Notas de clase 2 Distribucion normal y teorema del limite central

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Notas de clase 2

Distribucion normal y teorema del limite central

Willie Hernandez

2015-I

Motivaci´on:

La distribución normal es, como mucho, la más importante de todas las distribucio-nes de probabilidad. Es una distribución de variable cont´ınua, con campo de variación ( _{1, 1). Fue descubierta por Gauss al estudiar la distribución de los errores en las} observaciones astronómicas.

Importancia

Un gran número de fenómenos reles se pueden modelizar con esta distribución. Muchas de las distribuciones de uso frecuente tienden a aproximarse a la distri-bución bajo ciertas condiciones.

En virtud del teorema del l´ımite central, todas aquellas variables que pueden con-siderarse causadas por un gran n´umero de efectos tienden a distribuirse normal. Historia:

Nos encontramos midiendo la distancia a un astro, evidentemente cada distancia observada no ha de ser igual a la anterior tomada pues siempre se cometen errores de medición. Teóricamente un error puede ser tan grande que la distancia observada sea más infinito, y también teóricamente, menos infinito. Cuantas más observaciones realizamos, los diversos intervalos, en conjunto, van tomando cierta densidad.

Otros ejemplos:

Calificaciones entrada de examen UNAL. Estatura de personas dentro del sal´on

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X d ! N(µ, 2₎ f (x) = p1 2⇡ exp ( 1 2 ✓ x µ◆2) ; x_{2 R} 1. µ = Me indica el centro de la curva de la distribuci´on o media 2. = Me indica la distancia entre µ y los puntos de inflexi´on. Tarea:

1. Demostrar la simetr´ıa

f (µ + a) = f (µ a)

2. Demostrar que la media es el punto m´as alto de la funci´on de densidad.

(Distribución normal estándar) Si X_{! N(0, 1), entonces se dice que X tiene distribu-}d ción normal estándar. La función de densidad y la función acumulativa de esta variable aleatoria se denotan por (_{·) y (·) respectivamente.}

f (z) = p1 2⇡exp ⇢ 1 2z 2 _{; z} 2 R Tarea:

1. Demostrar que la funci´on es sim´etrica con respecto al cero. 2. Estudiar la tabla.

Clase: Aprender a usar la tabla de distribuci´on.

¿C´omo pasar de una normal a una normal est´andar?

Z = X µ

Ejemplo: Sea X_{! N(1, 4). Calcular.}d 1. P (0 x < 1)

2. P (x2 _{> 4)}

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1. P (0_{ x < 1) = P (} 1 2 < X < 0) = (0) ( 0,5) = 0,5 0,30854 = 0,19146 2. P (x2 > 4) = 1 P (|X|  2) = 1 P ( 2_{ X  2)} = 1 P ✓ 3 2  x 1 2  1 2 ◆ = 1 [ (0,5) ( 1,5)] = 0,37535

Ejemplo: Sea X_{! N(12, 4). Encontrar el valor de c para el cual P (X > c) = 0,1}d

P (X > c) = P ✓ x 12 2 > c 12 2 ◆ = 1 P ✓ x 12 2  c 12 2 ◆ = 1 P ✓ Z  c 12 4 ◆ = 1 ✓ c 12 4 ◆ Esto es, ✓ c 12 4 ◆ = 0,9 Y mirando la tabla, c 12 2 = 1,285! c = 14,57

Teorema. Sea X! N(µ,d 2_{). Entonces}

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3. mx(t) = exp

h

µt + 2₂t2i

Objetivo: Vamos a probar 3. y de ah´ı sacamos 1. y 2. mx(t) = 1 p 2⇡ 1 Z 1 exp  tx (x µ) 2 2 2 dx = p1 2⇡ 1 Z 1 exp  (x µ 2_t)2 2 2 + µt + 2_t2 2 dx! Ap´endice A = p1 2⇡ exp  µt + 2_t2 2 1 Z 1 exp  (x (µ + 2_t))2 2 2 dx = exp  µt + 2_t2 2 Tarea: 2. y 3.

Ap´endice A. El truco est´a en sumar y restar ⇣µt + 2₂t2⌘

tx (x µ) 2 2 2 = tx (x µ)2 2 2 µt 2_t2 2 + µt + 2_t2 2 = 2tx 2 _(x _µ)2 _µt2 2 4_t2 2 2 + µt + 2_t2 2 = 2tx 2 _x2 _µ2_{+ 2xµ} _2tµ 2 _t2 4 2 2 + µt + 2_t2 2 = (x µ 2_t) 2 2 + µt + 2_t2 2

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Distribuci´on normal en estad´ıstica Primera actividad

Bono en clase

Distribución normal: En la vida real cuando tenemos variables de tipo razón o inter-valar y hacemos un histograma los datos, nosotros podemos aceptar que en la medida que recolectamos más datos, el histograma tendrá a parecerse a la distribución normal. Nota: en estad´ıstica nosotros también podemos normalizar los datos con el ofrecido de tener una noción de distancia. Hagamos un ejemplo:

Examen de entrada de la nacional:

µ = 500 = 100 Observemos las siguientes personas

X Z =X µ 1 403 0,97 Malo 2 508 0,008 Media 3 673 0,346 Aceptable 4 770 2,7 Bueno 5 1200 7 Excelente

OJO: Muchas veces no conocemos el contexto de una situación y no podemos decir por ejemplo que algo es malo relativamente al grupo en el que está. Por ejemplo, los amigos arquitectura el profesor Willie fuman arto tal vez las personas por fuera los ven muy mal pero por dentro del grupo la noción del mucho o poco cambia bastante. Observemos:

µ = 10, = 6

Personas X Z

Julian 16 1 Normal

Adriana 10 0 Media

Henry 24 2,33 Ok, es bastante

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Otro ejemplo: (Notas con el profesor Pecha) µ = 2,3, = 0,4

Personas X Z

Enrique 2,1 0,5 Le fue mal pero tiene futuro

Adriana 2,6 0,75 Encima de la media pero a´un normalito

Andr´es 2,9 1,5 Perdi´o el examen pero es un monstruo al

Superar a muchos

Objetivo: Vamos a ver que cuando se cumplen unos supuestos todas las distribuciones de datos se van a convertir en una normal est´andar.

Teorema del l´ımite central: Sea X1,· · · , Xn variables aleatorias independientes e

id´enticamente distribuidas (i.i.d.) y cumplen

E[Xi] = µ ,8i V ar[Xi] = 2 ,8i La variable aleatoria, Sn= X1+ X2+ . . . + Xn Zn = Sn nµ p n 2 _n_!1!N (0, 1)

Objetivo: Vamos a mostrar que la función generadora de momentos de una v.a. que cumple estos supuestos tenderá a la función generadora de momentos de la normal estándar.

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Demostraci´on: mx(t) = E etX = E  exp  t P Xi nµ p n = E  exp  tX1_p µ n · exp  tX2_p µ n · · · exp  tXn_p µ n Por ser independientes, = E

 exp  tX1p µ n · · · E  exp  tXnp µ n Identicamente distribu´ıdas, = ✓ E  exp  tX1p µ n ◆n

Se genera una nueva variable aleatoria,

Yi = Xi ⌫ Y = X ⌫ ✓ E  exp  tX1p µ n ◆n = mY ✓ t p n ◆n E[Y ] = E[X] µ = µ µ = 0 V ar[Y ] = V ar[X µ] = V ar[X] = 2

Hagamos una expansi´on de Taylor de mY(·)

mY(a) = mY(0) + m0Y(0)a + m00 Y(0)a2 2 mY(0) = E[exp]0⇤ y] = E[1] = 1 m0_Y(0) = E[Y ] = 0

m00_Y(0) = E[Y2] = V ar(Y ) + E[Y ]2 = 2+ 02 = 2 Entonces mY(a) = 1 + 2_a2 2 ; a = t p n Por tanto,  mY ✓ t p n ◆ n = " 1 + 2 ✓ t p n ◆2#n = " 1 + t2 2 n #n Recordemos que ex _{= l´ım} x!1 ⇣ 1 + x n ⌘n

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y as´ı, l´ım n!1  mY ✓ t p n ◆ n

= et22 , la cual es funci´on generadora de una normal est´andar.

Ejercicio:

Un elevador de carga grande puede transportar un máximo de 1000 libras. Supónga-se que una carga, que contiene 45 cajas, Supónga-se debe transportar mediante el elevador. La experiencia ha demostrado que el peso X de una caja de este tipo de cara se ajusta con una distribución normal con µ = 200 libras y = 55. Calcular la probabilidad de que las 45 cajas se puedan transportar simultáneamente.

Objetivo: P ✓₄₅ P i=1 Xi  10000 ◆ . ¿Qu´e sabemos? Zn= Sn nµ p n ! N(0, 1 = Entonces, P 45 X i=1 Xi  10000 ! = P 0 B B @ 45 P i=1 Xi (45)(200) 55p45  1000 (45)(200) 55p45 1 C C A = P 0 B B @ 45 P i=1 Xi 9000 55p45  2,71 1 C C A = P (Z  2,71) = (2,71) = 0,9966.

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Casa(Tarea)

Sufrirán haciéndolo pero seguro entenderán más allá el teorema del l´ımite central. Muchos insumos de producción, como el mineral de hierro, el carbón y el azucar sin refinar, se muestrean para determinar su calidad por un método que emplea la toma periódica de muchas pequeñas muestras cuando el material se mueve sobre una banda transportadora. Posteriormente las muestras pequeñas se juntan y mezclan para formar una muestra compuesta. Sea Yi el volumen de la i-ésima muestra pequeña de

un lote particular y sup´ongase que Y1, . . . , Yn es una muestra aleatoria, en donde cada

Yi tiene media µ y varianza 2. El volumen promedio de las muestras, µ, se puede

regular ajustando el tamaño del equipo que se utiliza para el muestreo. Supóngase que la varianza de los volúmenes es aproximadamente 2 _{= 4. Se requiere que el volumen}

total de la muestra exceda las 200 pulgadas c´ubicas con probabilidad 0,95 cuando se seleccionan n=50 muestras. Determinar el ajuste de µ que permitir´a satisfacer los requerimientos del muestreo.