Introduccion a La Fisica Cuantica

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(1)Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica, segunda parte 1.00 Joaqu´ın Retamosa Granado(*). ´ Alvaro Tejero Cantero(**). Pablo Ruiz M´ uzquiz(***) 23 de mayo de 2002. alqua.com, la red en estudio. *. iokin@nuc3.fis.ucm.es alvaro@alqua.com *** pablo@alqua.com **. Ayuda a mantener el proyecto alqua (http://alqua.com).

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(3) Índice general 1. Pre´ ambulo te´ orico 1.1. Postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Teor´ıa de perturbaciones estacionarias . . . . . . . . . . . 1.2.1. Teor´ıa de perturbaciones: caso no degenerado . . . 1.2.2. Teor´ıa de perturbaciones: caso degenerado . . . . . 1.3. Método variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Método variacional en un sistema de dos part´ıculas 1.3.3. Aplicación del método al átomo de hidrógeno . . . 1.4. Suma de momentos angulares . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Energ´ıas en cm−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Cantidades u ´tiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 13 13 19 20 22 28 28 29 31 33 37 38 39. 2. Estructura fina del ´ atomo de Hidr´ ogeno 2.1. Experimentos que condujeron al esp´ın . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Interacción con el campo magnético: el hamiltoniano . 2.1.2. Efecto Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Experimento Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . 2.2. Introducción del esp´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Propiedades del esp´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Determinaci´ © on de gs y s ª . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. La base E, L2 , S2 , J2 , Jz . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Estructura fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Corrección relativista a la energ´ıa cinética: V T . . . . 2.3.2. Interacción esp´ın-órbita: V s−o . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Término de Darwin: V D . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Correción total a la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5. El efecto Zeeman anómalo . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6. Reglas de selección en transiciones electromagnéticas. 2.4. Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Algunas soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43 43 43 45 49 51 51 53 55 56 58 60 63 64 66 68 69 69 71. . . . . . . . . . . . .. 3. Part´ıculas id´ enticas 79 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79. 3.

(4) Índice general . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 79 79 81 82 83 83 85 87 87 87 88 94 96 98 99. 4. Sistemas con pocos electrones 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.2. Atomo de Helio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Hamiltoniano no relativista para el He . . . . . . . . 4.2.2. Aproximación de part´ıcula independiente . . . . . . 4.2.3. Efectos de la repulsión electrón-electrón . . . . . . . 4.2.4. Aplicación del método variacional . . . . . . . . . . 4.2.5. Reglas de selección: Orto y Parahelio . . . . . . . . . 4.3. La molécula de H2+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Introducción: la aproximación de Born-Oppenheimer 4.3.2. Niveles electrónicos del ión H2+ . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Enlace covalente vs. enlace iónico . . . . . . . . . . . 4.3.4. El movimiento de los n´ ucleos . . . . . . . . . . . . . 4.3.5. Tipos básicos de moléculas . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Algunas soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. 101 101 101 101 103 107 112 115 116 116 119 125 126 129 131 131 132. 5. Introducci´ on a la f´ısica estad´ıstica: distribuci´ on de Maxwell-Boltzmann 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. F´ısica estad´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Hipótesis ergódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Equilibrio en f´ısica estad´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Definición estad´ıstica de entrop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Paso a la Mecánica Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Distribución de Maxwell-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. El parámetro β y el equilibrio térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. El gas ideal clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 135 135 135 137 138 140 142 144 147 149. 3.2.. 3.3. 3.4.. 3.5. 3.6. 3.7.. 4. 3.1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . 3.1.2. Part´ıculas cl´ asicas . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Part´ıculas cuánticas . . . . . . . . . . . . Sistemas de dos part´ıculas idénticas . . . . . . . 3.2.1. Afirmación fuerte . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Afirmación débil . . . . . . . . . . . . . . Caso general. Postulado de simetrización . . . . . Zoolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Part´ıculas fundamentales . . . . . . . . . 3.4.2. Part´ıculas compuestas . . . . . . . . . . . Antisimetrización de funciones de onda producto Repulsión efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2. Algunas soluciones . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(5) Índice general 5.9. Entrop´ıa y primer principio 5.10. Problemas . . . . . . . . . . 5.10.1. Enunciados . . . . . 5.10.2. Algunas soluciones .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 153 155 155 157. 6. Estad´ısticas Cu´ anticas 6.1. Indistinguibilidad y estad´ıstica . . . . . . . 6.2. Distribución de Fermi-Dirac . . . . . . . . 6.2.1. Distribución de FD a T = 0 . . . . 6.3. El gas ideal en la esFD . . . . . . . . . . . . 6.3.1. El n´ ucleo como gas ideal . . . . . . . 6.4. Sistema de bosones: BE . . . . . . . . . . . 6.5. El cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. El l´ımite clásico de las estad´ısticas cuánticas 6.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2. Algunas soluciones . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. 161 161 161 163 164 167 173 176 179 181 181 183. 7. Transiciones electromagn´ eticas 7.1. Teor´ıa fenomenológica de transiciones . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Transiciones espontáneas e inducidas . . . . . . . . . 7.1.3. Transiciones en presencia de un campo de radiación 7.2. Análisis cuántico de los fenómenos de transición . . . . . . . 7.2.1. Expresión de la probabilidad de transición . . . . . . 7.2.2. Llega la perturbación: radiación electromagnética . . 7.2.3. La aproximación dipolar eléctrica . . . . . . . . . . . 7.2.4. Relación entre las prediciones cuánticas y las clásicas 7.3. Reglas de selección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Algunas soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 187 187 187 187 188 192 192 195 202 203 204 206 206 207. A. Manifiesto de alqua B. GNU Free Documentation License B.1. Applicability and Definitions . . . . . B.2. Verbatim Copying . . . . . . . . . . . B.3. Copying in Quantity . . . . . . . . . . B.4. Modifications . . . . . . . . . . . . . . B.5. Combining Documents . . . . . . . . . B.6. Collections of Documents . . . . . . . B.7. Aggregation With Independent Works B.8. Translation . . . . . . . . . . . . . . .. http://alqua.com/IFC2. 213 . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 217 217 218 218 219 220 221 221 221. 5.

(6) Índice general B.9. Termination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 B.10.Future Revisions of This License . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 C. Comentario a la bibliograf´ıa.. 223. Bibliograf´ıa. 225. 6. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(7) Descripci´ on del documento Este libro se rige por la licencia GNU GFDL 1.1. Dado que alqua mantiene actualizado este documento en http://alqua.com/IFC2 puedes visitar periódicamente esa dirección con objeto de disponer de la versión más actual. Un equipo de editores se encarga del ´ mantenimiento del documento: Joaqu´ın Retamosa Granado (iokin@nuc3.fis.ucm.es), Alvaro Tejero Cantero (alvaro@alqua.com), Pablo Ruiz M´ uzquiz (pablo@alqua.com).. Copyright ´ c 2000, 2002. Joaqu´ın Retamosa Granado, Alvaro Copyright (°) Tejero Cantero, Pablo Ruiz M´ uzquiz. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.1 or any later version published by the Free Software Foundation; with the Invariant Sections being ”Manifiesto de alqua”, with the FrontCover texts being ”Ayuda a mantener el proyecto alqua (http://alqua.com)”, and with no BackCover Texts. A copy of the license is included in the section entitled ”GNU Free Documentation License”.. Ficha bibliogr´ afica Descripci´ on Un segundo curso de f´ısica cuántica, dirigido a introducir los sistemas con pocos electrones, las transiciones electromagnéticas y la f´ısica estad´ıstica cuántica. Contiene ejercicios resueltos. Requisitos ´ Algebra y cálculo de primero de carrera. Una introducción a la f´ısica cuántica que cubra el átomo de hidrógeno.. Palabras clave Método variacional, perturbaciones, transiciones electromagnéticas, reglas de selección, part´ıculas idénticas, zeeman, darwin, esp´ın órbita, molécula, helio, maxwellboltzmann, estad´ıstica, bose-einstein, fermi-dirac, cuerpo negro, bosones, fermiones. Clasificaci´ on. udc:539.1.. 7.

(8) Índice general Ubicaci´ on en la red En la dirección http://alqua.com/IFC2 podrás encontrar la versión más reciente de este documento y, si lo deseas, apuntarte para recibir notificaciones de nuevas versiones. Caracter´ısticas contenido intro. cap´ıtulos, ejemplos, comentario bib., ejercicios, ejercicios resueltos, comentario not.. figuras descritas. indexado normal. colaboraci´ on cvs. estructura micro, matemáticas, secciones. referencias intratextuales, bibliográficas, ecuaciones.. Historia Las siguientes tareas merecen atención, a juicio de los editores y autores: Mejorar la visibilidad del texto en las figuras. Homogeneizar el tratamiento notacional de los operadores. Incorporar una buena explicación del concepto de masa reducida. Explicar el cálculo del hamiltoniano de una part´ıcula en un campo magnético. Explicar detalladamente en qué situaciones es ventajoso considerar un conjunto de part´ıculas idénticas como una sola entidad a efe3ctos de interacción. He aqu´ı los cambios más importantes sufridos por el documento. La versión indica cambios de contenido, mientras que la generación alude al grado de terminación del documento. Para saber más sobre las terminaciones, visita la ubicación en la red del documento. ver. 1.00. 23 de mayo de 2002. A˜ nadidas referencias a la bibliograf´ıa para numerosas figuras ausentes –JRG. Comentarios a la bibliograf´ıa –JRG, ATC. Mejoras generalizadas en el documento –JRG y PRM. Retoques en la sección de abreviaturas y convenios –ATC.. 8. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(9) Índice general Movido el cap´ıtulo de transiciones electromagnéticas al final. –ATC Cambio notacional, para adecuarse a lo indicado en ”Abreviaturas y Convenios”. La reescritura ha topado con algunas dificultades que han de salvarse en próximas versiones. –JRG ver. 0.01. 2 de junio de 2000. Primera versión p´ ublica –JRG y ATC. Agradecemos las notas del primer cap´ıtulo a Teresa Marrodán Undagoitia. Agradecemos la colaboración en las figuras de Cristina Borrero del Pino.. http://alqua.com/IFC2. 9.

(10) Índice general. 10. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(11) Abreviaturas y convenios Abreviaturas ecS. ecuaci´ on de Schr¨ odinger. esMB. estad´ıstica Boltzmann. ecD. ecuaci´ on de Dirac. ecO. ecuaci´ on de ondas. ecM. de. Maxwell-. esBE. estad´ıstica de Bose–Einstein. ecuaciones de Maxwell. esFD. estad´ıstica de Fermi–Dirac. CG. coeficientes Clebsch-Gordan. sr. sistema de referencia. exSG. experimento Stern-Gerlach. CM. centro de masas. Unidades y terminolog´ıa Se utilizará de modo preferente el sistema cgs. Atención a las constantes en las ecuaciones del electromagnetismo. estacionaria se dice de una magnitud que es constante en el tiempo (con derivada parcial respecto al tiempo nula). homog´ enea se dice de una magnitud que no es función de punto (las derivadas parciales respecto a coordenadas espaciales son nulas).. Notaci´ on Operadores En modo matemático LATEX (y por tanto LYX) utiliza por defecto n´ umeros tipo Roman mientras qye los caracteres son tipo Italic. Para caracterizar las magnitudes f´ısicas escalares utilizaremos letras de tipo Italic, en cursiva. Ejemplos son la distancia al origen r, la frecuencia ω o la energ´ıa E. Las magnitudes vectoriales vendrán escritas en Roman negrita como, por ejemplo, B y p que son respectivamente la inducción magnética y el momento lineal. Para los operadores se utilizarán letras Roman (r, H respectivamente el operador asociado a la coordenada radial y el hamiltoniano) excepto si son operadores vectoriales en los que emplearemos letras rectas y sencillas mediante la font Sans Serif (L, p, r son el momento angular orbital, el momento lineal y el operador asociado al vector de posición).. 11.

(12) Índice general En el cuadro 0.2 situamos juntas para su comparación algunas magnitudes f´ısicas y el observable asociado.. Magnitud Posición Distancia M. lineal M. angular Energ´ıa S´ımbolo Mag. r r p L H S´ımbolo Oper. r r p L H Cuadro 0.2: Notaci´ on para operadores.. Nota: la aplicación de este convenio notacional condujo a algunos conflictos, por lo que no es completa a lo largo del documento.. Aproximaciones, igualdades formales Haremos dos tipos de cálculos aproximados: De precisión “orden de magnitud” (s´ımbolo ≈). Estos cálculos pueden ser inexactos hasta en un orden de magnitud. Cálculos más finos, pero, por supuesto y como muchas veces en f´ısica, no totalmente precisos (para ellos utilizaremos el s´ımbolo '). . Por otra parte, el s´ımbolo = se utilizará para denotar igualdades formales, es decir, igualdades que no deben entenderse matemáticamente del modo convencional estricto (porque no tendr´ıan sentido). Un ejemplo de esto lo constituye la regla mnemotécnica del producto . vectorial que lo “iguala” (en el sentido de =) a un determinante, algunos de cuyos elementos son escalares y otros de los cuales son vectores.. Clasificaci´ on de los problemas Es conveniente saber cuál es el propósito de cada problema y sobre qué puntos merece la pena incidir a la hora del estudio de la resolución de problemas. Por eso se han clasificado los ejercicios utilizando los siguientes códigos. [T]. Problema de naturaleza teorica que complementa las clases de teor´ıa.. [TS]. Problema teórico suplementario.. [A]. Problema de aplicación de la teor´ıa.. [X*]. Los problemas marcados con un asterisco presentan una mayor dificultad.. 12. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(13) 1 Pre´ ambulo te´ orico 1.1.. Postulados. Primer postulado El estado de un sistema f´ısico viene caracterizado por una función de onda ψ(r)(1) , definida en el espacio de posiciones, que es de cuadrado sumable. Es decir, su norma al cuadrado Z 2 N 2 (ψ) = dr |ψ(r)| , es una cantidad positiva y finita. La interpretación de Born de la mecánica cuántica asocia a la cantidad |ψ(r)| N 2 (ψ) la interpretación de una densidad de probabilidad de la part´ıcula en la posición dada por r. Podr´ıamos restringir el espacio de funciones de manera que la norma N = 1, o de forma que sólo contuviese funciones tipo C α . Sin embargo desde el punto de vista del desarrollo del formalismo no suponen una gran simplificación de modo que leventaremos estas restricciones. Si introducimos el producto escalar de dos funciones φ y ψ como Z hφ|ψi = drφ∗ (r)ψ(r), el espacio funcional anterior es un espacio de Hilbert F que satisface las siguientes propiedades: 1. Todas las propiedades de un espacio lineal de dimensión finita con producto escalar en él. 2. Completitud y Separabilidad. Definimos un conjunto ortonormal y completo de funciones {φ1 , φ2 , · · · φi , · · · }(2) , que no pertenece necesariamente al espacio de Hilbert, y que verifica 1 Para. simplificar el formalismo admitiremos que el sistema consta de una sola part´ıcula que se trata de un conjunto numerable para poder simplifcar el formalismo. 2 Considero. 13.

(14) 1 Preámbulo teórico R 1. hφi |φj i = drφ∗i (r)φj (r) = δij P P ∗ 2. φi (r)φ∗i (r0 ) = φi (r)φi (r0 ) = δ(r − r0 ) Cualquier función de onda puede escribirse entonces como Z ψ(r) =. dr0 δ(r − r0 )ψ(r0 ) =. X. Z φi (r). dr0 φ∗i (r0 )ψ(r0 ) =. X. hφi |ψi φi (r) =. X. ci φi (r),. y su norma es Z N 2 (ψ) =. ¯X ¯2 X X X 2 ¯ ¯ dr ¯ ci φi ¯ = ci cj hφi |φj i = |ci | i. Estos resultados tienen un gran valor ya que nos indican que cualquier función de onda de nuestro espacio F puede caracterizarse por un conjunto de valores (en este caso los coeficientes ci ) diferentes a los valores de la función de onda en los distintos puntos r del espacio. No es de extra˜ nar que se piense en los elementos del espacio F más como vectores abstractos que como funciones. Por ello, en los sucesivo llamaremos a F espacio de estados y representaré a sus elementos en numerosas ocasiones con la notación de Dirac |ψi. Segundo postulado A toda magnitud f´ısica medible O le corresponde un cierto operador O que act´ ua sobre los estados del espacio F. El operador asociado O debe satisfacer dos propiedades esencialemente: 1. Es autoadjunto 2. Sus vectores propios constituyen un sistema ortonormal completo que permite desarrollar cualquier función de onda. Un operador que satisface estas propiedades se dice que es un observable. Tercer postulado El resultado de cualquier operación de medida de la magnitud O es uno de los valores propios del operador O correspondiente. Cuarto postulado (principio de descomposici´ on espectral) Supongamos que el observable O tiene un espectro discreto y no degenerado. Si denotamos los autovalores y autovectores de O por Oi y |vi i respectivamente tenemos O |vi i = Oi 6=. 14. Oi |vi i ←− discreto Oj i 6= j ←− no degenerado. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(15) 1.1 Postulados Los autovectores |vi i constituyen una base ortonormal en la que podemos desarrollar cualquier estado ∞ X |ψi = ci |vi i i=1. Entonces, la probabilidad de que una medida de la magnitud O dé como resultado el autovalor Oi es 2. 2. P (Oi ) =. |hvi |ψi| |ci | = hψ|ψi hψ|ψi. Si la norma hψ|ψi = 1 entonces la expresión toma la forma particular 2. 2. P (Oi ) = |ci | = |hvi |ψi|. Un hecho de extraordinaria importancia es que toda medida sobre un sistema tiene carácter destructivo y altera profundamente la estructura del estado que caracteriza al sistema. Se produce la llamada reducci´ on del paquete de ondas: independientemente de cuál fuera el estado previo, a partir del momento inmediatamente posterior a una medida con resultado Oi el estado del sistema es |vi i, el autovector correspondiente al autovalor medido. Ejemplo |ri caracteriza a una part´ıcula que se encuentra en la posición dada por el vector r, es decir son autoestados del operador posición r |ri = r |ri , y constituyen una base ortonormal generalizada, esto es 0 R hr|r i dr |ri hr|. = =. δ(r − r0 ) 1. Si el sistema se encuentra en un estado normalizado |ψi, la amplitud de probabilidad de encontrar la part´ıcula en la posición r, es decir la función de onda ψ(r), vendrá dada por ψ(r) = hr|ψi , y podremos escribir Z |ψi =. Z dr |ri hr|ψi =. drψ(r) |ri .. expresion en la que se observa que las componentes del vector de estado en la base |ri son precisamente los valores de la función de onda en los distintos puntos del espacio. Analogamente |pi representa el estado de una part´ıcula con momento bien definido, o formalmente. http://alqua.com/IFC2. 15.

(16) 1 Preámbulo teórico. p |pi = p |pi . Estos estados también constituyen una base ortonormal y por tanto tenemos que 0 R hp|p i dp |pi hp|. = =. δ(p − p0 ) 1. La amplitud de probabilidad de encontrar la part´ıcula con momento p si el estado normalizado del sistema es |ψi viene dada por φ(p) = hp|ψi , es decir, la función de onda en el espacio de momentos es la proyección del estado del sistema sobre el bra hp|. También podemos escribir Z Z |ψi = dr |pi hp|ψi = drφ(r) |pi . Quinto postulado (evoluci´ on en el tiempo) La evolución del estado del sistema esta gobernada por la ecuación de Schr¨ odinger H |ψ(t)i = i~. ∂ |ψ(t)i ∂t. Consideremos, a modo de ejemplo, dos casos particulares en los que la evolución temporal es muy distinta. 1. Si el estado |ψ(t)i del sistema posee energ´ıa bien definida (es autoestado de H) entonces H |ψ(t)i = E |ψ(t)i y la solución a la ecuación de Schr¨ odinger viene trivialmente dada por E. |ψ(t)i = e−i ~ t |φi donde |φi es independiente del tiempo y al igual que |ψ(t)i satisface H |φi = E |φi que es la denominada Ecuación de schr¨ odinger independiente del tiempo. Por tanto la evolución temporal de un estado de energ´ıa bien definida es trivial, ya que toma la forma de una fase. 2. Vamos a considerar ahora un caso distinto. Para simplificar, admitiremos que el espacio de estados tiene dimension 2 y que una base del mismo está formada por los estados independientes del tiempo |φ1 i , |φ2 i. Podr´ıa (solo podr´ıa) tratarse de los. 16. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(17) 1.1 Postulados ci 1 0.8 0.6 0.4 0.2 5. 10. 15. 20. t. Figura 1.1: Valor de los coeficientes en funci´ on del tiempo. autoestados de un cierto H. Entonces el vector |ψ (t)i que define el estado del sistema siempre puede descomponerse como |ψ (t)i = c1 (t) |φ1 i + c2 (t) |φ2 i 2. 2. donde |c1 (t)| + |c2 (t)| = 1 si el estado está conveneientemente normalizado. Supongamos que en el instante inicial t = 0 |ψ (0)i = |φ1 i; entonces para t = 0 se tiene c1 (0) = 1 y c2 (0) = 0. A medida que t crece los valores de los coeficientes evolucionaran (más o menos) como se muestra en la figura 1.1. La probabilidad de que al efectuar una medida en un instante posterior t se encuentre en el el estado 2 viene dada por 2 2 P1→2 (t) = |c2 (t)| = |hφ2 |ψ(t)i| en donde simplemente hemos utilizado el postulado 4. Ya que el sistema se encontraba inicialmente en el estado 1, esta expresión también se conoce como probabilidad de transici´ on del estado 1 al 2 en el intervalo de tiempo t. Consideremos un n´ umero enorme N de sistemas que sólo poseen dos estados que denotaremos como 1 y 2, tales que E1 > E2 . Supongamos que realizamos un experimento en el que en el instante t = 0 de tiempo los N sistemas se hallan en el estado 1. A medida que el tiempo transcurre algunos sistemas transicionan al segundo estado. Llamemos n(t) al n´ umero de sistemas que se encuentran en 2 justo en el instante de tiempo t. Normalmente los dispositivos experimentales que se dise˜ nan para medir n(t) lo que hacen es detectar y contar las part´ıculas que se emiten en las transiciones desde 1 a 2 (si E1 < E2 se absorber´ıan part´ıculas). Habitualmente por cada sistema que transiciona se emite una sóla part´ıcula. Por ejemplo si se trata de transiciones de tipo electromagnético dichas part´ıculas son fotones. Desde tiempos históricos se sabe que la función n(t) satisface n(t) = λt, y por tanto. http://alqua.com/IFC2. 17.

(18) 1 Preámbulo teórico. n(t) λ dP1→2 (t) = t −→ = λ, N N dt es decir, que la probabilidad de transición por unidad de tiempo es una constante. P1→2 (t) =. Reglas de correspondencia Al actuar sobre la función de ondas en el espacio de posiciones asociamos a los vectores r, p, dados en coordenadas cartesianas, los siguientes operadores r p. =⇒ =⇒. r p = −i~∇. Es conveniente recordar ahora la definición exacta de momento lienal. Si L es el lagrangiano del sistema, el momento lineal de la part´ıcula viene dado por p=. ∂L ∂v. En sistemas sencillos donde el potencial no depende de las velocidades, momento lineal p y cantidad de movimiento mv coinciden. Sin embargo pueden existir diferencia apreciables en sistemas más complejos Ejemplo Cuando la part´ıcula interacciona con un campo electromagnético externo caracterizado por sus potenciales escalar y vector, el momento lineal no coincide con mv, y viene dado por q p = mv + A c ya que el lagrangiano de este sistema es de la forma L=. 1 q mv 2 + v · A + qφ 2 c. donde φ y A son el potencial escalar y vector respectivamente. El hamiltoniano correspondiente a L es 2. (mv) 1 mv 2 + qφ = + qφ, 2 2m y teniendo en cuenta que mv = p − qc A toma la forma 1 ³ q ´2 H= p − A + qφ 2m c H =p×v−L=. Queremos insistir finalmente en que es el momento lineal el que lleva asociado el operador−i~∇ y no la cantidad de movimiento, salvo que ambos coincidan. Por el contrario es la cantidad de movimiento mv = p − qc A la que aparece en el hamiltoniano.(3) . Aplicando las reglas de correspondencia tenemos 3 Para. el resto del curso conviene fijarse muy bien en el signo entre p y confusiones derivadas del hecho de que la carga del electr´ on es q = −e.. 18. q A, c. porque a veces se producen. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(19) 1.2 Teor´ıa de perturbaciones estacionarias. H→H=. 1.2.. ´2 1 ³ q ´2 1 ³ q p − A + qφ = −i~∇ − A(r, t) + qφ(r, t) 2m c 2m c. Teor´ıa de perturbaciones estacionarias. En esta sección, as´ı como en la siguiente, vamos a introducir métodos para obtener de forma aproximada los estados propios y autoenerg´ıas de la ecuación de Schr¨ odinger independiente del tiempo. Este tipo de desarrollos son muy importantes porque, en general, no resulta posible resolver de forma exacta la ecuación de Schr¨ odinger. Supongamos que el hamiltoniano del sistema puede escribirse como H = H0 + λW donde H0 es el hamiltoniano no perturbado cuyas autoenerg´ıas y vectores propios son bien conocidos H0 |ni = εn |ni Puesto que H0 es un observable sus vectores propios forman un conjunto ortonormal completo, esto es = Phn|mi |ni hn| =. δnm 1. El segundo término del hamiltoniano es lo que llamamos la perturbación (de H0 ). En un problema f´ısico concreto el parámetro λ toma un valor determinado en ciertas unidades. Ahora, para desarrollar el método, admitiremos que es un parámetro libre. El problema que queremos resolver es la ecS independiente del tiempo correspondiente a H, H |ψn i = En |ψn i. (1.1). Proponemos una solución en forma de serie de potencias del parámetro λ ¯ ¯ ¯ E E E ¯ (0) ¯ (1) ¯ (2) |ψn i = ¯ψn + λ ¯ψn + λ2 ¯ψn + . . . (0). (1). (2). En = En + λEn + λ2 En. (1.2). La idea que subyace en este método es que en aquellos problemas concretos donde λ toma un valor muy peque˜ no podremos truncar el desarrollo y quedarnos sólo con sus primeros términos. Desde un punto de vista más amplio, aunque los primeros términos del desarrollo nos porporcionen valores razanables, no está garantizado que las series anteriores converjan. Introduciendo las soluciones 1.2 en nuestra ecuación de partida tenemos ¯ ¯ h¯ E E E i h i h¯ E i ¯ ¯ ¯ ¯ (H0 + λW) ¯ψn(0) + λ ¯ψn(1) + λ2 ¯ψn(2) + . . . = En(0) + λEn(1) + λ2 En(2) + . . . ¯ψn(0) + . . . ,. http://alqua.com/IFC2. 19.

(20) 1 Preámbulo teórico e identificando en esta igualdad los términos de igual orden en λ obtenemos ¯ ¯ ³ ´¯ E ³ ´¯ E E E ¯ ¯ ¯ ¯ H0 − En(0) ¯ψn(k) = En(1) − W ¯ψn(k−1) + En(2) ¯ψn(k−2) + En(3) ¯ψn(k−3) + . . . As´ı, para los valores de k mas peque˜ nos resultan las siguientes igualdades k=0. k=1. k=2. ´¯ E ¯ H0 − En(0) ¯ψn(0) = 0. (1.3). ´¯ E ³ ´¯ E ¯ ¯ H0 − En(0) ¯ψn(1) = En(1) − W ¯ψn(0). (1.4). ¯ E E ´¯ ´¯ E ³ ¯ ¯ ¯ H0 − En(0) ¯ψn(2) = En(1) − W ¯ψn(1) + En(2) ¯ψn(0). (1.5). ³. ³. ³. Vamos a introducir ahora el convenio de la normalizaci´ on intermedia que se utiliza bastante en teor´ıa de perturbaciones y consiste en imponer D E (0) (0) ψn |ψn = 1 E D (0) = 1 ψn |ψn A partir del desarrollo previo (véase 1.2) tendremos E E D E D E D D ψn(0) |ψn = 1 =⇒ ψn(0) |ψn(0) + λ ψn(0) |ψnm(1 + λ2 ψn(0) |ψn(2) + . . . = 1, E D (0) (0) = 1, entonces y como ψn |ψn D E D E λ ψn(0) |ψnm(1 + λ2 ψn(0) |ψn(2) + . . . = 0 con λ libre lo que nos deja el siguiente conjunto de igualdades E D ψn(0) |ψn(k) = 0 k ≥ 1 ¯ ® ´ Estas nos indican que las sucesivas correcciones ¯ψ (k) , k ≥ 1, que vamos a˜ nadiendo a la (0) función de onda de orden cero ψ , son independientes de la misma.. 1.2.1.. Teor´ıa de perturbaciones: caso no degenerado. En este caso tenemos que εn. 6=. εm n 6= m. y por lo tanto a cada autovalor le corresponde un u ńico autovector.. 20. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(21) 1.2 Teor´ıa de perturbaciones estacionarias (0). Volviendo a ?? concluimos que En correspondiente. Por lo tanto. (0). es autovalor de H0 y que ψn. E (0) ¯ nE ¯ (0) ¯ψn. =. εn. =. |ni. es el autoestado. ¯ E ¯ (0) Si el espectro fuese degenerado ¯ψn ser´ıa en general una combinación lineal de todos los autoestados |ni asociados al mismo autovalor. Dado que ¯ losE autoestados de H0 forman una base del espacio de estados siempre podemos ¯ (1) expresar ¯ψn como ¯ E X ¯ (1) am |mi , = ¯ψ n m. y usando la normalización intermedia E D E D n|ψn(1) = ψn(0) |ψn(1) = 0 =⇒ an = 0 con lo que. ¯ E X ¯ (1) = am |mi ¯ψ n m6=n. Vamos ahora a proyectar ?? sobre un bra hk| lo que da ¯ E D ¯³ ´¯ E D ¯ P ¯ ¯ (1) ¯ (0) ¯ k ¯En − W¯ n = En(1) δkn − hk |W| ni , ¯ m am = m6=n k ¯ H0 − En y en consecuencia (εk − εn ) ak = En(1) δkn − hk |W| ni ∀k, n Es conveniente distinguir los dos casos siguientes k=n 0=. (1). En − hn |W| ni =⇒. (1). En = hn |W| ni. k 6= n (εk − εn ) ak hk |W| ni =⇒ ak = − εk − εn ¯ E X ¯ =⇒ ¯ψn(1) = ak |ki k6=n. http://alqua.com/IFC2. = hk |W| ni =⇒ hk |W| ni = =⇒ εn − εk X hk |W| ni = εn − εk k6=n. 21.

(22) 1 Preámbulo teórico Por lo tanto el caso k = n nos proporciona la corrección de orden 1 (en λ) a la energ´ıa y el segundo caso nos da la expresión de la función de onda hasta primer orden |ψn i = |ni +. X hk |W| ni |ki + · · · εn − εk. k6=n. Nuestro siguiente paso consistirá en obtener la corrección de orden 2 a la energ´ıa del estado. Para ello consideramos la ecuación ?? y la proyectamos sobre hn| ¯ E D E D D E D ¯ E ¯ ¯ n ¯H0 − En(0) ¯ ψn(2) = En(1) n|ψn(1) − n |W| ψ (1) + En(2) n|ψn(0) , y como ¯ E D ¯ ¯ (0) ¯ (2) = n ¯H0 − En ¯ ψn D E (1) (1) En n|ψn. ³. (0). ´D. εn − En. (2). E. n|ψn. =0. =. 0. podemos despejar trivialmente. =. En(2). =. D E n |W| ψn(1) =. X hn |W| ki hk |W| ni εn − εk. =. X |hk |W| ni|2 εn − εk. k6=n. k6=n. En resumen, las expresiones aproximadas que hemos obtenido para la energ´ıa y la funci´ on de onda son En. =. εn + hn |λW| ni +. X |hk |λW| ni|2 + ... εn − εk. k6=n. |ψn i =. X hk |λW | ni |ni + |ki + . . . εn − εk k6=n. Si las correcciones que vamos obteniendo son peque˜ nas puede tener sentido retener sólo los primeros términos. Para ello será necesario que |hn |λW| ni| ¿ |hk |λW| ni| ¿. 1.2.2.. εn |εn − εk |. Teor´ıa de perturbaciones: caso degenerado. Tal y como puede observarse, las ecuaciones anteriores no son válidas cuando εn = εm , n 6= m. Incluso cuando εn ' εm el desarrollo puede tener problemas de convergencia. Sin embargo, el sistema de ecuaciones ??, ?? y ?? sigue siendo válido y, en particular, la propia (0) asignación En = εn .. 22. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(23) 1.2 Teor´ıa de perturbaciones estacionarias Lo que ya no es necesariamente válido es la identificación de los autoestados debido a que ahora n no identifica un solo autovector sino un conjunto de ellos. Por eso cambiaremos la notación como sigue H |n, ri = εn |n.ri r = 1, 2, . . . d donde el nuevo ´ındice r diferencia entre estados con la misma energ´ıa . Las soluciones perturbativas expresadas como un desarrollo en serie son ahora ¯ ¯ ¯ E E E ¯ (0) ¯ (1) ¯ (2) |ψn,r i = ¯ψn,r + λ ¯ψn,r + λ2 ¯ψn,r + . . . (1.6) (0) (1) (2) En,r = En,r + λEn,r + λ2 En,r + · · · ya que cada nivel n puede desdoblarse en d estados al introducir la perturbación. La forma más general de los d autoestados de orden cero correspondientes al nivel n es d ¯ E X ¯ (0) αrs0 |n.s0 i ¯ψn,r =. r = 1, 2, . . . , d. s0 =1. Los coeficientes αrs0 no pueden ser cualesquiera sino que vienen fijados por la perturbación. En efecto, proyectando ?? sobre los estados hn, s| , s = 1, 2, . . . , d ¯ ¯ D E ¯ ¯ (1) n, s ¯H0 − En(0) ¯ ψn,r = 0. =. D. ³ É (1) (0) n, s| En,r − W ψn,r ¯ ¯ E XD ¯ (1) ¯ n, s ¯En,r − W¯ n, s0 αrs0 s0. que queda finalmente reducido a d X. (1) αrs, hn, s |W | n, s0 i αrs = En,r. r, s ∈ {1, . . . , d}. s0 =1. o {. z. }| hn, 1 |W | n, 1i hn, 1 |W | n, 2i   hn, 2 |W | n, 1i hn, 2 |W | n, 2i    . ... ..  αr1     αr2    αrd hn, d |W | n, di. . .  αr1     = En,r  α2     αrd. Esta ecuación de autovalores nos proporciona las d energ´ıas en que se separa el nivel n y los d conjuntos de coeficientes {αrs , s = 1 . . . d} que definen los correspondientes autovectores. Como casi todos los sistemas f´ısicos tienen niveles degenerados podr´ıa parecer que siempre hay que utilizar teor´ıa de perturbaciones degenerada y resolver la ecuación anterior. En ocasiones la matriz hn, r |W | n, si es diagonal en los estados |n, ri y entonces podemos recuperar la expresión del caso no degenerado a orden 1.. http://alqua.com/IFC2. 23.

(24) 1 Preámbulo teórico Si hnr |W | nsi ∝ δrs entonces  hn, 1 |W | n, 1i  hn, 2 |W | n, 2i   . . ... ..   αr1 αr1   α2   αr2   = En      αrd αrd hn, d |W | n, di.    . y nos queda E (1) = ¯ nrE ¯ (0) = ¯ψn,r. hn, r |W| n.ri. r = 1...d. |n, ri. En los casos de aplicación de la teor´ıa de perturbaciones en este curso se dará habitualmente esta situación por lo que utilizaremos teor´ıa de perturbaciones no degenerada. Ejemplo: perturbación cuadrática en x del oscilador armónico Consideremos una part´ıcula de masa m que realiza un movimiento unidimensional sometida al hamiltoniano p2 1 1 1 H= + mω 2 x2 + λmω 2 x2 = H0 + λmω 2 x2 2m 2 2 2 que es la suma de un oscilador m´ as un término cuadr´ atico en x. El objetivo de este ejemplo es calcular las autoenerg´ıas de este hamiltoniano de dos formas diferentes. Recordemos que los autovalores de H0 son 1 En0 = ~ω n + 2. 1. Primero procederemos al cálculo de los nuevos autovalores de forma exacta. Para ello observamos que H = H0 +. 1 p2 1 p2 1 λmω 2 x2 = + mω 2 (1 + λ) x2 = + mω 02 x2 2 2m 2 2m 2. √ donde ω 0 = ω 1 + λ. Por lo tanto podemos escribir que . En = ~ ω 0 n +. 1 2. . . = ~ω n +. 1 2. . 1+. λ λ2 − + ... 2 8. . 2. Como estrategia alternativa procederemos utilizando teor´ıa de perturbaciones. Introducimos los operadores de aniquilaci´ on A y de destrucci´ on A+ definidos como sigue A = (2m~ω)− 2 (mωx + ip) 1 A+ = (2m~ω)− 2 (mωx − ip) 1. . . que poseen conmutador A, A+ = 1. Se introduce también el operador n´ umero N = A+ A cuyos autovalores son simplemente los n´ umeros naturales N |ni = n |ni , n = 0, 1, 2, .... 24. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(25) 1.2 Teor´ıa de perturbaciones estacionarias El hamiltoniano no perturbado se expresa en funci´ on de este nuevo operador como . H0 = ~ω N + de manera que. . H0 |ni = ~ω N +. 1 2. . 1 2. . . |ni = ~ω n +. 1 2. . |ni. Algunas propiedades de los autoestados de N son. a) ortogonalidad hn|n0 i = δnn0 √ b) aniquilación A |ni = n |n − 1i √ c) creación A+ |ni = n + 1 |n + 1i d ) φ(0) n = Hn (x) = hx|ni Expresando W en términos de los operadores de creaci´ on y aniquilaci´ on resulta W=. 2 2 1 1 1 mω 2 x2 = ~ω A + A+ = ~ω A2 + A+ + 2N + 1 2 4 4. Las energ´ıas aproximadas (hasta segundo orden en λ ) se escriben En = En0 + λ hn |W| ni + λ2. X |hn0 |W| ni|2 n6=n0. En0 − En0 0. Los u ńicos elementos de matriz no nulos de la perturbaci´ on son hn |W| ni hn |W| n + 2i. = =. hn |W| n − 2i. =. 1 4 1 4. 1 4. ~ω hn

(26) |2N

(27) + 1| ni ~Dω

(28) n

(29) A2

(30) n

(31) + 2 E. ~ω.

(32). 2

(33). n

(34) A+

(35) n − 2. = = =. 1 4. ~ω(2n + 1) ~ω[(n + 1)(n + 2)]1/2 1 ~ω[n(n − 1)]1/2 4 1 4. Verifiquemos expl´ıcitamente el primero de ellos p.

(36) 2

(37) √ n

(38) A

(39) n = hn |AA| ni = n hn |A| n − 1i = n (n − 1) hn|n − 2i D

(40) 2

(41)

(42) E

(43) n

(44) A+

(45) n. hn |2N + 1| ni = (2n + 1) hn|ni. =. 0. =. 0. =. 2n + 1. Substituyendo en la expresi´ on superior llegamos a En = En0 + λ. ~ω (2n + 1) + λ2 (~ω)2 (n + 1)(n + 2) + 4. 16. 0 En0 − En+2. n(n + 1) 0 En0 − En−2. . 0 y teniendo en cuenta que En0 − En±2 = ∓2~ω, obtenemos nuevamente. . En = ~ ω n +. 1 2. . 1+. λ λ2 − + ... 2 8. . Ejemplo: Teor´ıa de perturbaciones (no degenerada) en un sistema de dos niveles. http://alqua.com/IFC2. 25.

(46) 1 Preámbulo teórico Admitamos que el hamiltoniano del sistema, H, tiene la siguiente forma: H = H0 + λW donde H0 es tal que conocemos sus autoenerg´ıas y autoestados

(47)

(48). E. (0). H 0

(49) φ i.

(50) E

(51) (0)

(52) φ i. (0). = Ei. Para reducir el formalismo a un m´ınimo admitiremos que on 2 y n

(53) el espacio Eo de estados tiene dimensi´

(54) (0) por tanto el ´ındice anterior toma valores i = 1, 2 . Como

(55) φi es una base de autofunciones i=1,2. ortonormales, se verifican las siguientes relaciones D. (0). (0). φ1 |φ1. E. D. (0). (0). = φ2 |φ2 D. (0). (0). φ1 |φ2. E E. =. 1. =. 0. El objetivo que perseguimos es resolver la ecS correspondiente al hamiltoniano completo H |φi = E |φi cuando λ ¿ 1 (perturbaci´ on peque˜ na ). Cualesquiera que sean los autoestados exactos |φi, podemos desarrollarlos como |φi = α1 |φ1 i + α2 |φ2 i Sustituyendo esta expresi´ on en la ecS tenemos H |φi.

(56)

(57). (0). E. =. β1

(58) φ1. =. E |φi. =. Eα1

(59) φ1.

(60)

(61). (0).

(62)

(63). (0). + β 2

(64) φ 2 E. E.

(65)

(66). (0). + Eα2

(67) φ2. E D.

(68). (0)

(69). D.

(70). (0)

(71). Podemos poner los coeficientes β en funci´ on de los α. Proyectando sobre φ1

(72) y por φ2

(73) para aprovechar las relaciones de ortogonalidad se obtiene, respectivamente D D. E. (0). φ1 |H| φ. =. β1. (0) φ2. =. β2. E. |H| φ. Luego β1. = =. β2 D. D D. E. (0). φ1 |H| φ. . (0). D. (0). (0). (0). α1 φ1 |H| φ1. =. α1 φ2 |H| φ1. (0). D. (0). D. (0). (0). =. Si al elemento de matriz φi |H| φj (0). E. E E. E.

(74)

(75). (0). + α2

(76) φ2 D. EE. (0). (0). + α2 φ1 |H| φ2 D. (0). (0). + φ2 |H| φ2. E. E. lo llamamos Hij tenemos una matriz 2 × 2 que cumple (0). H21 = φ2 |H| φ1. 26.

(77)

(78). φ1 |H| α1

(79) φ1. E. D.

(80).

(81). (0) (0) = φ1

(82) H+

(83) φ2. E∗. ∗ = H12. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(84) 1.2 Teor´ıa de perturbaciones estacionarias por ser H herm´ıtico (H = H+ ). As´ı, las ecuaciones anteriores que expresan los β en funci´ on de los α se escriben de forma m´ as compacta:. o bien. β1. =. α1 H11 + α2 H12 = Eα1. β2. =. α1 H21 + α2 H22 = Eα2. . H11 H21. . H12 H22. α1 α2. !. α1 =E α2. !. Los autovalores de esta matriz se obtienen a partir de la f´ ormula 0. s. 1 E = @H11 + H22 ± |H11 − H22 | 2. 1. 4 |H12 |2 A 1+ (H11 − H22 )2. (1.7). Vamos a proceder a calcular los diferentes términos de esta expresi´ on de la energ´ıa para el hamiltoniano perturbado en funci´ on de los datos del problema, es decir, de la perturbaci´

(85) E on λW , del

(86) (0) (0) hamiltoniano no perturbado y de las energ´ıas y autofunciones de éste, Ei y

(87) φi respectivamente.. H11. =. H22. =. H12. =. D. (0). E. (0). φ1 |H0 + λW| φ1. D. (0). (0). (0). = E1 + λ φ1 |W| φ1. E. (0). = E1 + λW11. (0). E2 + λW22 D. (0). (0). φ1 |H0 + λW| φ2. E. = λW12. D. (0). (0). la u ´ltima igualdad se verifica en virtud de φ1 |H0 | φ2 4 |H12 |2 (H11 − H22 )2. =. =. '. h. E. = 0. Ahora necesitamos el término. 4λ2 |W12 |2 (0). (0). E1 − E2 + λ (W11 − W22 )2. . . 4λ2 |W12 |2 (0). (0). 2. 2. (0). (0). E1 − E2. 4λ |W12 | E1 − E2. i2 12. 0 2 @. 1 11 −W22 1 + λ W(0) (0). E1. A. −E2. 2. Donde la u ´

(88) ltima expresi´ ermino de un desarrollo en serie cuya exactitud depen

(89) on es el primer t´

(90) (0) (0)

(91) de de que

(92) E1 − E2

(93) À λ |W11 − W22 |, por lo que no puede haber degeneraci´ on. La ra´ız la desarrollamos: s 1+. http://alqua.com/IFC2. 4 |H12 |2 2λ2 |W12 |2 3 =1+ 2 + o λ H11 − H22 (0) (0) E1 − E2. 27.

(94) 1 Preámbulo teórico alqua.com/figuras. Figura 1.2: Tres niveles de energ´ıa por debajo del 0 y un continuo de ellos por encima. Si enchufamos todo esto en la ecuaci´ on 1.7 E1. =. H11 +. E2. =. H22 +. λ2 |W12 |2 (0) − E1 λ |W12 |2 (0) (0) E2 − E1 (0) E2 2. . |W21 |2. (0). + O λ3 = E1 + λW11 + λ2 . (0). + O λ3 = E2 + λW22 +. (0) − E2 |W12 |2 λ2 (0) (0) E2 − E1 (0) E1. + O λ3 + O λ3. . o, por ejemplo, para la primera autoenerg´ıa: (0). D. (0). (0). E1 = E1 + φ1 |λW| φ1. 1.3.. M´ etodo variacional. 1.3.1.. Descripci´ on. E. +.

(95) D E

(96) 2

(97) (0) (0)

(98)

(99) φ2 |λW| φ1

(100) (0). (0). E1 − E2. + O(λ3 ). El objetivo que perseguimos en esta sección es el cálculo (aproximado) de las energ´ıas y autofunciones del espectro discreto, y en particular del estado fundamental del sistema, que supondremos no degenerado. Denotemos por E1 a su energ´ıa, que es la más baja del sistema, y por |φ1 i al estado correspondiente. El método variacional se basa en un teorema debido a Ritz que afirma: Sea H un operador herm´ıtico con espectro discreto y acotado inferiormente. Si introducimos el funcional E E : |ψi ∈ F → E [ψ] =. hψ |H| ψi hψ|ψi. entonces E [ψ] ≥ E1 ∀ |ψi ∈ F, E[ψ] = E1 sys |ψi = |φ1 i La minimización del funcional anterior o, para ser más precisos, la busqueda de los extremos del mismo conduce a una solución formal que nos indica que dichos extremos locales corresponden a estados |ψi que son autoestados de |Hi. En otras palabras, la minimizaci´ on formal nos conduce a la ecS.. 28. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(101) 1.3 Método variacional. Figura 1.3: Esquema de un espacio de Hilbert. Este resultado, aunque teóricamente muy elegante, no es de gran ayuda si no sabemos resolver la ecS. En tanto y cuanto deseemos buscar soluciones aproximadas de la misma conviene proceder de otra forma. En concreto, escogemos, basandonos en argumentos de tipo f´ısico, una familia de estados (de prueba) |ψp (b)i y calculamos el funcional E correspondiente a estas funciones. En esta u ´ltima expresión b representa un conjunto de parámetros de los que dependen las funciones de prueba. Por supuesto, que esta familia no cubre completamente el espacio de estados (ver 1.3), pero basta que contenga el m´ınimo absoluto para que el método funcione. Cuando nos restringimos a nuestras funciones de prueba hψ (b) |H| ψ (b)i E [ψ (b)] = =⇒ E [b] hψ (b) |ψ (b)i el funcional se reduce simplemente a una funci´ on de los parámetros b.. 1.3.2.. M´ etodo variacional en un sistema de dos part´ıculas. Sea un sistema de dos part´ıculas de masas m1 , m2 cuyas posiciones en un sr fijo son r1 , r2 y cuyo hamiltoniano se escribe como H=. p21 p2 + 2 + V (|r1 − r2 |) 2m1 2m2. Se consigue una simplificación notable del problema realizando el siguiente cambio de variables m1 r1 + m2 r2 m1 r1 + m2 r2 ˙ R= = −→ P = M R m1 + m2 M r = r2 − r1 −→ p = m˙r m1 m2 M. siendo m = la masa reducida del sistema. Tras el cambio de coordenadas el hamiltoniano queda reducido a H=. http://alqua.com/IFC2. P2 p2 + + V (|r|) 2M 2m. 29.

(102) 1 Preámbulo teórico De esta forma hemos reducido un problema de dos part´ıculas en interacción en dos problemas de una sóla part´ıcula. Una de ellas, con coordenada R , es una part´ıcula libre y la otra cuya coordenada es r < <ve> >el potencial V . En el sistema de referencia inercial asociado al CM se cumple que P = 0, con lo cual el hamiltoniano queda reducido a H=. p2 + V (r) r = |r| 2m. Hasta ahora todo son cantidades clásicas. Para construir el operador asociado aplicamos las reglas de correspondencia de Schr¨ odinger p −→ p = −i~∇r r −→ r = r de forma que H −→ H = − Substituyendo ∇2 =. 1 ∂2 r ∂r 2 r. −. L2 ~2 r2. ~2 2 ∇ + V (r) 2m. tenemos que. H=−. ~2 1 ∂ 2 L2 r + + V (r) 2m r ∂r2 2mr2. Cuando se resuelve el problema de autovalores correspondiente a este hamiltoniano se encuentra que las funciones de onda de los estados ligados del espectro discreto son φnlm = φnlm (r, θ, ϕ) = Rnl (r) Yml (Ω) donde Rnl es la función radial y los armónicos esféricos Yml que obtenemos son los autoestados del momento angular orbital y cumplen L2 Yml Lz Yml Z ³ 0 ´∗ dΩ Yml 0 Yml. = =. ~2 l (l + 1) Yml ~mYml. =. δll0 δmm0. De los casos simples que ya conocemos (átomo de hidrógeno, oscilador tridimensional. . . ) parece deducirse que el estado fundamental siempre posee l = 0, y en consecuencia una función de onda Rn0 (r) φn00 (r) = √ 4π ya que Y00 = √14π . Dado que estamos interesados en buscar aproximaciones al estado fundamental, podemos proponer funciones de prueba que sólo dependan de la coordenada radial, esto es φ = φ (r) ,. 30. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(103) 1.3 Método variacional y entonces el funcional de la energ´ıa será R E [φ] =. 1.3.3.. drφ∗ (r) Hφ (r) = R 2 dr |φ (r)|. R. n 2 o ~ 1 d2 dr · r2 φ∗ (r) − 2m φ (r) r dr 2 r + V R 2 dr · r2 |φ(r)|. Aplicaci´ on del m´ etodo al ´ atomo de hidr´ ogeno. Apliquemos estas expresiones al ejemplo t´ıpico de sistema a dos cuerpos: el átomo de H1 . En este caso m=. me mπ me +mπ. ≈ me es la masa reducida. 2. V (r) = − er. Conviene introducir la variable adimensional ρ =. r a0 ,. a0 =. ~2 me2. ' 0,5A. As´ı el funcional se escribe E [φ] =. EI. R. o n ~2 1 d2 e2 1 φ(ρ) dρρ2 φ∗ (ρ) − 2ma 2 ρ dρ2 + − a ρ 0 0 R 2 dρρ2 |φ(ρ)|. Ahora bien 1 me4 ~2 = = EI , 2 2ma0 2 ~2 y me4 e2 = 2 = 2EI a0 ~ con lo cual llegamos a la forma final del funcional n 2 o R d 2 dρρ2 φ∗ (ρ) ρ1 dρ φ(ρ) 2 + ρ E [φ] = −EI R 2 2 dρρ |φ(ρ)| Ya estamos en disposición de proponer una forma para las funciones de prueba para lo cual acudimos, como siempre, a argumentos f´ısicos. De los distintos ejemplos ya conocidos parece deducirse que en el caso de potenciales que decaen a cero muy suavemente las función de onda tienen la forma asintótica φ(ρ) → e−bρ , ρ → ∞. Precisamente por ello es razonable proponer funciones de prueba que tengan la forma de un polinomio por la exponencial anterior. En el caso que nos ocupa investigaremos la función más sencilla posible, que es la propia exponencial.. http://alqua.com/IFC2. 31.

(104) 1 Preámbulo teórico E 15 12.5 10 7.5 5 2.5 -2. 2. 4. b. Figura 1.4: E [b]. φ (b, ρ) = e−bρ . Para obtener la función de la energ´ıa E(b) debemos calcular primero las siguientes integrales µ. Z dρ ρ2 e−2bρ =. 1 2b. ¶3 Z. ∞. x2 e−x dx =. 0. Γ(3) 1 = 3, 8b3 4b. donde hemos efectuado el cambio de variable x = 2bρ y los l´ımites de integración son antes como después del cambio. Además hemos tenido en cuenta que Γ (p) = R0, ∞ tanto dx xp−1 e−x = (p − 1)!. Por su parte la integral que aparece en el numerador es ½ ¾ Z Z © ª d2 2 b−2 dρρ2 e−bρ − 2 − e−bρ = dρ (2b − 2) ρe−2bρ − b2 ρ2 e−2bρ = . . . = , dρ ρ 4b2 donde se ha utilizado el mismo cambio de variable x = 2bρ. Finalmente llegamos a la siguiente expresión E [b] = EI. b−2 4b2 1 4b3. = b2 − 2b. Ahora sólo tenemos que minimizar E[b] respecto a b. El u ńico m´ınimo se obtiene para b = 1 y el valor de la función en el mismo es E [1] = −EI ' −13,6eV . La función de onda, que no está normalizada, es φEF = e−ρ . Como puede observarse los resultados obtenidos coinciden con los que se obtienen al resolver directamente la ecS. Ello es debido a que la familia de funciones propuestas contiene el verdadero estado fundamental. Es conveniente estudiar otras propiedades además de la energ´ıa para valorar la exactitud del la solución. Vamos a calcular, por ejemplo, el tama˜ no del átomo. Para estimarlo usaremos el radio cuadrático medio (la ra´ız cuadrada del valor medio del cuadrado de la distancia electrón–n´ ucleo) p rqm = hr2 i ,. 32. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(105) 1.4 Suma de momentos angulares utilizando la función de onda que hemos obtenido, es decir, φ(1, r): R R 2® dr φ∗ r2 φ dρ ρ4 e−2ρ Γ (5) 2 R = a = a20 r = R = 3a20 0 ∗ 2 −2ρ 4Γ (3) dr φ φ dρ ρ e As´ı el radio cuadrático medio vale rqm =. p. hr2 i =. √. 3a0. valor que es bastante razonable (el máximo de la función de onda para b = 1 está precisamente en a0 ). En este caso la familia de funciones de prueba da lugar a un valor de la energ´ıa y del tama˜ no del átomo que son adecuados, pero podr´ıamos encontrar funciones de prueba que reproduciendo muy bien la energ´ıa proporcionen valores desastrosos para otras magnitudes. ρ Utilizemos, por ejemplo, φ(b, ρ) = ρ2 +b 2 E [b] = cuyo m´ınimo ocurre en b =. π 4. π − 8b EI, 2πb2. lo que implica que la energ´ıa del estado fundamental vale E=−. 8 EI ≈ −0,81EI . π2. Este valor tiene un error del 20 %, lo que puede ser considerado aceptable en una primera aproximación. Pero ahora viene la gran desilusión: si calculamos el rqm obtenemos Z ∞ 2® ρ4 r = a20 dρ 2 = ∞. (b2 + ρ2 ) 0 Este resultado es debido a que la función de onda no decae suficientemente deprisa cuando nos alejamos del origen. De hecho φ(ρ) → ρ1 ρ → ∞. Podemos dar la siguiente moraleja: cuando utilizamos el método variacional, no basta con calcular la energ´ıa, sino que hay que estudiar otras cantidades.. 1.4.. Suma de momentos angulares(4). El momento angular de una part´ıcula en la mecánica newtoniana es L=r∧p Es una función de las magnitudes r y p al que podemos asociar el siguiente herm´ıtico L=r∧p y aunque r y p no conmutan se verifica que L = −p ∧ r 4 El. objetivo de esta secci´ on es que se sepa que existen los CG y qu´ e tipo de estados relacionan. El libro donde mejor se habla de momento angular es el [?].. http://alqua.com/IFC2. 33.

(106) 1 Preámbulo teórico. Figura 1.5: La determinaci´ on completa del momento angular es accesible en la mec´ anica cl´ asica (izquierda) pero no en mec´ anica cu´ antica (derecha), donde s´ olo el m´ odulo y una componente del vector pueden ser conocidos simult´ aneamente con m´ axima exactitud.. Ejemplo Lz = rx py − ry px = − (px ry − py rx ) = − (p ∧ r)z De las propiedad de conmutación de r y p se deduce que [Lx , Ly ] [Lz , Lx ] [Ly , Lz ]. = = =. i~Lz i~Ly i~Lx. A partir de estas relaciones deducimos que las componentes del momento angular no se pueden medir simultáneamente. Sin embargo £ ¤ Lα , L2 = 0 α = x, y, z £ ¤ Probemos, por ejemplo, con Lx , L2 £ ¤ £ ¤ £ ¤ Lx , L2 = Lx , L2y + Lx , L2z = = [Lx , Ly ] Ly + Ly [Lx , Ly ] + (y ←→ z) = = i~ {Lz Ly + Ly Lz − Ly Lz − Lz Ly } = 0 En consecuencia, podemos medir simultáneamente L2 y Lz ó Ly ó Lx . Habitualmente se escoge Lz Nuestro problema de autovalores es en este caso L2 |lmi = ~2 l (l + 1) |lmi Lz |lmi = ~m |lmi hlm|l0 m0 i = δll0 δmm0. l ∈ {0, 1, 2, . . .} m ∈ {−l, −l + 1, . . . , 0, 1, . . . l} ∀l. En Mecánica Cuántica decimos que un estado posee buen momento angular si conocemos simultáneamente su módulo y una de sus componentes. Esto es, si conocemos |L| y Lα . Las otras dos componentes no toman valores bien definidos. Todo ocurre como el momento angular precediese alrededor del eje z definidendo un cono.. 34. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(107) 1.4 Suma de momentos angulares z Lz. L. Figura 1.6: Representaci´ on gr´ afica de L y Lz para un sistema.. Supongamos que el momento angular del sistema se puede descomponer como L = La + Lb Podemos intepretar que La,b son los momentos angulares de dos partes del sistema y admitiremos que pueden medirse simultáneamente, es decir £ ¤ Laα , Lbβ = 0 Denotaré por |la , ma ; lb mb i = |la ma i |lb mb i a los estados del sistema en los que está bien definido el módulo y la tercera componente del momento angular de cada parte L2a |la ma ; lb mb i Laz |la ma ; lb mb i hla ma lb mb |la0 m0a ; lb0 m0b i. = ~2 la (la + 1) |la ma ; lb mb i = ~mb la (la + 1) |la ma ; lb mb i = δla la0 δlb lb0 δma m0b δmb m0b. Ahora podemos interrogarnos sobre c´ ual es la información que realmente podemos obtener sobre el momento angular suma. En Mecánica Clásica donde conocemos realmente los vectores La y Lb su suma también se encuentra bien definida. En Mecánica Cuántica las cosas son mucho más complicadas. Si pensamos en la imagen geométrica sencilla de los vectores precediendo, tendr´ıamos una situación como la de la figura 1.7 en donde las u ńicas constantes del movimiento son |La | ,. http://alqua.com/IFC2. |Lb | , Laz ,. Lbz y. Lz = Laz + Lbz. 35.

(108) 1 Preámbulo teórico. Figura 1.7: Suma de momentos angulares en mec´ anica cu´ antica.. Para investigar de una manera más formal este problema estudiemos algunos conmutadores. Se cumple que [Lx , Ly ] = £ ¤ Lz , L2 = £ 2 2¤ La , L = sin embargo. i~Lz , . . . £ ¤ £ ¤ Lx , L2 = Ly , L2 = 0 ¤ £ 2 La , Lz = 0 (a −→ b). £ ¤ Laz , L2 = [Laz , La · Lb ] 6= 0. Demostremos alguna de las propiedades anteriores, por ejemplo £ 2 2¤ £ 2 2 ¤ X£ 2 ¤ La , L = La , La + L2b + 2La · Lb = La , Lai Lbi = 0, i. o por ejemplo, £ 2 ¤ £ ¤ £ ¤ La , Lz = L2a , Laz + Lbz = L2a , Laz = 0. De las expresiones anteriores se deduce, que en cualquier caso, el n´ umero máximo de operadores que conmutan entre s´ı es siempre igual a 4. En concreto, tenemos {L2a ↓ |la. L az ↓ ma ;. L2b ↓ lb. Lbz } | {L2a ↓ | ↓ mb > | |la. L2b ↓ lb ;. L2 ↓ l. Lz } ↓ m>. Los elementos de una base son combinaciones lineales de los de la otra X |la ma , lb mb i = Clm |la lb lmi lm. La probabilidad de encontrar al efectuar una medida sobre el estado del primer miembro p un valor ~ l (l + 1) del momento total y un valor ~m para Lz es 2. P (l, m) = |hla lb lm|la ma lb mb i| = |Clm |. 36. 2. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(109) 1.5 Energ´ıas en cm−1 Puede demostrarse que los coeficientes Clm son reales ∗. Clm = hla lb lm|la ma lb mb i = hla ma lb mb |la lb lmi = hla ma lb mb |la lb lmi Precisamente para recordar que Clm es este elemento de matriz se utiliza en el desarrollo anterior la notación X hla ma lb mb |lmi |la lb lmi |la ma lb mb i = lm. donde los coeficientes de mezcla reciben el nombre de coeficientes de clebsch-gordan y se demuestra que son cero excepto quizá si l m. ∈ {|la − lb | , |la − lb | + 1, . . . , la + lb } = ma + mb. Por ello se suele escribir de forma explicita |la ma lb mb i =. lX a +lb. hla ma lb mb |lma + mb i |la lb lma + mb i. l=|la −lb |. La transformación inversa viene dada por los mismos coeficientes, aunque ahora se suma sobre las variables ma , mb X |la lb lmi = hla ma lb mb |lmi |la ma , lb mb i ma ,mb. siendo m = ma + mb .. 1.5.. Energ´ıas en cm−1. Los experimentales utilizan en numerosas ocasiones un sistema de unidades en el que las energ´ıas vienen dadas en cm−1 . En esta sección buscaremos que relación existe entre dicho sistema de unidades y el cgs. Recordemos que ~ = 1,0545 × 10−27 erg × s = 1,0545 × 10−34 J × s en el MKS = 6,582 × 10−16 eV × s en el MKS c = 2,9979 × 1010 cm × s−1 ~c = 1973,21eV × A · ¸ ~c = [L] [E] Vamos a expresar en distintos sistemas de unidades naturales (“un”, numerados del uno al ~c (ver tabla 1.1). tres) la cantidad 1eV. http://alqua.com/IFC2. 37.

(110) 1 Preámbulo teórico cantidad. ~c. 1eV. cgs 1,973 × 10−5 cm. un 1 1 unacc×unvel unenerg. un 2 eV −1. un3 1 eV −1 2π. Cuadro 1.1: En las “un 1” (te´ orico I), ~ es la unidad natural de acci´ on, c es la unidad natural de velocidad y 1eV es la unidad natural de energ´ıa. En “un 2” (te´ orico II) ~ = 1, c = 1 y eV es la unidad natural de energ´ıa . En “un 3” (las que vamos a utilizar) h = 1 c = 1 y eV es la unidad natural de energ´ıa. alqua.com/figuras. Figura 1.8: Estructura fina de los niveles n = 2 y n=3 del hidr´ ogeno. La distancia energética entre niveles est´ a dada en cm−1 .. Tenemos, entonces, la siguiente equivalencia entre el cgs a la izquierda y un3 a la derecha 1,973 × 10−5 cm 1eV. 1 eV −1 , 2π 1 ≡ cm−1 , 2π × 1,973 × 10−5 ' 8066cm−1 . ≡. Podemos hablar, por tanto, de 1eV o de 8066cm−1 seg´ un lo que nos resulte más comodo. En un experimento donde se miden las longitudes de onda de los fotones emitidos/absorbidos en transiciones entre estados puede parecer natural medir también las energ´ıas en cm−1 . En este sistema la energ´ıa de ionización del H vale EI ≈ 110000cm−1. 1.6.. Cantidades u ´tiles La constante de estructura fina α =. e2 ~c. =. 1 137 .. ~c = 1,973 eV cm. 38. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).

(111) 1.7 Problemas y ejercicios Energ´ıa de ionizaci´ on EI = 13,6eV Radio de B¨ oHR a0 =. 1.7.. ~2 me2. 1 me4 2 ~2. =. 4. ≡ 12 mc2 ~e2 c2 =. (~c)2 mc2 e2. =. ~c 1 mc2 α. 1 2. ¡. ¢ mc2 α2 =. 1 2. ¡. ¢ 1 2 137. 0,5 · 106 eV '. ' 0,53 A. Problemas y ejercicios. 1. Considere una part´ıcula que efect´ ua un movimiento unidimensional sometida al siguiente potencial 1 V (x) = mω 2 x2 − q²x 2 El primer término es un oscilador armónico, mientras que el segundo término representa la interacción de la part´ıcula (de carga q) con un campo eléctrico estacionario 2 y homogéneo ². Obtenga valores aproximados de la energ´ıa hasta orden (qε) . 2. Obtenga la energ´ıa del estado fundamental del hidrógeno suponiendo que el n´ ucleo es una peque˜ na esfera de radio r0 uniformemente cargada. 3. Aplique el método variacional para obtener la energ´ıa y la función de onda del estado fundamental de un oscilador armónico. 4. Deduzca la energ´ıa y la función de onda del primer estado excitado del oscilador, utilizando el método variacional. 5. Obtenga una aproximación al estado fundamental del oscilador utilizando la siguiente familia de funciones de prueba. Ψ(b, x) =. x2. 1 +b. 6. Un sistema se encuentra formado por dos part´ıculas que poseen momento angular bien definido y caracterizado por los n´ umeros cuánticos l1 m1 l2 m2. = 1 = 0 = 1 = 0. a) Deduzca los posibles valores de L asociado al momento angular total b) Escriba el estado anterior como una combinación lineal de estados con buen momento angular.. http://alqua.com/IFC2. 39.

(112) 1 Preámbulo teórico. Algunas soluciones Ejercicio 1 (perturbaci´ on de un oscilador arm´ onico mediante un campo el´ ectrico) Vamos a afrontar el problema primero utilizando la teor´ıa de perturbaciones y después aplicando un desarrollo en serie para dar una solución exacta. M´ etodo perturbativo. Las correcciones a la energ´ıa a orden uno y a orden dos son sendas integrales. Para aprovechar las condiciones de ortonormalidad sobre las funciones de onda del oscilador armónico, vamos a utilizar los operadores A y A+ , intentando expresar el operador X en función de ellos. Para ello, recordemos la expresión de A y A+ en términos de operadores conocidos A = A+. =. (2~mω). − 21. (mωX + iP). (2~mω). − 12. (mωX − iP). de donde, resolviendo el sistema para X µ ¶ 12 ¡ ¢ ~ X = A + A+ 2mω Sólo queda calcular las correcciones. La primera es D E (0) E (1) = φ(0) n |−qεX | φn ¶ 12 D µ E ¯ ¯ ~ ¯A + A+ ¯ φ(0) φ(0) = −qε n n 2mω ³D E D E´ ¯ ¯ (0) (0) ¯ + ¯ (0) = cte × φ(0) |A| φ + φ A φ n n n n Las dos integrales se anulan, porque sabemos que √ ¯¯ (0) E A |φn i = n ¯φn−1 ¯ E √ ¯ (0) A+ |φn i = n + 1 ¯φn+1 R (0) (0) y φi φj dq = δij si las autofunciones del oscilador armónico están convenientemente normalizadas. Por tanto E (1) = 0. Tendremos que a˜ nadir más términos al desarrollo. La segunda corrección a la energ´ıa supone más engorro pero ning´ un principio nuevo ¯D E¯2 ¯ (0) (0) ¯ X ¯ φj |−qεX | φn ¯ (2) E = (0) (0) En − Ej n6=j ¯D E¯2 ¯ (0) (0) ¯ + 2 X ¯ φ |A + A | φ ¯ n j ~ (qε) = (0) (0) 2mω n=j±1 En − E j. 40. Introducción a la f´ısica cuántica, segunda parte 1.00 (05/23/2002).