Certamen 1 - Fisica General Electromágnetismo (2008-2).pdf

(1)

PAUTA

CERTAMEN

Nº01

FISICA GENERAL

ELECTROMAGNETISMO

(FIS 331)

Prof. Rodrigo

Vergara Rojas

SEGUNDO

SEMESTRE

2008

Sábado 04 de Octubre de 2008

Pregunta 01) (+1 punto base)

Módulo A) En figura 1 se muestra un dipolo desequilibrado con cargas +3q y -6q, donde solamente están dibujadas las líneas de fuerza que salen de la carga positiva y entran a la carga negativa.

• El nº de líneas de fuerza que salen de +3q y se van al infinito es _____ (0.5 punto)

• El nº de líneas de fuerza que salen desde el infinito y llegan a -6q es _____ (0.5 punto)

• Complete el dibujo agregando las líneas de fuerza que faltan (1 punto)

Desarrollo:

Si N+ es el número de líneas que salen de la carga positiva, y N- es el número de líneas que entran a

la carga negativa, se cumple que: +

- +

-+3q

N 1

= N 2 N

N -6q =2⇒ = ⋅

Como la magnitud de la carga negativa es mayor que la de la carga positiva, todas las líneas de fuerza que parten de +3q terminan en -6q. Luego, N+ = 4 y el nº de líneas que

salen de +3q y se van al infinito es cero. (0.5 punto)

Luego, N- = 24 = 8, de las cuales cuatro

provienen de la carga positiva y las otras cuatro provienen del infinito. Luego, el nº de

líneas de fuerza que salen desde el infinito y llegan a -6q es cuatro. (0.5 punto)

+3q

-6q

Figura 1) Pregunta 01 Módulo A

↓

Desarrollo:

Según el enunciado:

• Carga en el cascarón esférico: +Q → +2Q

• Radio del cascarón esférico: R → 2R Analizando cada parámetro:

• Flujo neto a través de la SG: 0

+Q

ε → 0

+2Q

ε , por lo que aumenta (↑↑↑↑) (0.5 punto)

• Densidad superficial de carga del cascarón: +Q₂

4 Rπ →

( )

2 2

+2Q +Q

8 R

4π 2R = π , por lo que

disminuye (↓↓↓↓) (0.5 punto)

• Magnitud de campo eléctrico en el interior del cascarón: 0 → 0 (es independiente de la carga y el radio), por lo que se mantiene constante (=) (0.5 punto)

• Magnitud de campo eléctrico en la SG:

( )

2 2

0 0

+Q +Q

36 R

4πε 3R = πε →

( )

2 2

0 0

+2Q +Q

18 R

4πε 3R = πε

, por lo que aumenta (↑↑↑↑) (0.5 punto)

(2)

Módulo C) En la figura 3, se aprecian cargas de pruebas que se mueven entre diferentes superficies equipotenciales siguiendo los caminos 1, 2, 3 y 4. Indique el trabajo de la fuerza eléctrica necesario para llevar a cabo dichos movimientos (0.5 puntos c/u)

• Camino 1: _____________

• Camino 2: _____________

• Camino 3: _____________

• Camino 4: _____________

Desarrollo:

El cambio de energía potencial eléctrica que se produce al mover una carga q desde un punto de potencial V1 a un punto de potencial V2 es ∆U = q V -V⋅

(

2 1

)

El trabajo necesario para mover dicha carga es W = - U = -q V -V∆ ⋅

_= − ⋅ ⋅∆12 q₀ V(0.5 punto)

V -2 V∆

V - V

∆

V

V+2 V

∆

V+ V

∆

0

q

0

5q

0

2q

0

3q

Figura 3) Pregunta 01 Módulo C

Pregunta 02) Dos cargas eléctricas positivas de magnitud q y masa m son colgadas de sendos resortes ideales de longitud natural ℓ₀ y constante elástrica k como se muestra en la figura 4. El sistema está en equilibrio de fuerzas. Desprecie la atracción gravitacional entre las cargas.

a) Haga un diagrama de cuerpo libre sobre una de las bolas de carga. (1 punto)

b) ¿Los resortes están estirados o comprimidos? Explique brevemente. (0.5 punto)

c) Exprese la carga q y el alargamiento o acortamiento ∆ℓ de los resortes en función de m, g, k, θ y ℓ₀. (4.5 puntos)

Desarrollo:

(+1 punto base)

b) En la figura contigua se muestra el diagrama de cuerpo libre de esta situación. En él, se aprecia que la única forma de que exista equilibrio en el sistema es que la fuerza interna del resorte haga que éste se comprima. Para que ello suceda, el resorte debe estar estirado. (0.5 punto)

c) Planteando las ecuaciones de equilibrio:

• Eje x:

( )

2 2 0

1 q

k sen

4 2L

θ πε

⋅∆ ⋅ℓ = ⋅ (1 punto)

• Eje y: k⋅∆ ⋅ℓ cos

( )

θ = ⋅m g (1 punto)

Además, de la figura,

( )

(

₀

)

( )

0

L

sen L = + sen

+

θ = ⇒ _{∆ ⋅} θ

∆ ℓ ℓ

ℓ ℓ (0.5 punto)

De la ecuación para el eje y,

( )

m g

k cos m g

k cos

θ

⋅

⋅∆ ⋅ = ⋅ ⇒_{∆ =}

⋅

ℓ ℓ (0.5 punto)

θ θ

g

Figura 4) Pregunta 02

+

m,+q _m,+q

k

θ θ

g

M g⋅

E F

k⋅∆ℓ

0

+∆

ℓ ℓ

L

y

x

(1punto)

(3)

De la ecuación para el eje x

( )

2

2 2

0 2

0

1 q

k sen q =16 L k sen

4 2L

θ π ε θ

πε

⋅∆ ⋅ℓ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆ ⋅ℓ _{(0.5 punto)}

Reemplazando los valores obtenidos para L y ∆ℓ:

(

)

( )

(

)

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

2

0 0

2

0 0

2 3

2 0

0 2 2

0 0

k cos

q = 16 + sen k sen

m g

k cos k cos

16 + sen k sen

m g m g

16 k cos sen

m g k cos

m g

4 k sen

m g k cos cos sen

m g

θ

θ π ε θ

θ _θ _{π ε} θ _θ

π ε θ θ _θ

θ _θ _{π ε} _θ _θ

⋅

⋅ ∆ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

 _⋅   _⋅

= ⋅_ ⋅ _ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

 

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= _ ⋅ ⋅ + ⋅ _

⋅ ⋅ ⋅

= ⋅_ ⋅ ⋅ + ⋅ _ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

ℓ ℓ

ℓ

(1 punto)

Pregunta 03) En la figura 5 se aprecian una línea de carga infinita de densidad líneal de carga λ constante y un cascarón cilíndrico coaxial a esta línea, de radio basal R, longitud infinita y densidad superficial de carga σ constante.

a) Determine la magnitud del campo eléctrico en el interior del cascarón cilíndrico (0 < r < R) (3 puntos)

b) Calcule la razón λ/σ para que la magnitud del campo eléctrico fuera del cascarón cilíndrico (r > R) sea cero. (3 puntos)

Desarrollo:

(+1 punto base)

a) En la figura contigua, en el manto de la superficie gausseana cilíndrica, E

es paralelo a dA

y E = E

es constante. Luego:

S

E•dA= E dA⋅ = ⋅E dA= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅E 2 π r L

∫

(1 punto)

Aplicando la Ley de Gauss:

enc 0 S

q

E•dA = E 2 π r L =

ε

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫

Donde qenc = ⋅λ L es la carga neta encerrada en la superficie gausseana. (1 punto)

Finalmente:

0 0

L E =

2 r L 2 r

λ λ

π ε π ε

⋅ ₌

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (1 punto)

λ

σ

λ

σ

L

E

(4)

b) En la figura contigua se aprecia la superficie gausseana para r > R. Para que el campo eléctrico fuera del cascarón sea cero, se tiene que cumplir que:

enc

enc 0

S

q

E = 0 E•dA 0 0 q 0

ε

⇒

_∫

₌ ⇒ ₌ ⇒ ₌

(1 punto)

La carga encerrada q_enc dentro de la superficie gausseana está dada por:

enc

q = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅λ L σ 2 π R L

(1 punto)

Igualando y despejando la razón λ/σ:

L 2 R L = 0

2 R

λ σ π

λ _π

σ

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ _{= − ⋅ ⋅ ⋅} ⇒ _{= − ⋅ ⋅}

(1 punto)

R

λ

σ

L

r

Superficie Gausseana S

Pregunta 04) En la figura 6 se aprecia un cascarón cilíndrico de radio basal R, longitud infinita y densidad superficial de carga σ constante.

a) Calcule la magnitud del campo eléctrico tanto dentro (r<R) como fuera (r>R) del cascarón esférico. (2 puntos)

b) Calcule la diferencia de potencial eléctrico del cascarón entre un r cualquiera, tanto dentro (r<R) como fuera (r>R) de éste, y r = 10R (4 puntos)

Desarrollo:

(+1 punto base)

a) Para r < R. La carga neta encerrada en la superficie gausseana es igual a cero (ver

figura). Así: enc enc

0

S

q

q 0 0

E•dA 0 E = 0

ε

= ⇒ =

⇒

_∫

₌ ⇒

(1

punto)

Para r > R. La carga neta encerrada en la superficie gausseana es igual a enc

q = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅σ 2 π R L (0.5 punto)

En el manto de la superficie gausseana cilíndrica, E

es paralelo a dA

y E = E

es constante. Luego:

S

E•dA= E dA⋅ = ⋅E dA= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅E 2 π r L

∫

(0.5 punto)

Aplicando la Ley de Gauss:

enc 0 S

q

E•dA = E 2 π r L =

ε

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫

(0.5 punto)

Finalmente:

R

σ

L

E

dA

σ

(5)

0 0

2 R L R

E =

2 r L r

σ π σ

π ε ε

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ₌ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (0.5 punto)

b) El potencial eléctrico del cilindro con respecto al infinito está dado por: r > R

( )

r

C

10 R

V r = - E•ds

⋅

∫

, donde ˆ

0

R

E = r

r

σ ε

⋅ ⋅

y ds=dr r ⋅ˆ. Luego:

( )

(

)

r r

r

C _{10 R}

0 0 0

10 R 10 R

0 0 0

R R dr R

V r = - dr - - ln r

r r

R R r R 10 R

- ln r ln 10 R ln ln

10 R r

σ σ σ

ε ε ε

σ σ σ

ε ε ε

⋅

⋅ ⋅

⋅ _⋅ ₌ ⋅ ₌ ⋅ _⋅

⋅

⋅ ⋅   ⋅  ⋅ 

= ⋅_ − ⋅ _= − ⋅ _ _= ⋅ _ _

⋅

   

∫

(1.5 punto)

r < R

( )

r R r

C

10 R 10 R R

V r = - E•ds - E•ds - E•ds

⋅ ⋅

=

∫

Del desarrollo anterior,

( )

R

0 0

10 R

R 10 R R

- E•ds ln ln 10

R

σ σ

ε ε

⋅

⋅  ⋅  ⋅

= ⋅  = ⋅

 

∫

(0.5 punto)

Por otra parte, como E = 0

para r < R, entonces r

R

- E•ds

∫

=0

(0.5 punto)

Finalmente, C

( )

0

R

V r = σ ln 10