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_/""""-.PQAdán Ortíz Ludewíg
Y aprobada por el siguiente comité:
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Dr. Iourí Orlov Kuchina
Director del Comité
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Dr. uis Alejan 0 Márquez Martínez Dr. Joaqum Álvarez Gallegos
Migmbrg del Cgmüé Miembro del Comité
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Dr. Carlciš"25Clbe1et~e- ' a Rodríguez
Miembro del Comité
Df- Art VG ázquez Vefltufä Dr. Raúl Ramón Castro Escamilla
Coordinador del programa, en Director de Estudios
de Pos rado
Electrónico y telecomunicaciones 9
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POSGEADO EN OIENOIAS EN ELEOTEONIOA Y
TELEOOMUNIOAOIONES OON ORIENTACION EN
INSTEUNIENTAOION Y OONTEOL
Control conmutado para una clase de sistemas
electromecánicos subactuados: Análisis, síntesis e
implementación
TESIS
que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para Obtener el grado de
MAESTRO EN CIENCIAS
Presenta:
Adan Ortiz Ludewig
Y TELECOMUNICACIONES CON ORIENTACION EN
INSTRUMEN-TAOION Y CONTROL. Ensenada, EO., México, Diciembre de 2005.
Control conmutado para una clase de sistemas
electromecánioos subactuados: Análisis, síntesis e
implementación
Resumen aprobado por:
Dr. Iouri Orlov Kuchina
Director de Tesis
La estabilización de sistemas subactuados, los cuales tienen menos actuadores que grados de libertad, presentan un gran reto. Estos sistemas poseen propiedades
no-holonómicas causadas por restricciones diferenciales no integrables, por lo ta11tO estos sistemas no pueden ser estabilizados por medio de retroalimentación suave. Con esto
en mente, la estabilización de sistemas mecánicos subactuados se enfocará en métodos
de control conmutado.
La estructura del controlador comnutado propuesto está basada en un sistema de ecuaciones cuasihomogéneas, el cual puede estabilizar un manipulador de un eslabón en tiempo finito. Aunque el controlador exliiba el comportamiento modo Zeno, no se asegura la generación de modos deslizantes, mientras que provee características de
robustez similar a las encontradas por modos deslizantes. El llamado modo deslizante
de segundo orden aparece únicamente en el punto de equilibrio. Así el comportamiento
deseado del sistema en lazo cerrado es logrado por el controlador conmutado, el cual lleva el sistema a la superficie de dinámica cero en tiempo finito y lo mantiene ahí.
Las características de robustez del controlador y su desempeño son ilustrados
me-diante la implementación del balanceo para subirlo a la posición erguida y estabilización local del pendubot, y mediante simulaciones el controlador aplicado a un servo motor con efecto de juego mecánico y fricción.
Palabras clave: Sintesis de control conmutado, Control robusto, Sistemas subactuaclos
Switched control for a class of underactuated electromecanical
system: Analysis, synthesis and implementation
Abstract approved by:
Dr. Iouri Orlov Kuchina
Thesis odvisor
The stabilization of underactuated systems, forced by fewer actuators than degrees of freedom, presents a challenging problem. As well-known, these systems possess
non-holonomio properties, caused by nonintegrable differential constraints, and therefore, they cannot be stabilized by means of smooth feedback. With this in mind, the
stabilization of underactuated mechanical systems is focused on switched control methods
The structure of the proposed switched controller is inspirited from a finite time
quasí-homogeneous stabilization of a one-link manipulator. Although the controller
exhibits a so-called Zeno mode, it did not rely on the generation of sliding modes, While providing robustness features similar to those possessed by their sliding mode counterparts. A sliding mode of the second Order appears in the equilibrium point Only.
Thus, the desired stability property of the closed-loop system is provided by a switched controller, which drives the system to the zero dynamics manifold in finite time arId keep it there forever.
Robustness features of the controller and its perfornamce are illustrated in an
implementation study of swinging-up and balancing a Pendubot and by means of
simulations While the controller is applied a servo-motor with backlash.
Keywords: Switched control synthesis, Robust control, Underactuated systems.
Porque este trabajo es el resultado de todo su esfuerzo y
dedicación.
Primeramente a mis papás por siempre darme lo mejor de ellos, por su apoyo en todo momento, por la paciencia que me han tenido durante toda mi vida, y a la familia por estar siempre al pendiente de mi.
Amis ami os de ensenada Ana Berenice Brenda Carolina Damián Daniel Ernestina,7 1 'J P 3 J
Hugo, Luis, Néstor y Perla, por su compañerismo, por esos gratos momentos compartidos, y por ayudarme en esas difíciles etapas de la vida, gracias por ser parte de mi vida.
A mis profesores por su eterna paciencia y confianza depositada en mí, y a mis sinodales por sus valiosas aportaciones a este trabajo de tesis.
Al Dr. Antonio Ramírez Treviño por motivarme a realizar estos estudios de postgrado.
Por ultimo, pero no menos importante, al CONACYT y a través de él, a todos los mexicanos que me hacen posible recibir esta formación académica.
Página
Resumen ii
Abstract iii
Agradecimientos v
Lista de Figuras viii
Lista de Tablas Xi
C.».'Jl§~JI-ll-1
I Introducción
I.1 Motivación . . . _ . I.2 Objetivos . . . . I.3 Organización del manuscrito . . . _ .
QDGEGBU3
II Control por modo Zeno
II.1 Introducción . . . _ .
II.1.1 Sistemas conmutados . . . _ .
II.l.2 Comportamiento tipo Zeno . . . _
II.2 Sistema de ecuaciones utilizadas para generar el comportamiento tipo Zeno . . . _ . . _. 12 II.2.l Análisis de la respuesta del sistema nominal (io E O) _ . _ _ . 14
II.2.2 Análisis de la respuesta del sistema con perturbación (io sé 0) 15 II.3 Metodología del diseño del control . . . _ _ 19 II.-4 Aplicación del control tipo Zeno a un sistema con un grado de libertad 26
III Aplicación del control al Pendubot 33
lII.1 Modelo del Pendubot . . . _ . . . _ _ 34
III.2 Control para llevar al Pendubot a una vecindad del origen . . . _ 35 III.3 Desarrollo del control para estabilización local . . . _ _ 37 III4 Ley de cambio de estructura del controlador . . . _ _ 43 IV Implementación del control del Pendubot 46
IV.1 Implementación del controlador con dinámica Zeno en un simulador numérico . . . _ 47 lV.1.1 Sistema sin perturbaciones . . . _ 47 IV.1.2 Sistema con perturbaciones paramétricas . . . _ _ 55
IV.1.3 Sistema con perturbaciones externas acopladas y desacopladas 60
IV.2 Resultados experimentales . . . _ _ . . . _ . . . _ . _ . _ 65
IV_2_1lmplementación . _ _ . . . _ . . . _ _ . . . _ . . _ . 66
IV_2_2 Resultados considerando parámetros del modelo igual a la planta 69 IV.2.3 Resultados cambiando parámetros del modelo . . _ . . . . _ . 80 V Aplicación del control al sistema con juego mecánico y fricción 87 V.1 Modelo del sistema con juego mecánico y fricción _ _ . . . _ _ . . _ _ 87 V_2 Desarrollo del control _ _ . . _ . . _ . . . _ _ . . . _ . _ . . _ . . _ _ 90
V.3 Implementación del control en el simulador numérico . _ . . . _ _ _ 9-4
Conclusiones 98
Bibliografía 103
A Análisis del sistema generador de comportamiento Zeno. 106
B Cambio de forma afín a regular 114
C Descripción del equipo 116
C.1 Planta . . _ . . . _ . . . _ . . . . _ . . . _ . . . _ _ . _ 116 C.2 Electrónica de control . _ _ _ . . . . _ . . . . _ . _ . . . _ _ . 117
Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 41. Czòbøn-*C3 - ¿-_: -n 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Página
Plano de fase del sistema (7) presentando la dinámica Zeno con of : 20,
(3 = 10 y w E 0 . . _ _ _ _ _ . _ _ _ _ . _ . _ _ . . . _ _ . _ _ _ . _ _ _ _ _ 14 Variables de estado del sistema (7) presentando la dinámica Zeno con o¿=20,,6=10yw20_ . _ . _ _ . . _ . . . _ _ . . _ . . . _ _ _ __ 15
Plano de fase del sistema (7), cuando no se cumplen las restricciones 16 Variables de estado del sistema (7), cuando no se cumplen las restricciones (8) _ _ _ _ . _ _ . _ . . _ _ _ _ _ . _ . _ . _ _ _ . . _ _ . _ _ _ _ . . _ _ _ _ 16
Pla11o de fase del sistema presentando la dinámica Zeno con perturbaciones. 17 Variables de estado del sistema presentando la dinámica Zeno con per-turbaciones_ _ . _ . _ _ _ . _ _ . . . _ . _ _ _ . . _ _ . _ _ . . _ _ _ . _ _ 18 Sistema de un grado de libertad con resorte y fricción. _ . _ . . _ _ _ _ 26
Trayectoria 1:1 del sistema y trayectoria deseada zrdl . . _ _ . _ . . _ _ _ _ 30 Trayectoria x2 del sistema y trayectoria deseada 112,12 _ . _ _ _ . _ _ _ . _ _ 31 Plano de fase del sistema y y 3) presentado la dinámica Zeno _ . . _ _ _ _ 31 Magnitud de la perturbación w/ 10 y el error de posición fy _ _ . _ _ . _ _ 32 Dinámica de la señal de control . . . . _ . . . . _ _ . _ _ _ . _ . . . _ _ _ 32 A) Fotografía del sistema físico de un pendubot, mostrando los dos
eslabones, B) Esquema mostrando las dos variables de estado y la entrada
de control T1 consideradas para su modelo matemático. . _ _ . . . _ _ _ 34
Trayectorias de posición ql y q2 del sistema Pendubot sin perturbaciones. 49
Velocidades ql y c_i2 del sistema Pendubot sin perturbaciones_ _ . _ _ _ _ 50 Plano de fase del sistema EN presentando al final dinámica Zeno, sin perturbaciones. . . . _ . _ . _ _ _ _ . . _ . _ . _ _ _ . . _ _ . _ . _ . _ _ 51 Dinámica de la señal de control_ . . _ . _ . _ _ _ . _ _ _ . . _ _ . _ _ _ _ 52 'Irayectorias de posición ql y qg del sistema Pendubot sin perturbaciones
y con control suavizado. . . . _ _ _ . . _ _ . _ . _ . _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ 53 Velocidades ql y qg del sistema Pendubot sin perturbaciones con suavizado 53 Plano de fase del sistema EM presentando al final dinámica Zeno, sin perturbaciones con suavizado. _ _ _ _ _ _ _ _ . . _ . _ . _ _ . . . _ _ _ _ 54
Dinámica de la señal de control con suavizado _ . _ _ _ . _ _ _ . _ _ _ _ _ 55
Trayectorias de posición ql y qg del sistema Pendubot con perturbación paramétrica y control suavizado . . _ _ . . _ _ . . _ _ _ . . _ _ . _ _ _ _ _ 56 Velocidades ql y (ig del sistema Pendubot con perturbación paramétrica y control suavizado . _ . . _ _ _ _ . _ _ _ . . _ . _ . . _ _ . _ . _ _ _ . _ _ 57 Plano de fase del sistema EH presentando al final la dinámica Zeno, con
perturbación paramétrica y control suavizaclo_ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ . . _ _ 58
Figura 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 Página
Dinámica de la señal de control con perturbación paramétrica y control
suavizado _ _ . . _ _ . _ _ _ _ _ . . . _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ . _ _ 59 Perturbación paramétrica ante control suavizado _ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ 69
Trayectorias de posición ql y qg del sistema Pendubot con perturbaciones
paramétricas y externas, y control suavizado . _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ 62 Velocidades ql y qg del sistema Pendubot con perturbaciones paramétricas y externas, y control suavizado_ _ _ _ _ _ . _ _ . _ . . _ . _ _ _ _ _ _ _ _ 63 Plano de fase del sistema En presentando al final dinámica Zeno, con perturbaciones paramétricas y externas, y control suavizado _ _ . _ _ _ 63 Dinámica de la señal de control con perturbaciones paramétricas y externas. 64 Dinámica de la señal de control con perturbaciones paramétricas y externas, y co11trol suavizado _ _ _ _ . _ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ . _ _ _ 65
Perturbaciones paramétricas y externas ante control suavizado _ . _ . _ _ 66 Comparación de la perturbación total calculada W y medida WO. _ _ _ 69 Trayectorias de posición ql y qg del prototipo Pendubot sin perturbaciones. 71 'Irayectorias de posición ql y q2 del prototipo Pendubot simuladas con el cálculo de la velocidad, sin perturbaciones. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Velocidades ql y qg del prototipo Pendubot sin perturbaciones . _ _ . _ _
Velocidades ql y qg del prototipo Pendubot simuladas con el cálculo de la velocidad, sin perturbaciones_ . _ _ . . _ _ _ _ . _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ _ Plano de fase del sistema Ep implementado en el prototipo presentando dinámica Zeno, sin perturbaciones. _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ 73 Plano de fase del sistema EN del prototipo simulado con el cálculo de la
velocidad, presentando dinámica Zeno, sin perturbaciones. _ . _ _ _ _ _ 74
Dinámica de la señal de control aplicada al prototipo Pendubot, sin perturbaciones. _ _ . _ _ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ . . _ _ . _ _ _ . _ _ _ _ _ _ 74 Dinámica de la señal de control aplicada al prototipo Pendubot simulado
con el cálculo de la velocidad, sin perturbaciones. _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ 75 Perturbación ocasionada por las dinámicas y errores no modelados_ _ _ 75 Trayectorias de posición ql y qg del prototipo Pendubot con las perturbaciones externas . _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ . . _ _ _ _ _ _ _ . . _ _ _ _ _ _ . _ _ _ 77 Velocidades ql y qg del prototipo Pendubot con las perturbaciones externas. 77 Plano de fase del sistema EH implementado en el prototipo presentando diná_mica Zeno, con las perturbaciones externas. _ _ _ _ _ . _ . _ _ _ _ _ 78 Dinámica de la señal de control aplicada al prototipo Pendubot, con las perturbaciones externas. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ 78 Perturbación ocasionada por las dinámicas y errores no modelados y las perturbaciones externas. _ _ _ . . _ _ . _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 79
72 72 73
Figura 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
Página Trayectorias de posición ql y qg del prototipo Pendubot con la perturbación paramétrica_ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ _ 81
Velocidades ql y qg del prototipo Pendubot con la perturbación paramétrica 81
Plano de fase del sistema EN implementado en el prototipo presentando dinámica Zeno, con la perturbación paramétrica_ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 82 Dinámica de la señal de control aplicada al prototipo Pendubot, con la perturbación paramétrica_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ 82 Perturbación total ocasionada por las dinámicas y errores no modelados y por la perturbación paramétrica _ _ _ . . _ . _ _ _ . _ _ _ . _ _ _ _ _ 83
Trayectorias de posición ql y qg del prototipo Pendubot con las perturbaciones paramétríca y externa. _ _ _ . _ _ _ _ _ _ . . _ _ _ . _ . _ _ _ . _ _ _ _ _ 84 Velocidades ql y qfg del prototipo Pendubot con las perturbaciones paramétrica
y externa. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ . _ _ _ _ . _ . _ _ _ . _ . _ _ _ 84 Plano de fase del sistema EN implementado en el prototipo presentando dinámica Zeno, con las perturbaciones paramétrica y externa. _ _ _ _ _ 85 Dinámica de la señal de control aplicada al prototipo Pendubot, con las perturbaciones paramétrica y externa. _ _ . _ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 85
Perturbación ocasionada por las dinámicas y errores no modelados y por las perturbaciones paramétrica y externa_ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 86 Representación grafica del sistema con efecto de juego mecánico y fricción. 88 Aproximación del torque transmitido a la carga. Con j = 0.2 y K = 1 _ 89 Valores del estado del motor del sistema. _ _ _ . _ _ . _ _ _ _ _ . _ _ _ _ 96 Valores del estado de la carga del sistema. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 96
Plano de fase del sistema /.L y ll presentando dinámica Zeno. _ _ _ _ _ _ 97
Dinámica de la señal de control rm. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ . _ _ 97
Tabla l
Il III
IV
V
VI
VII
VIII
Página
Parámetros físicos implementados en la planta y en el controlador en el
simulador. _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 28
Parámetros físicos utilizados en el modelo del Pendubot _ _ _ _ _ _ _ _ _ 35 Parámetros obtenidos del manual del pendubot y las constantes del control utilizados para el controlador de los casos sin perturbación. _ _ 47
Parámetros utilizados como nominales tomados de Utkin et al. 1999 y
constantes del control utilizados para el controlador de los casos perturbados_ 56
Porcentaje de variación de parámetros del modelo de Utkin et al. 1999 y del modelo de CICESE. . _ _ . _ _ . _ _ _ _ . _ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ _
Parámetros utilizados en la implementación del controlador usando los
valores nominales del prototipo. . . _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _
Parámetros utilizados en la implementación del controlador usando los valores tomados de Utkin et al. 1999 . _ _ _ . _ _ _ . . _ _ _ . _ _ _ _ _ _ 80 Parámetros correspondientes al modelo de juego mecánico y fricción existente y los parámetros utilizados en el controlador. _ . _ _ _ _ _ _ _ 95
56 70
Introducción
0 I
I. 1
Motivaclon
Los sistemas mecánicos subactuados se caracterizan por tener menos actuadores que grados de libertad. Estos sistemas poseen propiedades no-holonó1nicas (causadas por restricciones diferenciales no integrables), no satisfacen la condición de Brockett y, aunque satisfacen ciertas propiedades de controlabilidad no lineal, éstas no son suficientes para probar completa controlabilidad del sistema mecánico (ver Anake 2003). Por todo lo anterior, estos sistemas no pueden ser estabílizados, incluso localmente, por leyes
de control diferenciables (ver Berkemeier y Fearing 1999; Zhang y Tarn 2002; Analre
2003). Algunos ejemplos de este tipo de sistemas son: helicópteros, vehículos acuáticos, vehículos terrestres, robots móviles, robots espaciales y manipuladores subactuados Debido a que estos sistemas abundan en la vida real, es importante diseñar métodos de control con buen desempeño en la práctica. Esto significa, entre otras cosas, que deben tener buenas propiedades de robustez; es decir, deben ser capaces de soportar
incertidumbres paramétricas y dinámicas no modeladas_
El control por modos deslizantes presenta principalmente la característica de rechazo
a las perturbaciones paramétricas y dinámicas no modeladas, presenta una frecuencia de conmutación infinita en un tiempo finito ya u11a convergencia asintótica al origen. Aunque el comportamiento tipo Zeno (Liberzon 2003; Lygeros et al. 2003) también
de segundo orden (Levant 1993) únicamente en el punto de equilibrio. En contraste con el algoritmo estándar de control por modos deslizantes, el cual es capaz de proveer de estabilidad a un sistema en un tiempo infinito, el controlador basado en comportamiento tipo Zeno estabiliza a un sistema en tiempo finito_ Debido a lo anterior, la estructura del controlador conmutado propuesto en este trabajo está basado en un sistema
cuasi-homogéneo que presenta una dinámica tipo Zeno (Orlov 2003a; Orlov ct al. 2003c)_
Con la finalidad de aportar un nuevo tipo de control conmutado aplicable a los sistemas subactuados mencionados anteriormente, en este trabajo de tesis, se describe
un procedimiento de diseño de control conmutado con dinámica tipo Zeno que estabiliza
localmente en un punto deseado un sistema electromecánico subactuado de dos grados de libertad. En el procedimiento de control primeramente se especificará una salida para asegurar que la correspondiente dinámica cero es por lo menos local y asintóticamente estable. Una vez que dicha salida ha sido seleccionada, la propiedad de estabilidad
deseada en el sistema en lazo cerrado es asegurada mediante la aplicación de un
con-trolador conmutado, llevando el sistema a la superficie de dinámica cero en tiempo finito. Las capacidades del método serán ilustradas con simulaciones numéricas e
implementación de prototipos del sistema mecánico llamado Pendubot, asi como en un motor con transmisión directa.
I.2
Objetivos
El objetivo general de este trabajo es proponer un procedimiento de diseño de un
controlador conmutado para sistemas electromecánicos subactuados con dos grados de
Para esto se requiere cumplir con los objetivos particulares siguientes:
0 Encontrar formas regulares de modelos de sistemas electromecánicos subactuados, con la finalidad de encontrar una salida que proporcione una dinámica cero
estable.
0 Construir de un control hibrido, en el sentido de comnutar la ley de control dependiendo de la región de atracción del controlador local, para ampliar la región de estabilidad del sistema en lazo cerrado.
0 Simular e implementar en los prototipos los diferentes controladores desarrollados durante el trabajo. Los prototipos a estudiar serán un sistema mecánico llamado
Pendubot y un motor con transmisión directa.
0 Determinar las condiciones que permitan un mejor desempeño de este tipo de sistemas de control.
I.3
Organización del manuscrito
Este trabajo está organizado en siete capítulos, tres apéndices. Primeramente, en el
Capítulo I se expresan las motivaciones y objetivos de este trabajo de investigación.
En el Capítulo Il se aborda de manera muy rápida los sistemas híbridos, a los cuales pertenecen cierto tipo de sistemas conmutados. Al término de esto se explica
en que consiste la dinámica o comportamiento Zeno, algunas ecuaciones que presentan esta dinámica y su dese1npeño_ En este mismo capítulo se presenta la metodología de
de equilibrio inestable para un sistema subactuado de dos grados de libertad, el cual es comúnmente llamado Pendubot, presentándose en este mismo capítulo el modelo matemático utilizado.
En el Capítulo IV se tratará la implementación del controlador desarrollado en el Capitulo III. En la primera parte se expone su programación en el simulador numérico
Simnon® y en la segunda parte se expone su implementación práctica. Tanto en la
simulación como en la implementación fisica se contempló el trabajo sin perturbaciones, así como con perturbaciones paramétricas y externas.
En el Capitulo V se desarrollará el control para un sistema que exhibe juego mecánico y fricción. Al igual que en el Capítulo III, en este capítulo se presenta el modelo
matemático utilizado, así como los pasos seguidos para su desarrollo.
En el Capítulo Vl se expone la programación del control desarrollado en el Capítulo
V en el simulador nu1nérico_
El Capítulo VII contiene las conclusiones que se generaron a partir de este trabajo, también se presentan los trabajos futuros y posibles soluciones que podrían ser de
utilidad para solucionar los problemas encontrados.
en el desarrollo del control discontinuo propuesto en este trabajo. En el Apéndice C se
Control por modo Zeno
9 P
II. 1
Introduccion
En este capitulo se dará una breve explicación de sistemas conmutados y luego de la dinámica conocida como de tipo Zeno, la cual es un tipo de comportamiento de
sistemas híbridos. Con base en este conocimiento se describirá uno de tantos sistemas de ecuaciones que generan la dinámica Zeno, cuyo análisis matemático es expuesto en el Apéndice A del presente trabajo. Posteriormente se ilustrarán sus propiedades de robustez en un sistema de un grado de libertad, el cual es un sistema que consiste de un
resorte y presenta fricción tipo Coulomb_ Se implementará la planta y el controlador
en un simulador numérico; en él se hace variar sus parámetros para provocar una perturbación. Conocidos los sistemas discontinuos, la dinámica Zeno y las propiedades que tienen las ecuaciones adoptadas para este trabajo de tesis, se plantea la metodología
de diseño del controlador que se siguió en este trabajo. Para fines de simplificación en la escritura, se adoptará en este trabajo la frase “control por modo Zeno”, en lugar de
“sistema de control con dinámica tipo Zeno”.
II_1_1
Sistemas conmutados
En la práctica, muchos sistemas presentan una dinámica tanto continua como discreta
contienen una dinámica tanto discreta como continua, cada una de las cuales depende
de la otra.
Un ejemplo de este tipo de sistemas híbridos es el de un automóvil (Liberzon 2003), cuyo movimiento puede describirse de manera simplificada por el modelo siguiente:
iÍ?1=íC2
ÍÍÍ2 : f(a'›C)›
c = g(:r2,a_), (1)
donde las variables de estado contínuo son la posición :cl y la velocidad 9:2 del automóvil y la variable de estado discreta c son los cambios de las velocidades que tiene la caja
de transmisión del carro. La función f (a_, c) determina la aceleración que tendrá el
auto, que depende de la aceleración a_ del motor y la velocidad c puesta en la caja de
transmisión. Para fines de este ejemplo no es necesario mostrar explícitamente dicha
función, sólo se dirá que ƒ(a, c) está definida únicamente para algunos valores de c. La velocidad $2 y aceleración :tg del auto serán independientes de la aceleración del motor a cuando c = 0 (velocidad neutra del carro). La velocidad será negativa cuando c : -1
(velocidad de reversa), y será positiva cuando c > 0 (velocidades para avanzar), en
ambos casos la aceleración :iz-2 aumentará conforme aumente a, y disminuirá conforme aumente c. Este es un claro ejemplo de un sistema híbrido donde el control de las conmutaciones g(:r2,a) lo ejerce el carro cuando la transmisión es automática, o el
conductor cuando ésta es 1nanual_
El estudio de este tipo de sistemas es interdisciplinario, requiriendo de la atención de
se enfocan principalmente a estudiar el comportamiento discreto del sistema, mientras que la parte continua tiende a tener una forma simple (Liberzon 2003). Por el otro lado,
muchos estudios e investigaciones en teoría de sistemas y control tienden a relegar a los sistemas híbridos a sistemas continuos con eventos de conmutación y ponen principal
énfasis en propiedades del estado continuo, teniendo como principal tarea el análisis y
diseño de controladores para este tipo de sistemas. Un ejemplo de estos dos puntos de
vista es encontrado en Cuipers y Reniers 2003 y en Zhang ct al. 2001, en los cuales es abordada la dinámica tipo Zeno, la cual será explicada mas adelante en este mismo
capítulo; en el primer publicado se observa la descripción y el enfoque desde el punto de vista computacional; en el segundo, se observa en enfoque del análisis desde el punto
de vista de sistemas de control.
A estos sistemas, donde se considera el sistema continuo en tiempo con eventos de conmutación discreta aisladas, son llamados sistemas conmutados (Liberzon 2003). Se puede obtener un sistema conmutado a partir de un sistema híbrido al no poner atención
especial a su comportamiento discreto, y a su vez considerar los diferentes posibles patrones que ocasionan conmutaciones en el sistema. Esto representa la principal diferencia del sistema conmutado al sistema híbrido, específicamente en el análisis de éste.
Los eventos de conmutación en los sistemas conmutados pueden ser autónomos, es
decir, no tenemos acceso a modificar los eventos de conmutación; pueden ser controlados, es decir, es posible modificar los momentos en que se generen las conmutaciones; y
Los sistemas que abordaremos y utilizaremos en este trabajo serán los autónomos dependientes del estado. Imaginemos entonces el espacio de estado de nuestro sistema
dividido en regiones definidas por las superficies de discontinuidad, en donde el sistema tendrá un comportamiento diferente en cada una de las regiones. Cuando el estado del sistema llega a alguna de estas superficies conmuta a otra región y su nuevo estado dependerá de una regla llamada mapa, de reinicio. El caso que se aborda en este
trabajo considera que el mapa de reinicio es la identidad, es decir, el nuevo valor de estado del sistema después de la conmutación será el mismo, pero el comportamiento
del sistema será el correspondiente a su nueva región en el espacio de estado. Debido a esto podemos ver que el estado del sistema será continuo en todo el espacio de estado,
aunque su comportamiento conmute un número indefinido de veces.
II_1_2
Comportamiento tipo Zeno
Un tipo de solución o comportamiento definido para cierto tipo de sistemas conmutados es el llamado tipo Zeno (ver Liberzon 2003; Bérard y Picaronny 2000; Zhang et al. 2001). La dinámica tipo Zeno se hace presente cuando los intervalos de tiempo entre
eventos de conmutación del sistema generan una secuencia y la sumatoria de esa
secuencia converge a un valor finito (Zhang et al. 2001; Bérard y Picaronny 2000).
El comportamiento tipo Zeno puede explicarse mediante el comportamiento de una
pelota que rebota verticalmente sobre una superficie plana. La pelota tendrá una altura h conocida con respecto a la superficie plana, considerando la velocidad de la pelota fu con signo positivo cuando su dirección es ascendente. Normalizando la constante de la
gravedad y considerando que no existen fuerzas de fricción ejercidas entre el aire y la
h=f¿_›,
fu:-1.
Un instante antes de que la pelota toque el suelo, tendrá una velocidad negativa
(en dirección hacia el suelo) proporcional a la altura desde la cual se dejó caer, y un instante después de tocar el suelo su nueva velocidad será de acuerdo con el mapeo
de reinicio v(t) : -ro(t*), donde v(t_) es la velocidad justo antes de tocar el suelo,
o(t) es la velocidad justo después de tocar el suelo, y fr G (0 1) es el coeficiente de
restitución, que nos dice cuánta de la velocidad se mantiene y cuánta se pierde por
el choque. En este caso el estado es continuo a tramos, pero lo que nos interesa es mostrar el comportamiento tipo Zeno que muestra este sistema. Este sistema se puede ver como un sistema con conmutación por estado y con efecto de impulso, es decir,
mapa de reinicio diferente a la identidad. La conmutación es realizada cuando h = 0.
Haciendo la integración de las variables de estado se obtiene
hn) _
li “2*°)2 +«_›(±_,)(± _ ±_,) + wo),
'v(f) = -(If - fo) + 'v(fo)-
(2)
Supongamos que la pelota se deja caer inicialmente desde una altura cualquiera y que tomamos como condiciones iniciales el estado (h_,o) justo después de tocar la
superficie, o sea, h(t0) = 0 y 'v(t0) = a, donde to : 0 es el tiempo inicial. Se tiene entonces
11:2
h(Ú) = _--|-Gli,
2
Entonces podemos saber que tardará 2a_ unidades de tiempo en suceder la siguiente
conmutación, esto es en t = 2a., la velocidad justo antes de la conmutación será fu(2a_) : -a y después será fu(2a+) := ar. Ahora, utilizando (2) y con las condiciones iniciales
151 : 2a, h(t1) = 0 y v(t1) : ar se tiene
h(t) 2 - + (É - 2a_)a/r, (3)
'u(t) = -t -I- a_(2 + fr). (4)
Ahora podemos saber que tardará 20,7" unidades de tiempo en suceder la siguiente
conmutación, esto es en t = 2a -|- 2a_r, la velocidad justo antes de la conmutación
será 'u((2a_ + 2a_r)"') = -ar y después será 'u((2a_ + 2a/r)+) : arg. Podemos ver que
los tiempos de conmutación generarán la secuencia 2a, 2a -l- 2a'r, 2a -I- 2er + 2ar2, 20, + 2a/r + 2ar2 + 2a_r3,___ y las velocidades iniciales forman la secuencia a, ar, a_r2, a_r3,___ y así sucesivamente. Lo interesante es concluir que los tiempos de conmutación tienen puntos de acumulación finitos, y la suma de los periodos entre conmutaciones es la serie geométrica:
OO 2a,
22GTk:ì-3, 0<'ï'<I_
kr-0
Dado que h(t) y v(t) obtenidos bajo los razonamientos anteriores convergen a cero cuando t -› %, es natural extender la solución a un tiempo más allá de este tiempo límite como:
s(†±),@(±) 1: 0,
fs 2
(6)
Entonces, antes de llegar al tiempo definido por la convergencia de (5), el sistema
ecuaciones simplificadas, que describen el comportamiento de una pelota rebotando verticalmente sobre una superficie plana, presentan comportamiento tipo Zeno.
En los sistemas reales hay más factores involucrados en su comportamiento. Por
ejemplo, en el caso de la pelota, es razonable pensar que rebotará un número infinito de veces antes de dejar de rebotar_ Esto es debido a que existe una zona en la cual la pelota toca el suelo e inicia su deformación acumulando energía. Una vez que la elasticidad de la pelota y la fricción absorbieron la energía que tenía, la pelota tenderá a regresar a su
forma original entregando la energía absorbida, un poco como fricción y el resto como velocidad ascendente. Cuando la energía remanente en la pelota no es suficiente para salir de esa zona, entonces se quedará en ella, terminándose de esa manera los rebotes. Existen otros ejemplos de sistemas que generan este comportamiento tipo Zeno en su
modelo simplificado pero no en la realidad (Cuipers y Reniers 2003; Liberzon 2003).
II_2
Sistema de ecuaciones utilizadas para generar
el comportamiento tipo Zeno
Primeramente se muestra en la ecuación
M1 = /-/»2
te = -0wis'fl›(M1)-fiS¢9fl(/±2)+w(ML)›
(7)
donde: |w(t,/_L)| < M, ,Lt = [/.¿1,¡u_2]T,
un sistema que genera una dinámica tipo Zeno (ver Orlov 2003a; Orlov et al. 20030;
las cuales son el eje ¡ul y el eje ag. El término fw engloba las posibles perturbaciones que se puedan presentar, el cual está en función del estado del sistema y puede estar
también en función del tiempo. Esta función puede ser no conocida, pero está acotada
por un valor máximo conocido M.
El sistema (7) presenta comportamiento tipo Zeno. Las trayectorias cruzan las
superficies de discontinuidad formando una espiral alrededor del origen y a medida
que el tiempo avanza las conmutaciones son más frecuentes hasta que se llega al origen en tiempo finito, permaneciendo ahí por el resto del tiempo, con una frecuencia de conmutación arbitrariamente grande. Este sistema de ecuaciones mantendrá este
comportamiento mientras se cumplan las siguientes restricciones
a-fi>M<,8_
(8)
La primera restricción of-,(3 > M asegura que el sistema no genere modos deslizantes sobre el eje ul. M < 6 nos garantiza que el sistema sea globalmente estable en tiempo finito, es decir, que sus trayectorias nos lleven al origen en tiempo finito y que ahí se mantengan (Orlov 2005). El análisis matemático de las ecuaciones que generan la
En esta sección se ilustrará la dinámica del sistema sin considerar perturbaciones, es decir w = 0. Para ello se utilizó el paquete Simnon®1_ Primero se presenta la respuesta
del sistema respetando las desigualdades (8): de esta forma se proponen los parámetros of : 20 y 6 = 10 para las figuras 1 y 2. En la Figura 1 se muestra la trayectoria de fase del sistema en el que se exhibe la dinámica Zeno; el estado del sistema cruza las áreas de
discontinuidad un número infinito de veces hasta llegar al origen en tiempo finito. En
la Figura 2 se muestran los valores de las dos variables de estado con respecto al tiempo.
4- . . _ _ _ _ _ _ _ _ _ . . . _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ . . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . . . _ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ . _ . _ . _ . _ _ _ . _ . _ _ _ _ _ _ . . . _ _ . _ _ . . _ . .___ 2.. _ _ , _ _ _ . _ . _ _ . _ _ _ _ _ _ . . . . ¬ _ . . _ _ _ _ . . _ . . . _ . . . _ _ -. _ _ _ . _ _ _ _ _ . _ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ . . . . _ . . . _ . . . _ . . . _ _ _ .__
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FÍg“L11`8_ 1: Plano de fase del sistema (7) presentando la dinámica Zeno con of = 20, ,B : 10 y fu; E 0.
Para corroborar el comportamiento del sistema cuando se violan las desigualdades establecidas anteriormente, se implementó el sistema Zeno con los parámetros: of = 10
y fi 2- 20. Por lo encontrado en el conjunto invariante máximo expuesto en el Apéndice
A, si cr < 6 entonces el eje 11:1 será un continuo de equilibrios, en este caso, las
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8 _ 4 I I I I
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Tiempo [s]
Figura 22 Variables de estado del sistema (7) presentando la dinámica Zeno con of : 20, [3 : 10 y
trayectorias que lleguen al área de discontinuidad formada por el eje al se quedarán en ella, esto supone la generación de modos deslizantes. En la Figura 3 se refleja este
comportamiento cuando la trayectoria de fase se queda en el eje 11:1 y es corroborado en la figura 4, donde se muestran las variables de estado con respecto al tiempo.
II.2_2
Análisis de la respuesta del sistema con perturbación
('w rá 0)
Ahora, para mostrar la robustez de este sistema a las perturbaciones (ver ecuación
(7)), se agregó al sistema una perturbación periódica w = 10 sen(30t) cuya amplitud es mayor a cualquiera de las variables de estado del sistema (7), esto con la finalidad de probar la capacidad de rechazo a la perturbación. En la Figura 6 se puede ver que dicha amplitud de 'LU es mayor a la amplitud de las variables de estado del sistema;
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Figura 32 Plano de fase
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del sistema (7), cuando no s
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II.3
Metodología del diseño del control
Con la finalidad de estabilizar un sistema subactuado asintóticamente en forma local
alrededor de un punto de equilibrio inestable, se busca una salida que asegure que
el sistema sea de fase mínima. Una vez que la salida es seleccionada, la propiedad de estabilidad deseada en lazo cerrado es lograda a través del controlador conmutado
que lleva al sistema a la superficie de dinamica cero en tiempo finito (Orlov 2003b). La estructura del controlador conmutado utilizado en este trabajo es inspirado en el
controlador cuasihomogéneo de Orlov et al. 2004 y su comportamiento es analizado en
el Apéndice A.
Consideramos un sistema mecánico modelado por el método Lagrangiano, los cuales son representados por conjuntos de ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden
interconectadas, de la forma
J(f1)<`1' = f(f1,<i) + Bu,
donde la variable de estado q G ÉR", fu, G ålìm es un vector de fuerzas generalizadas, los elementos de la matriz B son 0 ó 1, y rango(B) = m. En particular, en los sistemas rotacionales, la matriz J(q) es la matriz de momentos inerciales. Es posible que el sistema sea subactuado, es decir, que el sistema tenga menos actuadores que grados de
libertad con n > m 2 1. La metodología del diseño del control conmutado utilizada en
este trabajo sólo considera los sistemas de dos grados de libertad subactuados, es decir
H.:-2ym=l.
Jul vfiil'
no Q
ql _
fÍ2 = f2(q› Ó) + š2(fJ)'U Q = lq1›q2lT G R2» 'U 5 ÉR1- (9)
Paso 1:
Escribir, de ser posible, el sistema (9) en su forma regular:
ã : ƒlfizayaåag)
'J = f2(2,'y,2,@))+bz(2,1/lw
b27É0, 2,@/fuëëlïl
(10)
para ello se puede utilizar la técnica presentada en Utkin et al. 1999 y expuesta en el Apéndice B, en la cual se aplica la transformación
Z : G1 -<P(?J)
390 51
'y qg OH 8 ôq2 b2
Se supone que el origen del sistema (10) es un punto de equilibrio en lazo abierto,
por lo tanto
f1(0›0~›0›0) : 0:
f2(Ú,U,O,0) 2 O.
Paso 2:
Se proponen los cuatro casos particulares siguientes, mediante los cuales es seleccionada
Caso 1:
El sistema (10) con la salida A = y es de fase mínima, es decir, el sistema
'ã : f1(Z›0›^'å1
es asintóticamente estable. En este caso la salida A es de grado relativo dos, por ello es seleccionada como la salida ju para el controlador discontinuo. Al hacer ¿L : 0 entonces (11/,3)) -I (0,0). Dado que (11) es asintóticamente estable entonces -› (0,0), por
lo tanto el origen del sistema (10) sera asintóticamente estable en lazo cerrado.
Caso 2:
El sistema (10) con la salida A = z es de fase mínima, es decir, la ecuación de primer orden
ƒ1(0›y›0›Ú) : 0
es asintóticamente estable, entonces se busca estabilizar a z en el origen.
En este caso se considera el sistema (10) es descrito por el sistema de ecuaciones
'ã : .Í-11(Z›y›'à'› ,J)f12(Z›,é/afà) li) : f2(Z›,y›Z-fa -I- b2(Zay)u›
/-I' : f12 + klz + k2'á› k1:k2 > O1
ƒ11(Z:y›Z1,É/) 2 É > 0: V/(znyazz G U' 2
Al seleccionar la salida ju, de (13) y estabilizarla en el origen, la dinamica reducida de z sera
2 : _f11(z›y›É›fÚ)(k1Z+k2*à)›
representándose con el sistema de ecuaciones
. : _¿'31 _|_ _ ,1 z k2z ICQ@
. _
le
la
,_
_
_
G - --z -I- -§ - l.,2f11§, donde § - klz + 11:22:. (16) ke ¡$2
Con la función candidata de Lyapunov V : -â-(11322 + $2) se obtiene ' _ ki 2 kl 2
V- -EZ <f11k2-z:;)fÍ›
se observa que al cumplir (14), la dinamica de (15) será asintóticamente estable en el
origen, y por la estabilidad asintótica de (12) el sistema (10) será estable en el origen.
Por lo tanto, la región de atracción para este caso es el conjunto maximo de puntos fu
en la vecindad del origen que satisface la restricción (14). Caso 3:
En este caso se considera que el sistema (10) es descrito por el sistema de ecuaciones
ã : ƒl1(z›y›2.:›y.)ƒ12(Z›y›'á) +f13(Z:y›à›
ii = f2(Z,:u, mi) + b2(z,:u)v¬
de grado relativo 2 con respecto a la salida ,u., en donde la única solución (en la vecindad del origen) de la ecuación algebraica
.f12(0›Í/10): 0
es y = O, y con las restricciones
Í?
fu 2 É > 0,
(19)
2
F6 .
lf13| É <f11- |k1Z+ k2Z|- (20) 2
Con la salida ju de (17) estabílizada en el origen, la dinamica cero es
'ã : _ƒ1l(z›y›å› + f13(Z›?/:É:
representandose con el sistema de ecuaciones
. ¡U1 1
Z - *EZ -l” Ef,
- k2 lc _
f = -ÉZ + -_ k2f11f -l- kgfjg, Cl0I1Cl€ f = ÍíJ1Z -I' ÍCQZ. (22)
Con la función candidata de Lyapunov V : %(Í<:1z2 + $2) para el cual V := äfzd -(f11k2 - $2 + k:2f13§, se observa que al cumplir las restricciones (19) y (20), la dinamica cero (21) sera asintóticamente estable, y por la solución de la ecuación (18)
y -> O estabilizando asintóticamente el sistema (10) en el origen. Por lo tanto, la región
de atracción para este caso, es el conjunto maximo de puntos en la vecindad del origen
La función fl en (10) no depende de 3), entonces se tiene el sistema
É : ƒ1(Z:y:
ff : ƒ2(Z› ya + b2(Z›y)U'1 b2 ïé 0:- Ziyau G R1
/'I' : ƒ1+k1Z+k2É› f1(0›y›0):01
En este caso se considera que dicho sistema es de grado relativo dos con respecto a la
salida ju, y la solución (en una vecindad del origen) de la ecuación algebraìca
f1(0› U, 0) = 0›
(24)
es y = O.
Al satisfacer p, = 0 entonces (z, -› 0, en estas condiciones dada la solución de la ecuación algebraìca (24), y -› 0, resultando que en lazo cerrado, el sistema (23) es
estable en el origen.
Paso 3:
Al tener seleccionada la salida que haga que la dinámica cero sea asintóticamente estable
y que ésta sea de grado relativo dos, obtenemos un sistema de la forma
/1 : fpcíziywåa + bplziyaz-'(11.5/)u: by. > 01 V/Kziyaàaá) E U
Compensando el sistema se busca que el sistema (25) genere una dinamica tipo Zeno, entonces se utiliza la ley de control:
U Z -fa ~ Of Sis11(u) ~ »G SisH(fl),
(25)
.U-generandose el sistema
/1 = -0«Sis11(M) - fiSiefl(/l)
(27)
el cual es el sistema (7) con w 2 0, mostrado en la Sección II.2.
Al considerar que no es posible obtener las funciones f,, y 1),, idénticas a las del sistema (25), al aplicar la ley de control (26) se presenta el sistema perturbado
._ . . b _ .
M = 'w(/-L, /JJ) -f sb S1s11(/1) - fi-b-"f"- S1sfl(/J)
un pm
_
b
40114@
wm, M) = fa - fan-*“
(28)
donde el término w una perturbación ocasionada por las diferencias entre las funciones f,,,b,,_ (de la planta) y las funciones ƒ,,,,,b,,,, (del modelo nominal considerado para
compensación). Esta perturbación puede ser no conocida, pero sí una cota inaxiina M.
Con los factores de of y fi seleccionados respetando las desigualdades de restricción
(8), la ley de control (26) lleva a ,u al origen en tiempo finito y por lo tanto el sistema (10) tiende al origen de manera asintótica debido a que dicho sistema es de fase mínima
con respecto a la salida ¡LL seleccionada.
Para evitar una selección innecesariamente grande de los valores de of y B, los valores recomendables son fx = 2,3, con una ,B ligeramente mayor a la cota inaxiina M; así ambas
desigualdades de (8) se cumplirán. Mientras mayor sea cr - ,B, el sistema de control llevará. la salida /.L mas rapidamente al origen, pero su valor no debe ser excesivo debido
con un grado de libertad
Con el fin de mostrar el desempeño de este tipo de control, se controlará. el sistema que
se presenta en la Figura 7, el cual consta de un bloque considerado una masa puntual m,
un resorte con módulo de Young k y una fuerza de fricción con amplitud ug, modelada como fricción de Coulomb. En este caso se desea que la posición xl de la masa siga una trayectoria específica.
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X1
Figura 7: Sistema de un grado de libertad con resorte y fricción.
Este sistema puede ser modelado por la ecuación
¿Í?1=ï2
k `
-$2 : :r1+u0s717gn(a:2) U :f+Bu,
f : _ k:r1+u0sign(:r2)
m 7
1 B:--.
m
Se propone el cambio de coordenadas yl : 2:1 - _:r;,_¿, mediante el cual se construye otro sistema de segundo orden basado en el error de la posición 1:1 con respecto a una referencia dada por xd.
fé'/1 = 121-ia
Úg = ílÍ'1-S-Ú¿:_f+BU-fÉ¿.
Teniendo este sistema en forma regular procedemos a buscar la salida que haga que la dinamica cero sea estable. En este caso el sistema no es subactuado, así que sólo tenemos que estabilizar yl. Seleccionando la salida ju = fyl, entonces cuando ¡L : 0 el sistema estara siguiendo la trayectoria deseada.
La ley de control propuesta es u 2 da S1gn('U') _ fislšllw) _ ƒmm + xd, donde fnm
es la función obtenida por el modelo matemático de la planta y calculada con los parametros obtenidos de dicha planta. Entonces el sistema en lazo cerrado estara
descrito por la ecuación
'Ú1 = 212
'92 = -0¢Si9fl(:u) - fiS'¿_<1H(1J)+ w,
(29)
w : f - fmm, ||w||OQ < M.
Para observar el desempeño de este sistema de ecuaciones de primer orden, se simuló
la estructura conocida de la planta y los parámetros de la primera columna de la Tabla I. El controlador se programó con la misma estructura de la planta, pero usando los
parámetros de la segunda columna de la Tabla I.
Tabla li Parámetros físicos implementados en la planta y en el controlador en el simulador.
Parámetros implementados en la planta Parámetros implementados en el control
_{20N Si |e1|<.5
4
_
kïï'
U0” _ ON si otro _ U0" _ UV
k * _ z
= 0.9-9
^ /«__ = 0.9@
s2 _ $2
mp = 0.9kg mp = 0.9kg _
Por lo tanto podemos encontrar en la ecuación
w __ 0.91121 + 'agp sign(:r2) + 0.9111 + unn sign(:r2)
0.9 0.9
<1- up) Sena)
|1- el <
= ~ = -ii 21.111 30
que la perturbación ocasionada por esa variación de parámetros tiene una magnitud aproximada de 21. Entonces la selección de los parámetros del sistema Zeno se realiza considerando las desigualdades (8), proponiéndose los valores oz : 110 y 6 = 50.
La señal seleccionada como referencia es un oscilador modificado de Van der Pol
mostrado en la ecuación
-2
el cual tiene las propiedades de poder modificase su frecuencia, su amplitud y su
velocidad de convergencia a su órbita periódica estable, por lo tanto es una buena forma de probar el sistema para llevarlo a una oscilación estable desde su punto de inicio cualquiera excepto el origen, y también probarlos cuando las condiciones iniciales del oscilador y de la planta son diferentes. El parámetro p y ,Lt modifican la amplitud y
la frecuencia de la orbita periódica respectivamente, y e modifica la rapidez del sistema
para converger a dicha orbita periódica estable. En la simulación numérica se utilizó
pg = 1, /,L = 1 y e = 1. Es posible encontrar el análisis de este oscilador modificado en
Orlov et el. 2004, donde se demuestra la existencia de su ciclo límite estable y la acción de cada uno de sus parámetros.
En las figuras 8, 9, 10, 11 y 12 se muestran los resultados obtenidos de la simulación de este sistema de un grado de libertad. En las figuras 8 y 9 se puede observar cómo rápidamente la posición xl y la velocidad :cg siguen a la señal de referencia $611 y 22,@
respectivamente, aún cuando los valores iniciales del sistema de resorte y de la señal de referencia son distintos.
En la Figura 10 se muestra en el plano de fase la trayectoria que sigue el sistema
presentando la dinámica Zeno. Recordando que las areas de discontinuidad son los
ejes 11:1 y 1:2, se muestra claramente en esta figura cómo el sistema pasa las áreas de
discontinuidad sin generar modos deslizantes, de manera que rápidamente alcanza el
origen y se mantiene en él.
X1
_ ___” -_ Xd1
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2 O______________________________________________________________________________________________
CON m
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Tiempo [s]
Figura 8: Trayectoria 1:1 del sistema y trayectoria deseada :cf¿1.
diferencia entre la perturbación y el valor de estado del sistema.
En la Figura 12 se muestra la señal de control aplicada. Se puede observar que su
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Figura 9: Trayectoria :cg del sistema y trayectoria deseada :r:¿2_
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Tiempo [s]
Capítulo III
Aplicación del control al Pendubot
Después de utilizado el control con dinámica Zeno para un sistema con un grado de libertad, se desea extender su aplicación al sistema del pendubot, el cual tiene dos
grados de libertad con un solo actuador, haciéndolo esto un sistema subactuado. La consigna es estabilizarlo en el punto de equilibrio donde los dos eslabones se encuentran completamente erguidos, es decir, ql = qg = 0. Se busca llevarlo a la vecindad del origen
y estabilizarlo ahí, ya que este punto de equilibrio inestable es el más complicado de
controlar, en comparación con los otros dos puntos de equilibrio inestables. Este es
un problema típico, utilizado frecuentemente para evaluar el desempeño de diversos
controladores.
El Pendubot es un sistema electromecánico que consiste de dos eslabones rígidos unidos por articulaciones rotacionales como se muestra en la Figura 13. La primera
unión es accionada mediante un motor DC de imán permanente que genera un par
T1; la segunda unión no está actuada. El Pendubot, en esencia, es similar al péndulo
clásico invertido; sin embargo, la naturaleza del acoplamiento dinámico entre los dos eslabones del Pendubot le confiere algunas propiedades interesantes, como propiedades
no-holonómicas y la característica que no es estabilizable por leyes de retroalimentación
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A) B)
Figura 13: A) Fotografía del sistema físico de un pendubot, mostrando los dos eslabones, B) Esquema mostrando las dos variables de estado y la entrada de control 'rl consideradas para su modelo matemático.
III.l
Modelo del Pendubot
El modelo matemático a usar (Utkin et al. 1999) es el siguiente:
M(q)fÍ + 0(q› €Í)fiÍ + G(f1) = 'G (32)
donde:
C11 Ge C0S(q1 _ (12)
M@ :
aa C0S(q1 - qe)
G2
l 1
C( _ 0 C13 S€11(Q1 _ Q2)fÍ-le
qlq _ _ -013 S€1'1(q1 _ fiI2)Ó1 0 1
y los valores de los parámetros son mostrados en la Tabla II.
Tabla ll: Pará.1r1et1'os físicos utilizados en el modelo del Pendubot
0.1 = JU -I- I1 -l- 'I7'lf1lš1+'ïïL2L% = TIZQZE2 -I- Ig W
G3 : m2L1l¢2 C14 : 9(m1l¢1 + m2L1)
G5 : m2glc2
Primeramente lo reordenamos para tenerlo en su forma afín,
F 1.11- B :I: al
(Í : FJFBT1: 1(fI1 (11 (12 (12) _|_ 1(fiI1 G1 (12 Q2lJ?_1, F2(fI1› G1, (12, G2) B2(f11,fl1› QQJÍ2) _ -M22(C12<Í2 + G1) + M12(C21<Í1 + G2) _
A
F1(Q1= fl1› G2, (12) = (33)
F2(q1'q1”q2°C°l2) +1l/Í12(C12fÍ2 + G1) -_ M11(C21fi1 + G2)
_ A _
_ -
-B1(q11ql›q21q2) :_ A A :
B2(f11›fÍ1›q2›fÍ2l -M12
_ A _
III.2
Control para llevar al Pendubot a una vecindad
del origen
En esta sección se describe cómo llevar el sistema de su estado de reposo (ql, qg) = (fr, rr), hacia la vecindad del origen denotada fu, para que el sistema de control local (que sera desarrollado en la Sección IIL3) actúe y estabilice al Pendubot en el punto de equilibrio
inestable (ql, gg) = (0, O).
Para solucionar este problema se propone llevar al sistema (q1,q1) al o1'ìgen con la