Apuntes Del Método de Cross

(1)

Sistemas no translacionales

Introducción

Que ocurre si en una viga biempotrada sustituyo un empotramiento por un momento + un apoyo? ( es Que ocurre si en una viga biempotrada sustituyo un empotramiento por un momento + un apoyo? ( es decir un giro)

decir un giro)

Se que se produce el siguiente efecto: Se que se produce el siguiente efecto: Y1+Y2 = 0 Y1+Y2 = 0 Y1*L + M1 + M2 = 0 Y1*L + M1 + M2 = 0

L

M

Y

1

1 =

=

−

1

1 +

+

2

Si aplico el 2º teorema de Mörh obtengo: Si aplico el 2º teorema de Mörh obtengo:

dx

x

Mx

EI

∫∫

=

0

1

1 *

*

α

α _Coef._{Coef. Transmisión}_{Transmisión =}_{= M2}_{M2 =}_{= M1/2}_M1/2

De donde se obtiene (ver apuntes de la carrera) que: M2 = 0.5*M1, es decir que al introducir un giro De donde se obtiene (ver apuntes de la carrera) que: M2 = 0.5*M1, es decir que al introducir un giro (momento) en el apoyo, me aparece un momento en el lado contrario

(momento) en el apoyo, me aparece un momento en el lado contrario que es la mitad del primero.que es la mitad del primero. El coeficiente de transmisión del momento de un apoyo al otro sería:

El coeficiente de transmisión del momento de un apoyo al otro sería:

1

1 //

2

1 1 2 2

=

M

t t

Rigidez de una viga:

Se define como el cociente en tre el momento y el ángulo

Se define como el cociente en tre el momento y el ángulo de giro que provoca.de giro que provoca.

α α

M

R

=

Rigidez de una biga biempotrada.

∫∫

−

+

=

L L

M

X

L

M

EI

M

EI

A

M

R

0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1

1

α α

_L

EI

R

=

4

1er teorema de Mörh 1er teorema de Mörh M1 M2 M1 M2

α

L L L L Y1 Y2 Y1 Y2 M1 M2 M1 M2

α

L L L L Y1 Y2 Y1 Y2

(2)

Rigidez de una biga empotrada-articulada.

1er supuesto 2º supuesto

= + Ma = R *

α

a*t*t = R *

α

a*(1-t

²

)

[

1 (

1 /

2 )²

]

*

4 ²)

1 (

*

−

₌

₋

=

L

EI

t

R

M

R

a a α α α

_L

EI

R

=

3 Reglas a seguir en el método de cross.

1. Cálculo de las rigideces y coeficientes de r eparto. 2. Cáculo de los momentos de empotramiento perfecto. 3. Suma de momentos en los nudos

4. Reparto del momento entre las barras.

5. Transmisión a los nudos opuestos de las barras 6. repetir desde el paso 3

Ejemplo:

Cálculo de las rigideces y coeficientes de reparto.

69 ,

0

8

5 .

0 *

3 .

0

12

1

4

3

=

E

L

EI

R

_viga

31 ,

0

4

3 .

0 *

3 .

0

12

1

4

3

=

E

L

EI

R

_pilar Comprobación: 0,69+0,31 = 1 2 T/m /////// /////// 4,00 8,00 L

R

b*

α

a L

(3)

Cálculo de los momentos de empotramiento perfecto.

67 ,

10

12

8 *

2

12 *

2

₌

2

₌

=

Q

L

M

Se procede a pasar la información al esquema del pórtico con los momentos de empotramiento perfecto y con los coeficientes de reparto.

Suma de momentos en los nudos

Se suman los momentos en los nudos y se anota el resultado en el propio nudo. Nudo A = -10.67 + 0 = -10.67

Nudo B = 10.67 + 0 = 10.67

Reparto del momento entre las barras.

Nudo A = -10.67 * 0.69 = -7.36 -10.36 * 0.31 = -3.29 Nudo B = 10.67 * 0.69 = 7.36 10.36 * 0.31 = 3.29 2 T/m /////// /////// 4,00 8,00 A B C D 0.69 0.31 0.00 0.69 0.31 0.00 Signo + Signo --10.67 10.67 0.00 0.00 A B C D 0.00 0.00 -10.67 10.67 0.69 0.31 0 0.69 0.31 0 -10.67 10.67 0.00 0.00 A B C D 0.00 0.00 0.00 0.00

(4)

Transmisión a los nudos opuestos de las barras.

Nudo A = 7.36 / 2 = 3.68 Nudo B = -7.36 / 2 = -3.68

Repetir el proceso desde el paso 3 (Suma de momentos en los

nudos)

Se vuelven a sumar los momentos en los nudos y se repite el proceso de manera reiterada hasta que las diferencias en las barras sean pequeñas y el error sea mínimo. El momento resultante en cada nudo será la suma de los momentos de empotramiento perfecto y los momentos transmitidos.

1. Cálculo de las rigideces y coeficientes de reparto.

2. Cáculo de los momentos de empotramiento perfecto.

3. Suma de momentos en los nudos 4. Reparto del momento entre las barras. 5. Transmisión a los nudos opuestos de las

barras

6. repetir desde el paso 3

El momento resultante en cada nudo es la suma de los momentos de empotramiento perfecto y los momentos transmitidos Nudo A 0.87-1.27+2.54-3.68+7.36-10.67 = -4.85 3.29+1.14+0.40 = 4.85 Nudo B-0.87+1.27-2.54+3.68-7.36+10.67=4.85 3.29-1.14-0.40 = -4.85 Nudo C 0.57+1.65 = 2.22 Nudo B- 0.57-1.65 = -2.22 0.00 0.00 -10.67 10.67 0.69 0.31 0 0.69 0.31 0 7.36 -10.67 -7.36 10.67 0.00 0.00 0.00 0.00 A B C D 0.00 0.00 -10.67 10.67 0.69 0.31 0 0.69 0.31 0 -3.68 7.36 -10.67 3.68 -7.36 10.67 1.65 0.00 0.00 -1.65 0.00 0.00 A B C D 0.00 3.29 0.00 0.00 -3.29 0.00 0.00 1.65 0.57 0.00 -1.65 -0.57 -10.67 -3.68 -1.27 10.67 3.68 1.27 0.69 0.31 0 0.69 0.31 0 -0.87 1.27 -2.54 3.68 -7.36 10.67 A B C D 0.00 3.29 0.00 -3.29 0.00 3.29 0.00 1.14 0.00 0.40 0.00 -3.29 0.00 -1.14 0.00 -0.40 0.00 0.57 0.00 1.65 0.00 0.00 0.00 -0.57 0.00 -1.65 0.00 0.00 0.87 -1.27 2.54 -3.68 7.36 -10.67 Suma = -4.85 Suma = 2.22 Suma = 4.85

(5)

Sistemas translacionales

Introducción

Que ocurre si en un nudo en vez de introducir un giro introducimos un desplazamiento, que ocurre con el nudo? Como se que: Y1+Y2=0

L

M

Y

M

L

Y

1 *

−

1 −

2 ⇒

1 =

1 +

2

Aplicando el primer teorema de Mörh:

EI

A

=

α _{Como en este caso}

α

= 0 

=

∫

L x x

d

M

EI

₀

1

0

y como Mx = Y1*X-M1:

∫

−

=

L x

d

M

X

Y

EI

₀

(

1

*

1

)

1

0

 M1 = M2

Ahora aplicamos el segundo teorema de Mörh:

EI

M

_e

=

δ _{Como Me = A*X}

∫

=

L x x

X

d

M

EI

₀

(

*

)

1

δ _

EI

L

M

6 *

2

=

δ

Es decir, si un nudo hace girar una barra en un sentido, en ese mismo sentido es el momento que le aplica el nudo a la barra.

Nosotros no sabemos los que valen las deformaciones pero si que estas son iguales, por lo cual suponemos que se esta produciendo un momento cualquiera por ejemplo 100 (fácil cálculo)

Q /////// /////// _/////// _/////// F=10 Q L

δ

M1 M2 Y1 Y2 A X

δ

CDG /////// F=10 100K 100K 100K 100K /////// 8.00 4.00

(6)

Partiendo de este momento teórico de 100K (que no sabemos aún cuanto es), se realiza el cross.

Como el cálculo se aproxima tras varias reiteraciones, se toma como buenos momentos 78K en nudos AyB y 90K en CyD

V1*4 + 90K+78K=0  F = 42 K

Como F = 10 10 = V1*K+V1*K = 2*V1*K = 84K  K= 0.12 Pudiendo de esta forma obtener los momentos resultantes:

M1=78 K = 78*0.12 =9.36 M2=90 K = 90*0.12 =10.80 100.00 -15.50 5.35 100.00 -15.50 5.35 100.00 -34.50 11.90 100.00 -34.50 11.90 0.69 0.31 0 0.69 0.31 0 -4.10 -8.21 11.90 23.80 -34.50 -69.00 0.00 A B C D 100.00 -31.00 0.00 10.70 0.00 -3.69 0.00 100.00 -31.00 0.00 -10.70 0.00 -3.69 0.00 -1.85 0.00 5.35 0.00 -15.50 0.00 100.00 -1.85 0.00 5.35 0.00 -15.50 0.00 100.00 -4.10 -8.21 11.90 23.80 -34.50 -69.00 0.00 Suma = -80.11 Suma = 88.00 Suma = 76.01 Q /////// /////// _/////// V1 8.00 4.00 V2 78k 90k