1. Una variable aleatoria tiene una distribución normal de media m y desviación típica s. Si se extraen muestras
aleatorias de tamaño n: a) ¿Qué distribución tiene la variable aleatoria media muestral
X
?. b) Si se toman muestras de tamaño n=4 de una variable aleatoria X con distribución N (165,12), calcular P (X
> 173,7).( )
n
s
N ,
tamaño= N
a)
X
es
n
s
n
N
,
,ojo ha cambiadob) Tamaño= 4
;
N
⇒
4
X
es N(
165,12)
, Calcular P(
X >173,7)
X
es(
165
,
6
)
4
12
,
165
N
N
=
(
)
(
1
,
45
)
6
165
7
,
173
7
,
173
=
>
−
>
→
→
>
Tipificar
P
X
P
X
X
P
2. Se supone que los ingresos diarios en una empresa siguen una distribución normal con media 400 euros y
desviación 250 euros. a) ¿Cómo se distribuye la media muestral, para muestras aleatorias de tamaño n?. b) Se dispone de una muestra de 25 observaciones. Calcular la probabilidad de que el promedio de ingresos esté entre 350 y 450 euros.
X
es N(
400,250)
,Calcular: a)
X
es
4 250 , 400
N
b)
(
)
(
1
1
)
0
.
6826
25
250
400
450
25
250
400
350
450
350
=
−
>
>
=
−
>
>
−
→
→
>
>
X
Tipificar
P
X
P
X
3. La edad a la que contraen matrimonio los hombres de la isla de Barataria es una variable aleatoria que se
aproxima por una distribución normal de media 35 años y desviación típica de 5 años. Se elige una muestra de100 hombres de dicha isla. Sea
X
la media muestral de la edad de casamiento. a) ¿Cuáles son la media y varianza deX
?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la edad media de casamiento de la muestra esté comprendida entre 36 y 37 años?X
es N( )
35,5 siendo:N=100a)
(
)
( )
= =
= =
=
⇒
25 . 0 5 . 0 100
5 var
35
2 2 2
desviación ianza
media X
b)
(
)
(
2
4
)
0
.
228
5
.
0
35
37
5
.
0
35
36
37
36
=
>
>
=
−
>
>
−
→
→
>
>
X
Tipificar
P
X
P
X
P
4. El peso en kg de lo estudiantes universitarios de una ciudad se aproxima por una distribución normal con media 60
kg y desviación típica 8 kg. Se toman 100 muestras de 64 estudiantes cada una. Se pide: a) La media y desviación típica de la distribución de la media muestral. b) ¿En cuántas de las 100 muestras cabe esperar una media entre 59 y 61 kg?
a)
X
es( )
60
,
1
64
8
,
60
N
N
=
b)
(
)
(
)
muestras
X P X
P Tipificar X
P
. 68 % 26 . 68
6826 . 0 1 1 8
60 61 8
60 59 60
59 ⇒
⇒
= > > − =
− > > − →
→ > >
(
) ( )
(
( )
)
228 . 0 9772 . 0 1
1 1
1 1
1
= −
=
= < − − < = < <
− X PX P X
5. En cierta población humana la media muestral de una característica sigue una distribución normal. La probabilidad
de que la media muestral sea menor o igual 75 es 0,58 y la de que la media sea mayor que 80 es 0,04. Hallar la media y la desviación típica de la media muestral.
DATOS:
-N
( )
µ
,σ
-
P
(
X
<
75
)
=
0
,
58
-P
(
X <80)
=0,04SOLUCION:
(
)
→
−
=
⇒
=
−
→
=
<
µ
σ
σ
µ
0
.
2
75
0
.
2
·
75
58
,
0
75
X
P
-
(
)
→ − = ⇒
= − → = − = < → =
>
µ
σ
σ
µ
· 75 , 1 80 96 , 0 80 96 , 0 04 , 0 1 ) 80 ( 04 , 0
80 P X
X P
→
−
=
⇒
=
−
=
−
⇒
µ
σ
σ
µ
σ
µ
75
0
.
2
·
·
75
,
1
80
·
2
,
0
75
(
)
22
,
3
20
,
0
75
,
1
5
·
75
,
1
·
2
,
0
5
·
75
,
1
·
2
,
0
75
80
=
−
=
→
=
+
→
=
−
−
σ
σ
σ
σ
σ
35
,
74
22
,
3
·
2
,
0
75
·
2
,
0
75
−
=
−
=
=
σ
µ
6. El tiempo de espera en minutos en una ventanilla se supone aproximado mediante una distribución normal con
desviación típica igual a 3 minutos. Se lleva a cabo un muestreo aleatorio de 10 individuos y se obtiene que la media muestral del tiempo de espera es de 5 minutos. Determinar un intervalo de confianza al 95% para la media poblacional
DATOS:
Tiempo es
N
( )
µ
,
σ
=
N
( )
µ
,
3
min5
=
X ,n=10 y 95% de confianza.
±
=
=
n
Z
X
C
I
Confianza
de
Intervalo
.
.
.
α·
σ
2
Cogemos la gráfica de la distribución de probabilidad normal estandar, N(0,1) y hallamos el
2
α
Sustituimos en la fórmula del Intervalo de Confianza:
(
5
1
,
86
) (
5
1
,
86
;
5
1
,
86
) (
3
,
14
;
6
,
86
)
10
3
·
96
,
1
5
·
.
2
=
+
−
=
±
=
±
=
±
=
⇒
n
Z
X
C
I
ασ
7. El tiempo en minutos dedicado cada día a escuchar música por los estudiantes de secundaria de una cierta
ciudad se supone que es una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 15 minutos. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 estudiantes y se obtiene los siguientes tiempos (en minutos): 91, 68, 39, 82, 55, 70, 72, 62, 54 y 67. a) Determinar un intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio diario dedicado a escuchar música por un estudiante. b) Calcular el tamaño muestral mínimo necesario para conseguir una estimación de la media del tiempo diario dedicado a escuchar música con un error menor que 5 minutos, con un nivel de confianza del 95%.
a) Determinar un intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio diario dedicado a escuchar música por un estudiante
Tiempo es
N
( )
µ
,
σ
=
N
(
µ
,
15
)
min
66
min
10
67
54
62
72
70
55
82
39
68
91
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
X
,n=10 y 90% de confianza.
± = =
n Z X C I Confianza de
Intervalo. . . α ·
σ
2Cogemos la gráfica de la distribución de probabilidad normal estandar, N(0,1) y hallamos el
2
α Z .
El valor 0,975 está entre los valores
(
)
(
)
0,97509505 , 0 65 , 1
9495 , 0 64 , 1
→ =
→ =
⇒
X P
X
P
1
,
645
2
165
,
64
,
1
2
=
Sustituimos en la fórmula del Intervalo de Confianza:
(
66
7
,
85
) (
66
7
,
85
;
66
7
,
85
) (
58
,
2
;
73
,
8
)
10
15
·
645
,
1
66
·
.
2
=
+
−
=
±
=
±
=
±
=
⇒
n
Z
X
C
I
ασ
b) Calcular el tamaño muestral mínimo necesario para conseguir una estimación de la media del tiempo diario dedicado a escuchar música con un error menor que 5 minutos, con un nivel de confianza del 95%.
2
α
Z al 95%, 1,96 2
=
α
Z , Error=5,
Sustituimos en la fórmula que relaciona el Intervalo de Confianza y el Error:
( )
5
,
88
34
,
57
35
5
15
·
96
,
1
.
·
2 2
2
2
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α8. Se supone que la calificación en Matemáticas obtenida por los alumnos de una cierta clase es una variable
aleatoria normal de desviación típica 1,5 puntos. Se elige una muestra aleatoria simple de tamaño 10 y se obtiene que la suma de sus calificaciones es igual a 59,5 puntos. a) Determinar un intervalo de confianza al 95% para la calificación media de la clase. b) ¿Qué tamaño ha de tener la muestra para que el error máximo de la estimación sea de 0,5 puntos, con nivel del 95%?.
a) Determinar un intervalo de confianza al 95% para la calificación media de la clase.
( )
µ
,
σ
N
(
µ
;
1
,
5
)
N
=
min 5 , 59 min 10
5 ,
59 =
=
X ,n=10 y 95% de confianza.
± = =
n Z X C I Confianza de
Intervalo. . . α ·
σ
2Cogemos la gráfica de la distribución de probabilidad normal estandar, N(0,1) y hallamos el
2
α
Z .
Sustituimos en la fórmula del Intervalo de Confianza:
(
5
,
95
0
,
92
) (
5
,
95
0
,
92
;
5
,
95
0
,
92
) (
5
,
02
;
6
,
87
)
10
5
,
1
·
96
,
1
95
,
5
·
.
2
=
±
=
−
+
=
±
=
±
=
⇒
n
Z
X
C
I
ασ
b) ¿Qué tamaño ha de tener la muestra para que el error máximo de la estimación sea de 0,5 puntos, con nivel del 95%?.
2
α
Z al 95%, 1,96 2 =
α
Sustituimos en la fórmula que relaciona el Intervalo de Confianza y el Error:
( )
5
,
88
34
,
57
35
5
,
0
5
,
1
·
96
,
1
.
·
2 2
2
2
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α9. Se supone que la estancia, en días, de un paciente en un hospital se puede aproximar por una variable aleatoria
con distribución normal de desviación típica igual a 9 días. De una muestra aleatoria formada por 20 pacientes se ha obtenido una media muestral igual a 8 días. a) Determina un intervalo de confianza del 95% para la estancia media de un paciente. b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que ha de observarse para que dicho intervalo de confianza tenga una longitud total inferior o igual a 4 días?.
a) Determina un intervalo de confianza del 95% para la estancia media de un paciente
( )
, N( )
8;1,5N
µ
σ
=dias
X=8. ,n=10 y 95% de confianza.
±
=
=
n
Z
X
C
I
Confianza
de
Intervalo
.
.
.
α·
σ
2
Cogemos la gráfica de la distribución de probabilidad normal estandar, N(0,1) y hallamos el
2
α Z .
Sustituimos en la fórmula del Intervalo de Confianza:
(
8
3
,
94
) (
8
3
,
94
;
5
,
95
3
,
94
) (
4
,
06
;
11
,
94
)
20
9
·
96
,
1
8
·
.
2
=
±
=
−
+
=
±
=
±
=
⇒
n
Z
X
C
I
ασ
b)¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que ha de observarse para que dicho intervalo de confianza tenga una longitud total inferior o igual a 4 días?.
Aplicamos la fórmula del Error y la Amplitud.
2
2
4
2
·
2
⇒
=
=
=
=
Error
Error
Amplitud
Amplitud
Sustituimos en la fórmula que relaciona el Intervalo de Confianza y el Error:
( )
8
,
82
77
,
79
78
2
9
·
96
,
1
.
·
2 2
2
2
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α10. La duración de la vida de una determinada especie de tortuga se supone que es una variable aleatoria con
confianza al 95% para la vida media de dichas tortugas. b) ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra observada para que el error de estimación de la vida media no sea superior a 5 años, con un nivel de confianza del 90%? a) Determinar un intervalo de confianza al 95% para la vida media de dichas tortugas
( )
, N( )
8;1,5N
µ
σ
=años
años
X
37
,
5
10
34
44
21
38
32
34
29
59
38
46
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
,n=10 y 95% de confianza.
±
=
=
n
Z
X
C
I
Confianza
de
Intervalo
.
.
.
α·
σ
2
Cogemos la gráfica de la distribución de probabilidad normal estandar, N(0,1) y hallamos el
2
α Z .
Sustituimos en la fórmula del Intervalo de Confianza:
(
37
,
5
6
,
20
) (
37
,
50
6
,
20
;
37
,
50
6
,
20
) (
31
,
30
;
43
,
70
)
10
10
·
96
,
1
5
,
37
·
.
2
=
±
=
−
+
=
±
=
±
=
⇒
n
Z
X
C
I
ασ
b) ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra observada para que el error de estimación de la vida media no sea superior a 5 años, con un nivel de confianza del 90%?
El valor 0,975 está entre los valores
(
)
(
)
0,97509505 , 0 65 , 1
9495 , 0 64 , 1
→ =
→ =
⇒
X P
X P
645
,
1
2
165
,
64
,
1
2
=
+
=
⇒
Z
αSustituimos en la fórmula que relaciona el Intervalo de Confianza y el Error:
( )
3
,
29
10
,
82
11
5
10
·
645
,
1
.
·
2 2
2
2
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α11. La recaudación diaria de los comercios de un barrio determinado es una variable aleatoria que se aproxima a una
recaudación diaria media con un nivel del 99%. b) El tamaño muestral mínimo necesario para conseguir, con un nivel de confianza del 95%, un error en la estimación de la recaudación diaria media menor de 127 euros.
DATOS: € 328
=
σ
, X =1248€, n=10 y 99% de confianzaa) El intervalo de confianza para la recaudación diaria media con un nivel del 99%.
N
(
µ
,
σ
)
=
N
( )
8
;
1
,
5
años años
X 37,5
10
34 44 21 38 32 34 29 59 38
46 =
+ + + + + + + + +
= ,n=10 y 95% de confianza.
±
=
=
n
Z
X
C
I
Confianza
de
Intervalo
.
.
.
α·
σ
2
Cogemos la gráfica de la distribución de probabilidad normal estandar, N(0,1) y hallamos el
2
α Z .
El valor 0,995 está entre los valores
(
)
(
)
0
,
9950
9951
,
0
58
,
2
9949
,
0
57
,
2
→
=
→
=
⇒
X
P
X
P
575
,
2
2
58
,
2
,
57
,
2
2
=
+
=
⇒
Z
αSustituimos en la fórmula del Intervalo de Confianza:
(
) (
)
(
1163
,
70
;
1332
,
46
)
30
,
84
1248
;
30
,
84
1248
30
,
84
1248
100
328
·
575
,
2
1248
·
.
2
=
=
+
−
=
±
=
±
=
±
=
⇒
n
Z
X
C
I
ασ
Sustituimos en la fórmula que relaciona el Intervalo de Confianza y el Error:
( )
5
,
06
25
,
62
26
127
328
·
95
,
1
.
·
2 2
2
2
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α12. Se supone que la cantidad de agua en litros recogida cada día en una estación meteorológica se puede aproximar
por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 2 litros. Se elige una muestra aleatoria simple y se obtienen las siguientes cantidades de agua recogidas cada día (en litros): 9,1 - 4,9 - 7,3 - 2,8 - 5,5 - 6,0 - 3,7 - 8,6 - 4,5 - 7,6. a) Determínese un intervalo de confianza para la cantidad media de agua recogida cada día en dicha estación, con un grado de confianza del 95%. b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para que al estimar la media del agua recogida cada día en la estación meteorológica mediante la media de dicha muestra, la diferencia en valor absoluto entre ambos valores sea inferior a 1 litro, con un grado de confianza del 98%.
DATOS:
litros
.
2
=
σ
, n=10 y 95% de confianzaa) Determínese un intervalo de confianza para la cantidad media de agua recogida cada día en dicha estación, con un grado de confianza del 95%.
( )
, N( )
6;2 N µσ =litros
litros
X
37
,
5
10
6
,
7
5
,
4
6
,
8
7
,
3
0
,
6
5
,
5
8
,
2
3
,
7
9
,
4
1
,
9
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
y 95% de confianza.
±
=
=
n
Z
X
C
I
Confianza
de
Intervalo
.
.
.
α·
σ
2
Cogemos la gráfica de la distribución de probabilidad normal estandar, N(0,1) y hallamos el
2
α Z .
Sustituimos en la fórmula del Intervalo de Confianza:
(
6
1
,
24
) (
6
1
,
24
;
6
1
,
24
) (
4
,
76
;
7
,
24
)
10
2
·
96
,
1
6
·
.
2
=
±
=
−
+
=
±
=
±
=
⇒
n
Z
X
C
I
ασ
El valor 0,995 está entre los valores
(
)
(
)
0
,
99
9901
,
0
33
,
2
9898
,
0
32
,
2
→
=
→
=
⇒
X
P
X
P
325
,
2
2
33
,
2
,
32
,
2
2
=
+
=
⇒
Z
αSustituimos en la fórmula que relaciona el Intervalo de Confianza y el Error:
( )
4
,
65
21
,
62
22
1
2
·
325
,
2
.
·
2 2
2
2
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α13. En una encuesta se pregunta a 10.000 personas cuántos libros leen al año, obteniéndose una media de 5 libros.
Se sabe que la población tiene una distribución normal con desviación típica 2. a) Hallar un intervalo de confianza al 80% para la media poblacional. b) Para garantizar un error de estimación de la media no superior 0,25 con un nivel de confianza del 95%, ¿a cuántas personas como mínimo sería necesario encuestar?.
DATOS:
litros
2
=
σ
, µ =5litros n=10.000 y 80% de confianzaa) Hallar un intervalo de confianza al 80% para la media poblacional
±
=
=
n
Z
X
C
I
Confianza
de
Intervalo
.
.
.
α·
σ
2
*) 80% . 1,28
2
=
⇒ Zα confianza
de .
(
5
0
.
03
) (
5
0
,
03
;
5
0
,
03
) (
4
,
97
;
5
,
03
)
10000
2
·
28
,
1
5
·
.
2
=
±
=
−
+
=
±
=
±
=
⇒
n
Z
X
C
I
ασ
b) b) Para garantizar un error de estimación de la media no superior 0,25 con un nivel de confianza del 95%, ¿a cuántas personas como mínimo sería necesario encuestar?.
*) 95% . 1,96
2 = ⇒ Zα confianza de
(
15
,
68
)
245
,
86
246
25
,
0
2
·
96
,
1
.
·
2 2
2
2
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α14. El precio de unos electrodomésticos sigue una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 100
euros. Los precios en euros de una muestra de 9 electrodomésticos son: 255, 85, 120, 290, 80, 80, 275, 290, 135. a) Hallar un intervalo de confianza al 98% para la media poblacional. b) Hallar el tamaño mínimo que debe tener la muestra, para que con un nivel de confianza del 99%, el error de estimación del precio medio no supere los 50 euros.
€
100
=
σ
, µ =5litros n=10.000 y 80% de confianzaa) Hallar un intervalo de confianza al 98% para la media poblacional
€
9
,
178
€
9
135
290
6
,
8
275
80
80
290
120
85
255
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
X
y 98% de confianza.
±
=
=
n
Z
X
C
I
Confianza
de
Intervalo
.
.
.
α·
σ
2
*) 98% . 2,325
2 = ⇒ Zα confianza
de .
(
178
,
9
77
,
50
) (
178
,
9
77
,
50
;
178
,
9
77
,
50
) (
101
,
22
;
256
,
56
)
9
100
·
325
,
2
9
,
178
·
.
2
=
±
=
−
+
=
±
=
±
=
⇒
n
Z
X
C
I
ασ
b) Hallar el tamaño mínimo que debe tener la muestra, para que con un nivel de confianza del 99%, el error de estimación del precio medio no supere los 50 euros.
*) 99% . 2,575
2 = ⇒ Zα confianza de
( )
5
,
15
26
,
53
27
50
100
·
575
,
2
.
·
2 2 22
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α15. Se ha extraído una muestra de 150 familias de un barrio, obteniéndose una renta familiar media de 20.000 euros.
Se supone que la renta sigue una distribución normal de desviación 1.500 euros. a) Hallar un intervalo de confianza para la renta familiar media con un nivel de confianza del 95%. b) ¿Qué tamaño mínimo es necesario para conseguir, con un nivel de confianza del 90%, un error en la estimación de la renta familiar media no superior a ± 142 euros?
DATOS: € 1500
=
σ , µ =20000€ n=150 y 95% de confianza
a) Hallar un intervalo de confianza para la renta familiar media con un nivel de confianza del 95%.
±
=
=
n
Z
X
C
I
Confianza
de
Intervalo
.
.
.
α·
σ
2
*) 95% . 1,96
2 = ⇒ Zα confianza
de .
(
) (
)
(
19759
,
95
;
20240
,
05
)
05
,
204
20000
;
05
,
240
20000
05
,
240
20000
150
1500
·
96
,
1
20000
·
.
2=
=
+
−
=
±
=
±
=
±
=
⇒
n
Z
X
C
I
ασ
b) ¿Qué tamaño mínimo es necesario para conseguir, con un nivel de confianza del 90%, un error en la estimación de la renta familiar media no superior a ± 142 euros?
*) 90% . 1,645
2 = ⇒ Zα confianza de
(
17
,
38
)
301
,
95
302
142
1500
·
645
,
1
.
·
2 2 22
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α16. El peso de los perros adultos de una cierta raza es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con
desviación típica 0’6 kg. Una muestra aleatoria de 30 animales ha dado un peso medio de 7’4 kg. a) Calcular un intervalo de confianza al 99% para el peso medio de los perros adultos de esta raza. b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para tener una confianza del 95% de que la media muestral no se diferencie en más de 0’3 kg. de la media de la población?
Kg 6 , 0
=
σ , µ=7,4Kg n=30 y 99% de confianza
a) ) Calcular un intervalo de confianza al 99% para el peso medio de los perros adultos de esta raza.
±
=
=
n
Z
X
C
I
Confianza
de
Intervalo
.
.
.
α·
σ
2
*) 99% . 2,575
2 = ⇒ Zα confianza
de .
(
7
,
4
0
,
28
) (
7
,
4
0
,
28
;
7
,
4
0
,
28
) (
7
,
12
;
7
,
68
)
30
6
,
0
·
575
,
2
4
,
7
·
.
2
=
±
=
−
+
=
±
=
±
=
⇒
n
Z
X
C
I
ασ
b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para tener una confianza del 95% de que la media muestral no se diferencie en más de 0’3 kg. de la media de la población?
*) 95% . 1,96
2 = ⇒ Zα confianza de
( )
3
,
92
15
,
37
16
3
,
0
6
,
0
·
96
,
1
.
·
2 2 22
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α17. En un laboratorio se obtuvieron seis determinaciones del PH de una solución, con los siguientes resultados: 7’91,
7’94, 7’90, 7’93, 7’89, y 7’91. Se supone que la población de todos los datos del PH tiene una distribución normal de media desconocida con desviación típica igual a 0’02. a) Determinar un intervalo de confianza al 98% para la media de todas las determinaciones del PH obtenidas con el mismo método. b) Con el mismo nivel de confianza anterior, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que la amplitud del intervalo de confianza sea a lo sumo de 0’02?.
DATOS: 02 , 0
=
σ , µ =7,4Kg n=6 y 99% de confianza
a) Determinar un intervalo de confianza al 98% para la media de todas las determinaciones del PH obtenidas con el mismo método.
91
,
7
6
91
,
7
89
,
7
93
,
7
90
,
7
94
,
7
91
,
7
=
+
+
+
+
+
=
X
y 98% de confianza.
±
=
=
n
Z
X
C
I
Confianza
de
Intervalo
.
.
.
α·
σ
2
*) 98% . 2,325
2 = ⇒ Zα
confianza
de .
(
7
,
91
0
,
019
) (
7
,
91
0
,
019
;
7
,
91
0
,
019
) (
7
,
89
;
7
,
93
)
6
02
,
0
·
325
,
2
91
,
7
·
.
2
=
±
=
−
+
=
±
=
±
=
⇒
n
Z
X
C
I
ασ
b) Con el mismo nivel de confianza anterior, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que la amplitud del intervalo de confianza sea a lo sumo de 0’02?.
01 , 0 2 02 , 0 2 ·
2 ⇒ = = =
= Error Error Amplitud Amplitud
*) 98% . 2,325
2 = ⇒ Zα confianza de
( )
4
,
65
21
,
63
22
01
,
0
02
,
0
·
325
,
2
.
·
2 2 22
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α18. El rendimiento por hectárea de las plantaciones de trigo de una cierta región, se supone que es una variable
aleatoria simple de 64 parcelas con una superficie igual a 1 hectárea cada una, obteniéndose un rendimiento medio de 6 toneladas. a) ¿Puede asegurarse que el error de estimación del rendimiento medio por hectárea es menor que 0,5 toneladas, con un nivel de confianza del 98%?. Razónese. b) ¿Qué tamaño muestral mínimo ha de tomarse para que el error en la estimación sea menor que 0,5 toneladas con un nivel de confianza del 95%?
DATOS:
Hecatarea Toneleada
1
=
σ , µ=6.Toneladas
n
=
64
.
parcelas
y 98% de confianzaa) ¿Puede asegurarse que el error de estimación del rendimiento medio por hectárea es menor que 0,5 toneladas, con un nivel de confianza del 98%?. Razónese
(
)
29
,
0
08
,
0
08
,
0
64
1
·
325
,
2
·
.
·
22
2 2
2
2
=
=
⇒
=
=
>
⇒
>
Error
n
Z
Error
máximo
Error
Z
n
σ
σ
αα
Sí, el error máximo por hectárea es de 0,29
b) ¿Qué tamaño muestral mínimo ha de tomarse para que el error en la estimación sea menor que 0,5 toneladas con un nivel de confianza del 95%?
*) 95% . 1,96
2
=
⇒ Zα
confianza
de .
( )
3
,
92
15
,
37
16
5
,
0
1
·
96
,
1
.
·
2 2
2
2
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α19. Se supone que el gasto mensual dedicado al ocio por una familia de un determinado país se puede aproximar por
una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 55 euros. Se ha elegido una muestra aleatoria simple de 81 familias, obteniéndose un gasto medio de 320 euros. a) ¿Se puede asegurar que el valor absoluto del error de la estimación del gasto medio por familia mediante la media de la muestra es menor que 10 euros con un grado de confianza del 95%? Razónese la respuesta. b) ¿Cuál es el tamaño muestral mínimo que debe tomarse para poder asegurarlo?.
DATOS: € 55
=
σ , µ =320€
n
=
81
.
familias
y 95% de confianzaa)¿Se puede asegurar que el valor absoluto del error de la estimación del gasto medio por familia mediante la media de la muestra es menor que 10 euros con un grado de confianza del 95%? Razónese la respuesta
*)95% . 1,96
2 = ⇒ Zα confianza
de
(
)
11
,
97
81
55
·
96
,
1
·
.
·
22
2 2
2
=
=
>
⇒
>
n
Z
Error
máximo
Error
Z
n
σ
σ
αα
No, el error máximo es de 11,97 euros.
b) ¿Cuál es el tamaño muestral mínimo que debe tomarse para poder asegurarlo?.
(
10
,
78
)
116
,
21
117
10
55
·
96
,
1
.
·
2 2
2
2
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α20. Se supone que el tiempo de una conversación en un teléfono móvil se puede aproximar por una variable aleatoria
minutos y se elige una muestra aleatoria simple de 16 usuarios, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de las conversaciones de la muestra esté comprendido entre 4 y 5 minutos?.
DATOS:
utos
min
32
,
1
=
σ
, Error=0,5minutos y 95% de confianzaa) calcule el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar para llevar a cabo dicha estimación mediante la media muestral
Fórmula que relaciona el Intervalo de Confianza y el Error:
( )
5
,
17
26
,
77
27
5
,
0
32
,
1
·
96
,
1
.
·
2 2
2
2
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
αb) Si se supone que la media del tiempo de las conversaciones es de 4,36 minutos y se elige una muestra aleatoria simple de 16 usuarios, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de las conversaciones de la muestra esté comprendido entre 4 y 5 minutos?.
DATOS:
utos
min
32
,
1
=
σ
,µ
=
4
,
36
min
utos
P
(
4
>
X
>
5
)
=
?
X
es(
4
,
36
;
0
,
33
)
16
32
,
1
,
36
,
4
N
N
=
(
)
(
1,09 1,94)
0,835933 , 0
36 , 4 5 33
, 0
36 , 4 4 5
4 = − < < =
−
< < − → →
<
<X Tipificar P X P X
P
21. El tiempo invertido en cenar por cada cliente de una cadena de restaurantes es una variable aleatoria que se
aproxima a una distribución normal con desviación típica de 32 minutos. Se quiere estimar la media de dicho tiempo con un error no superior a 10 minutos y con un nivel de confianza del 95%. Determinar el tamaño mínimo muestral necesario para poder llevar a cabo dicha estimación.
utos
min
32
=
σ
, Error=10minutos y 95% de confianza Fórmula que relaciona el Intervalo de Confianza y el Error:(
6
,
272
)
39
,
34
40
10
32
·
96
,
1
.
·
2 2
2
2
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α22. Se estima que el tiempo de reacción de un conductor ante un obstáculo imprevisto tiene una distribución normal
con desviación típica 0,05 segundos. Si se quiere conseguir que el error de estimación de la media no supere los 0,01 segundos con un nivel de confianza del 99%, ¿qué tamaño mínimo ha de tener la muestra de tiempos de reacción?
segundos
05 , 0
=
σ , Error=0,01segundos y 99% de confianza Fórmula que relaciona el Intervalo de Confianza y el Error:
(
12
,
875
)
165
,
77
166
01
,
0
05
,
0
·
575
,
2
.
·
2 2
2
2
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α23. Para una población normal con desviación típica 25, ¿qué tamaño muestral mínimo es necesario para estimar la
media mediante un intervalo de confianza, con un error menor o igual que 5 unidades y una probabilidad mayor o igual que 0,95?.
unidades
25
=
Fórmula que relaciona el Intervalo de Confianza y el Error:
( )
9
,
8
96
,
04
97
5
25
·
96
,
1
.
·
2 2 2
2
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α24. Calcular el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria para garantizar que, en la estimación de la media
de una población normal con varianza igual a 60, al 90% de confianza, el error de estimación cometido no sea superior a 3 unidades.
75 , 7 60 60
.típica= ⇒σ= =
desviación , Error=3unidades y 90% de confianza Fórmula que relaciona el Intervalo de Confianza y el Error:
( )
4
,
25
18
,
04
19
3
75
,
7
·
645
,
1
.
·
2 2
2
2
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α25. El tiempo de conexión a internet de los alumnos de cierta Universidad sigue una distribución normal con desviación
típica 15 minutos. Para estimar la media del tiempo se quiere calcular un intervalo de confianza que tenga una amplitud menor o igual que 6 minutos, con un nivel de confianza del 95%. Determinar el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar.
15
=
σ , Amplitud=6minutos y 95% de confianza
3 2 6 2 ·
2 ⇒ = = =
= Error Error Amplitud Amplitud
Fórmula que relaciona el Intervalo de Confianza y el Error:
( )
9
,
80
96
,
04
97
3
15
·
96
,
1
.
·
2 2
2
2
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α26. Una variable aleatoria X tiene una distribución normal con desviación típica igual a 3. a) Si consideramos muestras
de tamaño 16, ¿qué distribución sigue la variable aleatoria media muestral
X
?. b) Si deseamos que la media de la muestra no difiera en más de 1 de la media de la población, con probabilidad de 0’99, ¿cuántos elementos, como mínimo, se deberían tomar en la muestra?.a)
(
;0,75)
16 3 ,
,σ µ µ
µ N N
n
N ⇒
⇒
b) σ=3, Error=1 y 99% de confianza Fórmula que relaciona el Intervalo de Confianza y el Error:
(
7
,
725
)
59
,
68
60
1
3
·
575
,
2
.
·
2 2
2
2
=
=
⇒
=
>
⇒
>
n
n
máximo
Error
Z
n
σ
α27. Se sabe que el peso en kg de los alumnos de Bachillerato de Madrid sigue una distribución normal con desviación
5 kg. a) Si consideramos muestras de 25 alumnos, ¿qué distribución tiene la variable aleatoria media muestral
X
? b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en más de 1 kg de la media de la población, con probabilidad 0'95, ¿cuántos alumnos se deberían tomar en la muestra?.a)
( )
;125 5 ,
,σ µ µ
µ N N
n
N ⇒
⇒