Introducción a las Varieades de Riemann

141 

Texto completo

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Apuntes

de

Introduccion a las

Variedades de Riemann

Curso1992{93

(2)

Variedades semi{riemannianas

1

1.1 Formas bilineales simetricas . . . 1

1.2 Producto escalar . . . 2

1.3 Variedades y subvariedades semi{riemannianas . . . 5

1.4 Isometras . . . 5

1.5 Conexion de Levi{Civita . . . 9

1.6 Desplazamiento paralelo . . . 15

1.7 Geodesicas . . . 16

1.8 Aplicacion exponencial . . . 18

1.9 Curvatura . . . 20

1.10 Curvatura seccional . . . 22

1.11 Curvatura escalar y curvatura de Ricci . . . 24

1.12 Isometras locales . . . 30

Subvariedades semi{riemannianas

33

2.1 Campos de vectores tangentes y normales . . . 33

2.2 Conexion inducida . . . 34

2.3 Geodesicas en subvariedades . . . 37

2.4 Subvariedades totalmente geodesicas . . . 38

2.5 Hipersupercies semi{riemannianas . . . 39

2.6 La ecuacion de Codazzi . . . 46

2.7 Hipersupercie totalmente umbilicales . . . 48

2.8 La conexion normal . . . 50

Espacios simetricos

55

3.1 Campos de Jacobi . . . 55

3.2 Variedades locamente simetricas . . . 57

3.3 Recubrimientos semi{riemannianos . . . 61

3.4 Espacios simetricos . . . 63

3.5 Espacios forma simplemente conexos . . . 63

3.6 Espacios semi{riemannianos homogeneos . . . 65

3.7 Metricas bi{invariantes sobre grupos de Lie . . . 66

3.8 Espacios homogeneos como cociente de grupos . . . 69

3.9 Espacios homogeneos reductivos . . . 70

3.10 Construccion de espacios simetricos . . . 74

Diferentes enfoques de conexiones

79

A1 Enfoque axiomatico . . . 79

A2 Enfoque tensorial o clasico . . . 81

Completitud riemanniana

89

B1 Lema de Gauss . . . 89

B2 Longitud de arco . . . 90

B3 Variedades de Riemann completas . . . 95

Nota sobre geometra semi{riemanniana y orbitas planetarias

97

C1 Precesion de los equinoccios . . . 97

C2 Ecuaciones de la gravitacion de Einstein . . . 99

C3 Orbitas planetarias en la teora clasica de Newton . . . 100

C4 La solucion de Schwarzschild . . . 103

(3)

Ejercicios

111

Bibliografa

131

Smbolos

133

Indice alfabetico

135

(4)
(5)

Variedades semi{riemannianas

1.1 Formas bilineales simetricas

En todo lo que sigue designaremos por E un espacio vectorial real de dimension nita.

Denicion 1.1.1

Unaforma bilineal simetricasobre E es una aplicacion IR{bilineal B:EE!IR, vericando

B(u;v) = B(v;u); 8u;v2E.

B esdenida positiva, si B(u;u) > 0; 8u2E f0g.

B esdenida negativa, si B(u;u) < 0; 8u2E f0g.

B esdenida si es denida positiva o denida negativa. B essemidenida positiva, si B(u;u)0; 8u2E.

B essemidenida negativa, si B(u;u)0; 8u2E.

B essemidenida si es semidenida positiva o semidenida negativa. B esno degenerada, si B(u;v) = 0; 8v2E, implica u = 0.

Nota 1.1.1

Obviamente, si B es denida es semidenida y no degenerada. Para el recproco ver el Ejercicio 1. Si B es una forma bilineal simetrica sobre E entonces, para un subespacio F de E, la restriccion BjFF es

as mismo simetrica y bilineal. Si B es denida o semidenida, tambien lo es BjFF.

Denicion 1.1.2

Se conoce comondice de una forma bilineal simetrica B sobre E al numero entero que es la dimension del mayor subespacio F E sobre el cual B

jFF es denida negativa.

As, 0n = dimE y = 0 si y solo si B es semidenida positiva. En la Proposicion 1.2.4 se dara una

version mas practica del ndice de una forma bilineal simetrica.

Denicion 1.1.3

La aplicacionQ:E ! IR dada por Q(u) = B(u;u); u 2E, se denomina forma cuadratica

asociadaa B.

Nota 1.1.2

La forma bilineal simetrica B puede ser obtenida a partir de su forma cuadratica asociada mediante la identidad

B(u;v) = 1 2

Q(u + v) Q(u) Q(v)

:

Denicion 1.1.4

Si fe

1;:::;en

g es una base de E, la matriz (Bij) = (B(ei;ej)) se denomina matriz de B

relativa a la basefe

1;:::;en g.

Ya que B es simetrica, la matriz (Bij) es simetrica; y esta determina a aquella, pues

B

0 @

n X i=1

iei;Xn j=1

jej 1 A=

n X i;j=1

Bijij:

(6)

Proposicion 1.1.1

Una forma bilineal simetrica es no degenerada si y solo si su matriz relativa a una base es inversible.

Demostracion.- Sea fe 1;:::en

guna base E, si u2E, observemos que

B(u;v) = 0; 8v2E

() B(u;ei) = 0; 8i2f1;:::;ng

:

Supongamos que B sea degenerada, lo que es equivalente a que exista un vector u2E f0g(u = 1e

1+ + nen; i 2IR, no todos nulos) tal que

B(u;ei) = B 0 @

n X j=1

jej;ei 1 A=

n X j=1

Bjij = 0; para i = 1;:::;n:

Pero esto equivale a la dependencia lineal de las las o columnas de (Bij); esto es, a que (Bij) sea singular.

1.2 Producto escalar

Denicion 1.2.1

Unproducto escalarg sobre un espacio vectorial E es una forma bilineal simetrica no degene-rada. Un producto interiores un producto escalar denido positivo.

Ejemplo 1.2.1

El producto eucldeo en IRn : uv = n X i=1

uivi, para u = (u1;:::;un);v = (v1;:::;vn), es un

ejemplo de producto interior.

Un ejemplo de producto escalar indenido en IR2

viene dado por la forma bilineal indenida (no denida) siguiente:

g:IR2 IR

2

!IR; g(u;v) = u 1

v1

u2

v2

:

Denicion 1.2.2

En un espacio vectorial E con un producto escalar g, dos vectores u;v2E se dice que son

ortogonales(u ?v) si g(u;v) = 0. Dos subconjuntos A;BE son ortogonales(A?B) si u?v para

todo u2 A y v2B. Si F E es un subespacio de E, al subespacio F ? =

fu2E

fug?Fgse le

denominaortogonala F.

Nota 1.2.1

Cuando el producto escalar es indenido pueden existir vectores de E f0gque sean ortogonales

a s mismos: el vector u = (1;1) en el Ejemplo 1.2.1.

En general, si F es un subespacio de E, F? no es complementario de F en E; es decir, F + F? no es todo

E. Es el caso del subespacio F generado por el vector u = (1;1) del Ejemplo 1.2.1.

Proposicion 1.2.1

Si F es un subespacio de un espacio vectorial E con un producto escalar g, entonces (1) dimF + dimF?= n = dimE

(2) (F?)? = F:

Demostracion.- (1) Sea fe 1;:::en

guna base de E adaptada a F, esto es, para la cualfe

1;:::;er

gforman

una base de F. v2F

?

()g(v;ei) = 0; (1ir) o sea

n X j=1

gijvj = 0; (1ir):

Este es un sistema lineal de r ecuaciones y n incognitas, de rango r. Luego el espacio generado por las soluciones es de dimension n r. Pero, por la construccion, las soluciones (v1;:::;vn) dan los vectores de F?.

(2) Para demostrar la segunda relacion, observemos que si v 2 F =) fvg?F ?

()v 2 (F

?)?, luego

F (F

?)?, Y como, por (1), estos subespacios tienen la misma dimension, entonces son iguales.

(7)

1.2 Producto escalar 3

Nota 1.2.2

Cuando un producto escalar g es indenido, pueden existir subespacios donde g es degenerada. Por lo que un subespacio de un espacio vectorial con un producto escalar, no necesariamente es un espacio con un producto escalar.

Notese que en un espacio vectorial con un producto escalar g, E?= f0g.

Proposicion 1.2.2

Sea E un espacio vectorial con un producto escalar g. Un subespacio F de E es no degenerado (gjFF no degenerada) si y solo si E es suma directa de F y F

? (E = F F

?).

Demostracion.- Usando la identidad

dim(F + F?) = dimF + dimF? dim(F \F

?);

y de acuerdo con la Proposion 1.2.1: dimF + dimF?= n = dimE, resulta que

F + F?= E

()F\F ?=

f0g:

Pero

F\F ?=

u2F

u?F =f0g()F es no degenerado.

Denicion 1.2.3

Sea E un espacio vectorial con un producto escalar g y u2E.

Se dice que u es unitariosi su normakuk= p

jg(u;u)jes igual a 1; esto es, si g(u;u) =1.

Un conjunto de vectores unitarios y mutuamente ortogonales se dice que es ortonormal.

Proposicion 1.2.3

Un espacio vectorial E6=f0gcon un producto escalar g tiene una base ortonormal.

Demostracion.- Ya que g es no degenerada y simetrica, existe un vector u2 E f0gtal que g(u;u)6= 0.

Entonces u

kuk es unitario. As, es suciente demostar, por induccion, que \todo conjunto ortonormal fe

1;:::;er g,

con r < n = dimE, puede ser ampliado por un vector mas".

Estos vectores generan un subespacio F, r{dimensional, el cual es no degenerado. Basta entonces encontrar un vector unitario en F?. Pero al ser F? no degenerado, contiene un vector unitario, por la misma razon que

al principio.

La matriz de g relativa a una base ortonormalfe

1;:::;en

g es diagonal, y denotaremos los terminos de la

diagonal principal por

"j= g(ej;ej) =1:

En lo que sigue ordenaremos los elementos de una base ortonormal de forma que los "j con signo negativo

(si los hay) queden primero y pondremos ("1;:::;"n), a lo que llamaremossignatura del producto escalar.

Proposicion 1.2.4

En un espacio vectorial con un producto escalar g, sife

1;:::;en

ges una base ortonormal,

el numero de signos negativos en la signatura ("1;:::;"n), es el ndice del producto escalar g.

Demostracion.- Supongamos que los primeros m signos de "i son negativos. Evidentemente g es denida

negativa sobre el subespacio S generado porfe

1;:::;em

g; as m.

Para probar la otra desigualdad, sea F un subespacio arbitrario sobre el que g es denida negativa. Denimos la aplicacion lineal :F !S, por

(u) = Xm i=1

g(u;ei)ei:

Nos bastara probar que es inyectiva, pues entonces dimF dimS = m, o sea m. Para probar la

inyectividad, supongamos que (u) = 0, entonces u se expresa como u = Xm

i=1

g(u;ei)ei+ Xn j=m+1

g(u;ej)ej = Xn j=m+1

g(u;ej)ej;

(8)

pero al ser u2F, donde g es denida negativa, se tiene

0g(u;u) = n X j=m+1

(g(u;ej))2

:

Luego, g(u;ej) = 0 para j > m; resulta entonces que u = 0.

Se tiene la siguiente relacion entre los ndices de g y de su restriccion a un subespacio:

SiF es un subespacio no degenerado del espacio vectorialE con producto escalarg, entonces el ndice de

g es la suma del ndices de gjFF mas el ndice de g jF

? F

?; esto es,

indg = indgjFF + indgjF ?

F ?:

Basta observar que existe una base ortonormal adaptada a la suma directa F F ? = E.

Denicion 1.2.4

Una aplicacion lineal, f:E !E

0, entre espacios vectoriales E y E0 con productos escalares

respectivos g y g0, se diceconserva el producto escalarsi

g0 f(u);f(v)

= g(u;v); 8u;v2E:

Nota 1.2.3

Una aplicacion lineal que conserva el producto escalar es necesariamente inyectiva. De la Nota 1.1.2, se sigue que una aplicacion lineal, f:E ! E

0, conserva el producto escalar si y solo si

conserva su forma cuadratica asociada; es decir,

Q 0 f(u)

=Q(u); 8u2E:

Denicion 1.2.5

Un isomorsmo lineal f:E !E

0 que conserva el producto escalar se denominaisometra

lineal.

Proposicion 1.2.5

Dos espacios vectoriales E y E0, con sendos productos escalares g y g0, tienen la misma

dimension e ndice si y solo si existe una isometra lineal de E sobre E0.

Demostracion.- Supongamos que dimE = dimE0 e indg = indg0. Sean fe

1;:::;en gy fe

0 1;:::;e

0

ng bases

ortonormales de E y E0, respectivamente. Por la Proposicion 1.2.4, podemos suponer que

g(ei;ei) = g0(e0 i;e0

i); 8i2f1;:::;ng:

Sea f la aplicacion lineal tal que f(ei) = e0

i (i = 1;:::;n). Entonces

g0 f(e

i);f(ej)

= g0(e0 i;e0

j) = g(ei;ej); 8i;j2f1;:::;ng:

Y por linealidad se sigue que f es isometra. Recprocamente, si f:E!E

0 es una isometra lineal, entonces f aplica una base ortonormal de E en una

base ortonormal de E0. Entonces dimE = dimE0y por la Proposicion 1.2.4, anterior, indg = indg0.

(9)

1.3 Variedades y subvariedades semi{riemannianas 5

1.3 Variedades y subvariedades semi{riemannianas

Denicion 1.3.1

Untensor metricog sobre una variedad diferenciableMes un campo de tensores diferenciable de tipo (0;2) sobreM, simetrico, no degenerado y dendice constante. Es decir, para cada punto x2M,

gx es un producto escalar sobre el espacio tangente Tx(M), de ndice el mismo para todos los puntos

x2M.

Unavariedad semi{riemanniana es una variedad diferenciableMdotada de un tensor metrico g, que denotaremos por (M;g).

El valor comun del ndice de gxsobre una variedad semi{riemannianaMse denominandicedeM.

Nota 1.3.1

Si = 0,Mes una variedad de Riemann; cada gxes un producto escalar denido positivo (producto

interior) sobre Tx(M). Si = 1 y n2,Mes una variedad de Lorentz.

Si (x1;:::;xn) es un sistema coordenado sobre U

M, las componentes del tensor metrico sobre U son

gij = g

@ @xi; @@xj

(1i;jn)

Ya que g es no degenerada, en cada punto x2U, la matriz (gij(x)) es inversible, y su inversa se denota por

(gij(x)). De la formula de los terminos de la matriz inversa, se deduce que las funciones gij son diferenciables

sobre U. Ademas, como g es simetrico, gij = gji, se sigue que gij= gjipara 1i;jn.

Finalmente, sobre U el tensor metrico puede escribirse como g = Xn

i;j=1

gij dxidxj:

Denicion 1.3.2

Sea N una subvariedad de una variedad semi{riemanniana (M;g) e i :N,!Mla inclusion

canonica. Si ig es un tensor metrico sobreN, se dice queNes unasubvariedad semi{riemannianadeM.

Nota 1.3.2

Cuando el tensor metrico g de M es indenido, entonces ig no es necesariamente una metrica

sobre N. ig es un campo de tensores de tipo (0;2) diferenciable y simetrico, por tanto el es una metrica si y

solo si cada Tx(N) es no degenerado en Tx(M) relativamente a gx y el ndice de Tx(N) es el mismo para todo

x2N.

1.4 Isometras

Denicion 1.4.1

SeanMyM0 variedades semi{riemannianas con tensores metricos g y g0. Unaisometrade

MsobreM0es un difeomorsmo F:M !M

0que conserva el tensor metrico; es decir, Fg0= g.

Dos variedades entre las que existe una isometra se dice que sonisometricas.

El estudio de los invariantes isometricos corresponde a lageometra semi{riemanniana.

Nota 1.4.1

Para cada punto x2M, (F

)xes una isometra lineal.

La aplicacion identidad en una variedad semi{riemmaniana es una isometra. La composicion de isometras es una isometra.

La aplicacion inversa de una isometra es una isometra.

Todo espacio vectorial con un producto escalar puede considerarse como una variedad semi{riemanniana. Una isometra lineal entre espacios vectoriales es una isometra como variedades semi{riemannianas.

(10)

Vamos a situarnos en un caso particular de variedades semi{riemannianas, y mas aun, en un caso particular de variedades de Riemann como son los espacio eucldeos y en estos estudiar las isometras. Dado que la generalizacion a dimensiones superiores no crea gran dicultad, para mejor jar las ideas, nos situaremos en el espacio eucldeo tridimensional IR3

.

De geometra elemental conocemos que dos triangulos son congruentes si existe un movimiento rgido que lleva uno en el otro. Resulta entonces que angulos correspondientes en triangulos congruentes son iguales, los lados correspondientes tienen la misma longitud, las areas que encierran son iguales, etc... Y, recprocamente, hay varias maneras de ver si dos triangulos son congruentes; por ejemplo, comprobando que las longitudes de los lados son iguales.

A continuacion, estudiaremos los movimientos rgidos (isometras) el espacio eucldeo y extenderemos estos conceptos, relativos a triangulos, a otros objetos geometricos.

La interpretacion de elementos de IR3 como puntos o vectores se hara segun el contexto en que se este

trabajando, sin nececidad de expecicar que se trata de uno u otro, salvo que se cree confusion. Hecha esta aclaracion, pasamos a formalizar el concepto de movimiento rgido.

Denicion 1.4.2

Si p y q son puntos de IR3, ladistancia eucdea de p a q es d(p;q) =

kp qk.

Una isometra, o movimiento rgido, en el espacio eucldeo es una aplicacion diferenciable que conserva la distancia eucldea entre puntos, mas precisamente:

Denicion 1.4.3

Unaisometra eucldea de IR3

es una aplicacion diferenciable F:IR3 !IR

3

tal que d(F(p);F(q)) = d(p;q) 8p;q2IR

3

:

Ejemplo 1.4.1

1. Traslaciones

T:IR3 !IR

3 p

7!T(p) = p + a (a2IR)

Se trata de una isometra eucldea, puesto que

d(T(p);T(q)) = d(p + a;q + a) =k(p + a) (q + a)k=kp qk= d(p;q):

2. Rotacion alrededor del eje OZ de angulo.

F:IR3 !IR

3 F(p) = F(p1;p2;p3) = (p1cos p2sen ; p1sen + p2cos; p3);

8p = (p

1;p2;p3) 2IR

3:

Claramente F es diferenciable y con un calculo facil se comprueba que conserva la distancia eucldea.

Denicion 1.4.4

Una transformacion ortogonal(o isometra lineal) es una aplicacion lineal H:IR3 !IR

3 que

conserva el producto escalar, es decir

< H(p);H(q) >=< p;q > 8p;q2IR 3

Una transformacion ortogonal es necesariamente biyectiva. Pues si H(p) = 0, implicara que < p;q >= 0, para to q2IR

3

y, por consiguiente, p = 0. As, H es inyectiva, y por tanto, debido a las dimensiones, biyectiva.

Proposicion 1.4.1

Toda transformacion ortogonal de IR3

es una isometra eucldea.

Demostracion.- Veamos primero que si H:IR3 !IR

3es una transformacion ortogonal, ella conserva la norma.

Sea p2IR 3

kH(p)k

2=< H(p);H(p) >=< p;p >= kpk

2:

LuegokH(p)k=kpk.

Ahora como ademas H es lineal, para p;q2IR

3, se tiene

d(H(p);H(q)) =kH(p) H(q)k=kH(p q)k=kp qk= d(p;q):

Con lo que H es una isometra eucldea.

A modo de recproco tenemos el siguiente resultado:

(11)

1.4 Isometras 7

Proposicion 1.4.2

Si F es una isometra eucldea de IR3 tal que F(0) = 0, entonces es una transformacion

ortogonal

Demostracion.- Veamos primero que conserva la norma. Si p 2 IR 3

, se tiene por denicion de distancia eucldea quekpk= d(0;p), luego

kF(p)k= d(0;F(p)) = d(F(0);F(p)) = d(0;p) =kpk:

As F conserva las normas. Ahora, por poralizacion, demostremos que conserva el producto escalar: Como F es isometra eucldea, resulta que, para p;q2IR

3, d(F(p);F(q)) = d(p;q), es decir,

kF(p) F(q)k= kp qklo que implica

< F(p) F(q);F(p) F(q) >=< p q;p q >

kF(p)k

2 2 < F(p);F(q) > + kF(q)k

2= kpk

2 2 < p;q > + kqk

2:

Luego como F conserva la norma, resulta

< F(p);F(q) >=< p;q > : Nos falta demostrar que F es lineal:

Consideremos la base canonica ortonormalfe

1 = (1;0;0);e2 = (0;1;0);e3 = (0;0;1)

g, al conservar F el

producto escalar, tambienfF(e

1);F(e2);F(e3)

ges una base ortonormal.

p = 3 X i=1

piei)F(p) = 3 X i=1

< F(p);F(ei) > F(ei) = 3 X

i=1

< p;ei> F(ei) = 3 X i=1

piF(ei):

De donde si p;q2IR 3 y ;

2IR se tiene que:

F(p + q) = 3 X i=1

(pi+ qi)F(ei) = 3 X i=1

piF(ei) + 3 X i=1

qiF(ei) = F(p) + F(q):

Daremos ahora el aspecto concreto de una isometra eucldea arbitraria; veremos que es posible expresar cualquier isometra como composicion de una transformacion ortogonal con una traslacion.

Teorema 1.4.1

Sea F una isometra eucldea de IR3

, existe entonces una unica traslacion T y una unica transformacion ortogonal H, tal que F = TH.

Demostracion.- Sea la traslacion T(p) = p + F(0); la aplicacion inversa T 1 es una traslacion: T 1(p) =

p F(0). Ahora bien como la composicion de isometrias eucldeas es otra isometra eucldea, tenemos que T 1

F es una isometra eucldea, y ademas

(T 1

F)(0) = T

1(F(0)) = F(0) F(0) = 0:

Por tanto por la Proposicion 1.4.2, H = T 1

F es una transformacion ortogonal. Con lo que F = TH es la

composicion de una transformacion ortogonal con una traslacion. Nos falta demostrar la unicidad:

Supongamos que F = TH, donde T es una traslacion y H es una transformacion ortogonal. Veamos que

T = T y H = H. Pero TH = TH implica que H = T 1

TH. Como H y H son lineales, cumplen

que H(0) = H(0) = 0, luego (T 1

T)(0) = 0. Y como la composicion de traslaciones es una traslacion y

la traslacion que deja un punto jo es la identidad, resulta que T 1

T = I; es decir T = T. Ademas, y en

consecuencia

TH = TH )T

H = TH )T

1

TH = T 1

TH

)H = H:

(12)

Dado que para una isometra eucldea F la descomposicion F = TH que da el teorema anterior es unica,

diremos que H es la parte ortogonal de F y que T e la parte de traslacion de F. En notacion matricial, si tomamos en IR3

la base canonicafe 1;e2;e3

g, una isometra eucldea F = T H,

con

T(p) = p + a T(p1;p2;p3) = (p1;p2;p3) + (a1;a2;a3)

H(p) = 3 X i=1

c1 ipi;

3 X i=1

c2 ipi;

3 X i=1

c3 ipi

!

:

Poniendo los vectores en columnas, tenemos la siguiente expresion matricial de F = TH 0 @ q1 q2 q3 1 A= 0 @ a1 a2 a3 1 A+ 0 @ c1 1 c 1 2 c 1 3 c2 1 c 2 2 c 2 3 c3 1 c 3 2 c 3 3 1 A 0 @ p1 p2 p3 1 A

donde la matriz (cij) es ortogonal en el sentido de que su inversa es igual a su traspuesta.

Pasamos a estudiar la aplicacion inducida entre los espacios tangentes de una isometra euclidea.

Proposicion 1.4.3

Si F:IR3 !IR

3 es una isometra con parte ortogonal H, entonces se tiene

F(vp) = H(v)F(p)

8vp2Tp(IR 3

):

Demostracion.- Pongamos F = TaH, es decir F(p) = a + H(p). Si vp

2Tp(IR 3

) F(vp) = ddt

jt=0F(p + tv) = ddtjt=0(a + H(p) + tH(v)) = ddtjt=0

(F(p) + tH(v)) = H(v)F(p):

Corolario 1.4.3.1

Las isometras eucldeas conservan el producto escalar, es decir: < F(vp);F(wp) >=< vp;wp>

8vp;wp2Tp(IR 3):

Demostracion.- Basta recordar que, por denicion, las transformaciones ortogonales conservan el producto escalar. As, si H es la parte ortogonal de F, se tiene, en virtud de la proposicion anterior, que

< F(vp);F(wp) >=< H(v)F(p);H(w)F(p)>=< H(v);H(w) >=< v;w >=< vp;wp> :

As como dos puntos determinan una unica traslacion que transforma uno en el otro, dos sistemas de referencias ortonormales determinan una misma isometra eucldea, esto es se tiene el siguiente resultado:

Proposicion 1.4.4

Dados sistemas de referencia ortonormales en IR3, B 1 =

fu 1;u2;u3

g en un punto p y

B2= fv

1;v2;v3

gen un punto q, existe una unica isometra F:IR 3

!IR

3tal que F(u

i) = vi(1i3).

Demostracion.- Como los espacios tangentes Tp(IR3) y T

q(IR3) son canonicamente isomorsmo a IR3;

con-sideremos primero la unica transformacion lineal H:IR3 !IR

3 que lleva la base ortonormal fu

1;u2;u3 gen la fv

1;v2;v3

gde tal forma que H(ui) = vi (1i3). Se trata de un transformacion ortogonal. Sea ademas la

traslacion de vector q H(p). Entonces la isometra lineal F = TH lleva la referencia B

1 en la B2. En efecto,

F(p) = T(H(p)) = H(p) + q H(p) = q y F(uip) = H(ui)F(p)= viq (1

i3).

La unicidad es inmediata, pues si H es otra parte ortogonal, tambien vericara F(ui) = H(ui), luego

H = H. Y ademas existe una unica traslacion que lleva H(p) en q.

(13)

1.5 Conexion de Levi{Civita 9

1.5 Conexion de Levi{Civita

Sean X e Y campos de vectores sobre una variedad semi{riemannianaM. El objetivo de este parrafo es denir un nuevo campo de vectores rXY sobreM, cuyo valor en cada punto x es el vector variacion de Y en

la direccion de Xx.

Para mejor comprender este concepto, repasemos el concepto de derivada covariante natural en IRn. Un campo de vectores Y en IRnpuede ser interpretado como una aplicacion Y :IRn!IRndiferenciable; as

si v es un vector en p de IRne Y es un campo de vectores (diferenciable) en p, esta bien denido el vector (DvY )(p) = limt

!0

Y (p + tv) Y (p) t

que, si Y se expresa en funcion de los campos de vectores basicos en IRn, correspondientes a las coordenadas

cartesianas globales (r1;:::;rn) , por Y = n X i=1

Yi @

@ri, se puede poner

(DvY )(p) =Xn i=1

v(Yi) @

@ri;

donde v(Yi) expresa la derivada direccional de la funcion Yi en la direccion de v.

Si ahora consideramos X e Y campos de vectores diferenciables en p, DXY

(p) = DXpY

dene un campo de vectores DXY en IRn, que denominaremosderivada covariantede Y en la direccion de X.

Ejemplo 1.5.1

Tomemos en IR3los campos de vectores X = (A;B;C), Y = (xy

2+4z;y2 x;x+z3), entonces

DXY = X(xy2+ 4z); X(y2 x); X(x + z3)

=

= y2A(x;y;z) + 2xyB(x;y;z) + 4C(x;y;z); A(x;y;z) + 2yB(x;y;z); A(x;y;z) + 3z2C(x;y;z)

:

Propiedadesde la derivada covariante o conexion natural en IR

n

:

Sean X;Y;Z;W campos vectoriales (diferenciables) en IRn, y sea f una funcion diferenciable real, entonces se tienen las siguientes propiedades:

DX(Y + Z) = DXY + DXZ DfXY = f DXY

DX +WY = DXY +DWY DX(fY ) = (Xf)Y +f DXY

Todas estas propiedades se deducen directamente de la denicion de D, entendida como derivada direccional de funciones diferenciables en IRn.

Es importante rese~nar que DXY puede ser calculado una vez conocido Y a lo largo de una curva que ja el vector Xp en p; es decir, tal que (0) = p y 0(0) = X

p.

En efecto, sea Y(t)= Y 1 (t)

;:::;Yn (t)

, entonces DXY

(p) = DXpY = Xp(Y1

);:::;Xp(Yn)

= = Xn

i=1

di

dt j0

@Y1

@ri j(0)

;:::;Xn i=1

di

dt j0

@Yn

@ri j(0) !

=

d(Y1 )

dt (0);:::;d(Yn

)

dt (0)

:

(14)

Para la generalizacion de la denicion de derivada covariante o conexion a una variedad diferenciable M, exigiremos la existencia de un operadorrque asigna a campos de vectores X;Y un campo de vectoresrXY ,

que satisfaga a las cuatro propiedades precedentes, enunciadas para la conexion natural en IRn. Esto es, si designamos porX(M) el modulo de los campos de vectores diferenciables sobreM, damos la siguiente denicion:

Denicion 1.5.1

Unaconexion lineal renMes una aplicacion

r:X(M)X(M)!X(M), (X;Y )7!rXY , vericando

A1:

rX + Y Z =rXZ +rY Z A 3:

rfXY = frXY

A2:

rX(Y + Z) =rXY +rXZ A 4:

rXfY = (Xf)Y + frXY

donde f;g2F(M) (funciones diferenciables). rXY se leederivada covariante de Y con respecto a X.

Ejemplo 1.5.2

Observese que puede existir mas de una conexion lineal sobre una variedad diferenciable. Y como ejemplos de existencia de conexiones lineales sobre variedades tenemos:

1) La conexion natural D en IRn. Ver pagina 9.

2) La conexionr sobre una supercie M de IR

3, denida a partir de la conexion natural y el producto

interior en IR3, considerando el campo de vectores normal unitario

N

sobreMy deniendo rXY = DXY

DXY;

N

N

es decir, el campo de vectores rXY esta denido descomponiendo DXY en sus unicas componentes tangente

y normal relativas al plano tangente a M. r satisface las propiedades que caracterizan a una conexion lineal

sobreM; as el producto escalar y la conexion natural de IR3 inducen una conexion en la supercie M.

3) Si U;'(x

1;:::;xn)

es una carta local en una variedad diferenciable M; sobre el abierto U, con la estructura de variedad inducida, se puede denir una conexion lineal, poniendo, para X;Y campos de vectores sobre U Y =Xn

i=1

Yi @

@xi !

,

rXY = n X i=1

X(Yi) @

@xi:

4) Si en una variedad M, n{dimensional, existen n campos de vectores X1;:::;Xn linealmente

indepen-dientes (los vectores fX

1(x);:::;Xn(x)

g, linealmente independientes para todo x2M, dcese entonces que la

variedad es paralelizable), podemos denir en Muna conexion lineal poniendo, para campos de vectores X e Y Y =Xn

i=1

YiXi !

,

rXY = n X i=1

X(Yi)Xi:

5) Toda variedad diferenciable paracompacta admite una conexion lineal.

En efecto, seafVgun recubrimiento abierto localmente nito deM, y supongamos queffges una

par-ticion de la unidad subordinada a tal recubrimiento; es decir, las funciones fson funciones reales diferenciables

con valores comprendidos entre 0 y 1, tales que sop f V (la clausura de los puntos donde f no se anula

esta contenida en V) yP

f= 1. Si r es la conexion lineal en la carta (V;'), como en 3), ponemos r=

X f

r;

entonces, al tener esta suma sentido, res una conexion lineal enM.

Para otros enfoques de conexiones en una variedad diferenciable ver el Apendice A

(15)

1.5 Conexion de Levi{Civita 11

Tratamos ahora de establecer un resultado fundamental en la geometra semi{riemanniana, como es el de la existencia de una unica conexion que cumple ademas las propiedades vericadas por la conexion natural en IRn siguientes

[X;Y ] = DXY DY X X

Y;Z

=

DXY;Z

+

Y;DXZ

Para llegar a ello necesitamos el siguiente resultado algebraico:

Proposicion 1.5.1

Sea (M;g) una variedad semi{riemanniana. Si X 2 X(M), sea la 1{forma sobre M

metricamente equivalente a X, denida por

(Y ) = g(X;Y ); 8Y 2X(M):

Entonces la aplicacion X 2X(M)7!2 1(

M)

es un isomorsmo deX(M) sobre 1(M) (conjunto de las 1-formas diferenciables sobre M).

Demostracion.- Evidentemente 2

1(M) y la aplicacion X

7! es F(M){lineal. El ser un isomorsmo se

sigue de los siguientes hechos:

a) Si g(X;Y ) = g(Z;Y ); 8Y 2X(M), se tiene X = Z.

b) Dada 2

1(M), existe un unico X

2X(M) tal que (Y ) = g(X;Y ); 8Y 2X(M).

Para establecer la armacion a), sea W = X Z, entonces dicha armacion es equivalente a que si g(Wx;Yx) = 0; 8Y 2X(M) y 8x2M; entonces W = 0:

Pero esto se sigue de la no degenerabilidad de la metrica g y de que todo elemento de Tx(M) es de la forma Yx.

Asmismo queda demostrado la unicidad de la armacion b), con lo que para demostrar b), solo es suciente encontrar X sobre un entorno coordenado arbitrario U de funciones coordenadas x1;:::;xn.

Si =Xn i=1

idxien U y X =Xn i;j Xi

@

@xj, es el campo de vectores a encontrar, debe vericarse

(Y ) = g(X;Y ); 8Y 2X(U)

o, equivalentemente

@ @xj

= g

X; @@xj

(j = 1;:::;n) luego, resulta el sistema de ecuaciones lineales, de funciones incognitas Xi, siguiente

j= n X i=1

gijXi (j = 1;:::;n);

el cual tiene solucion unica dado que la matriz de coecientes (gij) tiene inversa (gij). Resulta, entonces, que

X = Xn i;j=1

giji@x@j:

Se sigue por linealidad que g(X;Y ) = (Y ); Y 2X(U).

Teorema 1.5.1

Sobre una variedad semi{riemanniana (M;g) existe una unica conexion linealr, tal que

A5: [X;Y ] =

rXY rY X (1.5.1)

A6: Xg(X;Y ) = g(

rXY;Z) + g(Y;rXZ) (1.5.2)

(16)

para todo X;Y;Z 2X(M).

rse determina por laformula de Koszul:

2g(rXY;Z) = Xg(Y;Z) + Y g(Z;X) Zg(X;Y ) g(X;[Y;Z]) + g(Y;[Z;X]) + g(Z;[X;Y ]): (1.5.3)

Demostracion.- Supongamos que res una conexion sobre M satisfaciendo las relaciones (1.5.1) y (1.5.2),

entonces la formula de Koszul se satisface sin dicultad, sin mas que usar (1.5.2) para transformar los tres primeros sumandos del termino de la derecha, y (1.5.1) para transfomar los tres ultimos; cancelando los sumandos de signo contrario que resultan, se obtiene 2g(rXY;Z), que es el primer miembro de la formula de Koszul.

Ademas, por la armacion a) de la demostracion de la Proposicion 1.5.1,res unica.

Para la existencia, denimos (X;Y;Z) por el termino de la derecha de la formula de Koszul. Fijando X;Y 2X(M), es facil demostrar que la aplicacion

:X(M)!F(M) Z7!(X;Y;Z)

esF(M){lineal; y, por consiguiente, es una 1{forma [10, pag. 46,56]. Por la Proposicion 1.5.1, existe un unico campo de vectores, que denotamos porrXY tal que

2g(rXY;Z) = (X;Y;Z); 8Z2X(M):

As, se tiene la formula de Koszul, y de ella se pueden deducir las propiedades de la Denicion 1.5.1 de conexion y las propiedades (1.5.1) y (1.5.2).

Denicion 1.5.2

A la conexion denida por la formula de Koszul se le denominaconexion metricaoconexion de Levi{Civitade (M;g).

Denicion 1.5.3

Sea (x1;:::;xn) un sistema coordenado sobre un entorno abierto U en una variedad semi{

riemannianaM. Lossmbolos de Christoelpara este sistema coordenado son las funciones kij sobre U tales que

r@ @xi

@ @xj =

n X k=1

kij@x@k (1i;jn):

Tambien llamadoscoecientes de la conexionde Levi{Civita.

Nota 1.5.1

De la propiedad (1.5.1), pagina 11, de la conexion de Levi{Civita se sigue que: kij = kji. Por lo que se dice que la conexion es simetrica.

La conexion r no es un campo tensorial, pues los smbolos de Christoel no se atienen a la regla de

transformacion tensorial bajo un cambio de coordenadas. De hecho se tiene:

Si kij son los smbolos de Christoel dercon respecto a otro sistema de coordenadas (x

1;:::;xn) sobre un

abierto U, en la interseccion de los entornos coordenados, se tiene:

= n X i;j;k=1

kij@x@xi @x@xj@x@xk + n X i=1

@2xi

@x@x@x@xi:

Proposicion 1.5.2

En un sistema coordenado (x1;:::;xn) sobre un abierto U, si X;Y

2X(U), se tiene rXY =

n X k=1

0 @

n X j=1

Xj@Yk

@xj + n X i;j=1

kijXiYj 1 A @

@xk;

donde los smbolos de Christoel estan dados por

kij =1 2

n X h=1

gkh

@gjh

@xi + @g@xihj @g@xijh

:

(17)

1.5 Conexion de Levi{Civita 13

Demostracion.- Dicha formula se obtiene de forma inmediata utilizando las propiedades de la conexion. Para obtener la expresion de los smbolos de Christoel, ponemos en la formula de Koszul (1.5.3)

X = @@xi; Y = @@xj; Y = @@xh y resulta

2g

r@

@xi

@ @xj; @@xh

= @@xi(gjh) + @@xj(gih) @x@h(gij):

Pero por la denicion de los smbolos de Christoel: 2g

r@

@xi

@ @xj; @@xh

= 2Xn `=1

`ijg`h:

Multiplicando ambos miembros de la ecuacion anterior por ghk, da el resultado requerido, sumando en h.

Ejemplo 1.5.3

La conexion natural en IRn es la conexion de Levi{Civita del espacio semi{eucldeo IRn ( = 0;1;:::;n); es decir, IRncon el producto escalar

< u;v >= X i=1

uivi+ Xn i=+1

uivi

Relativamente a las coordenadas naturales de IRn, se tiene gij= ji"j donde "j=

1 (1j)

+1 ( + 1jn) kij = 0 (1i;j;kn):

Denicion 1.5.4

Un campo de vectores Y 2X(M) es paralelosi su derivada covariente es nula; es decir, si rXY = 0; 8X 2X(M):

Ejemplo 1.5.4

En IRnlos campos de vectores de componentes constantes son paralelos.

Denotaremos porTrs(M) el conjunto de los campos de vectores diferenciables de tipo (r;s) sobreM. Recorde-mos [10, pags. 44,56] que ellos pueden ser identicados con aplicaciones F(M){lineales X(M)

s)

X(M)

1(M)

r)

1(M)

!F(M).

Denicion 1.5.5

Unaderivacionsobre el algebra tensorial de una variedad diferenciable Mes una aplicacion IR{lineal D:T(M)!T(M), vericando:

1. D:Trs(M)!Trs(M); es decir, D conserva el tipo tensorial.

2. D(ST) = (DS)T + SDT 8T;S2T(M).

3. D(CT) =C(DT); es decir,C conmuta con la contraccion. (Ver Denicion 1.11.6).

Proposicion 1.5.3

Sea D una derivacion en el algebra tensorial de M. Si A 2 Trs(M) entonces, para todo

X1;:::;Xs

2X(M) y !

1;:::;!r 2

1(M),

(DA

(X1;:::;Xs;!

1;:::;!r) = D A(X

1;:::;Xs;!

1;:::;!r) s

X j=1

A(X1;:::;DXj;:::;Xs;!

1;:::;!r) r X i=1

A(X1;:::;Xs;!

1;:::;D!i;:::;!r):

(18)

Demostracion.- Para simplicar la demostracion, solo consideramos el caso en que r = s = 1. Armamos que

A(X;!) =C(AX!);

dondeC es una doble contraccion. Esta armacion se corrobora facilmente, poniendo las componentes de cada

miembro respecto a un sistema coordenado: A(X;!) : Xn i;j=1

AijXj!i AX! : AijXk!`:

As, usando las propiedades de la derivacion, tenemos D A(X;!)

= DC(AX!) =CD(AX!) =

=C(DAX!) +C(AXD!) +C(ADX!) = (DA)(X;!) + A(X;D!) + A(DX;!):

Casos particulares: Si es una 1{forma:

(D)(X) = D((X)) (DX); 8X2X(M):

Si g2T 0 2(M):

(Dg)(X;Y ) = D(g(X;Y )) g(DX;Y ) g(X;DY ); 8X;Y 2X(M):

Corolario 1.5.3.1

Si dos derivaciones D1;D2 sobre el algebra tensorial coinciden sobre funciones y sobre

campos de vectores, entonces D1= D2.

La derivada covarianterX puede extenderse a un operador sobre tensores arbitrarios:

Denicion 1.5.6

Sea X un campo de vectores sobre una variedad semi{riemannianaM. Laderivada covariante

rX es la unica derivacion D sobreMtal que:

DXf = Xf; 8f 2F(M) DXY =rXY; 8Y 2X(M):

Denicion 1.5.7

Ladiferencial covariantede un tensor A2Trs(M) es un tensor de tipo (r;s+1), rA, tal que

(rA)(X

1;:::;Xs;X;

1;:::;r) = rXA

(X1;:::;Xs;

1;:::;r)

para todo X;Xi2X(M) y j 2 1(M).

Nota 1.5.2

Esta denicion tiene sentido ya querXA es F(M){lineal en X 2X(M).

La diferencial covariante coincide con la diferencial ordinaria sobre funciones, as si f 2F(M) y X 2X(M)

se tiene: (rf)(X) =rXf = Xf = df(X).

Si A2Trs(M) es un campo tensorial de tipo (r;s) de componentes respecto a un sistema coordenado Ai1 i

r j1j

s,

entonces las componentes de rA estan dadas por:

Ai1i r j1j

s

;k = @A i1i

r j1j

s

@xk + r X =1

n X `=1

i k`Ai1i

1`i+1 i

r j1j

s

! s X =1

n X h=1

hkjA i1i

r j1j

1hj+1 j

s !

:

Denicion 1.5.8

Un campo de tensores A es paralelosi su diferencial covariante es nula; esto es, si

rXA = 0; 8X 2F(M).

Nota 1.5.3

De la propiedad (1.5.2), pagina 11, de la conexion de Levi{Civita, se sigue que el tensor metrico g es paralelo.

(19)

1.6 Desplazamiento paralelo 15

1.6 Desplazamiento paralelo

Una curva en una variedad diferenciable Mes una aplicacion regular (aplicacion inducida inyectiva) de un abierto I IR sobre M. Sea :I ! M; t7! (t) una curva en M, la derivada con respecto al parametro la

denotaremos por 0. As, 0(t) es el vector tangente (ddt

jt).

Denicion 1.6.1

Un campo de vectores Z sobre una curva :I!M es una aplicacion Z:I !T(M)

diferen-ciable, que asigna a cada t2I (intervalo abierto en IR) un vector tangente aMen (t).

Denotaremos porX() al conjunto de los campos de vectores diferenciables sobre . X() es unF(I){modulo.

Cuando en M existe una conexion hay una forma natural de denir el campo de vectores variacion de Z2X() a lo largo de la curva :

Proposicion 1.6.1

Sea :I !M una curva en una variedad semi{riemanniana (M;g). Entonces existe una

unica aplicacion

r

dt : X() !X(); Z7! rZ

dt ; llamadaderivada covariante inducida, tal que, para todo Z;Z1;Z2

2X();X2X(M);h2F(I);;2IR;

1. r

dt(Z1+ Z2) = rZ 1 dt + rZ 2 dt . 2. r(hZ)

dt = dhdt Z + h

rZ

dt . 3. rX

dt (t) =r0(t)X (X es la restriccion de X a ).

Ademas se tiene: 4. ddtg(Z1;Z2) = g

rZ

1

dt ;Z2

+ g

Z1; rZ

2

dt

.

Demostracion.- Unicidad. Supongamos que existe una derivada covariante inducida satisfaciendo solo las tres primeras propiedades. Podemos suponer que la curva queda en el dominio de un sistema coordenado de funciones coordenadas (x1;:::;xn). Entonces Z(t) =

n X i=1

Zi(t) @

@xij(t)

.

Por las propiedades 1 y 2: rZ

dt =

n X i=1

dZi

dt @x@ij

+Xn i=1

Zir@x@ i

j

dt . Y, teniendo en cuenta la propiedad 3,

rZ dt = n X i=1 dZi

dt @x@i + Zir 0

@ @xi

Con lo que, rZ

dt esta completamente determinada por la conexion de Levi{Civita.

Existencia. Sobre todo subintervalo J I tal que (J) quede en un entorno coordenado, denimos rZ

dt

por la formula anterior recuadrada. Entonces es facil demostrar que la cuarta propiedad se verica. Por la unicidad, esta denicion local de rZ

dt constituye un campo de vectores sobre , rZ

dt 2X().

Introduciendo los smbolos de Christoel, la exprexion local de rZ dt es rZ dt = n X k=1 0 @dZ k dt + n X i;j=1

kijd(xi)

dt Zj

1 A @

@xk:

(20)

Denicion 1.6.2

Z 2X(), se dice que esparalelo si rZ

dt = 0.

La ecuacion rZ

dt = 0 es equivalente a un sistema de ecuaciones lineales ordinarias, Asi, por el teorema

fundamental de existencia y unicidad de tales sistemas, se tiene:

Proposicion 1.6.2

Sea :I!Muna curva sobreM, a2I y v2T

(a)(M). Existe un unico campo de vectores

paralelo Z sobre tal que Z(a) = v. La aplicacion :T(a)(M)

!T

(t)(M), dada por (v) = Z((t)) es un isomorsmo lineal, que se

denominatransporte paraleloa lo largo de desde (a) a (t).

Demostracion.- Sea (x1;:::;xn) un sistema de coordenadas alrededor de (a), con dominio U, y sean

los campos de vectores canonicos asociados f@x@1;:::;@x@ n

g. Supongamos que ([a;b 1])

U. Sea Y (t) = n

X i=1

Yi(t) @

@xij(t)

un campo de vectores sobre . Y es paralelo a lo largo de si y solo si

dYk

dt +

n X i;j=1

kijd(xi)

dt Yj= 0 (t2I; k = 1;:::;n): (1.6.1)

La condicion Y ((a)) = v da n valores iniciales vi y la teora de ecuaciones diferenciales lineales ordinaria

garantiza la existencia de un unico conjunto de funciones diferenciables Yi((t)) satisfaciendo las ecuaciones

(1.6.1) de arriba en el dominio [a;b1], las cuales denen el campo de vectores paralelo.

Para t2[a;b

1], t es lineal debido a la linealidad de las ecuaciones (1.6.1) y por tanto la solucion depende

linealmente de las condiciones iniciales. La biyectividad de t surge de la unicidad de las soluciones de (1.6.1)

y de que los espacios son de la misma dimension.

Si t 2 I, arbitrario, obtenemos t recubriendo el conjunto compacto ([a;t]) con un numero nito de

entornos coordenados y haciendo el transporte paralelo a lo largo de cada entorno mediante la solucion del sistema diferencial (1.6.1).

Proposicion 1.6.3

El transporte paralelo es una isometra.

Demostracion.- Si X e Y son campos de vectores sobre transportes paralelos de u y v vectores de T(a)(M),

se tiene entonces, usando la propiedad 4 (pagina 15) de la derivada covariante inducida, que d

dtg(X;Y ) = g

rX

dt ;Y

+ g

X;rY

dt

= 0: Luego g(X;Y ) es constante sobre , as

g(b)(b(u);b(v)) = g(b)(X(b);Y(b)) = g(a)(X(a);Y(a)) = g(a)(u;v):

1.7 Geodesicas

Vamos ahora a generalizar la nocion de lnea recta en el espacio eucldeo.

Volviendo a IRnpodemos caracterizar los campos de vectores paralelos a lo largo de una curva y las geodesicas

en terminos de la derivada covariante estandar (pagina 9):

Sea una curva diferenciable en IRne Y un campo de vectores sobre . Y es paralelo a lo largo de si y solo si sus componentes son constantes; es decir, si y solo si

(21)

1.7 Geodesicas 17

DY dt =

dY1

dt ;; dY n

dt

= 0:

La curva sera una geodesica en IRn si y solo si se trata de una recta; esto es, si sus componentes son funciones lineales: i(t) = ait + bi. Lo cual es equivalente a que

D0

dt =

d21

dt2 ; ; d

2n

dt2

= 0:

Esto motiva la siguiente denicion de geodesicas en una variedad diferenciable con conexion:

Denicion 1.7.1

Una geodesica en una variedad semi{riemanniana es una curva :I ! M cuyo campo de

vectores tangente 0 es paralelo.

Si (M;g) es una variedad semi{riemanniana. k 0

kes necesariamente constante, ya que

d

dtg(0;0) = g r

0

dt ;0) + g 0; r

0

dt ) = 0:

Proposicion 1.7.1

Sea (x1;:::;xn) un sistema coordenado sobre U

M. Una curva sobre U es una

geodesica deMsi y solo si sus funciones componentes satisfacen d2(xk

)

dt2 + n X i;j=1

kij((t))d(xi)

dt d(xj

)

dt = 0 (1kn):

Demostracion.- Estas son las componentes de r 0

dt respecto a la basef@x@1;:::;@x@ n

g.

Del teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias se sigue el siguiente resultado local.

Proposicion 1.7.2

Si v 2 Tx(M), existe un intervalo I alrededor del 0 2 IR y una unica geodesica, que

denotaremos por v:I !M, tal que v(0) = x; 0

v(0) = v.

Denicion 1.7.2

Una variedad semi{riemanniana se dice que escompletasi toda geodesica puede ser denida sobre toda la recta real.

Proposicion 1.7.3

Sea :I ! M una geodesica no constante. Una reparametrizacion h:J

! M es una

geodesica si y solo si h es de la forma h(s) = as + b; a;b2IR.

Demostracion.- h es geodesica ()

r( h)

0

ds = 0: 0 = r(

h) 0 ds = n X k=1 0 @d

2(xk h)

ds2 + n X i;j=1

kijd(xih)

ds d(xj

h)

ds

1 A @

@xk =

=Xn k=1

0 @d

2(xk )

dt2 (h

0)2+ d(x k)

dt h00+ n X i;j=1

kijd(xi)

dt d(xj

)

dt (h0)2 1 A @

@xk:

Al ser geodesica, r 0

dt = 0, resulta equivalentemente n

X k=1

d(xk)

dt h00 @

@xk = 0:

Como no es constante, tenemos la condicion necesaria y suciente para que h sea geodesica:

h00(s) = 0

() h(s) = as + b:

(22)

Proposicion 1.7.4

Sea u2T(M). Entonces existe un entornoN de u en T(M) y un intervalo I alrededor de

02IR, tal que

(v;t)7!v(t)

dene una aplicacion diferenciable de N I enM. Siendo, para cada v, v la unica geodesica tal que

0

v(0) = v.

Demostracion.- Este resultado surge de aplicar a las ecuaciones diferenciables de la geodesicas el hecho de que si un sistema de ecuaciones diferenciables ordinarias de segundo orden esta dado por funciones diferenciables, entonces sus soluciones dependen diferenciablemente no solo del parametro sino ademas del punto inicial y de

las primeras derivadas iniciales.

Una ecuacion diferencial de segundo orden de variable Y puede convertirse en un par de ecuaciones de primer orden, tomando Y0 como nueva variable. Haciendo uso de este hecho, las geodesicas en M pueden ser

representadas por curvas integrales en el brado tangente T(M):

Proposicion 1.7.5

Existe un campo de vectores V sobre T(M) tal que la proyeccion :T(M)!Mestablece

una correspondencia biyectiva sobre las curvas integrales de V y las geodesicas deM.

Demostracion.- Para u2T(M), sea Vu el vector tangente inicial a la curva t7! 0

u(t), siendo t7!u(t), la

geodesica tal que 0

u(0) = u.

Se sigue, usando la Proposicion 1.7.4 precedente, que V es un campo de vectores diferenciable sobre T(M). a) Si es una geodesica de M, entonces 0 es una curva integral de V.

En efecto, para todo t, sea la curva en T(M) (t) = 0(t). Para un punto jo arbitrario t

0, sea v = 0(t

0) y

la curva en T(M) (t) = 0 v(t).

En virtud de la unicidad de las geodesicas: (t0+ t) = v(t). Entonces

(t0+ t) =

0(t + s) = 0

v(t) = (t) 0(t

0+ t) = 0(t):

En particular, 0(t 0) =

0(0) = 0

v(0) = Vv= V(t0).

Al ser t0 arbitrario, resulta que

0 es una curva integral de V .

b) Sies una curva integral deV, entonces es una geodesica de M.

Si v = (0), por la construccion de V , t7! 0

v(t) es tambien una curva integral de V .

Por la unicidad de las curvas integrales, se tiene, al menos en un entorno de 02IR:

= 0 v= v.

Para un t0 arbitrario, sea la curva integral de V partiendo de (t0). De nuevo por la unicidad de las

curvas integrales, (t0+ t) = (t), con lo que ( )(t

0+ t) = (

)(t) = (0)(t):

Finalmente, para establecer la correspondencia biyectiva enunciada, observemos que las identidades 0=

y ()

0= , demuestran que las aplicaciones 7!

y 7!

0son inversas.

1.8 Aplicacion exponencial

SeaMuna variedad semi{riemanniana.

Denicion 1.8.1

Si x 2 M, sea Dx = fv 2 Tx(M)

la geodesica v esta denida al menos en [0;1]g. La

aplicacion exponencial deMen x es la aplicacion

expx:Dx!M v7!expx(v) = v(1)

(23)

1.8 Aplicacion exponencial 19

Nota 1.8.1

Dx es el mayor subconjunto de Tx(M) sobre el que expxpuede ser denida.

SiMes completa, entonces Dx= Tx(M), para todo x2M.

Fijado v2Tx(M) y t2IR; entonces la geodesica s7!v(ts) tiene como vector tangente inicial t 0

v(0) = tv.

En consecuencia,

tv(s) = v(ts)

para todo s y t tal que uno de los dos miembros (y por tanto los dos) este bien denido. En particular, si tv2Dx, se tiene

expx(tv) = tv(1) = v(t):

Concluimos que la aplicacion exponencial expxtransforma rectas a traves del origen en Tx(M) en geodesicas

enMpasando por x.

Proposicion 1.8.1

Para cada punto x 2 M, existe un entorno abierto Nx de 0 en Tx(M) sobre el cual la

aplicacion exponencial expxes un difeomorsmo sobre un entorno abierto U de x enM.

Demostracion.- Se sigue de la Proposicion 1.7.4 que expx es una aplicacion bien denida y diferenciable sobre un entorno abierto del 0 en Tx(M).

La aplicacion inducida entre los espacios tangentes (expx):T0(Tx(M))

!Tx(M)

es el isomorsmo canonico o aplicacion identidad, identicando el espacio tangente en el origen del espacio vectorial Tx(M) con si mismo:

Un elemento v de T0(Tx(M)) se puede denir como el vector tangente a la curva :IR

!Tx(M), dada por

(t) = tv; es decir v = 0(0). Por tanto, exp

x((t)) = expx(tv) = v(t), y se tiene que:

(expx)(v) = (expx)(

0(0)) = (exp x)

0(0) = 0

v(0) = v:

Siendo as la aplicacion inducida de expx, el teorema de la funcion implcita permite armar que expxes un

difeomorsmo local.

Denicion 1.8.2

Un subconjunto S de un espacio vectorial se dice que esestrelladoalrededor del 0 si8v2S,

se tiene que tv2S; 8t2[0;1].

Denicion 1.8.3

SeanNxy U los entornos abiertos de la Proposicion 1.8.1 anterior; es decir, entre los que la

exponencial es un difeomorsmo (expx:Nx!U), siNx es estrellado alrededor de 0, se dice que U es

unentorno normalde x.

La siguiente proposicion permite considerar a un entorno normal como estrellado alrededor de x2M.

Proposicion 1.8.2

Si U es un entorno normal de x2M, entonces para cada punto y 2U existe una unica

geodesica :[0;1]!U de x a y en U. Ademas

0(0) = exp 1

x (y)2Nx:

Demostracion.- Por denicion,Nxes un entorno estrellado del 02Tx(M) tal que la expx

jNx es un

difeomor-smo sobre U.

Para y 2U sea v = exp 1

x (y)2Nx. Entonces el segmento de recta (t) = tv (0t1) queda enNx. Por

tanto, el segmento geodesico = expx queda en U y une x con y.

En el origen de Tx(M), (expx) es el isomorsmo canonico T0(Tx(M))

Tx(M), y

0(0) = v, entonces

0(0) = (exp x)(

0(0)) = (exp

x)(v) = v:

Veamos que esta geodesica es unica. Sea :[0;1]!U una geodesica arbitraria en U que une x con y. Si

w = 0(0), las geodesicas t

7!expx(tw) y tienen el mismo vector tangente inicial y, por tanto, son iguales.

Como expx(w) = (1) = y = expx(v), y al ser expx inyectiva en Nx, resulta w = v. As, por la unicidad

de las geodesicas, = .

(24)

Denicion 1.8.4

Una geodesica quebrada es una curva diferenciable a trozos cuyos segmentos diferenciables son geodesicas.

Proposicion 1.8.3

Una variedad semi{riemannianaMes conexa si y solo si todo par de puntos deMpueden ser unidos por una geodesica quebrada.

Demostracion.- Supongamos queMes conexa y jemos un punto x2M.

Sea C el conjunto de puntos que pueden ser unidos a x por una geodesica quebrada. Para y2M, sea U un entorno normal que contiene a y.

Si y2C, entonces U C. Si y2M C, entonces U M C. Por tanto, por la conexidad deM,M= C.

El recproco es obvio, ya que conexidad por arcos implica conexidad.

Sea U un entorno normal de x2M. fe

1;:::;en

guna base ortonormal de Tx(M), esto es gx(ei;ej) = ij"j.

Denicion 1.8.5

Se denominasistema de coordenadas normalessobre U de un punto y de U a las componentes del vector exp 1

x (y)2NxTx(M), respecto a la base dada.

Proposicion 1.8.4

Si (y1;:::;yn) es un sistema de coordenadas normales alrededor de x

2M, entonces

1) gij(x) = ij"j

2) kij(x) = 0

9 = ;

(1i;j;kn):

Demostracion.- Sea v2Tx(M); v = n X i=1

viei; expx(tv) = v(t).

Las componentes de v(t) son yi(v(t)) = tvi. Luego v = 0

v(0) = n X i=1

vi @

@yi jx

. En particular, ei = @@yi jx

. Luego la armacion 1) es inmediata.

Teniendo en cuenta las coordenadas de la geodesica v su ecuacion se reduce a n

X i;j=1

kij(v(t)) vivj = 0 (k = 1;:::;n):

En particular, n

X i;j=1

kij(x)vivj = 0 8(v

1;:::;vn) 2IRn:

Fijando un k, esto expresa una forma cuadratica sobre IRn identicamente nula. Entonces por poralizacion

la correspondiente forma bilineal simetrica es identicamente nula, esto es, kij(x) = 0.

1.9 Curvatura

Si D es la conexion canonica sobre IRny si X;Y;Z 2X(IRn), entonces DXDY Z DY DXZ = D[X;Y]Z.

Por contra, este resultado falla en general para la derivada covariante rX. Esta desviacion es medida por un

campo de tensores, que juega un importante papel en toda la geometra diferencial, el cual pasamos a denir.

(25)

1.9 Curvatura 21

Denicion 1.9.1

SeaMuna variedad semi{riemanniana con conexion de Levi{Civitar. Se denominatensor

curvatura de Riemanna la aplicacion

R:X(M)X(M)X(M)!X(M)

denida por

(Z;X;Y )7!R(X;Y )Z =rXrY Z rYrXZ r[X;Y ]Z:

Nota 1.9.1

R es de hecho un campo de tensores de tipo (1,3).

La denicion de este campo de tensores vale para una conexion en general, llamandose entonces tensor curvatura.

Denicion 1.9.2

Si X;Y 2Tx(M), se denominaoperador curvatura a la aplicacion lineal

R(X;Y ):Tx(M)!Tx(M); Z7!R(X;Y )Z:

Proposicion 1.9.1

Si X;Y;Z;W 2X(M), entonces se tienen las siguientes propiedades:

1. R(X;Y )Z = R(Y;X)Z.

2. R(X;Y )Z + R(Y;Z)X + R(Z;X)Y = 0. (1a

Identidad de Bianchi)

3. g(R(X;Y )Z;W) = g(R(X;Y )W;Z). 4. g(R(X;Y )Z;W) = g(R(Z;W)X;Y ).

Demostracion.- La relacion 1. se sigue inmediatamente de la denicion del tensor curvatura de Riemann. Para las restantes propiedades, haciendo uso de que R es un tensor, basta hacer la demostracion para campos de vectores basicos:

2. Si Y;Z son campos de vectores basicos, probar 2. es equivalente a probar:

rXrY Z rYrXZ +rYrZX rZrY X +rZrXY rXrZY = 0:

Pero para la conexion de Levi{Civita, por (1.5.1),rXY rY X = [X;Y ] = 0; luego, la relacion anterior se

verica.

3. Es equivalente a probar g(R(X;Y )Z;Z) = 0. Sean X;Y;Z campos de vectores basicos. g(R(X;Y )Z;Z) = g(rXrY Z rYrXZ;Z) = 0 () g(rXrY Z;Z) es simetrico en X;Y:

Ahora bien, diferenciando g(Z;Z) respecto a X e Y , tenemos Y Xg(Z;Z)

= 2Y g(rXZ;Z) = 2g(rYrXZ;Z) + 2g(rXZ;rY Z):

de la que se sigue que

g(rYrXZ;Z) =

1 2Y

X g(Z;Z)

g(rXZ;rY Z):

Ya que [X;Y ] = 0; es decir, (XY Y X)f = 0; 8f 2F(M); en particular, tomando f = g(Z;Z), se ve que

el termino de la derecha es simetrico en X;Y y, por tanto, tambien lo es el de la izquierda. 4. Esta cuarta relacion se deduce de las tres relaciones anteriores como sigue:

De 2. se deducen las cuatro relaciones siguientes:

g(R(X;Y )Z;W) + g(R(Y;Z)X;W) + g(R(Z;X)Y;W) = 0 g(R(X;Y )W;Z) + g(R(Y;W)X;Z) + g(R(W;X)Y;Z) = 0 g(R(X;Z)W;Y ) + g(R(Z;W)X;Y ) + g(R(W;X)Z;Y ) = 0 g(R(Y;Z)W;X) + g(R(Z;W)Y;X) + g(R(W;Y )Z;X) = 0

(26)

Ahora, sumando miembro a miembro y teniendo en cuanta 1. y 3., queda solamente 2g(R(Z;X)Y;W) + 2g(R(Y;W)X;Z) = 0

o sea

g(R(X;Z)Y;W) = g(R(Y;W)X;Z):

En un entorno coordenado U;(x1;:::;xn)

, podemos introducir las componentes de R por las relaciones:

R

@ @xk; @@x`

@ @xj =

n X i=1

Rijk`@x@i; siendo

Rijk`= @@xi`jk @@xikj` +Xn h=1

h`j ikh hkj i`h

:

1.10 Curvatura seccional

Denicion 1.10.1

Un subespacio bidimensional del espacio tangente Tx(M) se denominaseccion planaaM

en x.

Consideremos la aplicacion Q:Tx(M)Tx(M)!IR; Q(u;v) = g(u;u)g(v;v) g(u;v)

2

. Propiedades:

a) Una seccion plana de Tx(M) es no degenerada si y solo si Q(u;v)6= 0 para una (y entonces para toda)

base fu;vgde .

En efecto, es no degenerado si y solo si la matriz asociada a gjes no singular.

b) Q(u;v) > 0 si y solo si gjes denida.

c) Q(u;v) < 0 si y solo si gjes indenida.

Para establecer estas dos ultimas armaciones basta usar bases ortonormales.

Denicion 1.10.2

Se llamacurvatura seccionalK() de una seccion plana de Tx(M) no degenerada al escalar

K() = g(u;u)g(v;v) g(u;v)g(R(u;v)u;v) 2 ;

fu;vgbase de :

Esta denicion es independiente de la base elegida, en efecto: Sifu

0;v0

ges otra base de , se tiene

u = au0+ bv0 v = cu0+ dv0 (ad bc

6

= 0) Entonces

g R(u;v)u;v)

= (ad bc)2g R(u0;v0)u0;v0)

g(u;v)g(v;v) g(u;v) 2

= (ad bc)2g(u0;v0)g(v0;v0) g(u0;v0)

2

:

(27)

1.10 Curvatura seccional 23

Por denicion, R determina la curvatura seccional. Para demostrar que K determina R, se necesitan unas tecnicas sobre productos escalares indenidos. Probemos este ultimo hecho para el caso en que (M;g) es una variedad riemanniana.

Proposicion 1.10.1

Si (M;g) es una variedad de Riemann, y si K() = 0, para toda seccion plana en Tx(M), entonces R = 0 en x.

Demostracion.- Haremos la demostracion en varios pasos: g R(X;Y )X;Y

= 0; 8X;Y 2Tx(M): (1.10.1)

Ya que si X;Y generan una seccion plana en Tx(M), como K() = 0, resulta g R(X;Y )X;Y

= 0: R(X;Y )X = 0; 8X;Y 2Tx(M): (1.10.2)

Para establer esta ecuacion, sea Z2Tx(M) arbitrario, entonces

g R(X;Y + Z)X;Y + Z

= g R(X;Y )X;Y

+ g R(X;Z)X;Y

+ g R(X;Y )X;Z

+ g R(X;Z)X;Z

: Tres de estos sumandos se anulan por (1.10.1). La propiedad 4. de R (ver Proposicion 1.9.1) implica la igualdad de los dos restantes, as

g R(X;Y )X;Z

= 0; 8Z2Tx(M):

R(X;Y )Z = R(Y;Z)X 8X;Y;Z2Tx(M): (1.10.3)

Esta ecuacion resulta de la identidad siguiente:

R(X + Z;Y )(X + Z) = R(X;Y )X + R(X;Y )Z + R(Z;Y )X + R(Z;Y )Z;

en la que tres sumandos se anulan por (1.10.2), y los restantes son iguales salvo signo, dada la antisimetra de R respecto a los primeros argumentos (propiedad 1., Proposicion 1.9.1).

Finalmente, utilizando (1.10.3) y la 1a

identidad de Bianchi, resulta que

R(X;Y )Z = 0 8X;Y;Z2Tx(M): Por tanto R = 0 en x:

Nota 1.10.1

Para demostrar este mismo resultado en variedades semi{riemannianas, hay que tener pre-sente que (1.10.1) se verica sobre secciones planas de Tx(M) no degeneradas. Lo cual bastara para que

g R(X;Y )X;Y

= 0 8X;Y 2Tx(M). Ver [11, pag. 78].

Denicion 1.10.3

Una variedad semi{riemannianaMen la cual el tensor curvatura R es nulo en todo punto se dice que esllana.

Segun la observacion precedente, se sigue que una variedad semi{riemanniana es llana si y solo si la curvatura seccional es nula en toda seccion plana no degenerada.

Denicion 1.10.4

Una variedad semi{riemanniana que tenga la misma curvatura seccional en toda seccion plana no degenerada se dice que tienecurvatura constante.

(28)

Proposicion 1.10.2

Si F:Tx(M)Tx(M)Tx(M)Tx(M)!IR es una aplicacion cuatrilineal, vericando:

1) F(X;Y;Z;W) = F(Y;X;Z;W)

2) F(X;Y;Z;W) + F(Y;Z;X;W) + F(Z;X;Y;W) = 0 3) F(X;Y;Z;W) = F(X;Y;W;Z)

8X;Y;Z;W2Tx(M) y tal que, si X;Y generan una seccion plana no degenerada de Tx(M):

F(X;Y;X;Y ) = g R(X;Y )X;Y

: Entonces,

F(X;Y;Z;W) = g R(X;Y )Z;W

; 8X;Y;Z;W 2Tx(M):

Demostracion.- Consideremos la aplicacion H:Tx(M)Tx(M)Tx(M)Tx(M)!IR denida por

H(X;Y;Z;W) = F(X;Y;Z;W) g R(X;Y )Z;W

;

entonces H es una aplicacion cuatrilineal que verica 1), 2) y 3) y ademas, si X;Y generan una seccion plana no degenerada de Tx(M):

H(X;Y;X;Y ) = 0:

Por consiguiente, por el mismorazonamiento de la proposicion anterior, donde unico se han usado las mismas propiedades algebraicas que se dan aqu, resulta que H = 0.

Proposicion 1.10.3

SiMtiene curvatura constante c, entonces R(X;Y )Z = c g(Y;Z)X g(X;Z)Y

; 8X;Y;Z2Tx(M):

Demostracion.- Sea F(X;Y;Z;W) = c g(Y;Z)g(X;W) g(X;Z)g(Y;W)

.

F tiene las propiedades 1), 2) y 3) de la proposicion anterior. Ademas, si X;Y generan una seccion plana no degenerada:

F(X;Y;X;Y ) = c g(Y;X)g(X;Y ) g(X;X)g(Y;Y )

= g R(X;Y )X;Y

: Luego,

F(X;Y;Z;W) = g R(X;Y )Z;W

; 8X;Y;Z;W 2Tx(M):

Y, por tanto,

g R(X;Y )Z;W) = cg g(Y;Z)X g(X;Z)Y;W

; 8W 2Tx(M):

1.11 Curvatura escalar y curvatura de Ricci

Sobre una variedad semi{riemanniana (M;g), hemos establecido (Proposicion 1.5.1) un isomorsmoF(M){ lineal entre los campos de vectores sobreMy las 1{formas sobre M, dado por

X 2X(M)T 1 0(M)

7!X

2(M)T 0

1(M) donde X

(Y ) = g(X;Y );

8Y 2X(M):

Denicion 1.11.1

Dado X2X(M), a X

se le denomina1{forma metricamente equivalente aX.

En terminos de coordenadas, la 1{forma metricamente equivalente a @@xi es

@ @xi

=Xn j=1

gijdxj; y dxi es

la 1{forma metricamente equivalente aXn j=1

gij @

@xj.

As, en general, si =Xn i=1

idxi, el campo de vectores metricamente equivalente a es = n X i;j=1

giji@x@j.

Vamos ahora a generalizar este isomorsmo a tensores de tipo superior.

(29)

1.11 Curvatura escalar y curvatura de Ricci 25

Denicion 1.11.2

Se llama operador bajada de ndiceal isomormoF(M){lineal

Bpq:Trs(M)!Tr 1

s+1(M) (1

pr; 1qs + 1)

dado por (BpqT)(X

1;:::;Xs+1;

1;:::;r 1) = T(X

1;:::;Xq 1;Xq+1;:::;Xs+1;

1;:::;p 1;X

q;p;:::;r 1)

para i2

1(M) y X

j 2X(M), arbitrarios, y X

q es la 1{forma metricamente equivalente a Xq.

Denicion 1.11.3

Se denomina operadorsubida de ndice al isomormoF(M){lineal

Spq:Trs(M)!Tr +1

s 1(M) (1

pr + 1; 1qs)

dado por (SpqT)(X

1;:::;Xs 1;

1;:::;r+1) = T(X

1;:::;Xq 1;( p);X

q;:::;Xs 1;

1;:::;p 1;p+1;:::;r+1)

para i2

1(M) y X

j 2X(M), arbitrarios, y (p)

es el campo de vectores metricamente equivalente a

la 1{forma p.

Es claro que ambas aplicaciones Bpq y Spq son F(M){lineales, ademas una es inversa de la otra; por tanto,

isomorsmos.

Denicion 1.11.4

Dos campos de tensores se dice que son metricamente equivalentes si uno es obtenido del otro a traves de los operadores subida o bajada de ndice.

Si Ti1i r j1j

s son las componentes de T

2Trs(M), respecto de un sistema coordenado, se tiene:

(BpqT) i1i

r 1 j1j

s+1= n X k=1

gjqkT i1i

p 1kip i

r 1 j1j

q 1jq+1 j

s+1:

(SpqT) i1i

r+1 j1j

s 1 = n X k=1

gkipTi1 i

p 1ip+1 i

r+1 j1j

q 1kj qj

s 1 :

Un importante caso particular es el de un campo de tensores de tipo (1;s) dado como una aplicacionF(M){ multilineal K:X(M)

s)

X(M)!X(M), entonces:

(B1

1K)(Y;X

1;:::;Xs) = g Y;K(X1;:::;Xs)

: Para el tensor curvatura, R:X(M)X(M)X(M)!X(M):

Rijk`= (B 1 1R)

@

@xi; @@xj; @@xk; @@x`

= g

@ @xi;R

@ @xk; @@x`

@ @xj

=Xn h=1

gihRhjk`:

Denicion 1.11.5

A este tensor de tipo (0;4), metricamente equivalente al tensor curvatura de Riemann, se le denominatensor curvatura de Riemann{Christoel, y lo denotamos tambien por R.

Sobre una variedad semi{riemanniana (M;g) podemos contraer metricamente dosndices covariantes subien-do primeramente uno de ellos y luego haciensubien-do la contraccion usual.

(30)

Denicion 1.11.6

Se llamacontraccion (natural) del ndice p contravariente con el ndice q covariante, a la aplicacionF(M){lineal

Cpq:Trs(M)!Tr 1 s 1(M)

denida por

Cpq(X 1

Xr

1

s) = q(Xp)X 1 Xp 1 Xp +1 Xr 1 q 1 q +1 s:

Las componentes en un sistema coordenado son (CpqT)

i1i r 1 j1j

s 1 = n X k=1

Ti1i p 1ki

pi r 1 j1j

q 1kjq j

s 1 :

Consideremos ahora la aplicacion

Cpq:Trs(M)!Trs

2(M) (1

pqs)

denida por Cpq=C 1 q 1

S

1

p, o en coordenadas

(CpqT)i1 i

r j1j

s 2= n X h;k=1

ghkTi1i r j1j

p 1hjp j

q 2kjq 1 j

s 2:

Denicion 1.11.7

A la aplicacionF(M){linealCpq se denominacontraccion metrica.

Similarmente, en caso contravariante, la contraccion metrica

Cpq:Trs(M)!Tr 2

s (M) (1pqr)

esta dada en coordenadas por: (CpqT)

i1i r 2 j1j

s = ( C q 1 1 B p 1T)

i1i r 2 j1j

s = n X h;k=1

ghkTi1i p 1hip

i q 2kiq 1

i r 2 j1j

s :

Proposicion 1.11.1

La derivada covarianterX y la diferencial covarianteren una variedad

semi{riemannia-na (M;g) conmutan con los operadores subida y bajada de ndice y con la contraccion metrica.

Demostracion.- Solo probaremos la conmutatividad de la derivada covariante con el operador bajada de ndiceB

p

1. El resto de la demostracion resulta inmediato.

Para un campo de tensores arbitrario se tiene que Bp 1T =

Cp 1(g

T). Pero como rX conmuta con la

contraccion ordinaria y g es paralelo

rX(Bp 1T) =

rX Cp 1(g

T)

=Cp 1(g

rXT) =Bp 1(

rXT):

Denicion 1.11.8

El gradiante, gradf, de una funcion f 2 F(M) es el campo de vectores metricamente

equivalente a la diferencial df 2 1(M).

As, g(gradf;X) = df(X) = Xf; 8X2X(M).

En terminos de un sistema coordenado, df =Pn i=1

@f

@xidxi, entonces

gradf = Xn i;j=1

gij @f

@xi@x@j:

Denicion 1.11.9

Se denomina divergencia, div K, de un campo de tensores K, a la contraccion del nuevo argumento covariante en su diferencial covarianterK con uno de sus argumentos originales.

(31)

1.11 Curvatura escalar y curvatura de Ricci 27

Consideremos dos casos especiales donde existe una unica divergencia: a) Si X 2X(M), entonces div X =C

1 1(

rX).

Respecto a un sistema coordenado, si X =Xn i=1

Xi @

@xi, resulta de la Nota 1.5.2:

div X = Xn i;j=1

@Xi

@xi + iijXj

:

b) Si K 2T 0

2(M) simetrico, entonces div K = C

13(

rK) =C 23(

rK)2 1(M).

div K = Xn i;j;k;`=1

gik

@Kij

@xk `kiK`j `kjKi`

dxj:

Denicion 1.11.10

Elhessiano de una funcion f 2F(M) es su segunda diferencial covariante Hf =r(rf).

Proposicion 1.11.2

El hessiano Hf de f 2F(M) es un campo de tensores simetrico de tipo (0;2) tal que

Hf(X;Y ) = XY f (rXY )f = g rX(gradf);Y

:

Demostracion.- Comorf = df, resulta:

Hf(X;Y ) = r(df)

(X;Y ) = (rY df)(X) = Y df(X)

df(rY X) = Y Xf (rY X)f = XY f (rXY )f:

La ultima igualdad se sigue de (1.5.1).

Finalmente, para obtener la segunda relacion del enunciado, observemos que, por (1.5.2): g(rX(gradf);Y ) + g(grad f;rXY ) Xg(grad f;Y ) = 0;

luego

g(rX(gradf);Y ) + (rXY )f XY f = 0:

La simetra sigue de la propia demostracion.

Denicion 1.11.11

Lalaplaciana, f, de una funcion f 2F(M) es la divergencia de su gradiante; es decir,

f = div (gradf)2F(M).

Ya que la diferencial covariante conmuta con el operador subida de ndice, se sigue que\la laplaciana de f

es la contraccion de su hessiano". En efecto,

f = div (gradf) =C 1 1

r(gradf) =C 1 1

rS 1 1df =

C 1 1 S

1 1

rdf =C 12H

f:

Respecto a un sistema de coordenadas: f = Xn

i;j=1

gijHijf = Xn i;j=1

gij @2f

@xi@xj n X k=1

kij@x@fk !

:

Denicion 1.11.12

Una referencia ortonormal sobre M en x es una base ortonormal del espacio tangente Tx(M).

Denicion 1.11.13

Uncampo de referencias ortonormalessobre una variedad semi{riemannianan{dimensional es un conjunto de n campos de vectoresfE

1;:::;En

g, unitarios y ortogonales entre si.

Figure

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