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SEG
GOBIERNO DE
CANTABRIA
CONSEJERÍA DE EDUCACIÓN
PRUEBAS DE ACCESO A LOS CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR Convocatoria de 18 de junio de 2009 (Resolución de 10 de febrero de 2009)
DATOS DEL ASPIRANTE CALIFICACIÓN FINAL
Apellidos:
Nombre D.N.I.
Si ha superado un Ciclo Formativo de Grado Medio indique el nombre: ________________________________________
No Apto
APTO (Cifra)
GRADO SUPERIOR - PARTE COMÚN MATEMÁTICAS
Instrucciones:
• Mantenga su DNI en lugar visible durante la realización del ejercicio.
• Lea detenidamente los enunciados de las cuestiones.
• Cuide la presentación y escriba la solución o el proceso de forma ordenada.
• Empiece por los ejercicios en los que esté más seguro. Duración: 2 horas
PREGUNTAS :
1.- a) ¿Para qué valores de K no existe la matriz inversa de A? b) Halla la matriz inversa para K = 2
A =
⎜
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
4
3
2
3
4
1
3
1
K
2.- Un estudiante compra un bolígrafo, un lápiz y un rotulador y paga 6 euros. Un segundo estudiante compra dos bolígrafos, tres lápices y un rotulador, pagando 10 euros. Finalmente un tercero compra un bolígrafo, tres lápices y dos rotuladores, pagando 11 euros. ¿Cuál fue el precio de los bolígrafos, los lápices y los rotuladores? Resuelve el sistema por le método de Gauss.
3.- Dadas las rectas: y = 2 x + 4 ; y = m x + 5
a) Halla “m” para que sean paralelas b) Halla “m” para que sean perpendiculares
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4.- ¿Para qué valores de “a” la función dada es continua?
y =
⎩
⎨
⎧
>
+
≤
−
1
,
1
,
2
2x
ax
x
x
x
5.- Los brazos de un compás están separados 60º y miden 14 cm. Halla la distancia que hay entre sus extremos.
6.- Halla dos números que sumen 12, tal que su producto sea máximo.
7.- Una urna contiene 3 bolas negras y 4 rojas. Se extraen sucesivamente dos bolas.
Si la segunda bola se extrae sin devolver la primera a la urna
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean negras? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una sea negra? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una de cada color?
8.- Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos de la función: y = x3 - 6 x2 + 9 x
CRITERIOS DE CALIFICACIÓN: CUESTIÓN 1ª: 1,5 PUNTOS CUESTIÓN 2ª: 1,5 “ CUESTIÓN 3ª: 1 “ CUESTIÓN 4ª: 1 “ CUESTIÓN 5ª: 1 “ CUESTIÓN 6ª: 1 “ CUESTIÓN 7ª: 1,5 “ CUESTIÓN 8ª: 1,5 “
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Ejercicio 1:
Dada la matriz
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
4
3
2
3
4
1
3
1
K
A
a) Para qué valores de K no existe la matriz inversa de A Lo existirá matriz inversa para los valores cuyo determinante sea cero
1
1
5
5
0
5
5
3
8
3
2
)
9
12
8
(
3
18
16
4
3
2
3
4
1
3
1
4
3
2
3
4
1
3
1
=
⇒
=
=
→
=
−
=
=
+
−
+
=
+
−
−
+
+
−
=
−
=
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
K
K
K
K
K
K
K
K
A
K
A
b) Halla su inversa:
1.- Hallo el determinante de A:
5
13
8
)
9
12
16
(
6
18
16
4
3
2
3
4
1
2
3
1
4
3
2
3
4
1
2
3
1
−
=
−
=
+
−
−
+
+
−
=
−
=
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
A
A
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
33 32 31 23 22 21 13 12 11)
(
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Adj
2.- Hallo los adjuntos de A:
3
25
)
1
·(
4
3
3
4
1111
−
=
−
−
=
+A
;·(
1
)
10
4
2
3
1
1 212
−
=
−
=
+A
;·(
1
)
5
3
2
4
1
1 313
=
−
=
−
+
A
18
)
1
·(
4
3
2
3
2 121
=
−
−
=
+
A
,·(
1
)
8
4
2
2
1
2 222
=
−
−
=
−
+
A
;·(
1
)
3
3
2
3
1
2 323
=
−
=
+
A
1
)
1
·(
3
4
2
3
3 131
=
−
=
+
A
;·(
1
)
1
3
1
2
1
3 232
=
−
=
−
+
A
·(
1
)
1
4
1
3
1
3 333
=
−
=
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2.- Un estudiante compra un bolígrafo, un lápiz y un rotulador y paga 6 euros. Un segundo estudiante compra dos bolígrafos, tres lápices y un rotulador, pagando 10 euros. Finalmente un tercero compra un bolígrafo, tres lápices y dos rotuladores, pagando 11 euros. ¿Cuál fue el precio de los bolígrafos, los lápices y los rotuladores? Resuelve el sistema por el método de Gauss.
SOLUCION
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
=
rotulador
z
lápiz
y
boligrafo
x
1 3 311
2
3
10
3
2
6
E E Ez
y
x
z
y
x
z
y
x
= −⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
=
+
+
=
+
+
→
1 2 2 25
3
0
10
3
0
6
E E Ez
y
x
z
y
x
z
y
x
= −⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
−
=
+
+
=
+
+
→
1 3 35
2
0
2
0
6
E E Ez
y
x
z
y
x
z
y
x
= −⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
−
=
−
+
=
+
+
→
1
3
3
3
0
3
0
2
0
12
2
2
2
3 3 2=
=
→
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
−
=
−
+
=
+
+
→
+ =y
z
y
x
z
y
x
z
y
x
E E E3
2
1
2
→
−
=
−
→
=
−
=
−
→
y
z
z
z
2
6
3
1
6
→
+
+
=
→
=
=
+
+
→
x
y
z
x
x
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
=
⇒
s
rotuladore
z
lápiz
y
boligrafos
x
3
1
2
Ejercicio 3Dadas las rectas: y = 2 x + 4 ; y = m x + 5
a) Halla “m” para que sean paralelas b) Halla “m” para que sean perpendiculares
SOLUCION
2
0
4
2
+
=
→
=
=
≡
y
x
m
rr
m
m
mx
y
s
≡
=
+
5
=
0
→
s=
a) Para que ambas rectas sean paralelas, las pendientes deberán ser las mismas:
r
s
m
m
=
→
→
m
s=
2
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r s
m
m
=
−
1
→
2
1
−
=
→
m
sEjercicio 4
¿Para qué valores de “a” la función dada es continua?
y =
⎩
⎨
⎧
>
+
≤
−
1
,
1
,
2
2x
ax
x
x
x
Para todos los valores de X la función es continua, el único punto conflictivo es x=1.
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = 2 si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x= a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
1
2
1
2
)
1
(
=
x
−
=
−
=
−
y
1
2
1
2
1−
=
−
=
−
=
−
→
x
Lim
X
a
ax
x
Lim
X
+
=
+
=
+
→
1
2
1
2
1
1
)
(
)
(
1 1
→
−
=
+
→
=
−+ →
→
f
x
Lim
f
x
a
a
Lim
X X
=
Ejercicio 5
Los brazos de un compás están separados 60º y miden 14 cm. Halla la distancia que hay
entre sus extremos.
SOLUCION
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cm
x
x
x
sen
14
28
2
1
14
2
º
30
=
→
=
→
=
La separación entre las puntas del compás es de 14 cm.
Ejercicio 6
Halla dos números que suman 12, tal que su producto sea máximo.
SOLUCION
Los dos números son x e y.
La expresión que suman 12:
x
+
y
=
12
Si se pide que el producto sea máximo, deberemos hallar el máximo de la función (1º
derivada igual a cero y 2º derivada menor que cero).
→
−
=
=
→
=
+
x
y
x
x
y
x
12
12
f
(
x
)
=
x
·(
12
−
x
)
=
12
x
−
x
2→
f
/(
x
)
=
12
−
2
x
=
0
→
x
=
6
Máximo
x
f
=
−
<
→
→
//(
)
2
0
Los números pedidos son x=6 e y=6.
7.- Una urna contiene 3 bolas negras y 4 rojas. Se extraen sucesivamente dos bolas.
Si la segunda bola se extrae sin devolver la primera a la urna
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean negras? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una sea negra? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una de cada color?
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(
)
0
.
1428
14
.
28
%
7
42
6
·
7
º
2
º
1
)
P
bola
negra
∩
bola
negra
=
=
=
=
→
a
(
)
(
)
(
) (
)
%
28
.
64
6428
.
0
14
9
42
27
42
9
42
12
42
6
6
3
·
7
3
6
3
·
7
4
6
2
·
7
3
º
2
º
1
º
2
º
1
º
2
º
1
)
→
=
=
+
+
=
+
+
=
=
∩
+
∩
+
∩
=
roja
bola
negra
bola
P
negra
bola
roja
bola
negra
bola
negra
bola
P
negra
bola
una
menos
al
P
b
(
) (
)
(
)
7%
50
5
.
0
42
21
42
9
42
12
6
3
·
7
3
6
3
·
7
4
º
2
º
1
º
2
º
1
)
→
=
=
+
=
+
=
∩
+
∩
=
roja
bola
negra
bola
P
negra
bola
roja
bola
color
cada
de
una
P
c
8.- Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos de la función: y = x3 - 6 x2 + 9 x
SOLUCION
Los máximos y mínimos se localizan cuando:
(
( )
( )
( )
(
( )
)
)
⎩
⎨
⎧
→
→
>
<
→
=
Mínimo
Máximo
c
f
c
Pto
b
f
b
Pto
c
f
b
f
x
f
´
,
,
(
0
0
0
// // /( )
=
2−
4
+
3
=
0
→
/
x
x
x
f
( ) ( )
( )
=
3
2−
12
+
9
=
0
→
/
x
x
x
f
1
2
2
4
3
2
2
4
2
2
4
2
4
4
2
12
16
4
1
·
2
3
·
1
·
4
4
4
2 1 2=
−
=
=
+
=
=→
±
=
±
=
−
±
=
−
−
±
−
−
=
x
x
x
( )
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
→
<
−
=
−
=
→
>
=
−
=
⇒
−
=
f
Máximo
Mínimo
f
x
x
f
1
6
·
1
12
6
0
0
6
12
3
·
6
3
12
6
)
(
// // //( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
→
→
=
+
−
=
+
−
=
=
+
−
=
+
−
=
⇒
1
,
4
0
,
3
4
9
6
1
1
·
9
1
·
6
1
1
0
27
54
27
3
·
9
3
·
6
3
3
2 3 2 3 máximo mínimoPUNTO
PUNTO
f
f
Hallamos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
