Matrices y determinantes Ejercicios

6.13.

EJERCICIOS

1. Las cantidades compradas, en litros, de tres clases de vino, se reflejan en la matriz fila:

B T R

L=180 250 200

donde B=Blanco, T=Tinto yR=Rosado, ylos precios pagados por cada litro en la matriz columna:

P =  2

₈

15 1

 BT

R

Halla los productos L·P y P·L dando una interpretaci´on de los resultados obtenidos.

2. Dado el grafo de la figura:

Calcula su matriz de adyacencia, R. Calcula la matriz R2, ¿qu´e representan los elementos de esta matriz respecto al grafo?.

3. En la siguiente cadena de igualdades indica cu´al no es siempre correcta:

(A+B)·(A−B) =A·(A−B) +B·(A−B) =A·A−A·B+B·A−B·B =

=A2−A·B+A·B−B2 =A2−B2

4. Una empresa fabrica 3 tipos de art´ıculos R, S yT. Los precios de coste ylos de venta por unidad yel n´umero de unidades vendidas de cada art´ıculo quedan reflejadas en esta tabla:

Precio de coste Precio de venta Unidades vendidas anualmente

R 6 18 2240

S 9’2 28 1625

T 14’3 40 842

Sabemos que las matrices de costes e ingresos, C e I, son diagonales yque la matriz de venta , V, es una matriz fila.

a) Determina las matrices C, I yV.

b) Obt´en, a partir de los anteriores, la matriz de ingresos anuales, A, correspondiente a los tres art´ıculos, la matriz de gastos anuales, G, yla de beneficios anuales, B.

5. Dadas las matrices:

A=

1 2 3 2 1 1

B = 

−21 02

−1 −1 

 C=

1 −1 1 0

Se pide obtener:

6. Calcula las inversas, si existen, utilizando el m´etodo de Gauss, de las siguientes matrices:

A=

0 1 2 0

B =

1 −2 3 4

C =

1 2 3 6

D= 

−11 10 23 1 1 1

  E =



23 −11 02 5 0 1

  F =



10 20 31 4 9 1

 

7. Calcula, utilizando determinantes, las inversas de las matrices del ejercicio anterior.

8. Un fabricante produce 3 tipos de clavos, de aluminio (A), de cobre (Q) yde acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1;1’5;2 y2’5 cent´ımetros con los precios respectivos siguientes:

Clavos A: 0’02 0’03 0’04 0’05 (en¿)

Clavos Q: 0’03 0’05 0’06 0’08 (en¿)

Clavos H: 0’04 0’06 0’08 0’1 (en¿)

Sabiendo que en un minuto se producen:

De 1 cm de longitud: 100 A 50 Q 700 H

De 1’5 cm de longitud: 200 A 20 Q 600 H

De 2 cm de longitud: 500 A 30 Q 400 H

De 2’5 cm de longitud: 300 A 10 Q 800 H

Se pide:

a) Resumir la informaci´on anterior en dos matricesM y N, siendoM de tama˜no 3x4 yrecoge la producci´on por minuto yN de tama˜no 4x3 que recoge los precios.

b) Calcular los elementos de la diagonal principal deM ·N ydar su significado.

c) Hacer lo mismo paraN ·M.

9. Dada la matrizA= 

21 23 11 1 2 2



, se pide:

a) Calcular (A−I3)2·(A−5I3), siendo I3 la matriz identidad correspondiente.

b) ObtenerAtyrazonar si existe A−1

10. Calcular, sin desarrollar, aplicando yjustificando las propiedades utilizadas de los determinantes:

a a2 a3 b b2 b3 c c2 _c3

11. a) Calcular una matrizX tal que verifique la igualdad A·X=B, siendo:

A=

2 3 1 2

, B=

1 1 2 −1

b) ¿Verifica tambi´en la matrizX la igualdad X·A=B?

12. Dada la matrizA= 

 52 −−41 21

−4 4 −1 

, comprobar queA2= 2A−I3, siendoI3la matriz identidad.

13. Dadas las matrices:A=

1 2 2 3

, B=

−3 2 2 −1

, calcular:

A+B

2 , (A−B)

2_{, A}−1_{, B}−1

14. a) ¿Qu´e caracter´ıstica deber´ıan tener las matricesA yB para que se puedan efectuar los pro-ductos AB yBA.

b) Encontrar una matrizX tal que AX+B =C, siendo:

A=

1 1 2 1

, B=

1 1 0 1 2 1

, C =

0 1 1 1 1 3

c) ¿Se puede calcular alguna matrizY tal queY A+B =C?

15. Obtener los valors de x,y yz que verifiquen la siguiente ecuaci´on matricial: 

 12

−1  x+

 12 11

0 1  y

z

=  10

0  

16. Indicar las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes igualdades:

a) 2 8 24 100

= 2 8 0 4

= 8 1 4 0 1

b)

5 30 20 6 9 12 1 −3 0

= 15

1 6 4 2 3 4 1 −3 0 = 15

1 6 4 2 3 4 2 3 4 = 0 17. Resolver la ecuaci´on:

1 −1 2 2 x 1 1 3 x = 10

18. Un constructor hace una urbanizaci´on con tres tipos de viviendas: S(sencillas), N(normales) y L(lujo). Cada vivienda de tipo S tiene 1 ventana grande, 7 medianas y1 peque˜na. Cada vivienda de tipo N tiene 2 ventanas grandes, 9 medianas y2 peque˜nas. Y cada vivienda de tipo L tiene 4 ventanas grandes, 10 medianas y3 peque˜nas.

Cada ventana grande tiene 4 cristales y8 bisagras; cada ventana mediana tiene 2 cristales y4 bisagras; ycada ventana peque˜na tiene 1 cristal y2 bisagras.

a) Escribir una matriz que describa el n´umero ytama˜no de ventanas en cada tipo de vivienda y otra matriz que exprese el n´umero de cristales yel n´umero de bisagras de cada tipo de ventana.

b) Calcular una matriz, a partir de la anteriores, que exprese el n´umero de cristales ybisagras necesarios en cada tipo de vivienda.

19. Encontrar una matrizX que verifiqueX−B2 =AB, siendo:

A= 

11 23 11 0 0 2



 B = 

12 02 −21 0 0 6

 

20. Demostrar, usando las propiedades de los determinantes:

21. Sean A yB dos matrices cuadradas cualesquiera de segundo orden:

a) ¿Es cierta la igualdad (A+B)2 =A2+ 2AB+B2?

b) ¿Y la igualdad (A+B)t=At+Bt?

22. Dada la matrizA=

1 1 1 2

, obtener las matricesB tales queAB=BA. Determinar qu´e matriz

B de las anteriores verifica que B =A−1.

23. Dada la matrizM = 

12 24 −m1 m 2 −1



, donde mes un par´ametro real, se pide:

a) Determinar el rango deM seg´un los distintos valores de m.

b) Calcular el determinante de M sim= 3. Justificar si esa matriz tiene inversa.

c) Dar un valor dem para que la matrizM sea singular (no admita inversa).

24. Resolver la ecuaci´on:

x −1 2x 8 x−1 5

−2 1 0 = 67.

25. Dada la matrizA=

2 1 2 3

, hallar su inversa ycalcularA2−2A.

26. SiA yB son dos matrices cualesquiera, ¿es correcta la siguiente cadena de igualdades?:

(A+B)(A−B) =A(A−B) +B(A−B) =AA−AB+BA+BB =A2−AB+BA+B2 =A2−B2

Justifique la respuesta.

27. Una f´abrica decide distribuir sus excedentes en tres productos alimenticios A, B yC, a cuatro pa´ıses de ´Africa, P1, P2, P3 yP4, seg´un se describe en la matrizM1 (cantidades en toneladas).

Esta f´abrica ha recibido presupuestos de dos empresas para el transporte de los productos a los pa´ıses de destino, como indica la matrizM2 (en ¿ por tonelada).

M1 =

A B C

   

200 100 120 110 130 200 220 200 100 150 160 150

   

P1

P2

P3

P4

M2=

P1 P2 P3 P4

500 450 375 350 510 400 400 350

E1

E2

Efect´ua el producto de las matrices yresponde a las cuestiones:

a) ¿Qu´e representa a11de la matriz producto?

b) ¿Qu´e elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el productoC con la empresa E2

c) Indica qu´e elementos de la matriz producto te permiten decir cu´al es la empresa que m´as barato transporta el producto B a todos los pa´ıses.

28. Sea la matrizA= 

01 00 10 0 1 0

 .

a) Comprueba queA−1 =At.

29. Dada la matrizA=     

1 2

−√3 2

√

3 2

1 2

   

, demuestra que su inversa ysu traspuesta coinciden.

30. Resuelve la ecuaci´on AX=B siendo:

A= 

64 46 −62 2 10 4



 B =  42

4  

31. Determinar la matrizX que satisface la ecuaci´on:

3X+I3 =AB−A2

siendo:

A= 

−21 10 23 3 1 2



 B = 

−21 01 21 3 2 −1

 

eI3 la matriz unidad de orden 3.

32. ¿Puede ocurrir que dos matrices se puedan sumar pero no se puedan multiplicar?

33. En un instituto se imparten los cursos de 1º, 2º, 3ºy 4ºde E.S.O. Los profesores tienen asignado

un n´umero de horas de clase, tutor´ıas yguardias a cubrir, de acuerdo con la siguiente matriz:

M =

Clase Guardias Tutor´ıas

   

20 5 3

18 6 5

22 1 4

25 2 4

   

1º

2º

3º

4º

El colegio paga cada hora de clase a 20¿, cada hora de guardia a 5 ¿ ycada hora de tutor´ıa

a 10¿, seg´un la matriz:

C=  205

10  

Adem´as dispone de 5 profesores para primer curso, 4 para segundo, 6 para tercero y5 para cuarto:

P =5 4 6 5

Calc´ulese cada uno de los siguientes productos de matrices e interpr´etense los resultados:

a)P M b) M C c)P M C

34. Resolver la ecuaci´on matricialAX =BX+C, siendo:

A=

−1 2

−2 0

, B =

−3 1 1 2

, C=

0

−1

35. Consideremos una matrizAde ordenmxnconm=n. Razonar si se puede calcular la expresi´on

AAt−AtA

36. Dadas las matricesC yD:

C= 

−13 −12 20 0 1 0



, D= 

₋11 02 −11 2 0 1

 

se pide:

a) CalcularC−1 yD−1.

b) Calcular la inversa deC·D.

c) Comprobar que: (C·D)−1 =D−1·C−1.

37. Dada la matrizA= 

 12 10 −21

−6 −1 0 

, calcula, si existen, las siguientes matrices:

a) Una matrizX tal que X A=1 0 −1.

b) Una matrizY tal que AY =

1 0 1 0 1 0

.

38. Determina las matricesA yB que son soluciones del sistema:

3A−2B = 

05 59 −04 15 −4 4



 2A+B = 

₋76 16 27 10 −5 −2

 

39. Resuelve la ecuaci´on matricial 2A=AX+B, siendo:

A=

1 0

−1 1

B =

−1 2

−3 1

40. ¿C´omo tienen que ser dos matrices A y B, para que su producto AB sea un escalar? ¿C´omo ser´a entonces BA?

41. Resuelve la ecuaci´on matricialAX =B, siendo:

A=

1 2 2 1

B =

0 3 3 0

42. Considera la ecuaci´on matricial:

X·

2 2 2 m2+m

= 2

2 1 4 0

conmun par´ametro real. Se pide:

a) ¿Para qu´e valores del par´ametromexiste una ´unica matrizXque verifica la ecuaci´on anterior?

b) Si es posible, resuelve la ecuaci´on anterior cuando m= 0 ym= 1.

43. Dada la matrizA= 

12 −k1 21 1 3 k



, calcula los valores de kpara los cualesAno posee inversa, y