Magnitudes Proporcionales

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(1)

Gobierna el Tahuantisuyo el Inca Huayna Capac.

1501

1539

Nace Gerolamo Cardano en Parrá Italia.

Publica la obra Practica arithmetica et mensurandi singulares

1576

1560

Francisco de Toledo es virrey del Perú. En su gobierno se instaló la Santa Inquisición en el Perú.

1542

Blasco Núñez de Vela, primer virrey

del Perú.

1545

Escribe Liber de ludo aleae. Fallece Gerolamo Cardano.

Es virrey del Perú Andrés Hurtado de Mendoza, p r i m e r m a r q u é s d e Cañete.

Se crea el Virreynato del Perú.

Publica Ars magna, su obra más importante.

(2)

Magnitudes

Proporcionales

Ejemplo:

Dos magnitudes son proporcionales si al variar el valor de una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud varía proporcionalmente.

1. MAGNITUDES DIRECTA-MENTE PROPORCIONALES (D.P.)

Sean A y B dos magnitudes cuyos valores correspondientes se observan en la tabla: A a1 a2 a3 B an ... b1 b2 b3 ... bn Si A es directamente proporcional a B (A D. P. B) se cumple: a1 b2= ab22=ba33=...=abnn Gráficamente: B A b3 b2 b1 a1 a2 a3

Dadas dos magnitudes directamente proporcionales, si el valor de una de ellas se duplica, el valor correspondiente de la otra magnitud también se duplica; si se reduce a su mitad una de ellas, la otra también se reduce a su mitad; así sucesivamente.

La tabla muestra los valores de

A 24 48 72 36 B 16 32 48 24 x2 ÷2 x2 ÷2 Se cumple: 24 16 =4832=7248=3624 A 18 x 9 x+y B 12 10 y z Resolución: Se cumple 18 12=10x= 9y =x+yz Þ x=15; y =6 Luego 18 12= 15+6z Þ z=14 Se pide x+y+z=15+6+14=35 Ejemplo 2:

Sabiendo que A es directamente proporcional a B; encuentra el valor de A, para B = 81, sabiendo que cuando A es 24, B es 36.

Resolución:

A: 24= x

Þ Þx=36

Ejemplo 3:

Se conoce la gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales. Si a+b+c = 72, encuentra el valor de x-a.

a b c x 8 16 b 12 8 a=12b=16c= bx Del gráfico:

Sumando antecedentes y consecuentes tenemos: 8 a=12b=16c=xb=8+12+16a+b+c =3672=12 72 Þ a = 16, b = 24, c = 32 Luego x = 48. Piden hallar x - a= 48 - 16 = 32 Ejemplo 1: Hallax +y +zsiAyBsondirectamente proporcionales. A D.P. B

(3)

Sean M y N dos magnitudes cuyos valores correspondientes se observan en la tabla: M m1 m2 m3 N mk ... n1 n2 n3 ... nk Si M es inversamente proporcional a N, se cumple m1n1=m2n2=m3n3=...mknk Gráficamente: n1 n2 n3 m1 m2 m3 M N

Dadas dos magnitudes inversamente proporcionales, si el valor de una de ellas se duplica, el valor correspondiente de la otra magnitud se reduce a su mitad; si se triplica una de ellas la otra se reduce a su tercera parte, así sucesivamente.

Ejemplo:

La tabla muestra dos magnitudes inversamente proporcionales.

Se cumple:

10x60 = 20x30 = 40x15 = 8x75 Ejemplo 1:

Halla a + b si las magnitudes A y B son inversamente proporcionales. A B a a-10 20 30 b a+20 Resolución: Se cumple

ax20 = (a-10)x30 = (a+20)xb Resolviendo 2a = 3a - 30Þ a = 30 Reemplazando: 30 x 20 = 20 x 30 = 50 x b Se obtiene b = 12 Luego a + b = 30 + 12 = 42 2. MAGNITUDES INVERSA-MENTE PROPORCIONALES (I.P.) M 10 20 N 40 8 60 30 15 75 x2 x2 ÷2 ÷2 Ejemplo 2:

Dos magnitudes inversamente proporcionales A y B son tales que A es 24, cuando B es 15. ¿Qué valor le corresponde a la magnitud A, cuando B aumenta 3 unidades. ¿Y qué valor cuando B disminuye 3 unidades?

Resolución:

A I.P. BÞ Valores de A x Valores de B = constante

Þ 24 x 15 = a1(15 + 3) = a2(15 -3) Ejemplo 3:

D e a c u e r d o a l a g r á f i c a d e do s magnitudes inver samente proporcionales mostradas, encuentra a + b. 36 6 a b 6 b+11 Resolución: En el gráfico se cumple: 36 x b = 6 x 6 = a x (b + 11) 36 36 =a (1 + 11) Se obtiene b = 1, donde a = 3. Se desea hallar a + b = 3 + 1 = 4. 3. PROPIEDADES DE MAGNI-TUDES PROPORCIONALES 1. Si A D.P. B Þ B D.P. A A I. P. B Þ B I. P. A 2. Si A I. P. B Þ A D. P. 1/B 3. Si A D.P. BÞ AnD.P. Bn A I.P. B Þ AnI.P. Bn 4. Si A D.P. BÞ (cuando C es constante) y A D.P. CÞ (cuando B es constante) Se obtiene A D.P. B x C Ejemplo 1: A es D.P. a B y C, además cuando A es 24, B es 10 y C es 8. Calcula el valor de B si A es 15 y C es 12. Resolución: A D.P. B A D.P. C

}

A D.P. BxC Se cumple BxCA = constante 24 10 x 8=X x 215 Þ X = 25 Ejemplo 2: A es directamente proporcional a B2y a C. Si cuando A es 24, B es 2 y C es 3. Halla A cuando B sea 3 y C sea 2.

Resolución: A D.P. B2 A D.P. C

}

A D.P. B2x C Þ A B2x C = constante Luego 2242x3 = 32Xx2 ÞX = 36

(4)

Ejemplo 3:

Una magnitud M es directamente proporcional a N y N es inversamente proporcional a Q3. Si cuando M es 4, N es 16 y Q es 3, halla Q cuando N y M sean respectivamente 2 y 4. Resolución: Si M D.P. N Þ N D.P. M2 (según propiedades) 16 x 33 42 2x X3 42 Þ Luego: = X = 6

1) El precio de impresión de un libro es directamente proporcional al número de ejemplares que se imprimen. Se editarán 2000 ejemplares de un libro de 400 páginas costando S/. 6.00 el ejemplar. ¿Cuánto costará editar un ejemplar si se mandaron a imprimir 1800 libros de 360 páginas? a) S/.500 b) S/.800 c)S/.400 d) S/.700 e) S/.600 Resolución: c x n p 6 x 2000400 c2x 1800 360 = kÞ = c2= S/. 6.00 Rpta.: e 2) Un superpanetón en forma de paralelepípedo pesa 2160 g. El peso en gramos de un minipanetón de igual forma, pero con sus dimensiones reducidas a la tercera parte es: a) 40 g b) 50 g c)60 g d) 70 g e) 80 g Resolución: El peso es D.P. al volumen P V= k 3b 3c 3a P1= 2160 g 2160 (3a)(3b)(3c) P2 abc = b c a P2= ?? P2=80 g Rpta.: e

3) La rapidez de A es igual a 3 veces la rapidez de B y a su vez esto es 4 veces la rapidez de C. Si A hace un triángulo en 9 min y 15 s, ¿en cuánto tiempo lo hará C? a) 1h 40' d) 2h b) 1h 41' 15" e) N.A. c) 1h 51' Resolución: Rapidez: r y tiempo: t rAtA= rCtC; rA= 3rB rB= 4rCÞrA= 12rC Þ 12 rC(9 + 0,25)=rCx tC tC= 111' tC= 1h' 51' Rpta.: c

4) Se sabe que la producción de un cierto artículo es proporcional al número de horas diarias destinadas a dicha producción e inversamente proporcional a la cantidad de productos x que pueden sustituir el artículo indicado. Si en un inicio se trabaja 8 horas diarias, haciendo en el mercado 5000 productos x; pero al incrementarse en 4375 unidades los productos x, se aumenta el número de horas diarias de modo que la producción actual y anterior se encuentren en la relación de 2 a 3. ¿Cuántas horas diarias se ha aumentado? Resolución:

Producción x# Prodx #horas diarias = cte. (3P)x5000 8 (2P)(5000+4375)(8+x) Þ = Anterior Actual Resolviendo: x = 2 Rpta.: 2

5) Un pastelero prepara una porción de turrón de Doña Pepa de 60 cm x 40 cm, de cuya venta se propone obtener S/. 48.00. Si se vende una porción de 30 cm x 30 cm por S/. 15.00. ¿A cuánto debe vender cada porción de 5 cm x 5 cm para obtener lo que esperaba en un principio? a) S/. 0.22 d) S/. 0.33 b) S/. 0.55 e) S/. 0.44 c) S/. 0.88 Resolución: 30 10 30 30 30 40 Luego N D.P. M2 = cte. N I. P. Q3

}

Nx Q3 M2 Þ

(5)

Nivel I

El área total es: 60 x 40 = 2400 cm2

Vende: 30 x 30 = 900 cm2

Queda: 2400 - 900 = 1500 cm2

Ya vendió por S/. 15, el resto debe vender en 48 - 15 = S/. 33.00 Cada porción tiene 5 x 5 = 25 cm2

de área.

De los que queda salen 1500 ÷ 25 = 60 porciones.

Cada porción debe venderse en: 33

60= S/.0.55

Rpta.: b

1) Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales representadas mediante el siguiente gráfico:

Calcula "a + b". a) 3 b) 5 c)2 d) 7 e) 4 A B 16 4 1 b a 16 2) Si "P" y "Q" son magnitudes proporcionales representadas mediante el siguiente gráfico:

Halla "y - x". a) 12 b) 36 c)24 d) 20 e) 30 P Q y x 4 2 6 18 3) Si A es D.P. a B y cuando A = 6; B = 4. ¿Cuánto valdra A cuando B = 9? a) 6 b) 3 c)9 d) 18 e) 2 9 4) Si A es D.P. a B4y cuando A = 48; B = 2. Calcula A cuando B =3. a) 27 b) 9 c)81 d) 162 e) 243

5) P varía inversamente proporcional a T Cuando

P = 125, entonces T = 48. Halla T cuando P = 300. a) 25 b) 20 c)30 d) 40 e) 45

6) Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales representados mediante el siguiente gráfico, halla "x". a) 10 b) 30 c)40 d) 15 e) 50 A B 20 x 4 40 a 16 A B =k AxB =k

7) Del gráfico, halla "a + b".

a) 30 b) 12 c)28 d) 27 e) 35 20 4 B A a 3 9 b

8) Del gráfico, calcula "a + c".

a) 27 b) 32 c)41 d) 18 e) 20 15 12 20 a c

9) "x" varía en razón directa a "y" e inversa al cuadrado de "z". Cuando x = 10, entonces y = 4, z = 14. Halla "x" cuando y = 16 y z = 7. a) 180 b) 160 c)154 d) 140 e) 120

10) Se sabe que A es D.P. a B e I.P. a 3C . Además cuando A es 14

entonces B = 64 y C = B. Halla A cuando B sea 4 y C sea el doble de B.

a) 7 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

11) Se tienen tres magnitudes "A", "B" y "C" tales que "A" es D.P. a "C" e I.P. a B. Halla "A" cuando B = C2, sabiendo que si A = 10,

B = 144 y C = 15. Entonces

a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 15

12) Sabiendo que "A" es D.P. a "B2" y que las variaciones de las

magnitudes "A" y "B" se muestran en el siguiente cuadro. Halla "a + d". a) 48 b) 51 c) 50 d) 47 e) 54 A 27 75 d B 192 a 5 4 8

(6)

13)La velocidad del sonido en el aire es D.P. a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta. Si a 16°C la velocidad del sonido en el aire es de 340m/s, ¿cuál será la velocidad del sonido en el aire cuando la temperatura sea de 88°C? a) 380m/s d) 180m/s

b) 350m/s e) 220m/s c) 300m/s

14)En una empresa el sueldo es D.P. a la edad y a los años de servicio del empleado e I.P. al cuadrado de la categoría. Juan empleado de 2a. categoría con 10 años de

servicios en la empresa y de 56 años de edad gana S/. 2000, José que entró a la empresa 3 años después que Juan, gana S/. 500 y es empleado de 3a. categoría.

Halla la diferencia de edades de ambos

a) 8años b) 7años c) 11años d) 9años e) N.A.

15)El precio de impresión de un libro es directamente proporcional al número de páginas e inversamente proporcional al número de ejemplares que se impriman. Se editaron 2000 ejemplares de un libro de 400 páginas y cuesta $6 por ejemplar. ¿Cuánto costará editar un ejemplar si se mandaron a imprimir 1800 libros de 360 páginas?

a) $6 b) $8 c) $4 d) $7 e) $5

Nivel II

16)El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente proporcional a la distancia que lo separa de Lima. Si una casa ubicada a75 km cuesta S/.45000, ¿cuánto costará una casa del mismo material si su área es el doble y se encuentra a 150 km de distancia?

a) S/.45 000 d) S/.90 000 b) S/.22 500 e) S/.180 000 c) S/.11 250

17)Se sabe que (x + 2) varía proporcionalmente con (y - 3). Si cuando x = 10, entonces y =19. Halla el valor de "x" si y = 31. a) 21 b) 23 c) 20 d) 19 e) 18 18)El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años, ¿dentro de cuántos tiempo cuadruplicará su sueldo? a) 20años b) 25años c) 36años d) 18años e) 10años

19)La ley de Boyle dice que: «La presión que soporta un gas es I.P. al volumen que ocupa; manteniendo la temperatura constante». Si la presión disminuye en 6 atmósferas, el volumen varía en 1/5 de su valor. Halla la presión a que está sometido dicho gas (en atmósferas).

a) 30 b) 42 c) 24 d) 54 e) 36

20)El área cubierta por la pintura es proporcional al número de galones de pintura que se compra. Si para pintar 200 m2se necesitan

25 galones, ¿qué área se pintará con 15 galones?

21) El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional al número de días que ha faltado a trabajar. Si Juan tuvo un sueldo mensual de S/.600 y su rendimiento es como 5 y faltó 4 días, entonces, ¿cuál es el sueldo de Carlos si su rendimiento es como 8 y faltó 3 dias?

a) S/.960 d) S/.1 440 b) S/.1 080 e) S/.980 c) S/.1 280

22) La eficiencia de un trabajo se mide en puntos y es D.P. a los años de trabajo e I.P. a la raíz cuadrada de la edad del trabajador. La eficiencia de Raúl es 2 puntos cuando tiene un año de trabajo y 25 años de edad. ¿Cuál será su eficiencia a los 36 años?

a) 18 ptos. d) 20 ptos. b) 25 ptos. e) 22 ptos. c) 28 ptos.

23) El precio de un televisor a color varía en forma D.P. al cuadrado de su tamaño e I.P. a la raíz cuadrada de la energía que consume. Si cuando su tamaño es de 14 pulgadas y consume «E» de energía, su precio es de $360. ¿Cuánto costará un televisor cuyo tamaño es de 21 pulgadas y consume E/4 de energía? a) $520 d) $1 620 b) $720 e) $3 240 c) $640

(7)

24)Dos ruedas de 24 y 25 dientes están concatenadas. En el transcurso de 4 minutos, una da 70 vueltas más que la otra. Halla la velocidad menor en rev/min. a) 38,5 b) 20 c) 37,5 d) 12,5 e) 22,5

25)Se sabe que "A" es D.P. con "B" y que "B" es D.P. con "C". Si cuando "A" aumenta en 15 unidades "B"

varía en 20%. ¿Qué pasa con "C" cuando "A" disminuye 50

unidades? a) Se duplica

b) Se reduce a la mitad c) Se triplica

d) Se reduce a su tercera parte e) N.A.

26)Si el precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso, ¿cuánto se ganará o perderá en un diamante que vale S/.720 que se parte en dos pedazos, uno el doble del otro? a) No se gana ni se pierde b) Se gana S/.240 c) Se gana S/.320 d) Se pierde S/.240 e) Se pierde S/.320

27)La fuerza de gravedad que la tierra ejerce sobre un cuerpo, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del objeto al centro de la tierra. Si un objeto pesa 100 kg sobre la superficie de la tierra, ¿cuánto pesaría a 1600 km por encima de la superficie terrestre?

Considera que la radio de la tierra es 6400 km.

a) 90 kg b) 81 kg c) 64 kg d) 72 kg e) 49 kg

28) La distancia que recorre un objeto al caer es proporcional al cuadrado del tiempo trascurrido desde que fue soltado. Si en el segundo minuto recorre 48 m, ¿cuánto recorrerá en el quinto

minuto?

a) 120 m b) 150 m c) 200 m d) 240 m e) 300 m

29) El sueldo diario de un empleado varía proporcionalmente al cuadrado del número de horas trabajadas. Si su sueldo mensual asciende a S/. 450, ¿cuánto dejaría de ganar si sólo trabaja 3/5 del número de horas normales? a) S/. 144 d) S/. 288 b) S/. 162 e) S/. 360 c) S/. 180

30) Una rueda A de 64 dientes engrana con otra B de 72 dientes y ésta con otra C de 48 dientes. Si entre las tres dan 580 vueltas en un minuto, ¿cuántas vueltas dará A en 5 minutos?

a) 600 b) 750 c) 900 d) 1200 e) 1500

31) El precio de una joya varía proporcionalmente con el cuadrado de su peso. Una joya de este tipo que cuesta S/. 24000 se rompe en dos pedazos que están en la relación de 2 a 3. ¿Cuál es la pérdida sufrida al romperse dicha joya?

a) S/. 12480 d) S/. 9600 b) S/. 11520 e) S/. 8200 c) S/. 10800

Nivel III

32)Del gráfico, halla a + m.

a) 50 b) 54 c) 58 d) 60 e) 64 24 a m m 2 m+10

33)Se sabe que A es directamente p ro po r cio n al a B2y B e s

inversamente proporcional a C. Halla

x+y+z de la tabla mostrada

a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 A 24 x 96 B 2 y 3 4 1 C 9 6 z 3

34)Dadas dos magnitudes A y B se observa que A es directamente proporcional a B para valores de A menores o iguales a 24 y B es inversamente proporcional a A cuando los valores de A son mayores o iguales a 24. Si cuando A = 6, entonces B = 14, calcula el valor de B cuando A es 168. a) 6 b) 8 c) 12 d) 15 e) 16

35)Conocida la gráfica, halla a + b.

a) 50 b) 60 c) 72 d) 80 e) 96 2a a b a 12

(8)

36)Dado el siguiente gráfico, halla x + y +z. a) 50 b) 60 c) 72 d) 80 e) 96 x y z 4 6 9 18 M N 37)En un proceso de producción se determinó que la producción es proporcional a la raíz cuadrada del número de trabajadores e inversamente proporcional a la antigüedad de las máquinas usadas en este proceso. Cuando se obtuvo una producción de 12 mil unidades, trabajaron 324 trabajadores, utilizando máquinas de 8 años de antigüedad. ¿Qué producción se obtendría si se renuevan todas las máquinas por otras de 2 años de antigüedad y se reduce el número de trabajadores en 99? (Indica en miles de unidades)

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 40

38) La segunda Ley de Kepler señala: "El cuadrado del período de rotación de un planeta alrededor del Sol es directamente proporcional al cubo del radio medio del planeta al Sol". ¿Qué tiempo demora un planeta en dar una vuelta alrededor del Sol si se encuentra a una distancia equivalente a 4 veces la distancia de la Tierra al Sol.

a) 2años b) 4años c) 5años

39)Dado el siguiente gráfico, halla a + n. halla x. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 n a-2 a 2a 24

40)Dada el siguiente relación de proporcionalidad: halla x a) 120 b) 148 c) 162 d) 180 e) 195 A 3 2 4 B 81 24 x 5 375

41)Se tiene una rueda A1que engrana con A2, la cual está unida mediante un eje con A3. ¿Cuántas vueltas da esta última

si entre las ruedas A1y A2han dado 280 vueltas y el número de dientes de la rueda Akestá dado por Dk= (10k + 5)x2?

a) 120 b) 125 c) 150 d) 155 e) 105

43) Dadas las magnitudes A, B y C si A D.P. B (cuando "C" permanece constante); A I.P. C2(cuando "B"

permanece constante). Si en un determinado momento el valor de B se duplica y el valor de C aumenta en su doble, el valor de A varía en 35 unidades.

¿Cuál era el valor inicial de A? a) 10 b) 25 c) 45 d) 35 e) 40

45) Las magnitudes A, B y C guardan las siguientes relaciones: * Con C constante: * Con B constante: Si A=4, entonces B=9 y C=16. Halla A cuando B = 3 y C = 4. a) 36 b) 42 c) 48 d) 54 e) 60 A a 8a 27a B b 0,5b 0,3b 64a 0,25b A B 0,25c a 2a c 2,25c 3a 4a 4c

44) Se sabe que el valor de una joya varía en forma D.P. con el cuadrado de su peso. Si una joya se divide en "n" partes iguales, ¿a qué porcentaje de su valor inicial queda reducido el valor de la joya? a) d) b) e) c) 100(n + 1) n 100 n 100n n + 1 100 n - 1 100 n + 1 % % % % % 42)Enlasiguientegráficaquerelaciona magnitudes proporcionales; A y B son rectas y C es una hipérbola. Determina "m" si a+b+c+m= 60. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2m 4 a m b c A B C

(9)

46)La magnitud A es igual a la suma de dos cantidades, de las cuales una varía directamente con B y la otra inversamente con B2. Si

cuando A es 19, B es 2 ó 3, halla el valor de A cuando B es 6. a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34 47)La eficiencia de un hombre es inversamente proporcional al número de horas por día que trabaja y también inversamente proporcional al número de días trabajados. Si dicho hombre hace una obra en 24 días trabajando 6 horas por día, ¿en qué tiempo hará el cuádruplo de la obra si trabaja nueve horas por día? a) 30 b) 32 c) 64 d) 70 e) 72

48)La presión a la cual está sometido un gas es directamente proporcional al volumen que ocupa. Si el volumen se reduce a su tercera parte, entonces la presión:

a) Aumenta en su doble b) Aumenta en su triple c) Aumenta en su cuádruplo d) Aumenta una vez su valor e) No varía

50) Si A, B, C y D son magnitudes proporcionales, además:

A2D.P. B (C; D son constantes)

A I.P.3 C (B; D son constantes)

D2D.P. A (B; C son constantes)

Si cuando:

A = 2; B = 9; C = 125; D = 2. ¿Cuál es el valor de C cuando A = B = 121 y D = 6? a) 30 b) 270 c) 2700 d) 900 e) 27000 49)Si: a + b + c + x = 215, Halla: b - c + 5a - 4x a) 22 b) 32 c) 43 d) 12 e) 10 3k 7 a k b c 2k

Promedios

El origen de la palabra promedio se remonta a la época en que los viajes por mar implicaban gran riesgo. Era frecuente que los barcos, durante una tormenta, tirasen una parte de la carga. Se reconoció que aquéllos cuyos bienes se sacrificaban podían reclamar con justicia una indemnización a expensas de aquéllos que no habían sufrido disminución en sus bienes. El valor de los bienes perdidos se pagaba mediante un acuerdo entre todos los que tenían mercaderías en el mismo buque.

El daño causado por el mar se conocía como «Havaria» y la palabra llegó a aplicarse naturalmente al dinero que cada individuo tenía que pagar como compensación por el riesgo. De esta palabra latina se deriva la moderna palabra average (promedio). La idea de un promedio tiene por raíces en los primitivos seguros.

(10)

1) La velocidad del sonido en el aire es D.P. a la raíz cuadrada a la temperatura absoluta. Si la velocidad del sonido es 380 m/s a 88°C, ¿cuál sera la velocidad (en m/s) del sonido a 127°C?

a) 395 b) 380 c) 390 d) 410 e) 400

2) Sabiendo que A es I.P. a B, además cuando B aumenta en su triple, A varía en 30 unidades. Halla el valor de A.

a) 20 b) 40 c) 80

d) 60 e) 90

4) A varía directamente proporcional a B y C; además C varía directamente proporcional a F3. Cuando A es 160, B es 5 y F es 2. Si B es 8 y F es 5, ¿cuánto sería A? a) 2000 b) 3000 c) 5000 d) 4000 e) 1000 5) A es D.P. a B y B es D.P. a D e I.P. a C. Si A es 12, D es 40. ¿Cuánto será A si D es 90? a) 27 b) 42 c) 35 d) 16 e) 28

3) Si A3varía en forma directamente

proporcional a B2y al mismo tiempo en

forma inversamente proporcional con C, cuando A = 6, B = 3 y C = 4. Halla el valor de B cuando: A =3 9 C = 6 a) 2 b) 3 c) 1/2 d) 1/6 e) 3/4 ^

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