Unidad 4: semejanza de poliedros
Antes de encontrarnos con el tema de semejanza entre poliedros, vamos a realizar un repaso respecto a polígonos semejantes, es importante reconocer algunas características claves respecto a la construcción de las figuras semejantes.
1. No todas las figuras son igual de fáciles de dibujar es importante intentar buscar la respuesta a partir del juego con los instrumentos geométricos, esto nos permitirá encontrar diferentes figuras que tal vez no sean fáciles dibujar.
2. Los polígonos deben cumplir con dos características importantes para semejantes, si no cumplen alguna de las siguientes características NO SON SEMEJANTES.
a. TODOS sus ángulos son iguales. b. TODOS sus lados son proporcionales. Vamos a revisar un ejemplo de semejanza de figuras:
Vamos a revisar si la figura ABCDE es semejante al triángulo AFJKI, para esto debemos tener en cuenta las dos características anteriormente descritas, la primera vamos a revisar que todos sus ángulos sean iguales.
Como podemos observar cumple con esta condición nos falta revisar los segmentos, recordemos que los segmentos los vamos a llamar por los puntos que lo conforman. Vamos a comparar el segmento AB y el segmento AF y encontramos la relación.
7.06 3.54 = 2
Es importante tener cuidado con las aproximaciones, en este caso si dividimos 7.06 en 3.54, tenemos como resultado 1.98 eso lo podemos aproximar a 2.
Como tenemos números decimales, no simplificamos sino realizamos una división entre ellos dos.
Ahora vamos a seguir comparando los otros 4 segmentos para encontrar las relaciones, si las relaciones entre los segmentos son iguales ya cumplimos con la segunda condición:
𝐵𝐷 𝐹𝐽 = 7.96 3.9 = 2 𝐷𝐶 𝐽𝐾 = 4.8 2.39= 2 𝐶𝐸 𝐾𝐼 = 4.75 2.38= 2 𝐸𝐴 𝐼𝐴 = 2.41 2.13= 2
Ya con las relaciones establecidas y observando que todas son iguales a 2 podemos decir que cumple con las dos características por lo tanto son semejantes.
3. Es muy importante tener presente las características que poseen los polígonos, en el caso de los cuadrados donde sus lados son iguales y sus ángulos SIEMPRE son de 90°, ya cumplen con la característica de tener ángulos iguales, por lo tanto solo queda por comprobar sus lados, al igual que el rectángulo y el triángulo isósceles, donde sus ángulos son todos de 90° y 60° respectivamente.
Ya con estas tres aclaraciones y recordatorios de los polígonos semejantes vamos a revisar cuando los poliedros son semejantes, recordemos que los poliedros son aquellos cuerpos en 3D, los cuales tienen volumen, área superficial, caras, vértices y aristas.
Ilustración 1 Elementos de un poliedro, recuperado de
http://enriquemaths.blogspot.com/2013/03/tema-11-cuerpos-geometricos.html
Definición: Dos poliedros son semejantes si sus ángulos son iguales y las caras son polígonos semejantes.
Eso quiere decir que dos poliedros son semejantes si sus ángulos son iguales y si al revisar cada una de las aristas de sus caras son proporcionales, vamos a revisar un ejemplo respecto a este.
Vamos a comparar los siguientes cubos, como ya sabemos que todas las caras son iguales, sabemos que si comparamos sola una de ellas todas van a cumplir lo mismo, además de eso sabemos que cada cara es un cuadrado por lo tanto todos sus lados son iguales, por lo tanto solo necesitamos comparar un solo lado:
2
Como ya comparamos sus lados y falta comparar los ángulos, es un cubo por lo tanto todos sus ángulos son de 90° por lo tanto los cubos son figuras semejantes, esto ocurre con cualquier cubo.
Ahora vamos a determinar semejanza de poliedros a partir de su volumen, eso quiere decir que vamos a recordar un poco sobre volumen de poliedros:
- Volumen de paralelepípedos o prismas.
Los paralelepípedos son aquellos poliedros donde tiene dos caras iguales y paralelas, llamadas bases, y sus caras laterales son verticales por ejemplo:
Ilustración 2 Paralelepípedo recuperado de:
https://scuolaelettrica.it/escuelaelectrica/media/classe3/matematica/geometria1/geometria 9.shtml
Para determinar el volumen de CUALQUIER paralelepípedo utilizamos la siguiente ecuación:
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = (á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒) ∗ (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)
Recordemos que la altura está dada por la distancia entre las dos bases, eso quiere decir por uno de los lados de los rectángulos laterales.
Como podemos observar en la imagen las bases de color rojo son rectangulares o cuadradas, son iguales y nunca se tocan por eso las llamamos paralelas, además de esto la altura está conformada por 4 rectángulos.
Ejemplo:
El siguiente ejemplo es un prisma que tiene como base un triángulo aun así sus caras laterales son rectángulos, como podemos ver tenemos las medidas de la base y la altura del triángulo que conforman la base del prisma, después de obtener e área de la base la multiplicamos por el altura del primas en este caso es de 15 cm y obtenemos el volumen del prisma.
- Volumen de pirámides
Una pirámide cuenta con solo una base la cual puede ser cualquier polígono, a diferencia del prisma sus caras laterales son triangulares lo que le permite tener obtener la forma puntiaguda, el volumen de la pirámide está dada por la siguiente ecuación:
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = (á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒) ∗ (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 3
Ejemplo:
Ilustración 3 Volumen de pirámide, recuperado de:
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/volume-of-a-pyramid Dos poliedros son equivalentes cuando sus volúmenes son iguales, al calcular el volumen de dos poliedros diferentes por ejemplo de un prisma y una pirámide, al observar que sus volúmenes son iguales podemos afirmar que dos poliedros son semejantes.
Actividad:
1. Realice una tabla donde se pueda encontrar el área y las características que tienen cada una de las siguientes figuras:
a. Cuadrado b. Rectángulo
c. Triángulo (tiene que escribir las clasificación de los triángulos según sus lados, no olvide colocar las características respecto a los ángulos) d. Rombo
e. Hexágono f. Pentágono g. Paralelogramos h. Trapecio
2. Encuentre las características de dos poliedros que son semejantes por su volumen los cuales cumplan las siguientes condiciones:
a. Debe ser una pirámide y un prisma. b. la pirámide debe tener base cuadrada c. el prisma debe tener de base triángulo
Como podemos observar la base es un cuadrado esto lo sabemos que las medidas de sus lados es de 10cm y su altura es de 18cm solo vamos a reemplazar en la ecuación, pero aún nos falta el área de la base, recordemos que el área de un cuadrado es lado* lado entonces tenemos: á𝑟𝑒𝑎 = 10𝑐𝑚 ∗ 10𝑐𝑚 = 100𝑐𝑚2 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =100 𝑐𝑚 2∗ 18𝑐𝑚 3 = 1800𝑐𝑚3 3 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =1800𝑐𝑚 3 3 = 600𝑐𝑚 3
d. debe tener un volumen de 250 cm3
3. determine si los siguiente es poliedros son semejantes por su volumen:
a. una pirámide cuya base tiene de área 10 cm2 y su altura es de 15 cm con un prisma cuya base es un rectángulo de área 5 cm2 y su altura es de 10 cm.
b. un prisma cuya base es un cuadrado de área 20cm2 y altura es de 12 cm comparado con una pirámide de base triangular de 15cm2 y una altura de 4cm.
c. una pirámide cuya base es cuadrada con área de 25 cm2 y una altura de 10.5cm comparada con un prima de base pentagonal con área de 15cm2 y una altura de 17.5 cm.
d. una pirámide cuya base es un rectángulo de área 12.83 cm2 y una altura de 32.4 cm con un prisma con base cuadrado de área 11.95cm2 y una altura de 31.5 cm.
ESTA ACTIVIDAD TIENE FECHA DE ENTREGA A MÁS TARDAR EL DÍA LUNES 8 DE JUNIO, SE ENTREGARA POR MEDIO DE FOTOGRAFIAS A MI CORREO ELECTRONICO RECUERDE QUE LAS FOTOGRAFIAS DEBEN ESTAR DE FORMA VERTICAL.
