Analisis Dimensional y Semejanza Ejercicios Resueltos

Análisis dimensional y semejanza.

Análisis dimensional y semejanza.

Ejercicios Resueltos: Ejercicios Resueltos:

1.-1.- La fuerza axial de una hélice, comletamente sumer!ida en a!ua, se haLa fuerza axial de una hélice, comletamente sumer!ida en a!ua, se ha "isto #ue deende de: $ %diámetro de la hélice&, ' %"elocidad de

"isto #ue deende de: $ %diámetro de la hélice&, ' %"elocidad de deslazamiento&, ( %densidad del f

deslazamiento&, ( %densidad del fluido&, ) %'elocidad de rotaci*n&, !luido&, ) %'elocidad de rotaci*n&, ! %aceleraci*n de la !ra"edad& y + %"iscosidad dinámica del fluido&. %aceleraci*n de la !ra"edad& y + %"iscosidad dinámica del fluido&. alcular los arámetros  adimensionales, eli!iendo como "ariales alcular los arámetros  adimensionales, eli!iendo como "ariales

reetidas, las indicadas en los rimeros lu!ares, siemre #ue sea osile. reetidas, las indicadas en los rimeros lu!ares, siemre #ue sea osile. Resoluci*n:

Resoluci*n:

Como se indica en el enunciado se sabe por la experiencia que la fuerza axial F Como se indica en el enunciado se sabe por la experiencia que la fuerza axial F de una hélice depende de una serie de variables, es decir:

de una hélice depende de una serie de variables, es decir: F = f (D, V, ρ, , !, "#

F = f (D, V, ρ, , !, "#

$n%ervienen en el proceso & variables de las cuales ' son independien%es $n%ervienen en el proceso & variables de las cuales ' son independien%es )as en%idades o variables f*sicas fundamen%ales son +: , ), -

)as en%idades o variables f*sicas fundamen%ales son +: , ), - .or %an%o el n/mero de par0me%ros adimensionales es: &1+ = 2 .or %an%o el n/mero de par0me%ros adimensionales es: &1+ = 2

)o fundamen%al primeramen%e es es%ablecer la ecuaci3n de dimensiones correc%a )o fundamen%al primeramen%e es es%ablecer la ecuaci3n de dimensiones correc%a de cada variable del proceso:

de cada variable del proceso:

F

D

V

ρ



4

"

F

D

V

ρ



4

"





5

5

1

1

1

1

5

5

1

1

1

1

5

5

)

)

5

5

5

5

5

5

11+

+

11

5

5

115

5

--

116

6

11

115

5

11

115

5

116

6

115

5

)as variables repe%idas para ob%ener los par0me%ros son: D, V, ρ Con %odo )as variables repe%idas para ob%ener los par0me%ros son: D, V, ρ Con %odo definido, se calcular0n los par0me%ros 7:

definido, se calcular0n los par0me%ros 7: 8 855 = F D = F D99 VV ρρᵞᵞ = = ;; ) );; - -;; 7 766 =  D =  D99< < VV< < ρρᵞᵞ< = < = ;; ) );; - -;; 7 7++ = ! D = ! D99  VV  ρρᵞᵞ =  = ;; ) );; - -;; 7 722 =" D =" D99< < VV< < ρρᵞᵞ< = < = ;; ) );; - -;;

>us%i%u?endo las variables por su ecuaci3n de dimensiones: >us%i%u?endo las variables por su ecuaci3n de dimensiones: 8

855 =  ) - =  ) -1616 ) )99 ) ) - -11  ᵞᵞ ) )1+1+ᵞᵞ =  = ;; ) );; - -;;

@s%ableciendo ? resolviendo las ecuaciones de i!ualdad de exponen%es: @s%ableciendo ? resolviendo las ecuaciones de i!ualdad de exponen%es:

@n : 5 A B = ;  B = 15

en ): 5 A 9 A  1 +B = ;  9 = 1+ A 6 15 = 16

en -: 16 1  = ;   = 16

>us%i%u?endo: 75 = F D16 _V16 _{ ρ}15 _{= F D}6 _V6 _ρ

De la misma forma se resuelven los res%an%es par0me%ros, resul%ando: 86 =  D  V

8+ = ! D  V6 , el inverso elevado a E :  Froude = Fr = V  (!D#56

82 = " ρ V D , %omando el inverso : n Ge?nolds = Ge = ρ V D  "

De la funci3n inicial con las variables f*sicas, se pasa a una funci3n con par0me%ros adimensionales:

F D6 _V6 _{ρ = ϕ(  D  V , Fr , Ge #}

/.- Las érdidas de car!a lineales en una tuer0a de 1 m de diámetro, cuando circula un !as de (  21,34 5!6 m2 y +  7,7714 8o, siendo su "elocidad

media '  /4 m6s, se #uieren determinar mediante una tuer0a modelo con

a!ua a /79 y un caudal de 777 l6min.

$eterminar la escala !eométrica y la escala de érdidas de car!a, siendo la densidad del a!ua  1777 5!6m2 y la "iscosidad asoluta del a!ua  1 c8o. Resoluci*n:

@s%amos en un caso de fluHo en car!a, por ello para que se verifique la semeHanza din0mica, es necesario adem0s de la semeHanza !eomé%rica, la i!ualdad de

n/meros de Ge?nolds

Da%os: .ro%o%ipo (%uber*a !as# odelo (<#

D = 5m I = DDJ 4as a!ua a 6; V = 6K ms VJ = L M MJ = 2;;; lmin hf hJf  Ge = VDρ  " = VJDJρ<  "< Ge = 6K(ms# 5(m# +5,NK (O!m+#  5,Kx5;12 _{(O!ms# = K,+;Nx5;}' VJ = MJ  (7 DJ6 _{2# = (2';#  (7 DJ}6 _{2# = ;,;N2NN  DJ}6 Ge = K,+;Nx5;' _{= (;,;N2NN  DJ}6_{# ( DJ 5;;;  5;}1+_#

Pperando: DJ = ;,;5KQQ m ≅5' mm  VJ = ++5,K' ms

)a velocidad VJ es mu? elevada del orden de la onda sonora, se pueden producir variaciones de densidad (compresibilidad# no %enida en cuen%a

I = D  DJ = 5 ;,;5' = '6,K2 hf = R.  B  @uler : R.  ρ V6 R.  ρ V6 _{ ! = R.J  ρ< VJ}6 _{!J  hf  V}6 _{= hJ} f   VJ6 hf  hJf = ( V  VJ #6 _{= ( 6K  ++5,K' #}6 _{= ;,;;K'K → h} f  J  hf  = 5&'

2.- ;e desea estudiar una resa mediante un modelo a escala 1:<, en donde se mide la "elocidad del a!ua %modelo& y resulta ser 7, m6s. El caudal

máximo desa!uado %rototio& or la resa es de 477 m2 6s,. En el modelo se midi* la fuerza ejercida sore la resa resultando ser de /,4 5!. ;e ide

calcular:

a& Escalas de "elocidades, caudales y fuerzas en funci*n de la escala de lon!itud =.

& audal #ue tiene #ue circular en el modelo en l6s. c& 'elocidad del a!ua en la resa en m6s.

d& >uerza ejercida sore la resa en ).

e& ?@ué condiciones tiene #ue satisfacer el fluido ara #ue la semejanza sea comleta

Resoluci*n:

@s%amos en un caso de fluHo en superficie libre, para que se verifique la semeHanza comple%a es necesario adem0s de la semeHanza !eomé%rica, la i!ualdad de

n/meros de Ge?nolds, ? de n/meros de Froude Como ?a se han impues%o la escala !eomé%rica, el fluido a u%ilizar (a!ua en modelo ? pro%o%ipo#, ? se %rabaHa en el campo !ravi%a%orio %erres%re, ha? que recurrir a la semeHanza res%rin!ida (como lue!o se ver0# es decir la i!ualdad de n/meros de Froude, adem0s de la

semeHanza !eomé%rica ?a que es un caso de fluHo en superficie libre

Da%os: odelo (S# .ro%o%ipo

)J I = )J) = 52Q )

VJ = ;,2 ms V = L

MJ = L M=K;; m+ s

FJ= 6,K O! F = L

MJM = (VJV#(DJD#6 _{= I}56 _{ I}6 _{= I}K6

FJF = (ρ VJ6 _DJ6 _{# (ρ V}6 _D6 _{# = (VJV#}6 _{ (DJD#}6 _{= I  I}6 _{= I}+

b# MJ = M  IK6 _{= K;; (52Q#}K6_{= ;,;6Q&K m}+_s

c# V = VJI56 _{= ;,2  & = 6,N ms}

d# F = FJ  I+ _{= 6,K  2Q}+ _{= 6Q2566,K O!}

e# .ara que la semeHanza sea comple%a, se %iene que verificar, adem0s de la

semeHanza !eomé%rica, la i!ualdad de n/meros de Froude ? Ge?nolds, como ?a se ha indicado an%es @s decir fal%a la i!ualdad de /meros de Ge?nolds:

Ge = VDT = VJDJT<  T T< = (VVJ#(DDJ# = I156 _{ I}15 _{= I}1+6

T T< = 2Q+6 _{= +2+}

@s decir para que se verifique la semeHanza comple%a, la relaci3n de viscosidades cinem0%icas del fluido de la presa (a!ua# ? del u%ilizado en los ensa?os en el

modelo %endr*a que ser:

T T< = +2+  T<(modelo# = T (a!ua# +2+

.- La resistencia > al a"ance y el comortamiento de un cuero flotante deende de las si!uientes "ariales: !ra"edad !, lon!itud caracter0stica L, densidad del fluido (, "iscosidad dinámica del mismo +, y de la "elocidad '. a& $educir los arámetros  adimensionales #ue inter"ienen en el fen*meno y la ley adimensional de dicho fen*meno.

& ;e #uiere hacer un ensayo con un modelo a escala B, de un rototio #ue se re"é #ue esará 1777 5! y na"e!ará en a!ua dulce a /7 9 con una

"elocidad de /7 5m6h. ?*mo odrá realizarse el ensayo ?@ué fluido se emleará ?uál dee ser el eso del modelo

c& ;i la resistencia media en el modelo es de 47 5! y la otencia #ue

consume de /,CC 'D $eterminar la resistencia al a"ance y el rendimiento del rototio.

)ota: 'ariales reetidas: (, L, '. Resoluci*n:

a# -al como se indica en el enunciado del problema: F = f (!, ), ρ, ", V #

nU de variables = '  n de par0me%ros = + Variables repe%idas: ρ, ), V

G 5 1 1 5 5 1

L 5 5 5 1+ 15 5

H 16 16 1 1 15 15

)os par0me%ros que se ob%ienen son:

85 = F  (ρ V6 )6# 76 = !)  V6  7+ = "  (VDρ#

)e? adimensional: F  (ρ V6 ₎6 _{# = f ( Fr , Ge#  F = (ρ V}6 ₎6 _{# f( Fr , Ge#}

b# odelo(S# .ro%o%ipo

I = W = )J)

.eso = L .eso = 5;;; O!

Fluido = L X!ua (T = Q,K 5;1& m6 s#

VJ V = 6; Omh

Gesis%encia =K; O! G = L

.o%encia = 6,'' CV .J = L

Y Y

.ara semeHanza absolu%a se %endr0 que verificar la i!ualdad de n/meros de Froude ? Ge?nolds como indica la le? adimensional

Fr = V’2 _{/ gD’ = V}2_{/ Gd → V’/V = ( D’/D)}1/2 _{= λ} 1/2 _{= 1 /2}

Ge = VJ)JT< = V)T  T< = T (VJV# ()J)# = TI56 _{I = I}+6

VJ = V6 = 5; Omh = 5; 5;;;  +';; = 6,&N ms

T< = Q,K x5;1& _m6 _{s  (52#}+6 _{= 5,6 x5;1& m}6 _{s  mirando en 0baco de viscosidades}

cinem0%icas en funci3n de la %empera%ura corresponde a: ercurio a 6K C como: F(ρ V6 ₎6 _{# = FJ(ρ< VJ}6 _)J6 _{#  .esoJ = .(ρ< ρ#(VJV#}6 _()J)#6

.esoJ= .(ρ< ρ#I+ _{ %omando >}

h! = 5+,' ? >a!ua = 5

.esoJ = 5;;;  5+,' (52#+ _{= 656,K O!}

Gesis%encia = GJ (ρ ρ<# (5I#+ _{= K; (55+,'# 2}+ _{= 6+K,+ O!}

Y = .o%encia u%ilizada  .o%encia consumida

.o%encia u%ilizada = resis%encia  velocidad de desplazamine%o = G  V .o%encia consumida = 6,'' CV = 6,'' &K O!ms

@l rendimien%o es adimensional por %an%o es el mismo en modelo ? pro%o%ipo, cuando ha? semeHanza

4.- $esarrollar una exresi*n #ue de la distancia recorrida en un tiemo H or un cuero #ue cae liremente, suoniendo #ue la distancia deende de la masa del cuero de la aceleraci*n de la !ra"edad y del tiemo:

f (s, Z, !, -# = ; >e enumeran las ma!ni%udes ? sus unidades

> = lon!i%ud ()#, Z = fuerza F, ! = aceleraci3n () - 6_{#, = %iempo}

-@xis%en 2 ma!ni%udes f*sicas, + de ellas fundamen%ales, de donde (21+# = un n/mero 7

85= (>x6# (Z?6# (-z6# (!#

 Xplicando la homo!eneidad de dimensiones

F; ₎; _-; _{= ()}x5_{# (F}?5_{# (-}z5_{# ()-}16_#

$!ualando los exponen%es de F, ), - se ob%iene

?5 = ;, x5 A 5 = ;, z5 [ 6 = ; Gesolviendo: x5 = 15, ?5 = ;, z5 = 6 >us%i%u?endo %enemos: 85= >15 Z; -6 ! = W  0_T  2_g S DespeHando s\ ? poniendo 1  Π 1  = ] se %iene > = ] ! -6

Como la masa Z %iene exponen%e cero si!nifica que la dis%ancia recorrida es independien%e de la masa el coeficien%e ] se de%ermina por an0lisis f*sico o experimen%al

C.- ;uoniendo #ue la otencia comunicada a una oma es funci*n del eso esec0fico del fluido, del !asto y de la altura comunicada a la corriente, estalecer una ecuaci*n or análisis dimensional.

)as ma!ni%udes f*sicas ? sus dimensiones: .o%encia . = F ) -15

.eso espec*fico ` = F )1+

4as%o M = )+ _-15

Car!a _ = )

@xis%en 2 ma!ni%udes f*sicas, + de ellas fundamen%ales, de donde (21+# = un n/mero 7

85 = (M6# (Z6# (_6# (.#

85= ()+5 -155# (F5 )1+5# ()5# (F)-15#

$!ualando los exponen%es de F, ), - se ob%iene

?5 A 5 = ; +x51+?5 A z5 A 5 = ; 1x515 = ; Gesolviendo x5 = 15 ?5 = 15 z5 = 15 >us%i%u?endo 85= (M15# (^15# (_15# (.# =  P wQH  DespeHando .\ ? poniendo 1  Π  1 = ] se %iene: . = ] ^ M _

@l coeficien%e ] se de%ermina por an0lisis f*sico o experimen%al

J.- ;uoniendo #ue la fuerza de arrastre ejercida sore un cuero sumer!ido en una corriente fluida es funci*n de la densidad, la "iscosidad y la

"elocidad del fluido y de una lon!itud caracter0stica del cuero, desarrollar la ecuaci*n !eneral.

M (F, ρ, ", ), V# = ;

)as ma!ni%udes f*sicas ? sus dimensiones son:

Fuerza F = F

Viscosidad absolu%a " = F - )16

)on!i%ud ) = )

Velocidad V = ) -15

@xis%en K ma!ni%udes f*sicas, de ellas + fundamen%ales, de donde (K [ +# = 6 n/meros 7

@sco!emos la lon!i%ud ), la velocidad V ? la densidad ρ como variables repe%idas con exponen%es desconocidos, se es%ablecen los n/meros 7 como si!ue:

85= ()a5# ()b5 -1b5# (Fa5-6a5)12a5# (F#

$!ualando los exponen%es %enemos:

c5 A 5 = ; , a5 A b5 1 2c5 = ; , 1b5 A 6c5 = ;

Gesolviendo

c5 = 15 , b5 = 16, a5 = 16

>us%i%u?endo en la ecuaci3n ori!inal 85= F  )6 V6 ρ

 Xhora resolvemos para 76

76 = ()a6_{# ()}b6_-16b_{# (F}C6_-6C6₎12C6_{# (F-)}16_#

$!ualando exponen%es se %iene:

c6 A 5 = ; , a6Ab612c616 = ; , 1b6 A 6c6 A 5 = ;

Gesolviendo:

c6 = 15, b6 = 15, a6 = 15 .or lo %an%o

76 = "  ) V ρ P 76 = ) V ρ  "

)a nueva relaci3n escri%a en funci3n de los dos !rupos es: f 5 (

 F 

 L2V 2 ρ , ()Vρ#  "# = ;

Fuerza F = ()6 _V6 _{ρ# f} 

6 (()Vρ#"#

Mue puede escribirse F = (6]Ge# ρ )6

V 2 2

3.- uando nicamente influyen la !ra"edad y la inercia, demostrar #ue, ara modelo y rototio, la relaci*n de !astos @ es i!ual a la relaci*n de

lon!itudes ele"ada a cinco medios. Qm Qv

 =

 =

_a? que es%ablecer la relaci3n de %iempos para las condiciones que influ?en en el fluHo )as expresiones para la !ravedad ? las fuerzas de inercia pueden escribirse como si!ue

$!ualando las relaciones de fuerzas,

De la que despeHamos la relaci3n de %iempos se lle!a a

Como ! es i!ual a la unidad, la sus%i%uci3n en la relaci3n de !as%os conduce a la expresi3n buscada

Gravedad

<.- 8ara una turomá#uina los arámetros adimensionales #ue la ri!en son:

;e tiene una oma #ue mue"e J4 Mm2 _{6hN, con una altura de 24 Mm} caN y

consume una otencia de 12,2 MhN, cuando oera a /<77 MrmN y con un diámetro exterior del rodete de 137 MmmN.

?uáles son sus condiciones de oeraci*n a 2447 MrmN y con el rodete reducido a 1J7 MmmN de diámetro

-ra%0ndose de la misma m0quina que opera baHo o%ras condiciones se da la simili%ud !eomé%rica ? din0mica, en%onces se debe cumplir que los par0me%ros adimensionales correspondien%es %ienen el mismo valor >i el sub*ndice 5 corresponde a las condiciones iniciales ? 6 a las finales, se %iene:

17.- ;e tiene una lon!itud de la ola L7 de 1<,113 MmN Las relaciones #ue ri!en a las olas son:

d es la profundidad Fr  de Froud

)o lon!i%ud de la ola

- per*odo de la ola V velocidad de la ola

@n%onces la velocidad de la ola es:

@l  Froud que %iene es de:

@l modelo de es%e fen3meno es%0 a una escala 5:2;

)a lon!i%ud de onda de la ola del modelo es:

 para que se man%en!a la simili%ud

@l per*odo del modelo: Des e ando -: