncice de Modulación 5. Espectro de señales FM/PM

1. Modulación PM de un tono

2. Estimación del Ancho de Banda: Regla de Carson

6. Modulación de Fase de Banda Estrecha (NBPM) 7. Generación de señales FM/PM

1. Generación de señales NBPM/ NBFM

2. Generación de señales WBPF/ WBMF

1. Modulador de Armstrong

2. Moduladores basados en VCO’s

3. Detección de señales FM/PM

Introducción

4 Recapitulando. Hemos visto:

z Análisis de señales en la frecuencia/tiempo z Análisis de los sistemas LTI

z Técnicas de MODULACIÓN Æ permiten desplazar el espectro de la señal en

banda base o señal de información a una frecuencia adecuada.

z Basadas en la variación de alguno de los los parámetros de una señal denominada

portadora (amplitud, frecuencia y fase).

z Técnicas AM (Amplitude Modulation)

4 En este tema veremos.

z FM (Frequency Modulation) o Modulación en frecuencia. La señal de

información hace variar de forma lineal la frecuencia de la señal portadora

z PM (Phase Modulation) o Modulación en Fase. La señal de información hace

Definición de Modulación FM / PM

4 Recurrimos a la notación compleja [g(t) es la envolvente de s_c(t)]:

4 Caso de Modulación en Amplitud (DSB-AM): m(t) es la señal de

información. La g(t) es real.

4 Modulación en PM/FM [g(t) es compleja]:

z PM: Modulación en Fase (D_p es la Sensibilidad de Fase (rad/v)

z FM: Modulación en Frecuencia (D_f es la Sensibilidad de Frecuencia (rad/s/v)

( )

(

)

(

( )

)

( )

( )

(

( )

j( )t

)

c j c t j c c c c c c c c c

e

t

g

real

t

s

e

A

t

g

e

A

real

t

A

t

s

ω ϕ ϕ ω

ϕ

ω

=

→



=

=

+

=

_cos

+

( )

t

m

( )

t

g

_AM

=

( )

t

=

D

_f

_∫

t

m

( )

λ

d

λ

θ

( )

_t

_Ae

j ( )t

g

=

θ

( )

t

=

D

_p

m

( )

t

θ

Relaciones FM/PM

4

Equivalencias entre la señal moduladora en FM y PM

( )

( )

( )

_∫

( )

∞ −

=

=

t _p p f p p f p f

m

d

D

D

t

m

dt

t

dm

D

D

t

m

;

λ

λ

Generación FM a partir de un modulador PM

∫

p f

D

D

_MODULADOR PM

dt

d

f p

D

D

_MODULADOR FM

m

f

(t)

m

p

(t)

s

_FM

(t)

s

PM

(t)

Generación PM a partir de un modulador FM

Características de la señal FM/PM

4

La expresión general de una señal modulada en FM/PM será:

4

Amplitud constante (A)

4

Potencia Media constante:

( )

t

A

(

t

( )

t

)

s

_PM−FM

=

_c

cos

ω +

_c

θ

2

2 c

A

P

=

Frecuencia Instantánea

4 Frecuencia Instantánea (fi) es la frecuencia de la señal modulada en el

instante ‘t’.

4 La señal FM/PM consiste en una portadora que va cambiando

instantánea-mente alrededor de la f_c en función de la señal de información. Su transformada “instantánea” será una delta.

4 ¿Qué significa S(f)?

z Será un promedio de las componentes es frecuencia de la señal. En general es

muy complejo su cálculo.

( )

(

( )

)

( )

( )

( )

;

2

1

;

dt

t

d

f

dt

t

d

t

fi

t

t

t

c c

θ

ψ

π

θ

ω

ψ

+

=

=

+

=

( )

_∫

+∞

( )

₋

=

s

t

e

dt

f

S

j π2 ft

( )

t

A

(

t

( )

t

)

s

_PM−FM

=

_c

cos

ω +

_c

θ

Máxima Desviación en Frecuencia

4 Para el caso FM z Desviación en Frecuencia: df(t) z Máxima Desviación en Frecuencia (∆F) 4 Para el caso PM: z Máxima Desviación de Fase (∆θ)

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

_{{ }}

_{( )}

_; 2 1 max : 2 1 max ; 2 1 p f p f c V D F V t m y t m D dt t d Si dt t d F dt t d f t fi t df π θ θ π θ π = ∆ ⇒ = =       = ∆ = − = 4 Interpretación de (∆F):

z Si Vp ↑ Æ ∆F ↑ la potencia media (CONSTANTE) se reparte en un intervalo de

frecuencias mayor.

z Si Vp ↓ Æ ∆F ↓ la potencia media (CONSTANTE) se reparte en un intervalo de

frecuencias menor.

z En cualquier caso ∆f (equivalente al índice de modulación en AM) no afecta a la

potencia que se transmite. En AM si afecta.

( )

{ }

( )

( )

max

{ }

( )

; : max p p p pm t y m t V D V D t Si t = ∆ ⇒ = = = ∆ θ θ θ θ

Índices de Modulación de Fase y Frecuencia

4

PMI

-Phase Modulation Index (

β

_p

):

4

FMI

-Frequency Modulation Index (

β

_f

):

z B: Ancho de Banda de m(t) (señal de

información)

z A mayor índice de modulación mayor desviación

en frecuencia para un mismo B.

B

F

f p

∆

=

∆

=

β

θ

β

Espectro de señales PM

4

Buscamos la Transformada de Fourier de una señal modulada

en fase (PM).

4

Utilizando la notación compleja de una señal PM:

4

¿Cómo se calcula G(f)?

z G(f) y q(t) no tienen una relación lineal Æ no es posible aplicar el

principio de superposición

z No es posible obtener una expresión general de G(f) z Estudiamos una caso simple donde m_p(t)=A_msen(ω_mt)

( )

( ( ))

[

(

) (

)

]

( )

( )

_¿

( )

_?

2

1

)

(

f

G

Ae

t

g

f

f

G

f

f

G

e

t

g

Ae

t

s

F t j c c F t j t t j PM c c

→

←

=

+

+

−

→

←

=

=

+ θ ω θ ω

Modulación PM de un tono

( )

( )

( )

( )

;

;

;

m p p m m p m m p

A

D

t

sen

A

D

t

t

sen

A

t

m

=

=

=

β

ω

θ

ω

( )

( )

( )

( ) ( )

(

)

)

(

2

1

;

2 2 p n n sen j n n n t jn t sen j m n t jn n t sen j

J

A

d

e

A

C

e

e

T

A

C

e

C

t

g

Ae

t

g

p m T m T m m p m m p

β

α

π

π π α α β ω ω β ω ω β

=









=

=

→

=

=

∫

∑

_∫

+ − − +∞ = −∞ = + − − Características de la señal de información Función de Bessel de 1ª clase y orden n. Cálculo numérico g(t) es periódica T_m=1/f_m

Podemos hacer el desarrollo en series de Fourier de la señal g(t) y después calcular G(f)

Modulación PM de un tono

4 La envolvente compleja g(t) se puede expresar como una serie Fourier

quedando:

4 Aplicando las propiedades de la transformada.

4 Interpretación:

z G(f) está formada por deltas situadas en nf_m cuya magnitud está controlada por

la función de Bessel J_n(β).

z Si (β) ↓ Æ Jn decrece rápidamente y las componentes en frecuencia se concentran. z Si (β) ↑ Æ Jn decrece léntamente y las componentes en frecuencia se expanden. z β controla el ancho de banda de la señal PM

( )

_∑

=+∞ −∞ =

=

n n t jn p n

e

m

J

A

t

g

(

β )

ω

( )

_∑

(

)

_∑

=+∞

(

)

−∞ = +∞ = −∞ =

−

=

−

=

n n m p n n n m n

f

nf

A

J

f

nf

C

f

G

δ

(

β

)

δ

Funciones de Bessel de 1ª especie

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 beta=4 Jn (b et a) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 beta=2 Jn (b et a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 beta=1 n Jn (b et a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 beta=0.5 n Jn (b et a) β=0.5 β=2 β=1 β=4 clear beta=[0.5 1 2 4 8] n=[0:1:10] for i=1:length(n) t_bessel(i,:)=besselj(n(i),beta); end

Espectro de la señal PM

Jn(0.2)=[0.9900 0.0995 0.0050 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000] Jn(1)=[0.7652 0.4401 0.1149 0.0196 0.0025 0.0002 0.0000] Jn(2)=[0.2239 0.5767 0.3528 0.1289 0.0340 0.0070 0.0012]

4 Representamos el espectro normalizado

(A/2).

4 Para β=0.2 aspecto de delta en fc 4 Si β ↑ Æ BW ↑ BW ( )

( )

A₂ f S 1 f fc f f_c 1 f fc 1 β=0.2 β=1.0 β=2 1 β=5 BW BW BW

Regla de Carson

4

El Ancho de Banda (BW) de una señal FM/PM depende del

Indice de Modulación (

β

).

4

El cálculo de BW

_3dB

sería muy complejo.

4

Se demuestra que el 98% de la potencia de la señal se

encuentra en un intervalo de frecuencias dado por

:

z donde B es el ancho de banda de la señal de información z β es el Índice de Modulación

4

Aunque es una regla aproximada resulta muy útil y sencilla de

aplicar.

(

)

B

BW

= β

2

+

1

Modulación de Fase de Banda Estrecha

4

Partiendo de la expresión de la envolvente compleja de una

señal PM/FM y suponiendo variaciones de fase muy pequeñas

(|

θ

(t)|<0.2 rad.):

4

La señal modulada tendrá la forma:

4

La señal (

NBPM

: Narrow Band Phase Modulation) se

caracteriza por.

z Una portadora pura

z Una señal DSB-AM desfasada 90º respecto a la portadora anterior z Las señales NBPM pueden generarse con circuitos moduladores AM.

( )

_t

_Ae

( )

_A

[

_j

( )

_t

]

g

=

jθ t

≅

1

+

θ

( )

_t

_real

{

_g

( )

_t

_e

( )

}

_A

( )

_t

_A

( ) ( )

_t

_sen

_t

Generación de señales FM

4

Nos centramos en circuitos que generan señales FM

4

Consideraciones generales

z Moduladores Directos: consiste en generar señales FM a partir de un

modulador FM

z Moduladores Indirectos: generan una señal FM a partir de circuitos

generadores PM.

z Emplearemos sistemas Variantes en el Tiempo

4

Veremos generación de señales:

z NBFM (Narrow Band FM)

z WBFM (Wide Band FM) o simplemente FM

∫

p f D D _MODULADOR PM mf(t) sFM(t)

Generación NBFM

4 Esquema basado en un modulador NBPM (Mod. Indirecta). 4 Basado en moduladores DSB-AM.

4 Podemos generar señales NBFM a partir de moduladores

DSB-AM vistos anteriormente.

4 OL: Oscilador Local

∫

mf(t) OL −π/2 sen(ωct) cos(ωct) sNBFM(t)

( )

t

A

( )

t

A

( ) ( )

t

sen

t

s

_NBPM

= cos

ω −

_c

θ

ω

_c Generador NBPM

Generación WBFM o simplemente FM

4 Basados en NBFM

z Añadimos un multiplicador de

frecuencias

z Modulador Armstrong.

4 Basados en circuitos VCO’s:

z VCO: Voltage Controlled

Oscila-tors): Circuitos que generan una señal seno de frecuencia

controlada por la entrada.

z Idealmente de forma lineal z Son circuitos realimentados

Modulador NBFM mf(t) _{Multiplicador “n”} sFM(t) de Frecuencia β₁≈0.2 β2 =nβ2 4 El multiplicador en frecuencia es un

elemento No Lineal que aumenta el Índice de Modulación.

vi(t)

VCO sen(kvit)

4 Veremos el fundamento de los VCO’s

basados en circuitos resonantes

Generación de FM basada en NBFM

4

Ejemplo de multiplicador de

frecuencia

( )

( )

( )

(

( )

)

( )

( )

( )

(

( )

)

( )

{

(

( )

)

}

in out in c out in c out in c in in out

t

m

t

t

v

t

m

t

sen

t

v

t

m

t

t

t

sen

t

v

t

v

t

v

β

β

β

ω

β

ω

β

θ

θ

ω

2

2

2

cos

1

2

1

;

;

;

2 2

=

+

+

=

+

=

→

=

+

=

=

Modulador NBFM mf(t) _{Multiplicador “n”} sFM(t) de Frecuencia β1≈0.2 β2 =nβ2

Circuitos Resonantes variables

4

VCO’s con circuitos resonantes

z Basados en LC que oscilan dadas unas condiciones

iniciales.

z Frecuencia de oscilación (resonancia):

z Si el condensador varía con la señal de información:

z La frecuencia de oscilación (aprox. por Taylor):

C L ; 1 LC i = ω

( )

; 0 am t C C = +

( )

( )

( )

0 0 0 0 0 ; ; 1 1 1 1 a k donde t m k t m C a LC t m C a LC i ω ω ω ω − = + =       − ≅       + =

Demoduladores

4

Basados en dos elementos:

z DISCRIMINADOR DE FRECUENCIAS

z Dispositivo que proporciona una ganancia proporcional a la frecuencia de la

señal de excitación

z DETECTOR AM

z Generalmente se empleará un detector de envolvente

Discriminador de Frecuencia

s

AM

(t)

s

FM

(t)

Detector de Envolvente

m

f

(t)

Demoduladores

4

Basado en discriminador

simple RL

Rd L_d RL D C VFM (t ) + -e(t) VDE M O D (t ) +

-( )

( )

_{( )}

; ω ω ω ω ω jL R jL V E H FM + = = ω |H(ω)| ω 1 Detector de Envolvente Discriminador

Demoduladores

4

Basado en discriminador

RLC

( )

( )

_{( )}

; 1 1 1       − + = = ω ω ω ω ω d d d FM L C j R I E H Detector de Envolvente Discriminador Rd Cd D _R L C VDE M O D (t ) + -IFM (t ) e( t) + -Ld ω |E(ω)| ω ω

Aplicación

4 Estudiamos el actual sistema de radiodifusión FM-estéreo. 4 FM-estéreo nace cuando ya existían emisoras FM-mono

4 En FM-estéreo se transmiten dos fuentes de sonido, dando sensación de

profundidad en la audición:

z Canal R (Right): audio derecho z Canal L (Left): audio izquierdo

4 FM-estéreo emplea FDM (Frequency Division Multiplexing),consistente en

modular cada fuente de información a una frecuencia de portadora diferente de forma que no solapan los espectros y puedan ser recuperados.

4 Carácterísticas de la FM-estéreo:

z Frecuencias de portadora: 88.1MHz a 107.9 MHz

z Existen un total de 100 canales (emisoras) separadas cada 200KHz z Índice de Modulación β=5. Máxima desviación ∆F=75KHz.

Transmisor FM

4 A la entrada del Modulador FM la señal m_f(t) estará

compuesta por:

z m_R(t)+ m_L(t) sin procesar

z m_R(t)- m_L(t) sin procesar modulada en DSB-AM con portadora de 38KHz

z Un tono piloto a 36KHz/2=18KHz. Este tono permite la

demodulación coherente y que el receptor sepa que la emisión 19KHz 38KHz f Mf(f)

4m_R(t) y m_L(t) son las fuentes de audio

4Mod. DSB-SC: Modulador Double Side

Band AM Carrier Supressed

4OL: Oscilador Local a 38 KHz

4Mod. FM: Modulador WBFM en la banda

88.1-107.9 MHZ. mR(t) OL 38KHz Mod DSB-SC Mod FM mL(t) /2 mR(t)+mL(t) + + -+ mR(t)-mL(t) mf(t) SFM(t)

Receptor FM Estéreo

4 Demodulación FM

4 Recuperación de la información “mono” (m_R(t)+ m_L(t)) mediante el filtrado de las

componentes a baja frecuencia (LPF de 15KHz)

4 Demodulación coherente de la señal m_R(t)- m_L(t) mediante la recuperación de la

portadora por un PLL y posterior filtrado.

4 Obtención de las componentes R-L

38KHz 19KHz f Mf(f) PLL 38KHz BPF 23-53 KHz Demod FM + SFM(t) LPF 15KHz LPF 15 KHz + mR(t)+mL(t) mR(t)-mL(t) 2mL(t) 2mR(t) +

-Conclusiones

4 La técnica de modulación FM/PM se basa en portar la información en

variaciones de frecuencia y fase.

4 Concepto de Frecuencia Instantánea Æ dificultad para calcular la

transformada de Fourier de una señal FM/PM (componentes estacionarias de frecuencias).

4 Una señal FM/PM tiene una potencia media constante que no depende del

Índice de la Modulación.

4 El BW de la señal FM/PM es proporcional al ancho de banda de la señal de

información y al Índice de Modulación según la regla de Carson.

4 Un tipo de PM denominado NBPM similar a AM. 4 Generadores y Detectores FM/PM