Capítulo 1- Algebra de Boole

(1)

Capítulo 1

(2)

El matemático inglés George Boole nació el 2 de noviembre de 1815 en Lincoln y falleció el 8 de diciembre de 1864 en Ballintemple, Irlanda.

Boole recluyó la lógica a una álgebra simple. También trabajó en

ecuaciones diferenciales, el cálculo de diferencias finitas y métodos generales en probabilidad.

Introducción

George Boole

(3)

Variable Lógica

►

En general, el termino variable lógica o booleana,

hace referencia a cualquier símbolo lineal A,B,....,Z

empleado para representar dispositivos o

magnitudes físicas que llenan solamente dos valores

o estados, verdadero o falso, que son representados

simbólicamente por 1 o 0 respectivamente.

Definición

►

Las dos posiciones o estados “abierto” - “cerrado”

de un contacto eléctrico se designan mediante los

símbolos

0 (no corre electricidad)

y

1 (hay

(4)

Variable Lógica

► Debido a que el contacto esta “abierto”, no pasa corriente eléctrica por el cable.

► Z= 0 quiere decir que tiene un valor lógico de “cero”, no pasa electricidad porque el pulsador esta en reposo

(ninguna fuerza esta venciendo el resorte de

Pulsador Normalmente Abierto

(5)

Variable Lógica

► Ahora accionamos el pulsador (ya no esta más en reposo).

► La corriente eléctrica recorre el cable, esto implica que Z = 1.

Pulsador Normalmente Abierto

(6)

Variable Lógica

► Un contacto NC es el que se usa el las

puertas de las heladeras o

automóviles, que encienden una luz

cuando deja de estar oprimido.

► El estado de reposo de un pulsador NC implica

Pulsador Normalmente Cerrado

(7)

Variable Lógica

► Al accionar el pulsador, deja de pasar corriente eléctrica por el cable.

► Entonces Z toma el valor lógio “cero”.

Pulsador Normalmente Cerrado

(8)

Función Lógica

► Una función lógica o booleana es una variable lógica cuyo valor es equivalente al de una expresión algebraica, constituida por otras variables lógicas relacionadas entre sí por medio de las operaciones

suma lógica (+), y/ o producto lógico (·) y/o

negador (-).

► Las tres operaciones mencionadas son las

operaciones básicas del álgebra de Boole, que darán lugar a las funciones básicas “OR”, “AND” y “NEGACIÓN”.

Definición

(9)

Función Lógica

► El valor de la expresión algebraica depende de los valores lógicos asignados a las variables que la constituyen, y de la realización de las operaciones indicadas.

Definición

Por ejemplo, una suma lógica sería Z=A+B, donde Z tomará el valor cero o uno según los valores de A y B. Z tomará el valor cero sólamente cuando tanto A como B tengan el valor cero. Recordemos que:

(10)

Función Lógica

Definición

Un producto lógico sería Z = A · B, donde Z tomará el valor uno sólamente cuando tanto A como B tengan el valor uno. Recordemos que:

0 · 0 = 0 0 · 0 = 0 1 · 0 = 0 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 1 · 1 = 1

Una negación invierte el valor de las variables. Se representa con la variable (en este caso “A”) negada. Así:

0 = 1 0 = 1 1 = 0

A

(11)

Tabla de Verdad

►

La tabla de verdad es una representación del

comportamiento de una función lógica,

dependiendo del valor particular que puedan

tomar cada una de sus variables.

►

En ella deben figurar todas las combinaciones

posibles entre las variables, y para cada una

aparecera el valor de la función.

Definición

(12)

Tabla de Verdad

1

0

0 A

A

► Se tienen n variables y las tablas de verdad se construyen respondiendo a la expresión: “El

número de filas es igual a 2 elevado a la n”.

► 21(variable) = 2 filas 22(variables) = 4 filas

1 y 2 variables

1

0

1

0

1

0

0 B

B

A

(13)

Tabla de Verdad

2

3 variables 3 variables

= 8 filas

(14)

Compuertas Lógicas

► Cuando se desea cambiar el estado de una variable

determinada se podría accionar una llave (compuerta) que realice este proceso.

► “Compuerta” proviene de que este dispositivo puede

usarse para permitir o no que el nivel que llega a un cable de entrada se repita en el cable de salida.

► “Lógica” se debe a que una compuerta realiza

electrónicamente una operación lógica, de forma tal de que a partir de una combinación de valores lógicos en las entradas, se obtiene un valor lógico (1 ó 0) en su salida.

Definición

(15)

Compuertas Lógicas

Compuerta “AND”

Una Compuerta AND de dos entradas es un dispositivo electrónico que posee dos entradas, a las que llegan los niveles de tensión de dos cables (A y B) y una salida (Z).

Responde a la expresión:

(16)

Compuertas Lógicas

Compuerta “AND”

A · B = Z

0 ·0 = 0

0 0 0

1

0

1

0

1

0

0 Z

Z

B

A

0 1

0 ·1 = 0

1

1 · 0 = 0

0

1 · 1 = 1

(17)

Circuito Lógico

Compuerta “AND”

Z = A · B

También es posible

representar la función lógica, su tabla de

verdad y su

(18)

Circuito Lógico

Compuerta “AND”

Z = A · B

La luminaria se enciende cuando A y B son

pulsados al

mismo tiempo. Esto coincide con la TV

cuando A y B toman el valor 1, haciendo que Z valga 1.

(19)

Compuertas Lógicas

Compuerta “OR”

Una Compuerta OR de dos entradas es un dispositivo electrónico que posee dos entradas, a las que llegan los niveles de tensión de dos cables (A y B) y una salida (Z).

(20)

Compuertas Lógicas

Compuerta “OR”

A + B = Z

0 + 0 = 0

0

1

0

1

0

0 Z

Z

B

A

0 1 0 1 1 0

0 + 1 = 1

1

(21)

Circuito Lógico

Compuerta “OR”

Z = A + B

La luminaria se enciende cuando A o B son

pulsados.

Esto coincide con la TV

cuando A o B toman el valor 1, haciendo que Z valga 1.

(22)

Compuertas Lógicas

Compuerta “SEGUIDOR”

Una Compuerta SEGUIDOR es un dispositivo electrónico que actúa como buffer: mantiene en la salida, el valor

que se encuentra a la entrada.

(23)

Compuertas Lógicas

1

0

0 Z

Z

A

Compuerta “SEGUIDOR”

A = Z

0

1 0

1 = 10 = 0

(24)

Circuito Lógico

Compuerta “SEGUIDOR”

Z = A

La luminaria se enciende cuando A es pulsado.

cuando A toma el valor 1,

haciendo que Z valga 1.

1

0

0 Z

Z

A

(25)

Compuertas Lógicas

A

Z



Compuerta “INVERSOR”

Una Compuerta INVERSOR es un dispositivo electrónico que enciende el cable que está en su salida, si el cable

que está en su entrada se encuentra apagado, y

viceversa. Puede decirse que uno es la negación del otro.

(26)

Compuertas Lógicas

Z

A



Compuerta “INVERSOR”

0

1

0

0 Z

Z

A

0 = 1

1 0

1 = 0

(27)

Circuito Lógico

Compuerta “INVERSOR”

Z se activará si A toma el

valor 0.

cuando A toma el valor 0,

haciendo que Z valga 1.

0

1

0

0 Z

Z

A

(28)

Compuertas Lógicas

Compuerta “EXOR”

Una compuerta EXOR u OR excluyente de dos

entradas es un dispositivo electrónico que presenta dos entradas, a las que llegan los estados de las dos variables (A  B), y una salida, que genera en el cable (Z).

A

B

A

(29)

Compuertas Lógicas

Compuerta “EXOR”

A

B

A

Z









0

1

0

1

0

0 Z

Z

B

A

0

Z









0  0

1 · 0 + 1 · 0

0 0

0  1

1 · 1 + 0 · 0

0

1 1

1  1 1  0

0 1

1

0 · 0 + 1 · 1

0 · 1 + 0 · 1 1

(30)

Circuito Lógico

Compuerta “EXOR”

Z se activará si A o B se

activan, pero no al mismo tiempo

Esto se refleja en la TV cuando A o B estan

activados.

0

1

0

1

0

0 Z

Z

B

A

Pero cuando ambos se activan al mismo tiempo, Z vale 0.

A

B

A

(31)

Leyes de Algegra de Boole

Para la Suma

Para el Producto

A + A = A

A

· A = A

A + 0 = A

A

· 0 = 0

A + 1 = 1

A

· 1 = A

Algebra de circuitos lógicos

El álgebra de Boole es una parte de la matemática que utiliza expresiones basadas en la lógica dual.

Ley Conmutativa

A + B = B + A

Ley Asociativa

A + (B + C) = (A + B) + C

Ley Distributiva

(del producto con respecto a la suma)

A · (B + C) = A · B + A · C

Ley Distributiva

(de la suma respecto del producto)

C + B · A = (C + B) · (C + A)

Ley de Absorción Ley de Doble Negación







Ley de Morgan

Sirve para transformar sumas lógicas en productos lógicos





























Y productos lógicos en sumas lógicas

Relaciones de Morgan

(32)

Compuertas Derivadas









Z

Compuerta “NAND”

Una compuerta NAND resulta de invertir la salida de una compuerta AND.

Compuerta AND

Invertimos la salida (NAND)

Z









(33)

Compuertas Lógicas

Compuerta “NAND”











0

1

0

1

0

1

0

0 Z

Z

B

A

0 1 1 1 1 0 1

0

1

1 

0 

1

0 



0

1 



1

0 



(34)

Circuito Lógico

Compuerta “NAND”

Z será igual a 0 sólo si A y B se presionan al mismo tiempo.

Esto coincide con la TV cuando A y B son iguales a 1, haciendo que Z sea igual a 0.









(35)

Compuertas Derivadas









Z

Compuerta “NOR”

Una compuerta NOR resulta de invertir la salida de una compuerta OR.

Compuerta OR

Invertimos la salida (NOR)

Z









Negamos de ambos lados

Z









Por ley de doble neg.

Z









Por ley de Morgan

Z









Expresión

(36)

Compuertas Lógicas

Compuerta “NOR”











0

1

0

1

0

1

0

1

0

0 Z

Z

B

A

0 1 ₁ 1 1 0 0

0

1

1 

0 

0

1

0

0 



1

0 



0

1

(37)

Circuito Lógico

Compuerta “NOR”

Z será igual a 1 si A o B no se presionan en ningún momento

Esto coincide con la TV cuando A y B son iguales a 0, haciendo que Z sea igual a 1.









(38)

Compuertas Derivadas

















Z

Compuerta “EX-NOR”

Una compuerta EX-NOR resulta de invertir la salida de una compuerta NOR.

Compuerta NOR

Invertimos la salida (EX-NOR)

Negamos de ambos lados

Por ley de Morgan

Nuevamente Morgan

















Z

















Z

)

(

)

(



















))

(

)

(



















Al distribuir nos queda:

_

_

_

}

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

}

_

_

(39)

Compuertas Lógicas

Compuerta “EX-NOR”



















0

1

0

1

0

1

0

1

0

0 Z

Z

B

A

0 1 ₁ 1 1 0 0

1

1 

0 

1 

0 

0

1

0 



0

1 



0

0 



1

0 



0

1

0 







(40)

Circuito Lógico

Compuerta “EX-NOR”

Como siempre, la TV se corresponde con el

circuito, la compueta y la expresión booleana.

















Z

A B Z

0 0 1

0 1 0

(41)

Principio de Dualidad

► Cualquier propiedad en el álgebra de Boole sigue siendo valida si se intercambian las operaciones (+) y (·) y además se intercambian los valores 0 y 1.

Definición

► Equivalencia entre funciones: dos expresiones booleanas son

equivalentes si tienen igual tabla de verdad. Una expresión lógica le corresponde una sola tabla de verdad, mientras que una tabla de verdad puede formarse algebraicamente mediante diversas funciones equivalentes.

► Asimismo, circuitos lógicos que corresponden a expresiones

algebraicas equivalentes tendrán la misma tabla de

funcionamiento por lo que podrán reemplazarse unos por otros.

► La equivalencia se obtiene aplicando el principio de dualidad.

Ejemplo: A + 0 = A

(42)

Circuitos Equivalentes

►

Convertimos una suma de productos, en un

producto negado de productos negados...

Equivalencias And-Or Y Nand-Nand

Z1 = A + B·C + D·E =

_A



_B



_C



_D



_E

A partir de un circuito determinado, su función

equivalente puede ser obtenida de dos formas:

Primer método

Negamos ambos extremos del cable, que por la propiedad de la doble negación no afecta la función original.

Aplicamos el concepto de funciones equivalentes en la última compuerta, obteniendo así todas NAND.

Segundo método

Aplicamos la equivalencia de funciones en la última

compuerta: reemplazamos la compueta OR por su dual AND y negamos sus entradas y salidas que no están negadas en el

circuito original.

Como último paso, se desplazan las negaciones hacia el otro

extremo del cable. De esta forma obtenemos un circuito compuesto por todas

(43)

Circuitos Equivalentes

Equivalencias Or-And y Nor-Nor

Z = (P + Q) · (R + S) · T

=

T

+

)

S

+

R

(

+

)

Q

+

P

(

A partir de un circuito determinado, su función

equivalente puede ser obtenida de dos formas:

Primer método

Negamos ambos extremos del cable, que por la propiedad de la doble negación no afecta la función original.

Aplicamos el concepto de funciones equivalentes en la última compuerta, obteniendo así todas NOR.

Segundo método

Aplicamos la equivalencia de funciones en la última

compuerta: reemplazamos la compueta AND por su dual OR y negamos sus entradas y salidas que no están negadas en el

circuito original.

Como último paso, se desplazan las negaciones hacia el otro

extremo del cable. De esta forma obtenemos un circuito compuesto por todas

compuertas NOR.

De un producto de sumas se pasa a una suma De un producto de sumas se pasa a una suma

(44)

Funciones Equivalentes

Utilidad

A una función lógica le corresponde una única tabla de verdad, mientras que a una misma tabla de verdad se le puede asociar diferentes expresiones equivalentes.

Esto permite reemplazar un circuito por otro, según las necesidades técnicas y/o económicas que se posean.

Más especificamente, la utilidad del concepto de funciones equivalente es la posibilidad de utilizar menor cantidad de chips para la implementación de un circuito.

Si queremos implementar la función Z=(P+Q)·(R+S), deberíamos hacerlo:

Entonces, una vez aplicado el concepto de funciones equivalentes y obtenida la expresión, la