Métodos numéricos en elastoplasticidad

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(1)Departamento de Matemática e Informática aplicadas a la Ingeniería Civil ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS. MÉTODOS NUMÉRICOS EN ELASTOPLASTICIDAD. Autor: Gabriel Asensio Madrid Licenciado en Física Fundamental Director: Carlos Moreno González Doctor en Matemáticas.

(2) Miembros del tribunal encargado de juzgar la Tesis Doctoral Presidente: Vocal: Vocal: Vocal Secretario:. Calificación:.

(3) Agradezco al Profesor Dr. Carlos Moreno González su esfuerzo por enseñarme a investigar en Matemáticas. Espero que, si aún le queda paciencia, trabajemos juntos muchos años. Agradezco su ayuda, a todos mis compañeros del Dpto. de Matemática Aplicada de la E. U.I. T.Industrial, en especial al director del mismo Profesor Sr. F. Javier López de Elorriaga y Uzquiano, que siempre ha puesto a mi disposición todos los medios del Departamento. Pido perdón a Clara y Almudena por el tiempo que no les he dedicado..

(4) Resumen Los algoritmos de retorno son uno de los más eficientes métodos de integración de las ecuaciones de flujo plástico que aparecen en el problema del sólido elastoplástico. Sia embargo, el cálculo de la matriz tangente consistente es muy complicado cuando el retorno no es radial. En este trabajo se híin Cciracterizado las funciones de fluencia para las cuales el retomo es a lo largo de la linea del gradiente, obteniendo el resultado de que son aquellas que verificcín una ecuación eikonal. Además se ha desarrollado una técnica, basada en expresar la tensión medicinte unos nuevos invariantes (naturales), que permite expresar las ecuaciones no lineales de la proyección sobre el dominio de elasticidad como ima única ecuación esccilar y derivar la proyección hasta obtener la matriz tangente de u n a forma simple (sin tener que recurrir a invertir el hessiano de la función de fluencia). Otros trabajos laterales han sido desarrollados en esta tesis doctoral. Se ha extendido el estudio a las funciones de fluencia multisuperficies eikonales (Tresca). Para comprobar la eficacia de las nuevas fórmulas propuestas para el cálculo de la matriz tangente consistente, se ha desarrollado im. código de elementos finitos que ha permitido corapeirar los resultados con los obtenidos por otros autores. Además se ha comparado la eficiencia del algoritmo de la matriz tangente consistente con otros de tipo punto fijo..

(5) índice General 1 Introducción a la elastoplasticidad 1.1 Notación 1.2 Ecuaciones de eqvúlibrio 1.3 Ecuaciones constitutivas 1.4 Plasticidad con endurecimiento. 3 3 6 7 12. 2 Formulaciones matemáticas de la plasticidad 2.1 Ley de normalidad del flujo plástico 2.2 Formulaciones variacionales 2.2.1 Existencia y imicidad de soluciones. 15 15 17 19. 3 Discretización temporcd 3.1 Formulación incremental del problema 3.2 Algoritmos de retorno 3.2.1 Matriz tangente consistente para el modelo de plasticidad de von Mises 3.3 Algoritmos de punto fijo. 21 21 23. 4 Discretización espacial 4.1 Formulación de elementos finitos con deformaciones supuestas. 31 33. 5. 41 41 44 48. Sisteméis de invariantes pcira tensores simétricos 5.1 Sistemas de invariantes principales 5.2 Sistema de invariantes de Haigh-Westergaard 5.3 Nuevo sistema de iavariantes. 6 Funciones de fluencia 6.1 Propiedades generales de las funciones de 6.2 Funciones de fluencia clásicas 6.2.1 Función de von Mises 6.3 Función de Tresca. fluencia. 25 27. 55 55 59 59 61.

(6) 6.4 6.5. 6.3.1 Función de Mohr-Coulomb 63 Otras funciones de fluencia: Función de Taylor-Matzenmiller . 64 Gradiente y Hessiano de xma función de fluencia 65. 7 M.T.C. en algoritmos de retorno a lo Icirgo del gradiente 7.1 Funciones de fluencia eikonales 7.2 Funciones de fluencia "eikonales" singulares 7.2.1 Interpretación geométrica 7.2.2 Proyección en el caso de la función de Tresca 7.2.3 Selección de las superficies activas en el caso de la función de Tresca 7.3 M.T.C. para funciones de fluencia eikonales. 73 73 77 78 82 85 87. 8 M.T.C. para una función de fluencia general regular 91 8.1 Ecuaciones escollares de la proyección 91 8.1.1 Resolución de la proyección peira funciones regulares . . 93 8.1.2 Resolución de la proyección para la función de TaylorMatzenmiller 98 8.2 Expresión de la matriz tangente consistente 98 9 Experimentos numéricos 9.1 Viga de sección cuadrada 9.2 Viga con agujero bajo desplazcimientos fijados 9.3 Viga con muesca sometida a torsión 9.4 Viga con agujero (modelo de plasticidad J2 — Jz). 103 107 111 116 122. 10 Conclusiones y trabajo a seguir. 125.

(7) Capítulo 1 Introducción a la elastoplasticldad 1.1. Notación. En esta memoria se usará la notación usual en Análisis Tensorial (los tensores se escriben en negrita y los vectores con flecha). Además tensores y vectores estarán representados por sus coordenadas cartesianas que se escribirán en letra normal y con subíndices. Se empleará la notación "•" para referimos a la contracción de xm. sólo índice de dos tensores, bien sean vectores, en cuyo caso es un producto escalar Ü-V = UiVi,. (1.1). o bien tensores de segundo orden, (ar • T)ij = aikTkj.. (1.2). La notación ":" se utilizará para indicar la doble contracción de dos tensores, bien de segundo orden, en cuyo caso es xm producto escalar cr : T = CTijTij,. (1.3). bien de lui tensor de cuarto orden D con otro de segundo orden (D : s)ij = DijkiSki-. (1.4). El producto tensorial diádico de dos tensores de segiuido orden es un tensor de cuarto orden (cr 0 T)iju = (JijTu.. (1-5).

(8) Capítulo 1. Introducción. a la elastoplasticidad. 4. Además en esta memoria se usará el producto tensorial cuadrado simetrizado (véase [15]) (o- lEl r)ijki = -Af^ikTji + TiT^ají),. (1.6). que permite definir el tensor I, identidad de cuarto orden a partir del tensor 1, identidad de segundo orden 1 = 1^1. (1.7). y que, j u n t o con el producto tensorial diádico, tiene las siguientes propiedades: cr (g) r ) : 77 = ( r : 77) íT a^r). (1.8). -.rj = -{(T -rj -T + r -rj- CT). <7 S r ) : (í7 K ^) = (<r • r ) S (77 • I ) 1 <7 S r ) : (77 O ^) = - ( ( o - • 77 • r ) (g) ^ + ( r • 77 • O") ® I ) o- ® r ) : (77 S C) = -(<T (E) (77 • r • ^) + fr ® ( I . r • 77)) para cualesquiera tensores simétricos de segundo orden (T^ r] j T. Se representará por 53 el espacio vectorial de los tensores siraétricos de segundo orden. Este espacio Sg se descompone en smna directa de dos subespacios, ortogonales entre sí respecto del producto escalar definido por ":", según ^3 = ^^3 0 r>3,. (1.9). siendo Hz el subespacio de tensores proporcionales éil tensor identidad y Dz el subespacio de tensores de traza nula. Por tanto cualquier tensor cr G«S3 se descompone de forma única como a =pl + s. (1.10). siendo 3p la traza del tensor a. El tensor p l Gí/3 se conoce como parte hidrostática o esférica de <7 y s GJDS se Uanaa parte desviadora de cr. E n las ecuaciones constitutivas del medio aparecerá el tensor de cuarto orden D conocido como tensor elástico JD = K1®1. +. 2G¡I. (1.11).

(9) Capítulo 1. Introducción. a la elastoplasticidad. 5. donde K y G son respectivamente el módulo cortante y el módulo de expansión (bulk). El tensor D es combinación lineal del operador 1 ® \ -.Sz ^ Hz definido por 1 0 1 : 0 - = 3pl,. (1.12). y del operador desviador I^g^ : S3 ^ D3 definido según Iaev-(r= (l~-l®l]. :a = s.. (1.13). Mediante el tensor elástico es posible definir la siguiente norma ||cr||j, = V(T:B:cr. (1.14). para todo cr, tensor simétrico de segundo orden. El tensor inverso del tensor elástico es. Por último, se utilizará la notación " V " para referimos al gradiente, bien sea de vma función escalar / , en cuyo caso se t r a t a de u n tensor de segundo orden. V/W.. = ^ .. (1.16). O bien de u n a función tensorial de segundo orden e, en cuyo caso se t r a t a de un tensor de cuarto orden VeiaU = ^. -. (1-17). Este es el caso del Hessiano de una función escalar V ® VJ[(T)ijki = — ^. = -^—^—.. (1.18). E n particular, si / y e son las funciones escalar y vectorial definidas por f{cT) =tr{cT) = 1 : o-,. e(íT) = CT-^tr{a),. (1.19). sus gradientes están dados por las siguientes expresiones V / ( ( r ) = 1,. Ve(o-) = I - ^ l O 1. ó. (1.20).

(10) Capítulo 1. Introducción. 1.2. a la elastoplasticidad. 6. Ecuaciones de equilibrio. Se supone que u n sólido ocupa u n a región D, C R^ que es ua conjunto abierto, conexo y acotado, con una densidad de masa representada por la función escalar PQ definida sobre Q,. Los campos de desplazamientos w y de tensiones <T inducidos en el sólido por Icis fuerzas de volimaen / y las tracciones superficiales t que actúan sobre el sólido durante el intervalo de tiempo / = [O, T], deben verificar las ecuaciones de equilibrio cuasiestático de fuerzas en f2 x / V-CT + f = 0,. (1.21). junto con las condiciones de contomo u{x,t). = Ür{x,t). en r „ x I , (1.22). a •ñ = t. en Fo- X / ,. siendo F la frontera de í} con la partición. r = r„ur,. y F„nr, = 0,. (1.23). y r? el vector normal, exterior y unitario, en cada punto de la frontera del sólido. Además se debe cumplir la condición inicial en Q, u{x,0)=uo{x).. (1.24). Si se supone que las fuerzas son independientes del desplazamiento (fuerzas muertas), las ecuaciones de equilibrio local de fuerzas y momentos son ecuaciones lineales. La fuente de "no lineaHdad" del problema está en la relación entre los Ccimpos de tensión y desplazamiento (ecuaciones constitutivas que se plantean en el siguiente apartado). La teoría de elasto-plasticidad infinitesimal se asienta en las hipótesis de "pequeños desplazamientos" y "pequeñas deformaciones". Estas hipótesis permiten identificar las configuraciones inicial y deformada del sólido, y tisar como tensor de tensión y deformación, los tensores espaciales de Cauchy <T y de Cauchy-Green linealizado €{u). Éste illtimo se construye a partir del campo del desplazamiento u como.

(11) Capítulo 1. Introducción. 1.3. a la elastoplasticidad. 7. Ecuaciones constitutivas. Se considera un material isótropo, homogéneo y elastoplástico perfecto. Por simplicidad se ignoran los efectos del endurecimiento, aunque como se indicará en su momento algunos de los resultados c[ue se exponen en esta memoria son fácilmente extendibles a problemas de endurecimiento. Se supone cierta la descomposición aditiva del tensor de deformación, en una parte elástica más otra plástica, de forma que la relación entre las variaciones de tensión y deformación se expresa mediante la ecuación constitutiva iacremental & = D:{s-éP).. (1.26). Se admite que la variación de la deformación plástica é^ se obtiene a partir de una función / llamada potencial plástico que coincide con la función de fluencia (plasticidad asociativa). Se exige que / sea convexa y que sólo dependa de la tensión (plasticidad independiente de la velocidad de deformación) . E n este caso ¿^ = AV/(cr),. (1.27). siendo A un parámetro multiplicador plástico que se determina con la Uamada condición de carga-descarga Á>0,. /(<T)<0,. Á/(o-) = 0.. (1.28). C o m e n t a r i o 1.1 A continuación, siguiendo los trabajos de Koiter, se expresa la hipótesis de normalidad del flujo plástico (1.27) para el caso más general de funciones de fluencia singulares, aquellas para las que no existe el gradiente Vf{cr) en todos los puntos. Las funciones de fluencia singulares, cuyos dominios de elasticidad tienen "picos" donde no existe el gradiente, se construyen según / ( í T ) = m a x { / ¿ ( < 7 ) , i = l,..,m},. (1.29). a partir de un conjunto finito de funciones de fluencia fi{cr), cada una de ellas convexas y diferenciables en Sz. Para este tipo de funciones, el dominio de elasticidad es la intersección de los dominios de elasticidad de todas las superficies fi{cr) = O (véase [45]) K:={aeSz\. fia). <0} = {(TeSs\. fi{a). < O, z = 1, . . , m } .. (1.30).

(12) Capítulo 1. Introducción a la elastoplasticidad. 8. y la hipótesis mecánica de normalidad del flujo plástico se expresa como m. é^ ^J^x'vMcr),. (1.31). j=l. junto con la condición de carga descarga fi{(T)<0,. ÁSO,. (1.32). X'M<T)=0.. Para obtener la relación entre las variaciones de tensión y deformación se sustituye (1.27) en (1.26) á = D:(¿-ÁV/((T)),. (1.33). se multiplica por V / ( ( T ) y se despeja el parámetro plástico : _ Vf{<T) :T>:é-. "•-. Vf(<T) : &. V/W : D : V/W. •. <1-^). Por otro lado si se deriva, cada término de la igualdad en (1.28), se obtiene Xfier) + ÁV/(<T) : Ó- = 0.. (1.35). Esta ecuación jmito con la propia condición de carga-descarga (1.28) se escribe de la forma Á fia) = ÁV/(o-) : <T = O,. (1.36). que es conocida como condición de consistencia. Basta con eliminar el parámetro plástico de las ecuaciones anteriores y tener en cuenta la primera de las propiedades (1-8) para obtener la ecuación constitutiva & = -D^P(a-):é,. (1.37). siendo D^^(<T) el operador tangente continuo (^ ). \ ^. V/(cr):D:V/(o-). ^^ J K^^I - "^. ^Se comprueba fácilmente que D : Vf(a) ® D : V / ( Í T ) = D : V/(ír) ® Wf{a) : D debido a la simetría del tensor elástico DÍJU ~ DMÍJ..

(13) Capítulo 1. Introducción. a la elastoplasticidad. 9. Por simplicidad se supondrán tensiones iniciales nulas en el sólido. Pero aún así la dependencia en <T del operador tangente continuo dificulta enormemente la integración en la variable tiempo en (1.37). En los trabajos de Krieg de 1977 se conseguía integrar exactamente la ecuación (1-37) obteniendo una relación no lineal tensión-desplazamiento que llevada a la ecuación de equilibrio se convertía en ima ecuación no lineal, que después era resuelta por un método nvmiérico tipo Newton. Sin embargo, esto sólo era posible para plasticidad perfecta de von Mises, añadiendo la condición adicional de velocidad de deformación ¿ constante en cortos intervalos de tiempo. Incluso, en los trabajos más recientes de Ristiimiaa y Trydring (véase [43]) se relaja esta condición a que é forme u n ángulo constante con la dirección de la componente desviadora de la tensión. A partir de los trabajos de Ortiz y Popov de 1985 se empezaron a usar algoritmos, basados en la discretización del intervalo temporal / , para integrar aproximadamente las ecuaciones constitutivas, como se explica a continuación. AI discretizar la variable tiempo en la ecuación (1.33) mediante un esquema de Euler implícito se obtiene D : (Sn+i - Sn) = a-^+i -(Tn + T n + i ^ : V/(<T„+i),. (1.39). donde 7„+i = AínÁn+iPor tanto la tensión de prueba (trial), que es el estado de tensión resultante de \ina evolución puramente elástica del sólido a partir del estado de tensión a tiempo í„ <T* = o-„ + D : ( £ „ + ! - £ „ ) ,. (1.40). coincide con la tensión CTn+x si y sólo si 7„_,_j = 0. E n u n caso general es preciso resolver las ecuaciones o-n+i = (T* - 7^+iD : V/(o-„+i), (1.41) 7n+i/(í^n+i) = O, 7„+i > o, /(íT^+i) < 0. E n estas relaciones se puede observar que <T„+I verifica las condiciones de Khxm-Tucker para el siguiente problema de programación no lineal minJ(o--o-*):D-i:(a--o^*). (1.42). /(cr)<0 Z. y por tanto, como se verá de forma más precisa en el siguiente capítulo, se pueden expresar usando el operador proyección sobre el dominio elástico /C K, = {CT- f{cT) < 0 } ,. (1.43).

(14) Capítulo 1. Introducción. a la elastoplasticidad. 10. mediante la métrica iaducida por D~^, corneo (7„+i = PK(O-*) = PKÍCTU + D : (£,+1 - £,)).. (1.44). Esta ecuación es conocida como ecuación de retorno a través de la proyección al punto más cercano. Esta ecuación es una alternativa muy elegante para expresar las ecuaciones constitutivas de forma consistente con la discretización temporal, y que permite interpretar el estado de tensión a tiempo tn+i como la corrección plástica obtenida proyectando el estado trial al pinito más cercano de la superficie de fluencia. Llegados a este punto nos encontramos con la dificultad de encontrar u n a expresión explícita para el operador proyección que nos permita después calcular su derivada y linealizar la ecuación anterior. Los primeros trabajos en este sentido se deben a Wilkins en 1964 que encontró expresiones explícitas tanto para la proyección como para su derivada en modelos de plasticidad J2, ya que en este caso la geometría particular de la superficie de fluencia asegura que los gradientes en cada punto de dicha superficie tienen dirección radial y coinciden en el estado prueba y en el estado retomado. Por tanto es posible encontrar el estado retornado siguiendo la Hnea del gradiente a partir del estado (T*. La extensión al caso de plasticidad con endurecimiento lineal mixto fue llevada a cabo por Krieg y Key en 1976. Es posible efectuar una primera linealización de la ecuación (1.44) del modo siguiente O-n+1 = O-n + ^ ( ^ n ) : P : (ffn+l " Sn),. (1-45). donde -^{o'n) es la derivada del operador proyección al punto más cercano evaluada en crj¡,. Pero más eficiente es la linealización iterativa. (1.46) k-^k. + l,. cr^+1 = o - H ^ ( ^ ^ + 1 ) : D : (s^+l - 4 ) ,. que es consistente con el método de Newton para resolver ecuaciones no lineales. En esta Hnealización aparece el operador ^((r^^-¡) : D que es conocido como operador tangente consistente. Aunque la noción de matriz tangente consistente ya aparece en los trabajos de Hughes y Taylor (1978) y de Naghtegal (1982), sin embargo, es en el trabajo posterior de Simó y Taylor (véase.

(15) Capítulo 1. Introducción. a la elastoplasticidad. 11. [48]), donde se aplica de una forma sistemática la liaealización de la aplicación del retorno anterior para resolver las ecuaciones del retomo en el caso de plasticidad con endurecimiento no lineal. Este algoritmo conocido como retorno al punto más cercano h a sido aplicado de forma eficiente en multitud de trabajos. Presenta la dificultad de tener que calcular el gradiente y el Hessiano de la función de fluencia, incluso en los casos de funciones para las cuales el retomo es radial. El algoritmo del plano cortante, presentado por Simó y Ortiz en 1986, pretende evitar este problema. Se basa en el método de optimización sobre un convexo que lleva el mismo nombre (véase [26]). Consiste en discretizar la variable tiempo en la ecuación (1.33) mediante u n esquema de Euler explícito y linealizar las restricciones que definen el convexo. Sin embargo, parece ser que esto último hace que el algoritmo pierda eficiencia (véase [46], página 148). E n el contexto que se acaba de exponer, en esta memoria se estudian las siguientes cuestiones: 1. ¿Cuál es la clase más general de funciones de fluencia para las cuáles es posible encontrar una expresión explícita para la proyección? 2. ¿Cuál es la expresión más sencilla de la matriz tangente consistente para este tipo de funciones de fluencia?. Las respuestas obtenidas y que aparecen desarrolladas en los capítulos posteriores son: 1. El gradiente en el estado trial y en el retomo coinciden, y por tanto es posible encontrar una expresión,exphcita para la proyección, si la función / verifica la ecuación eikonal V/(<r) : D : Vf{cr). = constante.. Se comprueba que esta ecuación es verificada por las funciones de fluencia clásicas (von Mises, Tresca, Mohr-Coulomb, Drucker-Pragger). 2. En el caso de ima función de fluencia más general es posible calcular exphcitamente la proyección a partir de u n a linica ecuación escalar no Hneal. 3. Ebqjresando la tensión en términos de u n triedro ortonormal adecuado es posible obtener una expresión cerrada para la matriz tangente consistente..

(16) Capítulo 1. Introducción. 1.4. a la elastoplasticidad. 12. Plasticidad con endurecimiento. En el caso de u n material elasto-plástico perfecto el dominio de elasticidad es invariante y el estado de carga del sistema viene descrito por una sola variable (7. En el caso de que el material presente el fenómeno del endurecimiento es preciso incorporcir otras variables independientes para poder describir la variación del dominio de elasticidad y el estado de carga del sistema. El modelo de Plasticidad que se desarrolla a continuaxíión, siguiendo la teoría de endurecimiento isótropo de Taylor y Quinney de 1931 y la teoría de endurecimiento cinemático de Pragger de 1958, se basa en la hipótesis constitutiva de la existencia de una función energía ubre de Helmhotz E{e^,s^,0 = 1^^ -.1) : ^' + ¿ f. : e^ + J. CTyiv)dv,. (1-47). dependiente de la deformación elástica £®, y de las variables plásticas: deformación plástica £^ y deformación plástica efectiva ^. Siendo iíc > O y a y {r¡) una función cóncava, diferenciable teil que cryir]) > 0. En el trabajo de Huidobro (véase [28], página 26) se prueba detalladamente, para el caso de plasticidad finita (grandes deformaciones), que S sólo puede depender de e — £^,£^ y ^ según (1-47). Para hacer esta prueba, supone que H posee ciertas propiedades de simetría derivadas de la isotropía del material y de la objetividad (invariancia bajo isometrías) de las ecuaciones constitutivas. Las hipótesis constitutivas elastoplásticas asociadas a esta función de energía libre son: 1. La tensión coincide con la variación de la energía libre respecto de la deformación elástica. 2. Existe u n potencial convexo subdiferenciable I?(¿^,^) (véase [42]) tal que la variación de la energía libre respecto a £^ y ^ es el opuesto del subgradiente del potencial. (1.49). fe-a2P(¿^é)..

(17) Capítulo 1. Introducción. a la elastoplasticidad. 13. E n consecuencia, de las relaciones constitutivas se tiene que: o- = D : £% j:ediV{é^,a. (1-50). siendo S = (T — a la tensión reducida y o; la tensión de retroceso (back stress) dada por. Sea T> la función transformada de Legendre de 2?. Es decir, la función definida por V{E, ay) = sup | S : ¿^ - cry$ - V{é^, t) ] •. (1-52). Invirtiendo las relaciones anteriores se obtiene: éPediV(E,ay), (1.53). El uso de la energía libre de Heknlioltz como potencial, se justifica mecánicamente porque para procesos isotermos su variación dE coincide con el trabajo desarrollado por las fuerzas externas dWgxt que actúan sobre el sólido. Esto permite expresar las ecuaciones de equilibrio, la relación deformacióndesplazamiento y las ecuaciones constitutivas como la condición de estacionariedad dH = O del potencial ü , que es im funcional mixto tipo HellingerReisner ó Hu-Washizu tal que niu, e\ e^, e, ir). =. y {^{e\. e\ i) - a : {e-]^^. • u)\ dü. (1.54). - I f- udü - / t- udT. Este tipo de formulaciones son la base para las formulaciones aproximadas mediante elementos finitos..

(18) Capítulo 1. Introducción a la elastoplasticidad. 14.

(19) Capítulo 2 Formulaciones matemáticas de la plasticidad Las formulaciones matemáticas del problema de la plasticidad cuasiestática en el marco del Análisis Convexo y el Análisis Funcional, se desarrollan a partir de los años 70. E n los trabajos de Duvaut y Lions se formula el problema del sólido elasto-plástico perfecto mediante una inecuación variacional. Johnson llega en sus trabajos a ima formulación en tensiones, sobre la que obtiene algunos resultados de existencia y unicidad de solución. Este tipo de formulaciones aparecen en los trabajos de Moreau donde se hace xma interpretación más geométrica del problema y se elimina la velocidad de la deformación, obteniendo una inecuación variacional sobre un conjunto convexo dependiente del tiempo. E n la primera sección de este capítulo se formulan, en términos del Análisis Convexo, las ecuaciones del flujo plástico hasta llegar a obtener Tina Ley Generalizada de Normalidad del flujo plástico. E n la sección 2.2 se plantean las distintas formulaciones variacionales (en tensiones y mixta) del problema de contomo con condiciones iniciales, que describe la evolución en régimen cuasiestático de im sólido elastoplástico con endurecimiento mixto lineal. Por último, se recogen los resultados de existencia y unicidad del problema obtenidos por otros autores.. 2.1. Ley de normeJidad del flujo plástico. La regla de flujo de Koiter (1.31,1.32) se puede exprescir de u n a forma matemática en términos de Análisis Convexo como se ve a continuación. Se empieza por introducir el concepto de cono normal dljci^f) para u n. 15.

(20) Capítulo 2. Formulación^. matemáticas. de la plasticidad. 16. Figura 2.1: Ilustracióii del conjunto de subgradientes a* en u n punto singular y otro regular de la frontera del dominio elástico. estado de tensión cr sobre la frontera dK. del dominio de elasticidad KOIKÍCT). - {í7-*| (T* :{(T'-a)<0. Ma' E /C} .. (2.1). El cono normal es el conjim^to de subgradientes cr* de IK:, la función indicadora del dominio de elasticidad K. definida como IK{<T). O si (T G XI. oo si cr ^ K. '. (2.2). (véase [26], página 22). E n términos de este lenguaje, la regla de flujo de Koiter se expresa como. ¿^ G dl^ia),. (2.3). usando una de las primeras propiedades del cálculo subdiferencial que dice que cualqtder subgradiente es u n a combinación lineal, con coeficientes positivos, de los gradientes de cada vma de las funciones de fluencia que definen )C (véase [20], página 28). P a r a materiales con comportamientos independientes de la escala de tiempo, se puede justificar que existe u n convexo cerrado /C de S'3 X i? tal que T> es la función kidicadora de /C (véase [21], página 71), es decir. V^Ij^.. (2.4).

(21) Capítulo 2. Formulaciones matemáticas de la plasticidad. 17. Sin pérdida de generalidad (^) se puede suponer que MO. = ^Yo + HiC. (2.5). donde ay^ y ií¿ son constantes positivas. Se considera el conjunto convexo cerrado definido por /C - { a = (<T, a,c7r) eSsxSsxR-.iE,. ay) e Ic} .. (2.6). Con estas notaciones, fácilmente se comprueba la siguiente Ley Generalizada de Normalidad del flujo plástico O e(D-':cr - e, ^cc, j^ay). 2.2. + dl>c{a).. (2.7). Formulaciones variacionales. Afinde obtener ima formulación variacional para el modelo de plasticidad con endmrecimiento mixto lineal anterior, se introducen los siguientes espacios funcionales y formas biüneales: • El espacio de los desplazamientos virtuales V = \ve [H^{n)f I V = 6 en Tu}. (2.8). • El espacio de las tensiones Q={aeSs\aijeL\n)},. (2.9). y el espacio de tensiones generalizadas Q = {a = {a, C(,ay)eS3 x S3X R\ aij, aij, ay e L^{ü) } .. (2.10). • La forma bilineal continua definida en Q x V por b{a,v) = I a:Vvd^=. f a : e(v) dü.. (2.11). y la forma bilineal simétrica, continua y coerciva definida en Q por a{á, á') =. r. Jn. (CT: D-^t/. 2/7. 1. + — - a : a ' + —ayay)dn. 3 Hi. (2.12). '•En el caso de dependencia no lineal en ^, un cambio de variable lo reduce al Cciso lineal (véase el trabajo de Huidobro [28])..

(22) Capítulo 2. Formulaciones matemáticas de la plasticidad. 18. • La forma lineal continua en V definida por. <g,v>^. I f-vdQ+. I t-vdV.. (2.13). siendo g,g' G L^(Q). En cada instante de tiempo t, se considera la variedad lineal E{t) formada por todos los estado de tensión cr EQ que verifican la condición de equilibrio débil siguiente b(cr, v) = < g,v> para todo v EV.. (2-14). A este conjimto E(t) se le conoce como conjimto de tensiones equilibradas. De la fórmula de la divergencia de Green / (V • (T) • V dü + I a : £{v) dÜ-= (cr • n) • v dV, Jn JQ JT. (2.15). válida para cualquier aeH{div,rL) = {aeQ:V-(TeQ}. y ve[H^{ü)f,. (2.16). se deduce que cualquier estado de tensión de E(t) D H{div, Í2) verifica la ecuación de equilibrio fuerte del capítulo 1. La ley generalizada de normalidad del flujo plástico (2.7) se puede expreScir como (D-^ro- - £) : (o-' - a) + ^ a : ( a ' - a ) + ^¿ryia'y. - ay) > O (2.17). para todo a' = (<T', Oi'jO'y) G fC. Sea el conjtmto n{t) = E{t)f]K. (2.18). de tensiones a generalizadas, tales que en cada pinito x del sólido pertenezcan al conjimto /C y la tensión esté equilibrada. Como la desigualdad anterior se verifica en cada punto x del sólido, basta integrarla sobre el volumen Q. para obtener la inecuación variacional a{a,a' -a) >0 para todo a' G lZ{t).. (2.19).

(23) Capítulo 2. Formulaciones matemáticas. de la plasticidad. 19. Esta es la formxilación e n t e n s i o n e s del modelo de plasticidad con endtirecifniento mixto lineal. Esta formulación independiente del campo de desplazamientos aparece en los trabajos de Johnson en 1976. El caso particulax de equilibrio estático y plasticidad perfecta se conoce como formulación de Hencky. La correspondiente f o r m u l a c i ó n m i x t a es . tr. ala — a. ,a. — a-) > O para todo a' G /C,. b((T,v) —< g,v>. para todo ve. V,. • tr. siendo cr = (D :£, 0,0) la velocidad de la tensión suponiendo que el flujo plástico ¿^ y ^ es nulo.. 2.2.1. Existencia y unicidad de soluciones. E n el texto clásico de Teman o en el más moderno de Han y Reddy (véase [25]) se recogen los resultados de Johnson, Moreau y otros, sobre existencia y unicidad de soluciones para las formulaciones anteriores de la plasticidad. Algunos de estos residtados se enuncian a continuación. Por ejemplo, para garantizar que el conjunto R{t) no se contraiga a u n sólo punto y evitar que la dinámica de E{t) conlleve soluciones irregulares, se admite la siguiente hipótesis de seguridad de carga. Existen xma función K £ L°°([0, T]; L°°{Q,)) y una constante 6 > O tales que:. 1) K{t) e E{t) para todo t € [0,T]. 2) (1 + 6)K{t) e K. para todo t € [O, T].. (2.21). 3)/í,KeL°°([0,r];L°°(fi)). Bajo esta hipótesis y la condición de contorno de cuerpo encastrado ( r = r ^ ) es posible demostrar la existencia y \micidad de soluciones para el problema formulado en tensiones de la plasticidad perfecta. P a r a geometrías y condiciones de contorno muy concretas, por ejemplo una barra cilindrica sometida a torsión pura, se puede probar la existencia y imicidad de soluciones del problema mixto de plasticidad perfecta (véase [23], capítulo 3)..

(24) Capítulo 2. Formulaciones matemáticas. de la plasticidad. 20. E n un caso más general , para probar la existencia de soluciones del problema mixto de la plasticidad perfecta, es preciso sustituir el espacio de desplazamientos V por el espacio de desplazaomientos con deformación acotada BD{Q) = ¡ue. [L^in)f. I. /. e{u) : £(Ü) dQ < ctel.. (2.22). Las siguientes inclusiones ayudan a situar este espacio entre algunos espacios de Sobolev conocidos W^'\n). c BD{n). c L^/^iü).. (2.23). La hipótesis de seguridad de carga garantiza la existencia de soluciones cr y u tales que: •. <TGL~([0,T];L-(Q)),. f. e L-([0,T];L2(n)), (2.24). ü,. §eL->{lO,T]-BD{Q)).. La presencia de términos de endurecimiento cinemático e isótropo ejerce Tin efecto regularizante y se puede probar la existencia de soluciones para problema mixto de la plasticidad con endurecimiento (véase [25]). Este capítulo acaba haciendo referencia a la propiedad de contractividad, propia de los sistemas disipativos, que tienen las soluciones del problema en tensiones. Esta propiedad es fundamental para el análisis de la estabilidad del problema discretizado en tiempos que se formula en el siguiente capítulo. La prueba de la contractividad está implícita en los trabajos de Moreau de 1976, pero se puede ver formulada y probada en [46] , pág.234, como sigue: Sean o^o 7 ^'o dos valores iniciales eirbitrarios de la tensión generalizada que d a n lugar a dos soluciones del problema en tensiones, ff{t) y or'(í) respectivamente, entonces \\^{t) - a{t)\\. < \\ao - a^'oll Vi e / ,. siendo 111| la norma asociada a la forma bilineal a.. (2.25).

(25) Capítulo 3 Discretización temporal En este capítulo se plantea un problema incremental con velloras iniciciles que se obtiene al discretizar la variable tiempo en las formulaciones varíacionales del capítulo anterior. P a r a discretizar la variable tiempo se usa la regla generalizada del pimto medio de Euler (véase [46], página 33) que empezó a usarse en plasticidad a partir de los trabajos de Ortiz y Simó (véase [35]). Se obtiene que la tensión evoluciona siguiendo un algoritmo de catchingnp de Moureau, es decir que la tensión a tiempo í„+i es la proyección de la tensión a tiempo í„ sobre lui dominio variable. Las aproximaciones de tipo predictor-corrector de esta proyección sobre un dominio variable son ima generalización del algoritmo de retomo radial de Wükins. Consisten en obtener la solución del problema elástico (predicción elástica) y después proyectar esta solución sobre el dominio de elasticidad (corrección plástica). E n el apartado (3.2) se obtiene u n a expresión explícita para el operador proyección sobre el dominio de elasticidad y su derivada, para el caso de plasticidad de von Mises con endurecimiento lineal mixto. Se obtiene ima expresión expKcita de la matriz tangente consistente y se aprecia el efecto regularizador del endurecimiento sobre la citada matriz. Una alternativa a los algoritmos de retomo de tipo Newton es el algoritmo de tipo punto fijo que aparece en el apartado (3.3). E n xui trabajo anterior (véase [2]) han sido comparados estos dos algoritmos.. 3.1. Formulación incremental del problema. Sea ima partición del intervalo temporal y sea Í¿-|.Q. = Í¿ + a(íj+i — U) con a E (0,1], un punto intermedio del subintervalo temporal [í¿, í¿-|-i], en el que. 21.

(26) Capítulo 3. Discretización. temporal. 22. se definen los campos intermedios. a>. Ui^a = CíUi^i + (1 - a)ui, ái+a = ctái+i + (1 -. (3.1). a)d-i.. Supongamos que en el punto intermedio ¿¿+Q, se verifica tanto la ecuación de equilibrio (2.14) &(<Tj_f.Q,, v) =< Qi+a, V > para todo v GV,. (3.2). como la ecuación constitutiva a{a-i+a — ^i+a^^'. ~ ^i+a) > O para todo'a' e /C,. (3.3). siendo á%^ = ai + {oD : e{ui+-,-. Ui),0,Q).. (3.4). Por tanto se puede considerar el siguiente esquema de diferencias finitas de Euler impHcito ( a = 1) para resolver el problema variacional (2.19) a{d-ij^i — a^¿, a' — cr¿^i) > O para todo a' e 7?.(íj+i).. (3.5). Esta discretización es consistente con la citada formulación variacional y se puede expresar como vm algoritmo catching-up ai+i = Pn{tr.^^){^i). (3.6). donde P'fi{tn+-i_) es el operador proyección según el producto escalar definido por la forma biliaeal a. La mayor parte de los algoritmos utilizados consisten en aproximar la proyección anterior. Por ejem^plo si aproxima según Pn{u^,)^PKPE{t^^,),. (3.7). se obtienen las ecuaciones siguientes fLtr. p. o-¿+i = -oc(o-¿+iJ, la segunda es la ecuación de retorno al dominio de elasticidad (1.44) que aparece en los algoritmos del tipo del algoritmo de retomo radial de Wilkins..

(27) Capítulo 3. Discretización. 3.2. temporal. 23. Algoritmos de retorno. La ecuación del retorno sobre el dominio elástico (3.8-1) es no lineal y se puede expresar a partir de la función proyección sobre un convexo según la métrica inducida por D " ^ f7,+i = Px:(o-:+i). (3.9). y aunque en algunos casos, como cuando la función de fluencia es la función de von Mises, el retomo es a lo largo del gradiente, V/(cr¿+i) = ^f{<^i+i), y se pueden resolver explícitamente como se verá en el capítulo 4 de este trabajo, en general es preciso usar u n algoritmo de retomo que consiste en linealizax la ecuación mediante el método de Newton . Existen distintas linealizaciones de las ecuaciones de la proyección: matriz tangente inicial, método de la seccinte,..etc. que se pueden ver de forma imificada en el trabajo de Wu (véase [54]). La linealización de la aplicación del retorno mediante la matriz tangente consistente consiste en partir de las ecuaciones del retorno siguientes Ri(Ti+u%+i). = D - ^ : (<T¿+i - CT*^,) + 7,+iV/(íri+i) = O. Sio-i+uJi+i). = /(<Ti+i)7¿+i = O. (3.10). y resolverlas iterativamente mediante el método de Newton RUI ^ Rli. + (D-^)ti : A ^ t i + V / « i ) A 7 t i = O. SUi ^ Si, + 7 l i V / ( c T t i ) : Aal,. +. (3.11). f{al,)A^l,. = ( V / « i ) : A < i + / « i ) ) 7 r + i - O, donde se ha usado la notación Rli=R«i.lli). (3.12). S'f+1 = 5'(<7f+i,7,^+i). ^li+1. — 7t+i. 7¿-f-i. (D-)t, = '-^^^ da. = D-i+7^^lV®V/«i).. (o•|i^_l,7|i^_l). Por tanto de (3.11) se pueden despejar los incrementos A . _ / « i ) + A<,D^^,:V/«,) A < i = D t i : [A<1 - V / « i ) A 7 t i ] A4-,i = -Rlr. = {^-')l,. •• A < i + V / ( o - t i ) A 7 t i.

(28) Capítulo 3. Discretización temporal. 24. y eliminar ¿^J^+i para obtener. A<. = [DL.-%J4^Hl^^í^íH^l:A4« V / « i ) : J^l^ : V / « i ). (3.14). siendo Df-,1 = (D-^ + 7 l i V V « i ) ) - ^ '. (3.15). es decir, se puede definir un modelo incremental en el cual la matriz tangente (véase, [52]) es. M<«-D.«-. v / « , ) : D«„ : V / « , ). *'•'''. La conclusión es que la linealización de la aplicación del retorno mediante la matriz tangente consistente equivale a aproximar el estado de tensión a tiempo í¿+i como a-i+i =ai + — (ír¿+i) : D : (sr^+i - e^). (3.17). siendo -^ (f^i+i) la derivada de la proyección al punto más cercano, y resolver der esta ecuación iterativamente k+l. <-U{ - < i + ^ « i ). •• ^ •• (^m - ^i). (3-18). siendo Mti = ^ « i ) : D. (3.19). la matriz tangente consistente con el método de Newton. Como es sabido, se garantiza la convergencia cuadrática siempre que exista el operador ^(^i) = ^ ( ^ 0. (3.20). en cualquier conjxmto cerrcido E C S3, y se cumplan las condiciones de que J{(Ti) sea continuo Lipschitz y exista el operador J~^{(TÍ) acotado. Precisamente, esta es la mayor dificultad teórica del método, ya que como se sabe la proyección no es diferenciable en los puntos de la frontera del convexo K y por tanto no se puede probar la convergencia si el estado trial está justo sobre dicha frontera..

(29) Capítulo 3. Discretización. temporal. 25. En los trabajos más recientes de Axelsson y Blaheta (véanse[9] y [10]) se han introducido regularizaciones de la proyección, (que garantizcín la continuidad y la monotonía fuerte local y permiten probar la convergencia para modificaciones del método de Newton), que usan como matriz tangente simplificaciones como la matriz de rigidez iaicial M^'^j. Sin embargo, el mayor inconveniente niunérico que presenta el método es precisamente el cálculo de Df^_i (3.15) porque supone la inversión del Hessiano V «S» V/(<Tf^i), que es un problema m u y complicado sobre todo cuando la función de fluencia tiene dependencia de otros invariantes además del invariante J2 de la tensión.. 3.2.1. Matriz tangente consistente para el modelo de plasticidad de von Mises. Como se recoge en multitud de trabajos y como se comprobará más adelante (6.44, 6.73), en el caso de la superficie de fluencia de von Mises el gradiente y el Hessiano se pueden expresar como V/(o-) = P. pV^ficr). (3.21). =1-^101--®3 p p. siendo p — ^/sTs el módulo de la coraponente desviadora de la tensión. Si se fija una base en el espacio de tensiones, es posible representar el gradiente por xm vector a y el Hessiano y eLtensor elástico por los tensores I y D respectivamente. Es fácil probar que el Hessiano es u n reflector elemental, ( 1 : 1 = 1). Por esta razón, es posible invertir el Hessiano que aparece en (3.15) mediante la fórmula de Sherman-Morrison D = (D-i + ^í)-^ = D - ^ - ^ í . P P. •. (3.22). Incluso para el c ^ o de plasticidad con endurecirmento mixto lineal es posible aplicar esta propiedad del Hessiano de la función de fluencia de von Mises. E n trabajos previos (véase [2]) sé ha introducido la siguiente notación vectorial para la tensión generalizada {(r,.ct,^) € S3 X Sz X i2 « R}^ y se ha obtenido la siguiente expresión para la matriz D € Mis. D=. ^ ( 5 i l D - 2G6il 2G62Í ^^^^-{1 ( / - < 5 262Í) Í) 2G62I :0 0. 0. 0O l/Hi. (3.23).

(30) Capítulo 3. Discretización temporal. 26. siendo. parámetros que miden la distancia relativa del estado trial al convexo. Es fácil comprobar que el módulo del gradiente es constante _. 9 O". e = VficT, a, e) : D : V/(ír, a, C) - 2G + -. o. ^ + -H,so. (3.25). y Uegar a obtener que la matiiz tangente consistente es |^D-2G5ií-(f)2(a(g)a). 2G6^^-^^{a®a). 2G8^1 + ^^{a®d) 2G. Í2^. -f^f^. ^(I-a)-(^f(a®a) _2_ [2TT. -*. \. ^^[\Ji,^a _1. 2_. (3.26) Se puede observar que aunque la matriz tangente consistente pcira el caso de plasticidad perfecta es siempre singular, ya que. ". '. \. V/(<7) : D : V/(<T). ;. '^ '. sin embargo, en el caso de existir endurecimiento desaparece la singularidad. En efecto, la submatriz de M (3.26) M-D-2G5ií-(^)2(a®a). (3.28). 2C = K(l o 1) + 2^(1 - <5i)/rfe. + 2C?(5i - —)(a ® a), conocida como matriz tangente consistente reducida (véase [5]) se puede invertir mediante la fórmula de Sherman-Morrison generalizada. (3.29) = 5^(1® 1) + ¿ I , e . + ^ j ( ^ g ^ ( a ® a), y obtener. ^. = 9^^^ ^ ^^ + 2 0 ( 1 3 ^ ^ - - + 2G(1 - ^0(1 - 2G/k^) ^^ ^ '^ (3.30).

(31) Capítulo 3. Discretización. temporal. 27. debido a que ¿i < 1 y 1 — 2G/k'^ ^ O cuando hay endurecimiento. En el citado trabajo {yéa&e, [2]) además se calcula mediante cálculo simbólico el espectro de M 0-^ = 12C?(1 - ^ ) , 2G{1 - 6{) - cuádruple-,. ZK\. ,. (3.31). lo que permite comprobar que está acotado y asegurar el carácter definido positivo de Mj!^: siempre que se cxunpla la condición 2G<k^^. Hiso + H,^ > O,. (3.32). conocida como condición de que no exista reblandecimiento (véase [29], página. 517). El carácter definido positivo de la matriz tangente juega xm. papel fundamental para garantizar la elipticidad de los problemas numéricos de la elastoplasticidad (véase [50]).. 3.3. Algoritmos de punto fijo. Una alternativa al algoritmo anterior es aplicar el siguiente algoritmo de dualidad, que se basa en las propiedades de los operadores maximales monótonos (véase [55], página. 71) y que se utiliza para la resolución de desigualdades variacionales elípticas como (3.3) . Eíste algoritmo, fue presentado en el trabajo de Bermúdez y Moreno (véase [8]) y ha sido aphcado con éxito en resolución de problemas de elastoplasticideid (véanse [28] y [30]). Sin embcirgo, tiene el inconveniente de que introduce un parámetro cuya elección condiciona en gran medida su eficiencia. En trabajos recientes (véase [38]) se completa la prueba de la convergencia lineal del algoritmo y se muestra la relación entre el parámetro y la consteinte asintótica de error. Sin embargo, en los experimentos numéricos del último capítulo se escoge el parámetro igual al incremento de tiempo, tal como se hace en los citados trabajos de Hmdobro y Llanas Si se discretiza la variable tiempo en la formulación en tensiones y se supone cierta la hipótesis de descomposición aditiva del cono normal, se obtienen las inecuaciones siguientes O e A ( ^ ^ ^ ) + dlE(u^,){ái^^). + Ap,+i. ^333^. siendo A el operador lineal representante de la forma büineal a. Esta inecuaciones se pueden expresar como o-i+i = PE{ti+i){o-i - A i pi+i) p¿+i = dGx{d-i+i + Api+i), A > O. (3.34).

(32) Capítulo 3. Discretización temporal. 28. siendo dGx = ~^ ^ la subdiferencial de G\ = ~^^ (aproximación Yosida de la función indicadora del conjunto convexo ) y PE{ti+i) la proyección sobre E{ti-^-i) según la métrica inducida por D"~^. Comentario 3.1 Una alternativa a la aproximación Yosida es utilizar la aproximación de Norfon-Hoff de la función indicadora del convexo K (véanse [51] y 17]) Gx{^)=^^e{á)'^. con9 = ^yi + {I-P)cy. (3.35). cuya subdiferencial es dGx = ^. ^ (3.36) 9^ que tiene la ventaja de que es regular, tal como se ilustra en la figura 3.1. Las ecuaciones (3.34) se resuelven mediante el siguiente esquema numérico de punto fijo. cr'a¡ = PEÍU^A^Í - Ai PUD ,fc+i _ 1 — PK ¡^h. (3.37). . k. p f í i = ^ ^ ( < i + Apf+i), A>0 con la inicialización ¿^•+1 = ^i. (3.38). Pi'+i = PiCoraentEirio 3,2 Con esta inicialización, la primera iteración en el multiplicador lo deja invariante PII. =. ^-^i^li. + PPII) =. ^-^i^i. + PPi) = Pi = PII-. (3-39). Por tanto el orden de las iteraciones en (3.37) puede ser invertido y calcular primero p'^^l y después cr^^j. La primera ecuación (3.37) se puede expresar como D-^ : {á\t¡ - (cr, - Ai p\tl)). = B{^tl. - ^i). (3-40). (Ai p\tl - D - ' : B{ü]tl - ü,)).. (3.41). y por tanto á^tl = ^i-.

(33) Capítulo 3. Discretización. temporal. 29. SGA(X). 10. 0.5. 0.5. 5A. 1 a). 1.5. 1. 1.5. 2. 1.5. 2. 2 b). SGi (ií. (K). 20. 10. 0.5. 1. ' ^ ^. 11 -" I. -20. d). Figura 3.1: Aproximaciones a la función indicadora del intervalo [0,1] y a su sub- diferencial, a-b) Aproximación Yosida. c-d) Aproximación Norton-Hoff..

(34) Capítulo 3. Discretización temporal. 30.

(35) Capítulo 4 Discretización espacial La discretización espacial de los problemas variacioneiles planteados, se realiza mediante el método de Bubnov-Petrov-Galerkin, que esencicilmente consiste en sustituir los espacios funcionales de la formulación lagrangiana incremental por subespacios de dimensión finita. La elección de estos subespacios finitos se lleva a cabo mediante ima partición del dominio Cl ( c R^), en simplex (elementos) Q=. [j Q\. Q'n Í2^' = 0, ¿ 7¿ i. (4.1). e=l. y un espacio de polinomios Pfc(í7) que permite definir la transformación isopciramétrica. <t>:ieñ^xeü%. x = <t>{0 = J]:r^iV,(0,. (4.2). k=l. que transforma cada elemento Q.^ en el elemento standard f2, siendo x], las coordenadas de los Unen nodos del elemento e y Nk{^) C Pfc(O) las funciones de forma (véase [58], página. 139). De este modo el espacio de desplazamientos V se aproxima porV^ ÍT-nen. Vh = <^e. [C^(^)]^ t f lae = Y, 4 ^ f c ( 0 = N'd\. r € R^^^^ \. (4.3). siendo N^ G 2 X (2 X nen) la matriz de funciones de forma del elemento e—ésimo y d^ el vector que recoge los desplazamiento nodales del elemento. Es decir, se obtiene el campo de desplazamientos interpolando los desplazamientos en los nodos con las mismas funciones de forma que en la transformación isopaxamétrica (4.2). Esta interpolación es conforme, no existen saltos en los desplazamientos al pasar de un elemento a otro. 31.

(36) Capítulo 4. Discretización. espacial. 32. Para garantizar que la solución aproximada obtenida converja a la solución exacta, es preciso que las funciones de forma verifiquen las propiedades de suavidad en el interior del elemento, de continuidad en la frontera de los elementos y de interpolación exacta en los nodos (véase [27], página. 109). Sin embargo, existen elementos finitos que proporcionan soluciones convergentes sin cumplir alguna de estas condiciones, por ejemplo la continuidad en la frontera. El tratamiento de problemas inherentes al cálculo numérico en los problemas de plasticidad computacional, como bloqueos de malla, problemas de convergencia en modelos altamente no lineales,..etc. y de otros problemas asociados a la plasticidad bajo grandes deformaciones, h a n Uevado en los últimos años al desarrollo de nuevas formulaciones y de nuevos tipos de elementos finitos. Así a principios de los años ochenta, partiendo de la formulación dual de HeUinger-Reisner (1.54) y considerando como campos independientes el desplazamiento y la tensión, empezaron a usarse elementos mixtos. Eíste tipo de formulación variacional permite incorporar restricciones difíciles de cxmíphr exactamente por los campos aproximados mediante elementos finitos, (como puede ser la condición de Vw = O que aparece en el caso de incompresibilidad elástica y es posible introducirla en la formulación variacional mediante u n multiplicador de Lagrange, que en este caso es la presión). A diferencia de los elementos standard, los elementos mistos permiten calcular directamente otros campos más relevantes, como ocurre con la tensión en el problema de elastoplasticidad, sin necesidad de reconstruirlos a partir del desplazamiento, proceso éste que requiere diferenciación, lo que imphca una pérdida de precisión. Primero se usaron de forma empírica, como el elemento B-barra de Hughes de 1980 después se fundamentaron variacionalmente, como el elemento de tensiones supuestas de Pian-Sumihara en 1984. Como el funcional a partir del cual se enuncia el principio variacional (1.54) depende de otros campos además de los desplazamientos, es preciso introducir elementos finitos mixtos que aproximen u n segundo campo adicional al de desplazcimientos (véase [11]). El tercer campo se elimina introduciendo \ma condición de ortogonahdad. Los primeros elementos mixtos usados en plasticidad fueron introducidos por Naghtegaal en 1974, a partir de la formulación volumétrica media. Después, se desarrolló la formulación B-barra de Hughes en 1980, cuya justificación variacional fue puesta de manifiesto por Hughes y Simó en 1986 (véase [48], página. 176). Precisamente el elemento mixto B-barra, que es del tipo conocido como elemento mixto de deformaciones supuestas porque adopta como campos independientes el desplazamiento y la deformación, es el que se desarrolla.

(37) CapítulQ>4. Discretización. espaxiied. 33. a continuación y el que será usado en este trabajo. Aunque actualmente se usan elementos mixtos con deformaciones mejoradas supuestas, desarrollados por Rifai, Simó y Armero a principios de los años noventa, que tienen un buen comportcimiento para problemas de captura de bandas de localización, plasticidad no asociativa,..etc. (véase [22]).. 4.1. Formulación de elementos finitos con deformaciones supuestas. Unas consideraciones previas a la discretización espacial mediante elementos finitos de deformaciones supuestas son : • Ya que el algoritmo del retorno permite obtener el estado de tensión a tiempo í¿+i a partir del estado del sistema a tiempo í¿, bastaría conocer el incremento de deformación £¿+1 — erj en cada incremento de carga para poder conocer el incremento de deformación plástica y en consecuencia todo el estado del sistema. Por esta razón, la integración de las ecuaciones de la plasticidad mediante el algoritmo del retorno se dice que es u n problema "conducido en deformación" (véase [16]), porque conocida la historia de la deformación y el estado inicial del sistema es posible determinar la evolución del mismo. Por este motivo, se hace conveniente usar como campos independientes en el funcional (1-54) los desplazamientos y la deformación. • Se supondrá cierta la localización de la proyección y por tanto que la reglas de flujo plástico y de endurecimiento, así como la condición de carga-descarga se verifican en cada pimito del sólido y en cada instante de tiempo. • Una última observación es que en la literatura de elementos fiíñtos es típico usar notación vectorial, por eso en esta sección el desplazamiento, la tensión y la deformeición serán vectores, el tensor elástico u n a matriz y el producto ":" se siistituye por el producto matricial. El campo de deformaciones compatibles con el campo de desplazamientos es.

(38) Capítulo 4. Discretización espacial. Q, 34. donde S® es la matriz de deformación, que paira modelos 2D de deformación plana viene dado por la siguiente expresión. Sin embargo, en el elemento mixto que se utiliza en este trabajo, se considera \ma deformación que debe pertenecer al espacio finito de deformaciones supuestas e^ e [L2(fi)]^ e%<. = J2 dlMO. = E'd\ cf e J?^^'^^^ \. (4.6). siendo Ek{^) una matriz que recoge la nueva colección de funciones de forma que se utilizan para interpolar la deformación. De igual modo la tensión debe pertenecer al espacio finito a"^ e [L2{n)]\ CT%. = J^ dlSkiO = S'd\. d- e i?2^^^^ \. (4.7). siendo Sk{0 funciones de forma que en general no tienen porque coincidir con las de la deformación. Además, entre estos campos deben existir imas relaciones de ortogonalidad, que se obtienen de obligar a que las condiciones de lagrangiano estacionario se verifiquen en cada elemento. Es decir, se deben cumplir las siguientes igualdades / r {V'üi+i - ei+i)dü = í e(D(£,+a - ^ . J - <T,+i)dO = O,. (4.8). para cualquier (C,r) E Q% X Q^. Estas condiciones se expresan como. < i | a ^ = S^H-'jiE^Y fie. H = f{S^y E^ dü a^. D (£,+1 - 4,1) dfi. (4.9).

(39) Capítulo 4. Discretización espacial. 35. y por tanto, se puede definir un operador deformaxjión incompatible V que permite obtener la deformación supuesta a partir del campo de desplazamientos según. (4.10). B^ = E^H-^ í{S^y B^ dn.. Este operador deformación incompatible V es importctate porque permite eliminar la tensión de la ecuación de equilibrio en su versión débil (2.14), como si de im modelo en desplazamientos se tratase, con tan sólo sustituir el operador deformación V por el operador deformación incompatible V . En efecto, si se sustituye (4.10) en la ecuación de equilibrio (2.14) se obtiene la ecuación / ffi+iW'lj' dQ - gi+i{lf). =O. (4.11) gi+ii'lf) = / fi+ilfdQ,+. /. i¡+ilfdr. que se convierte en la expresión siguiente / [ S'H-'. Í{E'Y D(e,+i - ef+i) dü j V'lfdQ. = / " D ( £ , + I - 4 , 1 ) IE'H-' í{s^f v'if Í2. =. /"D(£¿+I. \. f2. - gi^i{lf). (4.12). dn\dQ-^,H.i(if) /. - £ f + i ) V V dfi - Qi+lilf) = o. Q. que sólo depende de los desplazamientos. Para garantizar que la sustitución del operador B^ compatible (4.5) por un operador B supuesto (4.10) sea consistente con la formulación variacional, se debe cumplir la relación siguiente que fue obtenida por Simó y Hughes en 1986 (véase [46], página 177) ÍB^B^^. dn=. ÍB^BB^. dü. (4.13).

(40) Capítulo 4. Discretización. espacial. 36. Una elección posible del operador B es sustituir en la matriz B^ la parte Hdrostática por la parte hidrostática de la matriz B^-media, obtenida integrando B^ en el elemento y dividiéndola por el área (véase [27], página. 234). Esta elección conocida como B — barra se debe a Hughes (1980) y es una generalización de la formulación dilatacional media de Nagtegaal-Parks-Rice (1978) que ha sido amphamente usada con buenos resxiltados numéricos. Si se introduce en la ecuación de equilibrio (4.11) la linealización de la proyección (3.18), y se considera la interpolación (4.4) con la matriz S , se obtiene la ecuación matricial numel. E. ». numel. / {ByyíUB\M^)l,dü+Y,. „. / {By<Tl,dü-g,^, = Q, (4.14). siendo numel. „. 9i-,i =J2. „. I {N'fíi+i^dü. + / (iV^)*í¡+i-tfdr,. e = l Qs. (4.15). pe. el vector de fuerzas externas y {¿^d^)^_^i el incremento de desplazamientos nodales en la iteración k-ésima de Newton. Se t r a t a por tanto de resolver el sistema de ecuaciones lineales -^m(Aá)li = A^ti. (4.16). cuya matriz de coeficientes (matriz de rigidez) se obtiene ensamblando cada matriz de rigid^; elemental. ( ^ ' ) l i = / (F)^MtiFdfi. (4.17). cuyo vector de términos independientes se calcula a partir del estado de tensión en la iteración anterior segria numel. A^,+i. =^,+1. -Y,. ». (Bjal,. dn. (4.18). y cuya resolución permite ir actualizando los desplazamientos según < ^ i ' = 4 + 1 + (Aá)f+i.. (4.19).

(41) Capítulo 4. Discretización espacial. 37. Por último, se puede observar que la tensión crf_^-¡^ obtenida en cada iteración de Newton no verifica la ecuación de equilibrio y en cada iteración queda el siguiente vector residual numel. Rli = E. „. / (^')'^ti dn - g,^,. (4.20). que coincide con el segundo término del sistema lineal (4.16). Asociado a este vector residual se define la energía residual *m=A^m(Aá)li. (4.21). Se plantea el siguiente algoritnao para resolver el problema formulado en tensiones, con la linealización de la aplicación del retomo mediante la matriz tangente consistente y la discretización espacial mediante elementos finitos mixtos con deformaciones supuestas: Algoritmo 4.1 1) Conocido el estado a tiempo í¿, se inicializa el índice de iteración de Newton k = O y las variables desplazamiento y tensión triol d°+i = O y {a*f = a,. (4.22). 2) Se incrementa el índice de iteración de Newton k = k + I y se calcula el segundo término del sistema (4-18) y la matriz de rigidez (4-iV> ^ portir de la matriz tangente consistente y de la proyección del estado triol sobre el convexo crl.-PKicrr. y. Mt, = ^ « , ) : D. (4.23). 3) Se resuelve el sistema lineal y se actualizan los variables (o-*)'^+i = {a*f + D B (Ad)f+i. ^. '. 4) Se verifica si la energía residual (4-21) es suficientemente pequeña. En caso afirmativo se incrementa el tiempo, de lo contrario se vuelve al paso 2. Si la ecuación de equilibrio (4.11) se linealiza, introduciendo el esquema (3.37) de integración de las ecuaciones constitutivas mediante el algoritmo de punto fijo presentado en la sección 3.3, resulta. I / {ByBB\Ad%,dQ. + xY^. / (Bjpl.dQ - g,+^ + g, = O (4.25).

(42) Capítulo 4. Discretización espacial. 38. Se trata por tanto de resolver el sistema de ecuaciones lineales K,+^{Ad}l,=Agl,. (4.26). cuya matriz de coeficientes no depende del índice de iteración A; y se obtiene ensamblando cada matriz de rigidez elemental. iK%+, = I (BjBTdQ.. (4.27). El vector de términos independientes se calcula a partir del multiplicador en la iteración anterior según numel. Agt+i = 9i+i -9Í + PY. e=l. «. / ( ^ ' ) * P t i d^. (4-28). J^^. y cuya resolución permite ir actualizando los desplazamientos según. 4 5 - 4 + i + (Ad)ti-. (4.29). Por último, se puede observar que el iacremento de desplazcimientos (Ací)^^j obtenido en cada iteración tiene ima energía residual elástica ^m=A^m(Aá)m. (4-30). Como alternativa al algoritmo anterior, se plantea el siguiente algoritmo para resolver el problema formulado en tensiones, mediante el algoritmo de pimto ñjo de la sección 3.3 y la discretización espacial mediante elementos finitos mixtos con deformaciones supuestas: Algoritmo 4.2 1) Conocido el estado a tiempo ti, se calcula la matriz de rigidez (4-27)^ se inicializa el índice de iteración k = O y las variables tensión y multiplicador < i = o-í y pf+i = Pi. (4.31). 2) Se incrementa el índice de iteración k = k + 1 y se calcula el segundo término del sistema (4-26) a partir de la proyección del parámetro sobre el convexo Pt 1 = ^. ^. « ¡. + PPi^i). (4-32).

(43) Capítulo 4. Discretización espacial. 39. 3) Se resuelve el sistema lineal y se actualizan las variables. d\tl = dli + {^d%,. (4.33). (ír*)^+i = (a*f + D5'(Ad)f^i 4) Se verifica si la energía residual elástica (4-30) es suficientemente pequeña. En caso afirmativo se incrementa el tiempo, de lo contrario se vuelve al paso 2. Comentcirio 4.1 Se pueden construir algoritmos intermedios tipo Newton con multiplicador, como el siguiente, que consiste en resolver la ecuación (3.34,h) p¿+i = dGx{<Ti+i + Ap¿+i), A > O. (4.34). mediante el esquema de Newton Piti = P'-fi + [^G'xi^li. + >^Pli)]{^iti. + APm - « 1 + Apti)) (4-35). siendo dG',^^-^. (4.36). y Pn IC' proyección sobre el plano tangente aK, . Se trata por tanto de resolver el algoritmo 4-2, sustituyendo la ecuación (4-32) del paso 2 por la ecuación (4-34) expresada como P I I = P m + D . - i D - ^ ( p t i - ptl^).. (4.37). D , = [ : ^ ^ ( a - t , + Ap^^,)](I-AD). (4.38). Donde. es una modificación del tensor elástico que se va actualizando en cada iteración. Este algoritmo está siendo utilizado con notable éxito en el estudio de inecuaciones variacionales en el campo de la economía. La propiedad (2.25), de contractividad para el campo de tensiones en el caso de plasticidad con endurecimiento, garantiza que los algoritmos implícitos propuestos son B-estables (véase [47]). La convergencia de diciios cilgoritmos depende del tipo de eleraento finito usado. De hecho, el método de los elementos finitos no proporciona una medida directa de la exactitud de la aproximación realizada, y sólo se puede.

(44) Capítulo 4. Discretización. espacial. 40. estimar el error a posteriori mediante expresiones propuestas en trabajos realizados a pcirtir de 1970 (véanse [12] y [22]). El elemento finito escogido debe cxnnplir dos condiciones para que se verifique la convergencia: el test de la pcircela (que consiste en cpmprobar si el elemento es capaz de representar de manera exacta los estados de tensión constante, que se obtienen al imponer campos de desplazamientos lineales) y la condición de Babuska-Brezzi discretizada siguiente 3/5^ > O tal que sup ^ T ^. > /? \\vn\L W^ 6 V^.. (4.39). Esta condición es ciertamente complicada de cxmapür si los espacios aproximados son espacios de polinomios de bajo grado..

(45) Capítulo 5 Sistemas de invariantes para tensores simétricos El teorema de representación espectral de tensores simétricos de orden dos permite obtener u n sistema {e¿}¿^j de tensores simétricos de orden dos asociado al sistema {(JÍ}Í^I de autovalores de <T. E n términos de este sistema de invariantes y del sistema de tensores asociados, el tensor a se expresa como a = cTiCi + 0-262 + 0-363.. E n la secciones 5.2 y 5.3 se expresa la tensión en términos de otros sistemas de invariantes y de sus sistemas de tensores asociados. E n las citeidas secciones, se estudian las propiedades geométricas de estos triedros que serán utilizadas en los siguientes capíttilos. Las propiedades del sólido que sean invariantes bajo cambios de base, como el nivel de plasticidad que se determina a partir de la función de fluencia, se pueden estudiar medicinte medidas escalcires de la tensión. Algimas de estas medidas escalares (invariantes) se empezaron a usar con el desarrollo de la teoría matemática de la elasticidad de Cauchy en el siglo XVIII.. 5.1. Sistemas de invariantes principales. Sea {(7¿}¿^i C -ñ el conjimto de autovalores de <J. Se asocia al sistema de autovalores el triedro móvü {6¿}¿^j C 63 definido como ei = Ci® ii,. (5.1). a partir de un triedro ortonormal {éí}¿^j C R^de vectores propios de cr crei = aiCi y e^ • é} = % . 41. (5.2).

(46) Capítulo 5. Sistemas de invariantes para tensores simétricos. 42. Los tensores del triedro {ej}^^^ C S3 son proyectores y permiten expresar el tensor identidad de segundo orden como 1 = 61+62+63,. (5.3). pero sobre todo, tienen la propiedad geométrica de formar u n sistema ortonormal respecto del producto escalar sobre 5*3 definido mediante la doble contracción ":". En las siguientes secciones se introducirán otros sistemas de invariantes y triedros asociados que tengan esta propiedad. El teorema de representación espectral de tensores simétricos de orden dos permite expresar cualquier tensor cr E 8$ como la sigmente combinación lineal cr = cTiei + 0-262 + 0-363. (5-4). del sistema ortonormal de tensores {ei}¿^jdefimdo anteriormente. El conjtmto {o-¿}¿^j C -ñ de autovalores de cr, se obtiene calculando las raíces del polinomio característico de cr, en el cual aparece el primer sistema de invariantes principales h = tr{a),. h = \{tr{(Tf. - tr{a'')),. h = det(o-).. (5.5). El segundo sistema de invariantes principales se obtiene al calculcir las raíces del polinomio característico de s, parte desviadora del tensor cr, s = ( l - ^ l ® l j. :<7 = í r - ; ? l .. (5.6). El tensor s que tiene la ventaja de que, aún teniendo el mismo sistema de vectores propios que <T, tiene traza nula y su polinomio característico es más sencillo porque tiene a lo smno dos invariantes no nulos J. = \tT{^%. Jz = \tT{^^). (5.7). P a r a calcular analíticamente los tres autovalores reales del tensor simétrico s se introduce en su polinomio característico p(A) = — A^ + J2A+ J3 el cambio de variable X = 2J^cosa,. (5.8). (véase [36], página 229) y se resuelve la ecuación siguiente / J \3/2 - 2 í y j (4cos^Q!-3coso;) + J 3 = 0,. (5.9).

(47) Capítulo 5. Sistemas de invariantes para tensores simétricos. 43. usando la identidad trigonométrica CCS 3a; = 4 cos^ a — 3 eos a.. (5.10). De este modo se obtiene. COS3Q;. 3V3 Js — —-1^.. /Kni\ (5-11). Sea a el ángulo que verifica la ecuación anterior jimto con la condición O < 3oí < TT, entonces o; — ^ J 3Q; + Y" también verifican la ecuación. Los autovalores del tensor s son >2. Si = 2\ •—coso;, o í^. f. (5.12) 27r. «2 = 2 y y COs(o;-y), «3 =. 2yycos(a; + y ) ,. y los autovalores del tensor a son c r i = p +2-1/—cosa, cr2 = p + 2y y. COS(Q; -. (5.13) y),. X . . 27r, (^3=P + 2yyCOs(Q; + y ) . Parece conveniente usar el invariante tensorial a, que es conocido como ángulo de Lode, definido a partir de la ecuación (5.11). Sin embargo, el ángulo a no queda completamente definido. De hecho existen 6 ángulos de Lode pcira cada tensor ar. Si escogemos O < a < | en la definición de ángulo de Lode, entonces la citada ecuación es verificada por los ángulos ak = ±\a. +^ ] ,. A; = - 1 , 0 , 1 .. (5.14).

(48) Capítulo 5. Sistemas de invariantes para tensores simétricos. 5.2. 44. Sistema de invariantes de Haigh-Westergaard. Se llama sistema de mvariantes de Haigh-Westergaard cil sistema de iavariantes {^, p, a} definido por las ecuaciones. (5.15) a = I arceos (. ^ - ^. El triedro de tensores asociado a este sistema de invariantes es ei = v e , 62 = Vp, eg = pVa.. (5.16). Proposición. 5.1 El triedro asociado al sistema de invariantes {CJP, « } es un sistema ortonormal de tensores que permite expresar el tensor a como or = ^e^+pB2, y que se puede expresar en términos. (5.17). de las potencias de s como. 1,. (5.18). '" = vi's 62 =. -,. P. 63 = — :. Ve. /s2. cosSo; s. 1^ 3 ' Ve p. sin 3a; \P^ para cualquier tensor a con ángulo de Lode a € (0,7r/3). P r u e b a . Siguiendo el razonamiento expuesto en [3] se empieza por encontrar las derivadas de los invariantes. Es muy sencillo a partir de las definiciones h = <^ih Ji — 2 ^ y % '. "^3 = -^SijSjkSki,. (5.19). vistas en la sección anterior, Uegar a. g ^ = í«. (5.20). dJ2. dJ2. l.^iN. daij. dsu. 3. OCfij. OSj^i. ó. ó.

(49) Capítulo 5. Sistemas de invariante. para tensores simétricos. 45. o lo que es lo mismo V/i = l,. VJ2-S,. VJ3 = s 2 - ^ J 2 l .. (5.21). Si se tiene en cuenta que. y las contracciones de tensores s : 1 = O,. s : s = 2 J2. (5.23). resulta fácil probar que ei : ej = 6ÍJ, i,j = l,2. Si la igualdad que aparece en la definición de ángulo de Lode se escribe de la forma siguiente 2^. eos So; = sVdJs. (5.24). y se deriva respecto de a cada término de la misma, se obtiene la siguiente expresión 3 /— / 2 \ - y ^ c o s S o ! s—G-i/oTf cos3a Va = s V s ( s^ — - J 2 I I. (5.25). que permite Uegar a la relación entre los elementos del triedro siguiente v6. / 2. eos3a. 1. Esta relación es independiente, salvo el signo, de la elección del ángulo de Lode y juega un papel crucial, ya que junto con las contracciones de tensores, s^:l. = 2J2,. s^:s. = 3J3,. s^ : s^ = 2Jl. (5.27). derivadas del teorema de Cayley-Hamüton, - s ^ + J2S + J3I = O,. (5.28). permiten probar la proposición. • Las singularidades que aparecen en (5.18) no permiten definir el triedro para los meridianos de Rendxilic o; = O ó | . La ampliación de la definición del triedro asociado a cualquier tensor cr se puede hacer mediante el siguiente corolario..

(50) Capítulo 5. Sistemas de invariantes p a r a tensores simétricc^. 46. Corolario 5.1 Los vectores propios de u son vectores propios de cada tensor del triedro {e¿}¿^j . En una base de vectores propios de cr el triedro asociado al sistema de invariantes de Haigh-Westergaard sólo depende del ángulo de Lode. P r u e b a . Las ecuaciones (5.18) permiten expresan cada tensor del triedro asociado al sistema de invariantes de Haigh-Westergaard como combinación lineal de s, s^ y I. Por tanto cualquier vector propio de s es vector propio de cada tensor de dicho triedro. La prueba de la primera afirmación del corolario se completa si se tiene en cuenta que a = s+pl y por tanto, (T tiene los mismos vectores propios que s. Según (5.12), en una base de vectores propios de (7 la parte desviadora de <T es ^ / cosa. O. O. \. /. O cos{a - f ) O . (5.29) "^ \ O O cos(o; + f ) J Se llama P a una matriz ortonormal cuyas columnas contienen los vectores propios de s t£il que s =PsP*. Basta con sustituir s = P s P * en las ecuaciones (5.18) y simplificar las funciones trigonométricas (^) para obtener que e^ = PeiP*, siendo. 1 0 0\ 0 1 0 0 0 1 coso;. 0 0. y V. K. y. 0. <zos(a — 0 sino; 0 sin(Q; 0 0 0. f) 2-K\. 3 /. 0 0. (5.30). eos ( a +. 0 0 sin(Q; -f. f). 27r\. los elementos del triedro en la base de vectores propios formada por las columnas de P. Se comprueba que el triedro {ej}¿^j sólo depende del ángulo de Lode de cr. • Este resultado permite completar la construcción del triedro, definiéndolo para los tensores cr a partir de una matriz P de vectores propios de cr y de (5.30) como {Pe¿P*}J^i f '•Este tipo de cálculos simbólicos que pueden resultar tediosos se ha realizado con Mathematica 4.0..

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