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Presentación de campo eléctrico.

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Academic year: 2020

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(1)

Campo eléctrico

Fuerzas

eléctricas

Comportamiento

de la materia

en campos eléctricos

Carga eléctrica

Estudio del

campo eléctrico

Descripción del campo eléctrico Ley de Coulomb

Determinación del campo eléctrico Representación del campo eléctrico

Unidad 3: CAMPO ELÉCTRICO

(2)

Fuerzas eléctricas: Carga eléctrica

La corteza de los átomos está formada por electrones, partículas con carga negativa, mientras que el núcleo de los átomos está constituido por protones, partículas con carga positiva del mismo valor absoluto que la carga del electrón, y neutrones, sin carga eléctrica

En condiciones normales, los cuerpos son neutros, porque sus átomos tienen el mismo número de protones que de electrones

La electrización es el proceso por el que un cuerpo adquiere carga eléctrica, cuando sus átomos ganan o pierden electrones.

Los cuerpos se pueden electrizar por frotamiento, por contacto o por inducción

La carga eléctrica de un cuerpo tiene su origen en la estructura atómica de la materia.

La unidad de carga eléctrica en el S.I. es el Culombio (C), en honor a Charles Coulomb. • Si gana electrones, adquiere carga negativa.

• Si pierden electrones, el cuerpo adquiere carga positiva Otra propiedad de la materia es la carga eléctrica. Todos los

(3)

Las propiedades de la carga eléctrica son:

1.Fuerzas eléctricas 1.1. Carga eléctrica

• Sólo existen dos clases de carga, la positiva y la negativa.

No existe la carga neutra: un cuerpo neutro contiene cargas positivas y cargas negativas en igual número.

• Las cargas eléctricas interaccionan entre sí:

▪ Si son de distinto signo, se ejercen entre ellas fuerzas atractivas, ▪ Si son del mismo signo, se ejercen entre ellas fuerzas repulsivas.

• Conservación de la carga eléctrica.

En todo fenómeno físico (o químico) la carga total permanece constante; es posible que

alguna carga pase de un cuerpo a otro, pero la carga eléctrica total no varía.

Ver figura

• Cuantización de la carga eléctrica.

Cualquier carga eléctrica que manejemos es siempre un múltiplo entero de una unidad elemental de carga eléctrica, que es la carga del electrón. Esto es evidente si tenemos

(4)

1.2. Ley de COULOMB

+ –

Q1 Q2 Q1 Q2

Las fuerzas de atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas puntuales:

r r

El módulo de estas fuerzas es:

+ +

r r

– – – +

• Cada fuerza es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa

• Están dirigidas a lo largo de la línea que las une

• Depende del medio en el que se encuentren ambas cargas

2,1

F

F

1,2

F

2,1

F

1,2

1

u

u

2

u

1

u

2

1 2

1,2 2,1 2 1

Q Q

F

F

K

u

r

 

1 2

2,1 1,2 2 2

Q Q

F

F

K

u

r

 

1 2

2,1 1,2 2

Q

Q

F

F

K

r

2,1

F

F

1,2

F

2,1

1,2

F

1

u

u

2

u

1

2

(5)

1.2. Ley de COULOMB (Cont.)

La constante de proporcionalidad K recibe el nombre de constante eléctrica. Su valor depende del medio que rodea a las cargas.

En el agua: En el vacío y en el aire vale:

Constante dieléctrica o Permitividad eléctrica:

Para simplificar fórmulas que verán sobre todo en posteriores cursos, la constante K suele escribirse en la forma:

Donde es una nueva constante llamada constante dieléctrica o permitividad eléctrica del medio.

Su valor en el vacío es

2 9

0 2

N m

K

9 10

C

 

9 2 9 2

2 2

9

N m

N m

K

10

0,113 10

80

C

C

1

K

ε

ε

2 12

0 2

C

8,854 10

N m

ε

(6)

1.2. Ley de COULOMB (Cont.)

Para otros medios materiales se acostumbra expresar:

Donde es una nueva constante sin dimensiones llamada constante dieléctrica relativa, característica de cada medio.

Cuanto mayor sea (menor es K), más débiles son las interacciones electrostáticas.

Ejemplos de valores de dicha constante

Sustancia

Vacío 1

Agua 80

Azufre 4

Madera 2 - 8

0 r

ε ε ε

r

ε

r

ε

r

(7)

1.2. Ley de COULOMB (Cont.)

En el campo eléctrico, al igual que vimos en el campo gravitatorio, se cumple el principio de superposición.

La fuerza resultante sobre una carga será la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre esa carga.

+

Q

3 +

Q

3

Q

1

Q

2 – –

Q

2

Q

1 Vectorialmente: En módulos: Vectorialmente: En módulos: Vectorialmente: En módulos: +

Q

3

Q

1

Q

2 2,3 F 1,3

F

3 F 3 F 2,3 F 1,3

F

F 1,3

F

2,3 F

3 1,3 2,3

F

F

F

3 2,3 1,3

F

F

F

3 1,3 2,3

F

F

F

3 1,3 2,3

F

F

F

2 2 3 1,3 2,3

F

F

F

3 1,3 2,3

F

F

F

1,3

F

2,3 F 3 F

3 1,3 2,3

F

F

F

2 2

3 1,3 2,3 1,3 2,3

(8)

COMPARACIÓN ENTRE LA LEY DE NEWTON Y LA LEY DE COULOMB

Ley de Newton

Ley de Coulomb

SEMEJANZAS *Existen dos fuerzas, una sobre cada cuerpo

*Ambas tienen el mismo valor y son de sentido contrario

*Son directamente proporcionales al producto de las masas (cargas) *Son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia

DIFERENCIAS

Las fuerzas:

*Son siempre atractivas *No dependen del medio

*Existen entre cualquier pareja de cuerpos *Son importantes sólo cuando un cuerpo es muy grande y no a nivel atómico o

molecular

Las fuerzas:

*Pueden ser atractivas o repulsivas *Sí dependen del medio

*Sólo existen entre cuerpos con carga eléctrica neta

*Son importantes en cuerpos pequeños, y a nivel atómico y molecular

*Tanto las f. gravitatorias como las eléctricas son fuerzas centrales, es decir, actúan en la dirección de la recta que une las masas o las cargas, respectivamente.

*Tanto las f. gravitatorias como las eléctricas son conservativas.

(9)

Actividad: Dos cargas puntuales de +3mC y +12 mC están separadas 50 cm.

Calcula la fuerza electrostática que se ejercen si están situadas: a) en el aire; b) en el agua.

Datos: Q1 = + 3 ·10–6 C; Q

2 = + 1,2 · 10–5 C; r = 50 cm = 0,50 m; K0 = 9·109 N·m2·C–2

a) Para calcular el valor de la fuerza basta aplicar la expresión del módulo de la fuerza de Coulomb:

b) Si el medio interpuesto entre las cargas es agua, distinto del vacío (aire), el valor de la constante eléctrica es 80 veces más pequeño, ya que la permitividad eléctrica del agua respecto del vacío (constante dieléctrica del agua) vale 80:

La fuerza se hará 80 veces más pequeña. En efecto:

1 2 2

Q

Q

F

F K

r

  

9 6 5

2

3 10

1, 2 10

9 10

0,5

 

 

1,3 N

9 2

9

agua 2

9 10

N m

K

0,1125 10

80

C

1 2 2 Q Q F F k

r

   

 6 5

9

2

3 10 1, 2 10 0,1125 10

0,5

 

  

(10)

Datos: Q1 = +2 μC = + 2 ·10–6 C; Q

2 = +4 μC = + 4 ·10–6 C; d = 90 cm = 0,90 m;

K = 9·109 N·m2·C–2 Q

3 = – 3 μC = – 3 ·10–6 C; a 30 cm = 0,30 m de Q1

Actividad 2: Dos cargas puntuales Q1 = +2 mC y Q2 = +4 mC están separadas 90 cm en el vacío. Calcula la fuerza eléctrica que actúa sobre una tercera

carga Q3 = - 3 mC situada sobre el segmento que une Q1 y Q2 y a 30 cm de Q1 . ¿Cómo cambiaría el resultado si la carga Q3 tuviera el mismo valor pero signo positivo?

Hacemos un esquema de la situación de las cargas en el que podamos dibujar las fuerzas. Sobre Q3 actúan dos fuerzas:

• Otra la que le ejerce Q2

La resultante de estas dos fuerzas es: • Una la que le ejerce la carga Q1

+ – +

Q3

Q2 Q1

0,30 cm 0,60 cm

Calculamos primero el valor (módulo) de la fuerza que Q1 ejerce sobre Q3:

1,3

F

2,3

F

F

3

F

1,3

F

2 3,

1,3

F

F

3

F

2,3

1 3 1,3 2

Q Q

F K

r

  9 6 6

2

2 10 3 10 9 10

0,3

 

  

(11)

Actividad 2 (Cont):

Calculamos después el valor (módulo) de la fuerza que Q2 ejerce sobre Q3:

Aplicamos el principio de superposición para obtener la fuerza resultante:

y para sumar dos vectores de la misma dirección y sentido contrario, restamos sus módulos:

y tiene el sentido de la fuerza mayor.

+ +

Q3

Q2 Q1

0,30 m 0,60 m

2 3

2,3 2

Q

Q

F

k

r

 

6 6

9

2

4 10

3 10

9 10

0,6

 

 

 

0,3 N

1,3 2 3

3

F

F

,

F

1,3 ,3

3 2

F

F

F

0,

6

0,3

0

,3 N

1,3

F

F

3

F

2,3

(12)

─ Si la carga Q3 fuese positiva cambiaría el sentido de las fuerzas

(como se indica en la figura)

+ +

Q3

Q2 Q1

0,30 m 0,60 m

+

pero tendrían el mismo valor que antes, F1,3 = 0,6 N y F2,3 = 0,3 N.

Aplicamos el principio de superposición para obtener la fuerza resultante:

y para sumar dos vectores de la misma dirección y sentido contrario, restamos sus módulos:

y tiene el sentido de la fuerza mayor.

La fuerza resultante apunta ahora a la carga Q2 y antes a Q1

Actividad 2 (Cont.):

1,3

F

F

2,3

3

F

1,3

F

2,3

F

F

3

1,3 2 3

3

F

F

,

F

1,3 ,3

3 2

(13)

2.Estudio del campo eléctrico

Llamamos campo eléctrico a la perturbación que un cuerpo produce en el espacio que lo rodea por el hecho de tener carga eléctrica

Cuando otra carga eléctrica se sitúa en esta región del espacio, interacciona con el campo y experimenta una fuerza eléctrica

El campo eléctrico, como el gravitatorio, es un campo de fuerzas centrales (radiales) y por tanto conservativo.

+

Q

–+

q

– –

+

Q,q

F

Q,q

F

Q,q

F

Q,q

F

Q,q

(14)

2.1.Descripción del campo eléctrico

• La Intensidad de campo eléctrico en un punto del campo

Potencial eléctrico en un punto del campo Ve

Los campos eléctricos, al igual que hicimos en el campo gravitatorio, se describen mediante dos magnitudes, una vectorial,

y otra escalar

(15)

• Intensidad de campo eléctrico en un punto del campo (espacio)

Q

Q

r

r

El módulo de este vector es: Unidad en el S.I.

+

+ +

Es la fuerza que actuaría sobre la unidad de carga POSITIVA situada en ese punto

F

E

q

u

u

u

E

E

2

Q

E

E K

r

 

1

N

N C

C

 

u

Q q

K

r

2

u

q

2

Q

K

u

r

(16)

Calcula el valor de la intensidad del campo eléctrico que crea una carga puntual de –6 μC en un punto P que dista de ella 40 cm.

Actividad 3 :

Datos: Q = –6 μC =–6·10–6 C ; r = 40 cm = 0,40 m; K = 9·109

Q

r

Cuidamos de que todas las unidades estén expresadas en el S.I. y aplicamos la expresión que vimos en la diapositiva 15, que nos permite calcular el módulo (valor) de la intensidad de campo:

Actividad 4 : Expresa vectorialmente la intensidad del campo eléctrico que hemos calculado en la actividad anterior.

P

Q

r

P

X

y Dibujamos unos ejes cartesianos con centro en la

carga que crea el campo y dibujamos el vector y el vector unitario en la dirección y sentido carga que crea el campo al punto .

Finalmente aplicamos la definición de la intensidad de campo de la diapositiva 15:

2 2 N m C  2

Q

E

E K

r

 

9 6

2

6 10

9 10

0,40

 

3,375 10

5

N

C

E

i

E

u  i

2

Q

E

K

u

r

K

Q

2

i

r

3,375 10 i

5

N

C

 

6 9

2

( 6 10 )

9 10

i

0,40

 

(17)

• Intensidad de campo eléctrico creado por varias cargas en un punto

del campo

+

+

P

Q

2

Q

1

El campo eléctrico resultante en el punto P es la suma vectorial del campo eléctrico creado por las cargas Q1 y Q2 :

Cuando existen varias cargas, al igual que en el campo gravitatorio, se cumple el principio de superposición:

r1 r2

Campo creado por Q1:

Campo creado por Q2:

1

E

2

E

E

E

E

E

2

u

1

u

1

1 2 1

1

Q

E

k

u

r

2

2 2 2

2

Q

E

k

u

r

(18)

En el punto (3,0) m existe una carga puntual de –4 μC y en el punto (0,-4) m otra de +6μC. Calcular el valor de la intensidad del campo eléctrico creado por

ambas cargas en el origen de coordenadas. Actividad 5 :

Datos: (3,0) m ; Q1 = –4 μC= 4·10–6 C; (0,4) m ; Q

2 = +6μC = +6·10–6 C; K =9·109

(3,0) m

X y

Dibujamos unos ejes de coordenadas con los puntos y las cargas.

(0,-4) m

Q1

A continuación dibujamos los vectores campo creado por cada carga en el punto (0,0).

Q2

Ahora calculamos el valor de los vectores y .

Según el principio de superposición, el campo resultante en el origen de coordenadas será la suma vectorial del campo creado por cada carga.

Finalmente:

Cuyo módulo es:

2 2 N m C  1

E

2

E

1

E

E

2

1

1 1 2

1

Q

E

E

K

r

9 6

2

4 10

9 10

3

 

4 10

3

N

C

 

2

2 2 2

2

Q

E

E

K

r

9 6

2

6 10

9 10

4

 

3,375 10

3

N

C

E

1 2 1i 2 j

E

E

E

E

E

2 2 2 1

E

E

E

4

2

3,375 10

2

3

5,23 10

3

N

C

3 3

j

i

3,375

4 1

0

1

0

(19)

• Potencial eléctrico V

e

en un punto del campo (del espacio)

Como hicimos en el campo gravitatorio, definiremos el potencial a partir del concepto de energía potencial eléctrica.

Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas. (VER)

+ –

Q q

La energía potencial eléctrica de una carga q que se encuentra en un punto de un campo eléctrico creado por la carga Q a una distancia r de ésta, es igual al trabajo que realiza la fuerza del campo para trasladar la carga q desde dicho punto hasta el infinito.

r

Matemáticamente se expresa mediante la ecuación:

Tenemos una carga eléctrica Q que crea un campo y a una distancia r se encuentra otra carga q :

e

p

Q q

E

k

r

(20)

Q

Q

r

r

Unidad en el S.I.

• Potencial eléctrico V

e

+ –

en un punto del campo es la energía potencial

eléctrica que tiene la unidad de carga situada en

ese punto.

(Energía potencial eléctrica por unidad de carga).

Al calcular el potencial eléctrico es obligatorio poner el signo de la carga, con lo que:

• Una carga positiva crea en cualquier punto un potencial eléctrico POSITIVO

• Una carga negativa crea en cualquier punto un potencial eléctrico NEGATIVO

NOTA: EL POTENCIAL ES UNNNN ESSSCAAAALAAAARRRRRR.

e

Q

V

k

r

J

Voltio ( V)

C

e

p e

E

V

q

Q q

k

r

q

Q

k

r

(21)

Q

1

Q

2

r

1

• Potencial eléctrico V

e

en un punto del campo creado por varias cargas

+

Cuando existen varias cargas, al igual que en el campo gravitatorio, se cumple el principio de superposición y el potencial en un punto es la suma algebraica del potencial que cada carga crea en ese punto:

r

2

P

La carga Q1 crea en el punto P un potencial eléctrico Ve 1:

La carga Q2 crea en el punto P un potencial eléctrico Ve 2:

El potencial eléctrico Ve en el punto P será la suma algebraica de los potenciales Ve 1 y Ve 2:

1

1 e

1

Q

V

k

r

2

2 e

2

Q

V

k

r

1 2

e e e

Q

Q

(22)

Al igual que vimos en el campo gravitatorio, la diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico la podemos relacionar con el trabajo que realiza el campo para

trasladar a una carga q desde el primer punto al segundo: Vimos que:

A partir de la definición de potencial eléctrico, podemos escribir que:

Sustituyendo en la expresión anterior:

Y sacando factor común la carga nos queda:

• Potencial eléctrico V

e

(Cont.)

Región del espacio en la que existe un

campo eléctrico

A

B

El trabajo realizado por las fuerzas del campo eléctrico en este desplazamiento de la carga q es igual al producto de la carga por la diferencia de potencial entre los puntos inicial y final:

Esta expresión es válida sea cual sea el camino que haya seguido la carga q para ir desde el punto A al B.

B

A A B

W

Ep

Ep

e

Ep

V

q

Ep q V

 

e

B

A A B

W

Ep

Ep

 

q V

eA

 

q V

eB

B

A A B

W

 

q (V

V )

A

V

B

V

q

B

A A B

(23)

+

2.2.Representación del campo eléctrico

Un campo de fuerzas, como el campo eléctrico puede representarse por sus líneas de fuerzas o líneas de campo y por sus superficies equipotenciales

►Las líneas de fuerzas o líneas de campo son líneas imaginarias tangentes al vector intensidad de campo en cada punto.

Se trazan de modo que la densidad de líneas de campo sea proporcional al módulo del campo eléctrico

Lineas de fuerzas del campo eléctrico Lineas de fuerzas del campo eléctrico creado por una carga puntual Q negativa

(24)

Líneas de fuerzas del campo eléctrico creado por un sistema de dos cargas puntuales iguales

Vídeo 2 Vídeo 3.

Ver:

Vídeo 1. Vídeo 4.

E

E

(25)

►Al unir los puntos en los cuales el potencial eléctrico tiene el mismo valor se obtienen las superficies equipotenciales.

•Las superficies equipotenciales son, en cada punto, perpendiculares a la línea de campo que pasa por ese punto.

•El trabajo que realiza el campo eléctrico para trasladar cualquier carga de un punto a otro de la misma superficie equipotencial es nulo.

Sabemos que :

se cumple que el trabajo es nulo :

•Para una carga puntual, las superficies equipotenciales son superficies esféricas con centro en la carga.

Líneas de campo

Superficies equipotenciales

A B

Si V

V

B

A

W

0

B

A A B

(26)

Superficies equipotenciales

𝐸

 Todos los puntos que tienen el mismo potencial conforman una superficie equipotencial.

 En cada punto de una superficie equipotencial el vector es perpendicular a ella.

(27)

Trabajo realizado por el campo eléctrico:

El campo eléctrico realiza un trabajo W cuando una carga positiva q se mueve desde un lugar A en el que el potencial es alto a otro B en el que el potencial es más bajo. Es decir: Si q >0 y VA >VB entonces W > 0.

El campo eléctrico realiza un trabajo W cuando una carga negativa q se mueve desde un lugar B en el que el potencial es más bajo a otro A en el que el potencial es más alto. Es decir: Si q < 0 y VB < VA entonces W > 0.

Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga

positiva q desde un lugar B en el que el potencial es más bajo hacia otro lugar A en el que el potencial más alto. (Es decir si q >0 y VA >VB , y q se mueve de B a A, el W <

0).

Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga

negativa q desde un lugar A en el que el potencial es más alto hacia otro lugar B en el que el potencial más bajo. (Es decir si q <0 y VA >VB , y q se mueve de A a B, el W < 0).

(28)

Relación entre campo y potencial eléctrico:

Sabemos:

Las descripciones dadas del campo eléctrico y del potencial eléctrico son complementarias, ya que conocido uno de ellos, puede determinarse el otro. Ahora nos ocuparemos de tal relación.

Es decir, conocida la función que nos dice cómo es el campo eléctrico, integrándola (hallando el área bajo la curva), podemos hallar cómo varía el potencial entre dos puntos.

En la figura, vemos la interpretación geométrica. La diferencia de potencial es el área bajo la curva entre las posiciones A y B.

B

B A

A

W

F dr

 

B A

W

  

q ΔV

F q E

 

B

A

q ΔV

q E dr

B

A

ΔV

 

E dr

B

A A B

(29)

Relación entre campo y potencial eléctrico:

Cuando el campo es constante:

que es el área del rectángulo sombreado.

Pero como:

* De forma contraria, si se conoce como varía el potencial, podemos hallar el campo eléctrico, simplemente derivando dicha función potencial. (Aunque dicha derivada es muy compleja y se sale del contenido de este curso).

A esta derivada se le llama gradiente. Se puede demostrar que dicha igualdad implica que el campo eléctrico siempre apunta hacia los potenciales decrecientes. Cuando el campo es constante,

obviamente:

B

A

A B

V

V

E dr

B

A

E

dr

 

 

E s

 

E scos

θ θ

scos

d

V

A

V

B

E d

dV

E

dr

 

B

A

ΔV

 

E dr

A B

dV

ΔV

V

V

(30)

EJERCICIO

Un electrón que tiene una velocidad inicial de 5·105 m/s se introduce en una región

en la que existe un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo de la dirección del movimiento del electrón. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico si el electrón recorre 5 cm desde su posición inicial antes de detenerse?

Datos: e = 1,6 · 10-19 C; m

e = 9,1 · 10-31 kg

EJERCICIO

Un electrón es introducido en un campo eléctrico uniforme en dirección perpendicular a sus líneas de fuerza con una velocidad inicial de 104 m/s. La

intensidad del campo es de 105 V/m. Calcula:

a) La aceleración que experimenta el electrón. b) La ecuación de la trayectoria.

Datos: e = 1,6 · 10-19 C; m

e = 9,1 · 10-31 kg

𝐸

=

𝐸

^

𝑗

𝑣0𝑖^

𝑥

(31)

Ejercicio: Un electrón que tiene una velocidad inicial de 5·105 m/s se introduce en una región

en la que existe un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo de la dirección del movimiento del electrón. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico si el electrón recorre 5 cm desde su posición inicial antes de detenerse?

Datos: e = 1,6 · 10-19 C; m

e = 9,1 · 10-31 kg

q d Como el campo eléctrico es

conservativo, la Em del electrón debe conservarse, entre los puntos inicial y final:

0 Como: Y:

E

0 v

v 0

0 f 0 0 f f

m m p c p c

E

E

E

E

E

E

2

0 0 f

1

qV

mv

qV

2

2

0 f 0

1

mv

q V

V

2

f 0

V

V

 

E d

q

 

e

2 0

1

mv

e E d

2

E

mv

20

2ed

31 5 2

19

9,1 10

(5 10 )

E

2 1,6 10

0,05

 

(32)

Teorema de Gauss

Flujo del campo eléctrico

El flujo del campo eléctrico (F) es una medida del número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie dada.

El flujo del campo eléctrico (F) es una medida del número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie dada.

 El número de líneas de fuerza es proporcional a la intensidad del campo eléctrico.

 La superficie se representa mediante un vector perpendicular a la misma:

Flujo de un campo eléctrico uniforme

= Vector superficie Módulo: Valor del área de la superficieDirección: Perpendicular a la superficie

Ver vídeo

(

𝑁

𝐶

·

𝑚

2

)

 El flujo se define como: Su unidad en el SI:

No cae

α

E

Φ

E S

E S cos α

 

(33)

Una superficie cuadrada de 60 cm2 de superficie se encuentra en el interior de un

campo eléctrico uniforme de 0,4 N/C. Calcula el valor del flujo eléctrico a través de la superficie en los casos que se representan en la figura:

Actividad:

60° 134°

a b c d e

El ángulo α que forman las direcciones de y de vale en cada caso:

a

Expresamos la superficie en m2 :

b

c

d

No cae

3 3 2

Φ

E S cos 0

 

 

0, 4 6 10

 

 

1

2, 4 10

N·m C

S

E

E

S

E

S

E

S

S

E

E

S

α 0

 

α 60

 

α 90

 

α 134

α 180

4 2

60 10

m

2

S

60 cm

 

6 10

3

m

2

3 3 2

Φ

E S cos 60

 

 

0, 4 6 10

 

0,5

1, 2 10

N·m C

3 2

Φ

E S cos 90

 

 

0, 4 6 10

 

 

0

0 N·m C

3 3 2

(34)

Si se trata de una superficie S cualquiera y el campo eléctrico es variable:

Dividimos la superficie S en pequeños elementos infinitesimales (diferenciales) de superficie, dS, de manera que en cada uno se puedan considerar la

superficie plana y el campo uniforme, y calculamos el flujo elemental d

Φ

a

través de dicha superficie infinitesimal:

El flujo total a través de la superficie S se obtendrá sumando el flujo de todas las superficies infinitesimales, es decir, integrando:

S

Flujo de un campo eléctrico no uniforme No cae

dΦ E dS

 

dS

E

S

Φ

S

Φ

E dS

S

(35)

Teorema de Gauss

 Relaciona el flujo a través de una superficie cerrada con la carga contenida en su interior.

𝐸

𝑑

𝑆

Sustituyendo el valor del campo en los puntos de la superficie, y el valor de la S de una esfera:

Enunciado: El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es independiente de la forma de la superficie e igual a la carga contenida dividida por .

Enunciado: El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es independiente de la forma de la superficie e igual a la carga contenida dividida por 0.

Supongamos una superficie esférica que encierra una carga Q situada en su centro (en ella el campo tendrá siempre el mismo valor, y será perpendicular a la superficie). El flujo creado por dicha carga a través de dicha superficie cerrada será:

𝐸

No cae

esfera S

Φ

E dS

E dS

EdS E dS ES

2 2

Q

Φ ES K

4πr

4πKQ

r

1

K

4πε

Q

Φ

ε

(36)

Calculo de campos eléctricos a partir del teorema de Gauss

Campo creado en el exterior de una esfera uniformemente cargada

𝐸

𝑑

𝑆

𝑟

 Se elige la superficie cerrada de área conocida, de modo que el campo sea perpendicular a ella (superficie gaussiana).

 Se evalúa el flujo a través de ella.

 Se iguala el flujo obtenido a la expresión del teorema de Gauss.

Por el teorema de Gauss

La superficie de Gauss elegida es:

Igualando:

No cae

Como vemos, la esfera cargada se comporta, para puntos exteriores a ella, como si toda la carga de la misma estuviera concentrada en el centro de la misma

Gauss

Φ

E dS

EdS E dS ES

Q

Φ

ε

2 Gauss

S

4πr

2

Q

Φ

E4πr

ε

2

1 Q

E

4πε r

(37)

• Por el teorema de Gauss:

Ejemplo de aplicación de la ley de Gauss:

• Lo de infinita es importante porque es lo que nos permite decir que todos los puntos en los lados de nuestra superficie Gaussiana cilíndrica (en amarillo) tienen la misma magnitud de E. En la práctica, por supuesto, no existen líneas infinitas pero el resultado que obtengamos será una buena aproximación al caso de puntos que quedan cerca de una línea de carga finita. • En una situación como ésta, con un punto y una línea, la única

dirección definida por la geometría física es la dirección radial. El E tiene que ser en esa dirección.

• Elegimos una superficie Gaussiana que tiene una cara lateral (cilíndrica) y dos tapas, de radio r. En las tapas E no es constante pero es perpendicular a la S en cada tapa, así que la integral sobre las tapas es cero.

• La integral sobre la cara lateral será (este resultado es siempre igual para toda simetría cilíndrica).

Vamos a calcular el campo E que crea una distribución rectilínea e infinita de Carga Q, en puntos próximo a ella:

No cae

cilíndrica

Φ

ES

E2πrh

Q

Φ

Q

E

(38)

• En realidad lo que se suele conocer es la densidad lineal de carga de la línea, es decir, la carga por unidad de longitud. Supongamos que su valor es

l.

• Por tanto el campo que dicha distribución lineal de densidad de carga l, en un punto a una distancia r será perpendicular a la línea de carga, y de módulo:

No cae

Q

λ

Q

λh

h

λ

E

(39)

Campo originado por una placa uniformemente cargada

Φ

=

𝐸 𝑆

1

+

𝐸 𝑆

2

=

2

𝐸𝑆

=

2

𝐸 𝑙

2

2

𝐸 𝑙

2

=

𝜎 𝑙

2

𝜀

0

⟹ 𝐸

=

𝜎

2

𝜀

0

𝐸

𝑆

1

𝑆

2

𝜎=𝑞

𝑆

𝑙

𝑙

𝑞

=

𝜎 𝑆

=

𝜎 𝑙

2

Φ

=

𝑞

𝜀

0

=

𝜎 𝑙

2

𝜀

0

𝐸

Vamos a calcular el campo E que crea dicha placa, con densidad de carga s, en puntos próximo a ella:

Tomamos como superficie gaussiana un prisma como el representado, de bases S1 = S2 iguales, de lados l. La carga encerrada será:

El flujo que la atraviesa es:

(40)

CONDUCTORES y AISLANTES (DIELÉCTRICOS)

LOS CONDUCTORES, debido al tipo de enlace que une a sus átomos, tienen cargas libres, que se pueden mover por el conductor.

Si situamos un conductor en el seno de un campo eléctrico, sus cargas libres se ven sometidas a fuerzas eléctricas que las empujarán hasta la superficie del conductor

LOS AISLANTES, por el contrario, se caracterizan por la baja movilidad que tienen sus electrones, debido al tipo de enlace que une sus átomos.

Como:

Carácter relativo de conductores y aislantes:

Hay buenos conductores eléctricos y malos conductores eléctricos. Igualmente, hay buenos y malos aislantes eléctricos.

Se dice que un conductor alcanza EL EQUILIBRIO ELECTROSTÁTICO (E.E.) cuando sus cargas libres están en reposo.

F

E

q

(41)

Propiedades de los conductores en equilibrio electrostático (E.E.):

• El campo eléctrico en todo punto del interior de un conductor en E.E. es nulo.

, que pondría en movimiento Ya que si no fuese así, existiría una fuerza,

a las cargas libres, lo que está en contra de la hipótesis de EE.

Conductor en equilibrio electrostático

Si el conductor no está en E.E. el campo eléctrico en su interior no es nulo y existiría una fuerza que movería a las cargas

• Sí un conductor está cargado y en E.E., el exceso de carga se distribuye por la superficie del conductor. Es decir, la carga neta en el interior de un conductor (suma de las cargas positivas y negativas) es siempre nula.

E

E

q

F

E 0

F q E

  

0

E 0

(42)

• El campo eléctrico en cualquier punto exterior y próximo a un conductor cargado en E.E. es siempre perpendicular a la superficie del conductor. De no ser así, se podría descomponer en dos componentes, una perpendicular a la superficie y otra tangencial, y ésta ejercería una fuerza sobre las cargas, dejando de estar por tanto en E.E.

• Todo conductor en E.E. constituye un volumen equipotencial, lo que significa que el potencial es el mismo en todos sus puntos. Este potencial recibe el nombre de POTENCIAL DEL CONDUCTOR.

De no ser así, las cargas libres irían de un punto a otro con menor potencial y esto está en contra de la hipótesis de EE.

Propiedades de los conductores en equilibrio electrostático (E.E.): (Cont.)

Efectivamente, dentro del conductor:

E

dV

dr

 

E 0

dV

0

dr

(43)

Protección frente a campos externos

Conductor en equilibrio electrostático

𝐸

𝐸

𝑖𝑛𝑡

𝐸

𝑛𝑒𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

=⃗

𝐸

𝐸

𝑖𝑛𝑡

=

0

 El flujo a través de una superficie gaussiana interior pero muy próxima a la superficie es cero.

Todo exceso de carga en un conductor aislado en equilibrio electrostático se reparte por su superficie.

Todo exceso de carga en un conductor aislado en equilibrio electrostático se reparte por su superficie.

Jaula de Faraday

(44)

Como hemos dicho en el interior del conductor equilibrado el campo eléctrico siempre será nulo, pero superficialmente habrá un campo eléctrico directamente proporcional a la densidad superficial de carga y siempre dirigido perpendicularmente a la superficie en cada punto.

El hecho de que no haya campo a lo largo de la superficie del conductor, sea cual sea su forma, equivale a decir que no hay variaciones de potencial de un punto a otro de la superficie, o sea, la superficie de un conductor en equilibrio es una superficie equipotencial; aún más, el potencial eléctrico es constante en todos puntos en el interior de un conductor e igual a su valor en la superficie.

Esto nos lleva a que la densidad de carga superficial, y por tanto el campo, es mayor en los puntos en los que el radio de curvatura de la superficie es más pequeño, alcanzando valores muy elevados en puntos afilados. Esto da lugar al conocido efecto de las puntas; en ellas, la concentración de cargas puede llegar a ser tan grande que su repulsión mutua las hace saltar del conductor, ionizando las moléculas de los gases componentes del aire y haciéndolas ponerse en movimiento (se origina así el llamado viento eléctrico, causa del giro de los “molinetes eléctricos”). Este efecto se encuentra también en la base del funcionamiento de los pararrayos colocados en edificios altos.

(45)

Comportamiento de los aislantes:

Un material dieléctrico o aislante (vidrio, plástico, lana, seda, papel, madera,...) posee cargas eléctricas ligadas a su estructura y no permite su desplazamiento por el interior, es decir, no conducen la corriente eléctrica.

Un campo eléctrico externo polariza en mayor o menor medida los átomos o moléculas que forman el aislante, ocasionando un campo neto en el interior del dieléctrico menor que el campo externo. No obstante, esta polarización inducida del dieléctrico no lleva asociada una electrización por inducción de forma análoga a como ocurre en los conductores; las cargas eléctricas no pueden abandonar el aislante al estar ligadas a su estructura

Material dieléctrico con sustancias polares. (a) En ausencia de campo externo, los dipolos permanentes están orientados al azar debido a la agitación térmica.

(b) En presencia de campo externo, los dipolos permanentes se orientan en línea con el campo.

Material dieléctrico con sustancias no polares.

(a) En ausencia de campo externo, los posibles dipolos inducidos se compensan.

(46)

El campo externo ocasiona la aparición de cargas inducidas en las paredes exteriores del dieléctrico, cargas que crean un campo eléctrico interno que se opone al campo exterior, aunque no llega a compensarlo. El campo en el interior del dieléctrico es menor que el campo externo.

(47)

Realizar los siguientes ejercicios del tema del IES Nicolás

Copérnico:

Pág 7: A1 y A2

Pág 9: A4

Pág 10: A5, A6 y A7

Pág 11: A8

Pág 15: A9 y A11

Pág 17: A12

(48)

A1. Dos cargas eléctricas se encuentran separadas una cierta distancia. ¿A qué distancia habrá que colocarlas para que la fuerza entre ellas se reduzca a la cuarta parte?

A2. Dos cargas de -3 y +5 mC están separadas 20 cm. ¿Existe algún punto en la línea que las une donde pueda hacerse nula la resultante de las fuerzas que actúan sobre otra carga de +1 mC que allí se pusiera? En caso afirmativo calculadlo (al menos en uno si pudiera haber varios).

A4. En los vértices de un cuadrado de 2 m de lado, situamos cuatro cargas de 3, -2, 1 y 5 mC. Calcula el valor del campo eléctrico en el centro del cuadrado y la fuerza que actuaría sobre una quinta carga de 4 mC que allí se depositara.

A7. Se introduce una carga de 10-6 C en un campo eléctrico uniforme de 0,4 N/

(49)

A9. En un vértice de un rectángulo de 3 y 4 cm de lado, se sitúa una carga negativa de -20 pC y en los dos vértices contiguos, sendas cargas de 10 pC. Hallar el potencial eléctrico en el cuarto vértice.

A10. Dos cargas puntuales se localizan en el eje x, q1 = -e en x = 0 y q2 = +e en x = a. a) Determina el trabajo que debe realizar una fuerza externa para llevar una tercera carga puntual q3 = +e del infinito a x = 2a. b) Determina la

energía potencial total del sistema de tres cargas.

A12. La partícula de polvo de la figura, cuya masa es m = 5 · 10-9 kg y con carga q0 = 2nC, parte del reposo en un punto “a” y se mueve en línea recta hasta un punto “b”. ¿Cuál es su velocidad en el punto b?

(50)

A13. Calcula la diferencia de potencial que existe entre dos puntos situados en el interior de un campo eléctrico uniforme de 10 N/C, si están separados una distancia de 2 m y la línea que los une está orientada en la dirección del campo.

A14. Una carga positiva de 10-9 C está situada en el origen de coordenadas, y

otra puntual negativa de 2 · 10-8 C está en el punto (0,1) m. Determina a) el

vector intensidad de campo en el punto A(2,0); b) el trabajo realizado por las fuerzas del campo para trasladar una carga de 3 C desde A(2,0) a B(2,4).

4. Una carga puntual Q crea un campo electrostático. Al trasladar una carga q desde un punto A al infinito, se realiza un trabajo de 5 J. Si se traslada desde el infinito a otro punto C, el trabajo es de -10 J. A) ¿Qué trabajo se realiza al llevar la carga desde el punto C al punto A? ¿En qué propiedad del campo electrostático se basa la respuesta? B) Si q = -2C ¿cuánto vale el potencial en los puntos A y C? Si el punto C es el más próximo a la carga Q, ¿cuál es el signo de Q? ¿por qué?

5) En una experiencia similar a la de Rutherford, un protón se dirige directamente contra un núcleo de la lámina de oro con una rapidez de 106 m/s.

¿A qué distancia del núcleo se volverá? Datos: Masa protón: 1,67 · 10-27 kg;

carga del protón: 1,6 ·10-19 C.; ε

(51)

A8. Entre dos placas planas paralelas hay un campo eléctrico de 104 N/C. Su longitud es de 5.10-2 m y la separación es de 2.10-2 m. En la dirección del eje se manda un electrón que penetra entre las dos placas con la velocidad de 107 m/s. Calcular: A) Cuánto ha descendido el electrón cuando sale de las placas; B) Ángulo que forma con el eje la velocidad a la salida de las placas; C) Distancia por debajo del eje con que chocará contra una pantalla situada a 2.10-1 m del final de las placas. DATOS: masa electrón = 9,1.10-31 Kg; Carga del electrón 1,6.10-19 C. Despreciar efectos gravitatorios.

(52)
(53)
(54)

Fuerzas eléctricas: Carga eléctrica

Electrización por frotamiento

(55)

Fuerzas eléctricas: Carga eléctrica

Electrización por contacto

(56)

Fuerzas eléctricas: Carga eléctrica

Electrización por inducción

(57)

Cálculo de la Energía Potencial Eléctrica

:

Supongamos que una partícula de carga q se mueve desde la posición rA hasta la posición rB en las proximidades de otra carga fija Q. El trabajo que realiza la fuerza eléctrica durante ese desplazamiento será:

Q q rA rB F q dr B A B A r r

W

F dr

 

u 2 B A Q q K u r

dr

Se puede demostrar que u dr dr

2 B A B A r r Q q K r

dr

W

2 B A r r 1 KQq

r

dr

B

A r r KQq

1

r

B A

1 1

KQq

r

r

 

B A B A r r

Q q

Q q

W

K

K

r

r

 

(58)

VOLVER

(Sigue) Cálculo de la Energía Potencial Eléctrica:

Llamamos Energía potencial eléctrica al término:

Por tanto:

Al igual que hicimos en el tema anterior, con la Ep gravitatoria, lo mas natural es elegir como origen de Ep eléctrica cuando ambas cargas estén separadas una distancia infinita. Es decir cuando rB .

Definición: De esta forma, la energía potencial eléctrica de un sistema formado por las cargas Q y q separadas una distancia r, se puede definir como el trabajo

necesario para separar ambas cargas desde dicha distancia r hasta una distancia infinita. Es decir:

0 0

Q q

Ep K

r

E

pB

E

pA

 

A B p p

E

E

Q q

K

r

r p p

E

E

B A B A r r

Q q

Q q

W

K

K

r

r

 

r

W

A

Q q

Q q

(59)

Relación entre la intensidad del campo y el potencial

Podemos conocer el valor de un campo eléctrico uniforme derivando la expresión del potencial con respecto a la coordenada en función de la cual varía y anteponiendo el signo negativo:

Podemos conocer el valor de un campo eléctrico uniforme derivando la expresión del potencial con respecto a la coordenada en función de la cual varía y anteponiendo el signo negativo:

 Potencial varía en función de las tres coordenadas:

𝐸

𝑥

=

𝜕𝑉

𝜕𝑥

;

𝐸

𝑦

=

𝜕𝑉

𝜕 𝑦

;

𝐸

𝑧

=

𝜕𝑉

𝜕𝑧

𝐸

=

(

𝜕𝑉

𝜕 𝑥

𝑖

^

+

𝜕𝑉

𝜕 𝑦

^

𝑗

+

𝜕𝑉

𝜕 𝑧

𝑘

^

)

=

𝑔𝑟𝑎𝑑

V

=

𝛻 𝑉

𝑉

2

𝑉

1

𝑉

2

<

𝑉

1

𝐸

=

𝑔𝑟𝑎𝑑

V

dV

E

dr

 

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