Ensenada, Baja California
MR
Maestr´ıa en Ciencias
en ´
Optica con orientaci ´
on en ´
Optica F´ısica
Efectos nolineales en la propagaci ´
on de pulsos en gu´ıas de
onda
Tesis
para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de Maestro en Ciencias
Presenta:
Mar´ıa de los ´Angeles Zazueta Garc´ıa
Mar´ıa de los ´
Angeles Zazueta Garc´ıa
y aprobada por el siguiente Comit ´e
Dra. Karina Garay Palmett
Codirector de tesis
Dr. Ra ´ul Rangel Rojo
Codirector de tesis
Dra. Sharon Zinah Herzka Llona
Dr. Horacio Soto Ortiz
Dr. Roger Sean Cudney Bueno
Dr. Israel Rocha Mendoza Coordinador del Posgrado en ´Optica
Dra. Rufina Hern ´andez Directora de Estudios de Posgrado
Mar´ıa de los ´Angeles Zazueta Garc´ıa © 2018
Resumen de la tesis que presenta Mar´ıa de los ´Angeles Zazueta Garc´ıa como requisito parcial para la obtenci ´on del grado de Maestro en Ciencias en ´Optica con orientaci ´on en ´Optica F´ısica.
Efectos nolineales en la propagaci ´on de pulsos en gu´ıas de onda
Resumen aprobado por:
Dra. Karina Garay Palmett Codirector de tesis
Dr. Ra ´ul Rangel Rojo Codirector de tesis
La ´optica no lineal estudia los fen ´omenos que ocurren como consecuencia de la modificaci ´on de las propiedades ´opticas de los materiales por la presencia de radiaci ´on electromagn ´etica inten-sa. Los compositos que contienen nanopart´ıculas met ´alicas embebidas en una matriz diel ´ectrica poseen propiedades interesantes, como una respuesta no lineal de tercer orden grande. ´Estas llaman la atenci ´on por la posibilidad de manipular la respuesta no lineal de un medio al poder controlar la composici ´on, densidad, forma y posici ´on de las nanopart´ıculas, brindando adem ´as la oportunidad de ser aplicadas en sistemas de procesado de se ˜nales que requieran dispositivos fot ´onicos en forma de gu´ıa de onda. Se han llevado a cabo pocos trabajos relacionados con gu´ıas de onda ´opticas compuestas por compositos de nanopart´ıculas met ´alicas en s´ılice. Por otro lado, otro tipo de gu´ıas de onda que resultan ´utiles para la observaci ´on de efectos nolineales de tercer orden son las fibras ´opticas microestructuradas. ´Estas ofrecen diversas ventajas para observar efectos nolineales sobre las fibras ´opticas convencionales utilizadas en telecomunicaciones. Por esto, en este trabajo de tesis se presenta el estudio de efectos ´opticos nolineales de tercer orden en medios guiados. Los medios guiados estudiados son gu´ıas de onda basadas en nanocompo-sitos consistentes de nanopart´ıculas met ´alicas embebidas en s´ılice y fibras microestructuradas. Se llevaron a cabo estudios de diversos aspectos de la propagaci ´on de pulsos ultra cortos en estos medios. Se estudi ´o la respuesta no lineal en medios guiados y se observ ´o la manifestaci ´on del fen ´omeno de automodulaci ´on de fase en las gu´ıas de onda de canal y una fibra microestruc-turada hecha en M ´exico. Se hizo un estudio te ´orico de las condiciones de propagaci ´on en los diferentes medios guiados usados. Tambi ´en se estudi ´o el fen ´omeno de mezclado de cuatro ondas te ´oricamente en las gu´ıas de onda de canal, haciendo una propuesta de dise ˜no te ´orico para su continuaci ´on en trabajo futuro, y se observaron resultados experimentales de fotones generados por este fen ´omeno en una fibra microestructurada comercial que indican que la predicci ´on te ´orica es adecuada y permiten tener un mejor modelo de dispersi ´on de la fibra, lo cual es parte escen-cial de la caracterizaci ´on de ´esta. Para esto fue necesario hacer el modelado de una dispersi ´on aproximada de las gu´ıas de onda y las fibras microestructuradas, as´ı como sus propiedades de empatamiento de fase.
Abstract of the thesis presented by Mar´ıa de los ´Angeles Zazueta Garc´ıa as a partial requirement to obtain the Master of Science degree in Optics with orientation in Physical Optics.
Nonlinear effects in the propagation of pulses in waveguides
Abstract approved by:
Dra. Karina Garay Palmett
Thesis Co-Director
Dr. Ra ´ul Rangel Rojo
Thesis Co-Director
The field of nonlinear optics studies the phenomena that occur as a consequence of the modi-fication of optical properties of materials due to the presence of intense electromagnetic radiation. Composites that contain metallic nanoparticles embedded in a dielectric matrix possess interesting properties, such as a large third order nonlinear response. These result interesting because they offer the possibility of changing the nonlinear response of the medium by controlling the composi-tion, density, form and position of the nanoparticles, thus giving the opportunity of being applied in signal processing systems that require photonic devices in the form of a waveguide. Few research jobs have been made related to optical waveguides composed of composites containing metallic nanoparticles embedded in silica. On the other hand, another kind of waveguides that are useful for third order nonlinear effect observation are microestructured optical fibers. These offer various ad-vantages to observe nonlinear effects when compared to regular to conventional optical fibers that are used in telecommunication technologies. For these reasons, this thesis presents the studies on third order nonlinear optical effects in some guided media. The guided media that are subject of study in this work are channel waveguides based on nanocomposites consistent of metallic na-noparticles embedded in silica and microestructured optical fibers. Studies about the propagation of ultrashort pulses in these media were developed. The nonlinear response in the guided media was studied and self-phase modulation effect was observed in the channel waveguides and one microestructured fiber made in Mexico. A theoretical study on the propagation conditions in the dif-ferent media was made, as well as the study of the four wave mixing phenomenon in the channel waveguides, making a theoretical design proposal for future work. Experimental results of photons generated by the four wave mixing phenomenon were observed for a commercial microestructured fiber that indicate that the theoretical study on it is adequate and allow to have a better dispersion model of the fiber, which is an essential part of its characterization. To do all this, a previous appro-ximate dispersion model theoretical study had to be made for all the media used, as well as their phase-matching properties.
Dedicatoria
Agradecimientos
Primero quiero agradecer a mis asesores. A la doctora Karina Garay por su tiempo,
de-dicaci ´on, por explicarme todo una, dos, tres veces lo mismo y no perder la paciencia nunca, sin
importar qu ´e tan ocupada estuviera; usted es en verdad una gran persona y un ejemplo de
per-severancia, ´etica de trabajo y excelencia en todo lo que hace. Al doctor Ra ´ul Rangel, por todo su
apoyo acad ´emico y moral; sus palabras siempre me hicieron ver la luz al final del t ´unel y
perseve-rar hasta terminar. Siempre me ofreci ´o ayuda a ´un antes de empezar este trabajo de tesis y espero
que sepa que le estoy muy agradecida por nunca negarse a compartir su conocimiento conmigo
y mis compa ˜neros. Ambos fueron un gran apoyo en cada paso de este trabajo.
Al doctor Roger Cudney, parte de mi comit ´e de tesis, que siempre me brind ´o apoyo en lo
acad ´emico y fue todo este tiempo una inspiraci ´on para nunca dejar de lado las cosas peque ˜nas
que nos hacen felices. A la doctora Sharon Herzka, que fue de mucha ayuda en mis avances,
haciendo siempre comentarios acertados y ofreciendo ayuda extra para mi crecimiento. Al doctor
Horacio Soto, que cada avance hizo preguntas y comentarios muy acertados, adem ´as de siempre
responder con una sonrisa.
A mi pap ´a, por siempre inculcarme la importancia de la ciencia en el mundo y convencerme
de entrar a la maestr´ıa. A mi mam ´a por ayudarme todos los d´ıas con mis responsabilidades
extraescolares para que yo pudiera concentrarme en este trabajo, nunca hubiera podido sin tu
ayuda. A Corinne, la amistad m ´as valiosa que hice durante el posgrado, espero que sepa que fue
una de las razones m ´as importantes por las cuales no desist´ı a la mitad del camino. A Aaron, por
alentarme a seguir todos los d´ıas y siempre ser la voz de la raz ´on que me mantuvo cuerda estos
2 a ˜nos y 4 meses. Al personal administrativo de ´optica, Carmen, Cruz y Marla, que siempre me
ayudaron e hicieron mi vida mucho m ´as f ´acil en este trayecto.
A Boni, Eder, al Dr. Heriberto, al Dr. Machorro, Sebasti ´an, Daniel, Francisco, Dr. Marcos Plata,
Yahaira, al Dr. Israel Rocha y Ana Luisa por su ayuda dentro y fuera del laboratorio. Al Centro de
Tecnolog´ıa (CONACyT) por brindarme el apoyo econ ´omico para realizar mis estudios de maestr´ıa
y al proyecto de Laboratorio Nacional de Materia Cu ´antica: Materia Ultrafr´ıa e Informaci ´on Cu
P ´agina
Resumen en espa ˜nol . . . ii
Resumen en ingl ´es . . . iii
Dedicatoria . . . iv
Agradecimientos . . . v
Lista de figuras viii Lista de tablas x 1. Introducci ´on 1 1.1. Objetivos . . . 7
1.2. Estructura de la tesis . . . 8
2. Propagaci ´on en gu´ıas de onda 10 2.1. Efectos dispersivos en la propagaci ´on. . . 10
2.1.1. La ecuaci ´on nolineal de Schr ¨odinger (NLSE) . . . 12
2.2. Efectos nolineales en la propagaci ´on . . . 14
2.2.1. Automodulaci ´on de fase . . . 15
2.2.2. Mezclado de cuatro ondas espont ´aneo . . . 17
3. Automodulaci ´on de fase en gu´ıas de onda de canal con nanopart´ıculas met ´alicas 21 3.1. Gu´ıas de canal . . . 21
3.1.1. Fabricaci ´on . . . 21
3.1.2. Caracterizaci ´on . . . 23
3.1.2.1. Estudio del fen ´omeno de automodulaci ´on de fase . . . 26
4. Estudio de procesos param ´etricos en gu´ıas de onda de canal 35 4.1. Propiedades de empatamiento de fases para el proceso de SFWM en gu´ıas de onda con nanopart´ıculas de plata . . . 35
5. Generaci ´on de parejas de fotones en fibras microestructuradas 40 5.1. SPM en fibra microestructurada . . . 41
5.2. SFWM en fibra microestructurada . . . 43
6. Conclusiones 49
Figura P ´agina
1. Diagrama del proceso de mezclado de cuatro ondas. . . 6 2. Simulaci ´on de un pulso antes y despu ´es de ser propagado por una gu´ıa de onda y
experimentar SPM. . . 17 3. Esquema de la conservaci ´on de la energ´ıa y momento en el proceso de mezclado
de cuatro ondas. . . 18 4. Diagrama con dimensiones de las gu´ıas de onda de canal compuestas de
nano-part´ıculas de Ag embebidas enSiO2. . . 22
5. Diagrama simplificado del proceso de fabricaci ´on de gu´ıas de onda usando el m ´eto-do de multi-implantaci ´on i ´onica. . . 22 6. Espectro de absorci ´on de una gu´ıa de onda planar fabricada por multi-implantaci ´on
de iones. La muestra presenta una LSPR en358nm. . . 24 7. Estimaci ´on del perfil de ´ındice de refracci ´on para la gu´ıa de onda obtenido a partir
de los ´ındices efectivos medidos y la distribuci ´on de iones implantados. . . 26 8. Simulaci ´on de los modos soportados por una gu´ıa de onda de canal de10x2µm2.
a) el modo fundamental y b) el 5to modo excitado, que es el modo de orden mayor soportado . . . 27 9. Foto de un modo de orden superior a la salida de una gu´ıa de onda de canal de
10x2µm2 . . . 27 10. Arreglo experimental implementado para observar la automodulaci ´on de fases de
pulsos de femtosegundos a la salida de las gu´ıas de onda con nanopart´ıculas de Ag. 28 11. Curva de dispersi ´on calculada usando la paqueter´ıa Mode Solutions de Lumerical
para una gu´ıa de onda de dimensiones10x2µm2. . . . 29
12. Simulaci ´on de un pulso a la entrada de una gu´ıa de onda de nanopart´ıculas de Ag enSiO2de10x2µm2 y a la salida de esta. . . 30
13. Resultado de ensanchamiento del espectro de un pulso de luz al propagarse por 8mmen una gu´ıa de onda de ancho de10µm . . . 31 14. Resultado de ensanchamiento del espectro de un pulso de luz al propagarse por
8mmen una gu´ıa de onda de ancho de a)15µmy b)20µm. . . 31 15. Simulaci ´on de un pulso a la entrada de una gu´ıa de onda de nanopart´ıculas de Ag
enSiO2 de10x2µm2y a la salida de esta para el modo fundamental y los primeros
4 modos excitados de orden superior (cada modo en un color diferente). . . 32 16. Fotograf´ıas de las gu´ıas de onda tomadas con un microscopio ´optico para
identi-ficar defectos a) en la secci ´on transversal y b) y c) a lo largo de la direcci ´on de propagaci ´on en estas. . . 33 17. Empatamiento de fases calculado a partir de la dispersi ´on de una gu´ıa de onda de
Lista de figuras (continuaci ´
on)
Figura P ´agina
18. Diagrama de la geometr´ıa propuesta para una gu´ıa de onda escalonada, creada por multi-implantaci ´on de iones, de dimensiones de6x1µmy un contraste diel ´ectrico de ∆n= 0.05con respecto a la matriz de s´ılice. . . 38 19. Empatamiento de fases calculado a partir de la dispersi ´on de una gu´ıa de onda con
geometr´ıa escalonada, creada por multi-implantaci ´on de iones, de dimensiones de 6x1µmy un contraste diel ´ectrico de∆n= 0.05con respecto a la matriz de s´ılice. . 39 20. Micrograf´ıa ejemplo de una fibra de cristal fot ´onico . . . 40 21. Secci ´on transversal de fibra CIO-b. . . 41 22. Diagrama experimental para ver SPM en la fibra microestructurada CIO-b. La curva
del espectro del l ´aser fue tomada al pasar por varios filtros atenuadores para evitar la saturaci ´on del espectr ´ometro usado. . . 42 23. Resultado de medir el espectro a la entrada y a la salida de la fibra CIO-b variando
la potencia acoplada a esta. . . 43 24. Fotograf´ıa de un defecto de fabricaci ´on (encerrado en rojo) en la fibra
microestruc-turada CIO-b. . . 44 25. Imagen de la secci ´on transversal de la fibra NL-1.8-730 de Thorlabs. Imagen
obte-nida de Thorlabs (2018) . . . 44 26. Diagrama de empatamiento de fases para una dispersi ´on aproximada calculada a
partir del modelo de ´ındice escalonado. . . 45 27. Diagrama experimental usado para observar SFWM por la interacci ´on del haz l ´aser
de pulsos cortos con una fibra microestructurada. . . 46 28. Espectros de SFWM medidos con la CCD iStar bombeando con a)709 nm y b)720
nm. . . 46 29. Espectros de SFWM medidos con la CCD iStar bombeando a 709 nm, 715 nm y
721 nm. . . 47 30. Longitudes de onda generadas por SFWM medidos (azul claro). Las longitudes de
Cap´ıtulo 1.
Introducci ´
on
Recientemente, se ha mostrado un gran inter ´es en estudiar el comportamiento de la luz al propa-garse en medios nolineales con dispersi ´on crom ´atica, esto por su potencial aplicaci ´on en sistemas de tratamiento ´optico de la informaci ´on (Bloembergen, 2000). A ´un m ´as, el estudio de la ´optica nolineal espec´ıficamente en gu´ıas de onda embedidas en diel ´ectricos ha sido fuente de un signifi-cativo inter ´es en vista de implementar aplicaciones como interconexiones ´opticas, dispositivos de conmutaci ´on e incluso fuentes de fotones para sistemas de procesamiento cu ´antico de informa-ci ´on, por las ventajas que presentan, como lo es poder prevenir que las propiedades del material se vean modificadas por variables externas como el ambiente o esfuerzos a los que se pueda ver sometido. Adem ´as, la susceptibilidad nolineal del sustrato se ver ´a modificada en funci ´on de varia-bles propias del nano-composito, como son los materiales del nano-composito, el tama ˜no, forma, densidad y distribuci ´on espacial de estos (Rangel-Rojoet al., 2009). Las aplicaciones requieren dispositivos en forma de gu´ıas de onda para lograr un grado de integraci ´on para compatibilidad con sistemas de informaci ´on con fibra ´optica. Las posibles aplicaciones requieren materiales con respuesta nolineal alta de manera que se requiera poca energ´ıa para producir los efectos que se quieren observar. Por otro lado, se requiere un tiempo de respuesta ultracorto para poder ope-rar los dispositivos a altas tasas de repetici ´on, por ejemplo en aplicaciones como multiplexaci ´on por divisi ´on del tiempo ´optico (OTDM, por sus siglas en ingl ´es), que es una t ´ecnica donde varias se ˜nales ´opticas se combinan, se transmiten juntas y finalmente se separan de nuevo bas ´andose en diferentes tiempos de llegada (Tuckeret al., 1988).
mejora de la respuesta nolineal de tercer orden asociada a las caracter´ısticas de absorci ´on de la resonancia del plasm ´on de superficie (LSPR, por sus siglas en ingl ´es) (Stepanov, 2011). Un aspecto importante de estos materiales consiste en la posibilidad de modificar la respuesta no-lineal del medio efectivo a trav ´es de la manipulaci ´on de su composici ´on, densidad, forma y el posicionamiento de las nanopart´ıculas (Rangel-Rojoet al., 2009).
Otro tipo de gu´ıas de onda que resultan ´utiles para la observaci ´on de efectos nolineales, es-pec´ıficamente de tercer orden, son las fibras ´opticas microestructuradas. Estas fibras se caracte-rizan por tener un n ´ucleo de s´ılice s ´olido, rodeado por una cubierta micro-estructurada formada por un arreglo peri ´odico de huecos de aire que corre a lo largo de la fibra (Gentyet al., 2002). Los huecos de aire disminuyen el ´ındice de refracci ´on de la cubierta y, por lo tanto, la luz es guiada al interior de la fibra por el principio de reflexi ´on total interna (Birkset al., 1997). Las fibras micro-estructuradas ofrecen diversas ventajas para observar efectos nolineales sobre las fibras ´opticas convencionales utilizadas en telecomunicaciones, ya que su coeficiente no lineal (γ) puede ser dos o tres veces mayor que estas ´ultimas; adem ´as, la longitud de onda de cero dispersi ´on puede ser movida en un cierto rango (Licea Rodr´ıguez, 2008).
La ´optica nolineal es el estudio de los fen ´omenos que ocurren como consecuencia de la mo-dificaci ´on de las propiedades ´opticas de un material por la presencia de luz intensa. T´ıpicamente, s ´olo luz producida por l ´aser es suficientemente intensa para modificar las propiedades ´opticas de un material. Los fen ´omenos ´opticos son nolineales en el sentido de que ocurren cuando la respuesta de un material a un campo ´optico aplicado depende nolinealmente de la magnitud del campo electromagn ´etico. Para describir m ´as precisamente en qu ´e consiste la nolinealidad ´optica, consideremos c ´omo el momento dipolar por unidad de volumen, o polarizaci ´onP(t)de un material depende de la magnitudE(t) de un campo ´optico aplicado. Para campos de baja intensidad se considera que la polarizaci ´on inducida depende linealmente de la magnitud del campo el ´ectrico, es decir:
P(t) =0χ(1)E(t), (1)
dondeχ(1)es la susceptibilidad lineal y0es la permitividad en el espacio libre. En ´optica nolineal,
es proporcional aE(−→r , t), lo que implica que el medio debe ser libre de p ´erdidas y dispersi ´on. La respuesta ´optica nolineal en este caso puede ser descrita como:
P(t) =0[χ(1)E(t) +χ(2)E2(t) +χ(3)E3(t) +...] =P(1)(t) +P(2)(t) +P(3)(t) +..., (2)
donde aχ(n), conn ≥2, se le conoce como la susceptibilidad ´optica nolineal de ordenny es un tensor complejo de rangon+ 1(Boyd, 2008).
Existen diferentes procesos f´ısicos producidos por la respuesta nolineal o polarizaci ´on a dis-tintos ´ordenes. Un efecto derivado de la susceptibilidad nolineal de segundo orden χ(2) es la
generaci ´on del segundo arm ´onico, donde se genera un campo el ´ectrico de frecuencia2ωa partir de la interacci ´on de un campo de frecuenciaω en un material que posee χ(2) diferente de cero. Dada la naturaleza tensorial deχ(2), las interacciones ´opticas nolineales de segundo orden pue-den ocurrir s ´olo en cristales no centrosim ´etricos (cristales que no muestran inversi ´on de simetr´ıa); los l´ıquidos, gases y s ´olidos amorfos (como el vidrio) muestran inversi ´on de simetr´ıa, por lo que
χ(2)es id ´enticamente igual a cero en estos medios, y en consecuencia tales materiales no pueden producir efectos de segundo orden. Por otro lado, las interacciones ´opticas nolineales de tercer orden (las descritas por la susceptibilidadχ(3)) pueden ocurrir tanto en medios centrosim ´etricos como no centrosim ´etricos. El efecto nolineal de menor orden en gu´ıas de onda, que en general muestran inversi ´on de simetr´ıa, entonces, se origina en la susceptibilidad de tercer orden,χ(3), la cual es responsable de fen ´omenos como la generaci ´on del tercer arm ´onico, mezclado de cua-tro ondas espont ´aneo (SFWM, por sus siglas en ingl ´es), absorci ´on nolineal y refracci ´on nolineal, entre otros. (Agrawal, 2012).
En este trabajo se estudian principalmente fen ´omenos derivados de la susceptibilidad nolineal de tercer orden en medios centrosim ´etricos. La susceptibilidad nolinealχ(3) es una cantidad ten-sorial compleja tal que χ(3) = Re{χ(3)} +iIm{χ(3)}, donde la parte real est ´a relacionada con cambios en el ´ındice de refracci ´on del material, mientras que la parte imaginaria representa efec-tos de absorci ´on nolineal (Boyd, 2008).
la interacci ´on de luz intensa con un medio pueden deberse, por ejemplo, a la respuesta nolineal instant ´anea de los materiales, en los cuales no se transfiere energ´ıa del campo electromagn ´etico al medio. Por otro lado, existen efectos nolineales que pueden derivarse de la respuesta nolineal lenta de tal manera que una cantidad de energ´ıa del campo sea transferida al medio. Los efectos nolineales ’lentos’ tienen que ver con la poblaci ´on de estados excitados, o excitaci ´on de vibracio-nes que llevan a cambios de temperatura. La refracci ´on nolineal se origina de la respuesta nolineal instant ´anea (Garay-Palmett, 2009).
La refracci ´on nolineal es un fen ´omeno que se refiere a la dependencia del ´ındice de refracci ´on con la intensidadn(I), la cual se puede escribir como:
n=n0+n2I, (3)
donde n0 es el ´ındice de refracci ´on lineal, usado para describir fen ´omenos que involucran bajas
irradiancias yn2 el ´ındice de refracci ´on nolineal, que se relaciona con la susceptibilidad nolineal
de tercer orden de la siguiente manera (Boyd, 2008):
n2 =
3Re[χ(3)] 40cn20
, (4)
con0la permitividad el ´ectrica del vac´ıo. Este fen ´omeno puede manifestarse o explotarse de
suce-der tambi ´en que, si dos o m ´as campos se propagan en una gu´ıa de onda, el ´ındice de refracci ´on que ve uno de los campos depende no s ´olo de su intensidad, sino tambi ´en de la de los dem ´as campos que se est ´an propagando simult ´aneamente; a este efecto se le conoce como modulaci ´on de fase cruzada (Agrawal, 2012).
Existen otros procesos nolineales que pueden estar presentes cuando se propaga un pulso ultracorto en una gu´ıa de onda; uno es el fen ´omeno conocido en ingl ´es como Self-Steepening (SS, por sus siglas), el cual resulta de la dependencia de la velocidad de grupo (velocidad a la que se mueve el pulso) con la intensidad, de forma que cada punto de un pulso ultracorto en el espacio del tiempo se mueve a lo largo de una l´ınea recta cuya pendiente es dependiente de la intensidad. En general, este efecto lleva a una distorci ´on o asimetr´ıa en el pulso ensanchado por SPM. Un fen ´omeno que tambi ´en se vuelve importante en la propagaci ´on de pulsos ultracortos en gu´ıas de onda es el esparcimiento Raman intrapulso. El esparcimiento Raman intrapulso puede introducir un desplazmiento en la frecuencia en el espectro del pulso hacia longitudes de onda mayores. F´ısicamente hablando, el esparcimiento Raman desplaza la frecuencia portadora a la que est ´a centrada el pulso, lo que causa un desplazamiento del pulso en el dominio del tiempo por cambios en la velocidad de grupo debido a la dispersi ´on de la gu´ıa de onda. SPM y otros efectos nolineales, tales como el esparcimiento Raman intrapulso y SS o mezclado de cuatro ondas espont ´aneo (SFWM, por sus siglas en ingl ´es) pueden ocurrir dentro de una gu´ıa de onda y producir un ensanchamiento del espectro de m ´as de 100 THz. A este ensanchamiento tan extremo en espectro se le llama generaci ´on del supercont´ınuo (Agrawal, 2012).
Otro efecto derivado de la susceptibilidad el ´ectrica nolineal de tercer orden es el mezclado de cuatro ondas espont ´aneo, el cual se origina de la respuesta nolineal instant ´anea (asociada a los electrones ligados de un material) y es un proceso param ´etrico, es decir que no existe transferencia de energ´ıa al medio. El caso m ´as general de un proceso param ´etrico de tercer orden involucra la interacci ´on entre cuatro ondas ´opticas, de lo cual se deriva el nombre mezclado de cuatro ondas. SFWM ocurre cuando dos fotones con frecuenciasω1yω2, provenientes de una
o m ´as ondas se aniquilan y simult ´aneamente se crea un par de fotones con frecuenciasωs yωi
debido a fluctuaciones del vac´ıo, de tal manera que la energ´ıa y el momento se conservan durante la interacci ´on, como se puede observar en el diagrama en la Figura 3 (Garay-Palmett, 2009).
Figura 1: Diagrama del proceso de mezclado de cuatro ondas.
de forma que se logra concentrar la energ´ıa de un haz de luz en un intervalo muy corto de tiempo, y como consecuencia de esto se tiene una potencia pico del pulso muy alta, a ´un para energ´ıas relativamente bajas (Diels y Rudolphl, 2006). Este tipo de l ´aseres se pueden usar para estudiar fen ´omenos que suceden a escalas de tiempo cortas, del orden de la duraci ´on de los pulsos emi-tidos, lo cual los hace muy ´utiles en este trabajo, adem ´as de facilitar el estudio de fen ´omenos nolineales debido a las altas potencias pico de los pulsos.
Un aspecto fundamental en el estudio de la propagaci ´on tanto lineal como nolineal de pulsos cortos y ultracortos es la dispersi ´on crom ´atica de los medios,n =n(ω), la cual, en el caso de la propagaci ´on de pulsos, contribuye a su ensanchamiento temporal. En gu´ıas de onda, la geometr´ıa de estas y la estructura de los modos de propagaci ´on contribuyen a lo que se conoce como dispersi ´on de gu´ıa, y la longitud de onda central del pulso que incide en el medio guiado es responsable del fen ´omeno conocido como dispersi ´on modal. Ambos fen ´omenos son en gran parte responsables de las propiedades lineales de propagaci ´on de la luz en el medio (Agrawal, 2012).
del campo electromagn ´etico en una gu´ıa de onda de canal asociado con longitudes de interac-ci ´on en el rango de varios mil´ımetros a pocos centr´ımetros, permite observar efectos nolineales con energ´ıas de entrada considerablemente peque ˜nas (M ´arquez Becerra et al., 2017). Una po-sible aplicaci ´on de materiales como las nanopart´ıculas met ´alicas es en sistemas de procesado de se ˜nal que requieran interruptores u otros dispositivos fot ´onicos en forma de gu´ıa de onda que sirvan, por ejemplo, como conmutadores de se ˜nal (Olsson y Blumenthal, 2001). Tambi ´en pueden utilizarse para la generaci ´on de parejas de fotones con propiedades de entrelazamiento sobre di-se ˜no. Entonces, es importante producir dispositivos de guiado de onda eficientes. Existen varias t ´ecnicas para producir materiales nanoestructurados. Entre ellas est ´a la implantaci ´on selectiva de iones, la cual ha probado ser una t ´ecnica que permite controlar las propiedades de nanopart´ıculas embebidas en vidrio (Can-Ucet al., 2015).
Otro medio guiado que se usa en este trabajo son las fibras ´opticas microestructuradas. En estas fibras el tama ˜no del modo es peque ˜no, por lo cual es posible mantener un alto confinamiento del campo propagado (Brodericket al., 1999). Los efectos nolineales como SPM, SFWM, esparci-miento Raman intrapulso, Self-Steepening, entre otros, se pueden presentar tambi ´en en este tipo de fibras.
En el grupo de investigaci ´on liderado por el doctor Ra ´ul Rangel se han estudiado extensiva-mente las propiedades nolineales de materiales nanoestructurados producidos por implantaci ´on de iones (S ´anchez Esquivel, 2017) (Can-Ucet al., 2015). Tambi ´en se ha trabajado para producir gu´ıas de onda basadas en estos materiales. La t ´ecnica de multi-implantaci ´on de iones selectiva con mascarillas se ha usado con ´exito para producir gu´ıas de onda de canal basadas en nano-part´ıculas con buenas propiedades lineales (Can-Ucet al., 2015).
1.1. Objetivos
El objetivo general de este trabajo es el estudio te ´orico y experimental de los efectos ´opticos nolineales en gu´ıas de onda.
Objetivos particulares:
-Modelar la dispersi ´on crom ´atica de las gu´ıas de onda de canal de nanopart´ıculas met ´alicas y las fibras microestructuradas y estudiar las propiedades de empatamiento de fase para el proceso de SFWM, con el fin de identificar las regiones espectrales donde se espera ver las se ˜nales.
-Hacer un estudio te ´orico de la propagaci ´on en gu´ıas de onda de canal basadas en nanocom-positos consistentes de nanopart´ıculas met ´alicas embebidas en s´ılice, as´ı como en fibras ´opticas microestructuradas. Este estudio contempla el efecto simult ´aneo de la dispersi ´on y los efectos noli-neales sobre un pulso ultracorto que se propaga a trav ´es de las gu´ıas, para extraer los par ´ametros lineales y nolineales de las mismas. Este estudio es necesario para estimar lo que se espera en la fase experimental. Espec´ıficamente, se busca la manifestaci ´on de SPM y SFWM en pulsos ul-tracortos inducidos por las diferentes gu´ıas de onda usadas en este trabajo.
-Implementar un experimento para estudiar el efecto de automodulaci ´on de fase, observada co-mo ensanchamiento espectral en las gu´ıas de onda de canal basadas en nanopart´ıculas de Ag, as´ı como para fibras ´opticas microestructuradas.
-Implementar un experimento para el estudio de el fen ´omeno de mezclado de cuatro ondas y la posible generaci ´on de parejas de fotones correlacionados en gu´ıas de onda de canal y fibras ´opti-cas microestructuradas.
-Modelar la dispersi ´on de las diferentes gu´ıas de onda para determinar los modos de propagaci ´on que cada una soporta y estimar sus respectivas constantes de propagaci ´on.
1.2. Estructura de la tesis
La tesis est ´a estructurada de la siguiente manera: En el cap´ıtulo 2 se introducen los fen ´omenos nolineales que se presentan en la propagaci ´on de luz intensa en forma de pulsos ultracortos en medios guiados. Se describe adem ´as la din ´amica de propagaci ´on de pulsos ultracortos, a trav ´es de la soluci ´on num ´erica a la ecuaci ´on de Schr ¨odringer nolineal (NLSE por sus siglas en ingl ´es).
En el Cap´ıtulo 4 se presenta un estudio te ´orico de procesos param ´etricos en gu´ıas de onda de canal con nanopart´ıculas de Ag. Se hace un estudio de los diagramas de empatamiento de fases para las gu´ıas de onda de canal. Finalmente, se describe una propuesta de un dise ˜no de gu´ıa de onda fabricada por el mismo m ´etodo que la muestra usada.
En el Cap´ıtulo 5 se estudian los efectos nolineales de SPM y SFWM en otro tipo de gu´ıas de onda: fibras microestructuradas. Se presentan los resultados de un experimento para observar SPM en una fibra microestructurada hecha en M ´exico, as´ı como los resultados de un experimento para observar SFWM en una fibra microestructurada comercial.
Cap´ıtulo 2.
Propagaci ´
on en gu´ıas de onda
Cuando un campo electromagn ´etico se propaga en una gu´ıa de onda habr ´an efectos lineales o dispersivos y nolineales que lo afecten. Los efectos nolineales que se puedan presentar gracias a esta interacci ´on pueden resultar interesantes en vista de la implementaci ´on de aplicaciones co-mo interconexiones ´opticas, dispositivos de conmutaci ´on o sistemas de procesamiento cu ´antico de informaci ´on. En este trabajo es de particular inter ´es el efecto de automodulaci ´on de fase, el cual resulta de la dependencia del ´ındice de refracci ´on del medio con la intensidad del pulso y el mezclado de cuatro ondas espont ´aneo. La magnitud y la forma en que estos efectos puedan pre-sentarse dependen fuertemente de la geometr´ıa de la gu´ıa de onda que se use. El fen ´omeno de SPM es responsable de la distribuci ´on temporal de las frecuencias contenidas en un pulso, lo que induce un ensanchamiento espectral del pulso propagado, que puede abarcar todo el espectro vi-sible, a lo que se conoce como un supercont´ınuo (Diels y Rudolphl, 2006). El fen ´omeno de SFWM lleva al desarrollo de fuentes de luz no-cl ´asica, permitiendo la generaci ´on de parejas de fotones correlacionados que pueden tener caracter´ısticas deseables para aplicaciones de procesamiento de informaci ´on cu ´antica (Fiorentinoet al., 2002).
Las gu´ıas de onda con geometr´ıa cil´ındrica (fibras ´opticas) son el medio ´optimo de transmisi ´on de informaci ´on a trav ´es de largas distancias en telecomunicaciones ´opticas (Yariv, 1985). Hoy en d´ıa es de gran inter ´es el dise ˜no y fabricaci ´on de gu´ıas de onda o fibras en las que se manifiesten fen ´omenos nolineales como SPM y el supercont´ınuo, el cual puede usarse como fuente de ancho espectral muy amplio para aplicaciones en espectroscop´ıa, telecomunicaciones y en dispositivos de conmutaci ´on ´optica de se ˜nales (Wadsworthet al., 2002).
En este cap´ıtulo se describen los fen ´omenos de SPM y SFWM, as´ı como las propiedades de la evoluci ´on de pulsos que se propagan a trav ´es de gu´ıas de onda, los cuales experimentar ´an la acci ´on simult ´anea de los efectos nolineales y de la dispersi ´on (Agrawal, 2012).
2.1. Efectos dispersivos en la propagaci ´on.
puede resultar en un comportamiento diferente. Matem ´aticamente, los efectos de dispersi ´on de una gu´ıa de onda se expresan por la expansi ´on de la constante de propagaci ´onβ en una serie de Taylor alrededor de la frecuenciaω0, en la cual est ´a centrada el espectro del pulso:
β(ω) =n(ω)ω
c =β0+β1(ω−ω0) +
1
2β2(ω−ω0)
2+..., (5)
dondeβmest ´a definida como:
βm=
dmβ dωm
ω=ω0
. (6)
β1est ´a relacionado con la velocidad de grupo de forma queνg = 1/β1, mientras que los efectos de
dispersi ´on de velocidad de grupo (GVD) son gobernados porβ2, llamada la dispersi ´on de segundo orden.
En vez de la derivada con respecto a la frecuencia, en gu´ıas de onda y fibras ´opticas se usa com ´unmente el coeficiente de dispersi ´on D, expresado como la derivada de β1 respecto a la longitud de onda de la forma siguiente:
D= dβ1
dλ =−
2πc
λ2 β2. (7)
Los t ´erminosβmconm >2representan t ´erminos de dispersi ´on de orden mayor.
Es ´util definir algunas escalas de longitud en las cuales los efectos nolineales o dispersivos empiezan a ser importantes, como la longitud de dispersi ´onLD = T02/|β2|y la longitud nolineal
LN L = 1/γP0, donde P0 es la potencia pico del pulso y T0 la duraci ´on del pulso, asimismo γ
est ´a definida de la siguiente forma:
γ(ω) = 3Re[χ
(3)]ω 0
40n20c2Aef f
= n2ω0
cAef f
dondeAef f es el ´area efectiva del modo guiado, y se define como:
Aef f =
(R R−∞∞ |F(x, y)|2dxdy)2
R R∞
−∞|F(x, y)|4dxdy
, (9)
la cual depende de la potencia pico de cada uno de los bombeos pulsados, as´ı como deF(x, y), que es la distribuci ´on transversal del modo dentro del n ´ucleo del medio guiado (Agrawal, 2012).
Al hablar de efectos dispersivos es importante notar las dos diferentes contribuciones de la gu´ıa de onda sobre la luz propag ´andose en ella. Se tiene la dispersi ´on material, que est ´a relacionada con la dependencia del ´ındice de refracci ´on con la frecuencia, n(ω). Por otro lado, se tiene la dispersi ´on modal, la cual ocasiona que el ´ındice efectivo que ve cada modo guiado sea un poco menor que el ´ındice de refracci ´on del material del n ´ucleo, debido a que cada modo para cada longitud de onda sigue un camino ´optico distinto. Esto resulta en una contribuci ´on de la gu´ıa de onda que debe ser a ˜nadida a la contribuci ´on del material para obtener la dispersi ´on total.
A la longitud de onda a la cualD= 0se le denomina longitud de onda de cero dispersi ´on y se denota porλZD. Generalmente, la contribuci ´on de la gu´ıa de onda aβ2 es relativamente peque ˜na,
excepto cerca de la zona de cero dispersi ´on. El efecto principal de la contribuci ´on de la gu´ıa de onda es desplazarλZD hacia longitudes de onda menores. Una caracter´ıstica interesante de la
dispersi ´on de gu´ıa de onda es que su contribuci ´on aβ2depende de los par ´ametros de dise ˜no de la fibra o gu´ıa, tales como su radio o dimensi ´on transversal y la diferencia de ´ındices entre el n ´ucleo y el revestimiento. Para longitudes de ondaλ < λZD, la gu´ıa de onda exhibe dispersi ´on normal
(β2 > 0). En el r ´egimen de dispersi ´on normal las componentes de frecuencias m ´as altas de un pulso ´optico viajan m ´as lento que las de frecuencia menor del mismo pulso. Lo opuesto ocurre en el r ´egimen de dispersi ´on an ´omala, dondeβ2<0. El r ´egimen de dispersi ´on an ´omala es de inter ´es para el estudio de efectos nolineales porque en este las fibras ´opticas soportan solitones a trav ´es de un balance entre los fen ´omenos dispersivos y los nolineales (Agrawal, 2012).
2.1.1. La ecuaci ´on nolineal de Schr ¨odinger (NLSE)
el espectro del pulso se vuelve considerable. Partiendo de las ecuaciones de Maxwell es posible obtener la ecuaci ´on de onda. Para poder resolver esta ecuaci ´on se deben hacer varias suposi-ciones que ayuden a simplificarla, por ejemplo, considerar la polarizaci ´on nolinealPN L como una
peque ˜na perturbaci ´on a la polarizaci ´on linealPL, lo cual es justificable, pues los efectos nolineales
son relativamente d ´ebiles en gu´ıas de onda basadas en s´ılice. Adem ´as, se debe suponer que el campo ´optico mantiene su polarizaci ´on a trav ´es de la gu´ıa de onda, para poder usar una aproxi-maci ´on escalar. Este no es el caso realmente, a menos que se usen gu´ıas ´opticas que mantengan la polarizaci ´on, pero la aproximaci ´on funciona bien en la pr ´actica (Agrawal, 2012). Se usa adem ´as una constante de normalizaci ´on a la cual llamaremosA(ω). Se considera un pulso de forma:
E(z, t) =A(z, t)exp[iβz−ω0t]. (10)
Tomando esto en cuenta, es posible, despu ´es de algo de ´algebra, obtener la NLSE, llamada as´ı porque tiene una forma an ´aloga a la ecuaci ´on de Schr ¨odinger cu ´antica: (Agrawal, 2012):
∂A(z, t)
∂z +
1 2
α(ω0) +iα1
∂ ∂t
A(z, t)−i
∞
X
n=1
inβn n!
∂nA(z, t)
∂tn =
i
γ(ω0) +iγ1
∂ ∂t
A(z, t)
∞
Z
0
R(t0)|A(z, t−t0)|2dt’
.
(11)
La respuesta nolinealR(t) debe inclu´ır las contribuciones electr ´onica y nuclear. Asumiendo que la contribuci ´on electr ´onica es casi instant ´anea, la forma funcional deR(t)puede escribirse como
R(t) = (1 −fR)δ(t) + fRhR(t) , donde fR representa la contribuci ´on fraccional de la
respues-ta Raman a la polarizaci ´on nolineal PN L. La forma de la funci ´on de la respuesta Raman hR(t)
est ´a dada por las vibraciones de las mol ´eculas del material inducidas por el campo ´optico. Es importante notar que el uso deγ1 en la ecuaci ´on anterior incluye la dependencia en frecuencia de
n2 y Aef f. Esta ecuaci ´on, en general, debe ser resuelta num ´ericamente a menos que se hagan
algunas simplificaciones.
En la NLSE se consideran los efectos de dispersi ´on, nolinealidad y absorci ´on. En este caso,A
de propagaci ´on de ordenn;γse conoce como el coeficiente nolineal y se define como se observa en la ecuaci ´on 8. Adem ´as,γ1 = dγdω yα1 = dαdω, ambas evaluadas enω =ω0.
La ecuaci ´on anterior gobierna la evoluci ´on de pulsos ultracortos en fibras ´opticas. Sin embargo, para pulsos que contienen varios ciclos ´opticos es posible simplificar la ecuaci ´on 11 considerable-mente, pues se puede aproximar α1 = 0 y γ1 = γ/ω0, y usar la expansi ´on en series de Taylor
|A(z, t−t0)|2≈ |A(z, t)|2−t0∂∂
∂t|A(z, t)|2. Esta aproximaci ´on es razonable si la envolvente del
pul-so evoluciona lentamente a lo largo de la fibra. Si adem ´as se toma en cuenta s ´olo la contribuci ´on de la constante de propagaci ´onβ hasta el tercer orden, es posible simplificar la ecuaci ´on 11 hasta obtener (Agrawal, 2012):
∂A ∂z +
α
2A+
iβ2
2
∂2A ∂T2 −
iβ3
6
∂3A ∂T3 =iγ
|A|2A+ i
ω0
∂ ∂T(|A|
2A)−T
RA ∂|A|2
∂T
, (12)
donde se ha definidoTRcomo:
TR= Z ∞
0
t1R(t1)dt1, (13)
con R(t1) la respuesta nolineal de la gu´ıa de onda y donde se us ´o un marco de referencia que
se mueve con el pulso a la velocidad de grupo νg al hacer la transformaci ´on T = t−z/νg = t−β1z. Adem ´as, un t ´ermino de segundo orden que involucra la tasaTR/ω0 fue despreciada por
su peque ˜nez.
Los t ´erminos de la izquierda en la ecuaci ´on 12 describen las caracter´ısticas lineales en la pro-pagaci ´on del pulso a trav ´es de la gu´ıa: p ´erdidas lineales, dispersi ´on de velocidad de grupo (GVD por sus siglas en ingl ´es), β2, y la dispersi ´on de tercer orden (TOD por sus siglas en ingl ´es, β3). Los t ´erminos a la derecha corresponden a los efectos nolineales: SPM, self-steepening y el espar-cimiento Raman intrapulso, respectivamente. Esta ecuaci ´on puede ser resuelta num ´ericamente usando el m ´etodo de Split Step Fourier (Agrawal, 2012), y se pueden tomar en cuenta cuantos t ´erminos de la constante de propagaci ´on se requieran.
2.2. Efectos nolineales en la propagaci ´on
representa el caso de un campo electromagn ´etico intenso que interact ´ua con un medio:
P(t) =0[χ(1)E(t) +χ(2)E2(t) +χ(3)E3(t) +...] =P(1)(t) +P(2)(t) +P(3)(t) +.... (14)
Se pueden observar en la ecuaci ´on anterior las contribuciones de las susceptibilidades el ´ectri-cas de segundo y tercer orden; sin embargo, esta expansi ´on puede hacerse hasta el orden del fen ´omeno nolineal que se quiera estudiar. En este trabajo se estudiar ´an los efectos relacionados con la susceptibilidad el ´ectrica de tercer orden,χ(3).
Recordamos que, en su forma m ´as simple, el ´ındice de refracci ´on se puede escribir como:
n(I, ω) =n0(ω) +n2I, (15)
donden0(ω)es el ´ındice de refracci ´on lineal,Ies la intensidad asociada al campo electromagn
´eti-co E, yn2 es el ´ındice de refracci ´on nolineal relacionado con la parte real de la susceptibilidad
χ(3)de la siguiente manera:
n2 =
3 2n2
00c
χ(3), (16)
donde0 es la permitividad del vac´ıo yces la velocidad de la luz.
A partir de estas ecuaciones, se pueden explicar los diferentes efectos nolineales en gu´ıas de onda. En este trabajo nos interesan dos efectos nolineales principalmente: SPM y SFWM, los cuales se describen a continuaci ´on.
2.2.1. Automodulaci ´on de fase
importantes, el campoE(z, t)se puede escribir como (Diels y Rudolphl, 2006):
E(z, t) =A(t)exp[i(kz−ω0t)] =A(t)exp[i(
nω0z
c −ω0t)], (17)
dondeω0es la frecuencia portadora,A(t)es la envolvente del pulso y hemos usado la relaci ´on de
dispersi ´on en el vac´ıok0 =ω0/c. Escribiendo expl´ıcitamente al ´ındice de refracci ´on (ver ec. 15) y
utilizando el n ´umero de onda en el vac´ıo, tenemos entonces que la fase es:
φ(z, t) =φ(0) +n0k0z+n2k0I(t)z−ω0t. (18)
El t ´erminon2k0I(t)z representa una modulaci ´on temporal de la fase. Para una onda con
mo-dulaci ´on temporal, la fase de la onda ya no es lineal cont, por lo que la onda ya no oscila s ´olo a la frecuencia portadoraω0 y es preciso definir una frecuencia instant ´aneaω(t). Esta frecuencia
instant ´anea est ´a dada por:
ω(t) =−∂φ(t)
∂t . (19)
Para el caso de SPM y considerando un medio sin el efecto de dispersi ´on, se tiene que:
ω(t) =ω0−n2k0z
dI
dt. (20)
Figura 2: Simulaci ´on de un pulso antes y despu ´es de ser propagado por una gu´ıa de onda y experimentar SPM.
2.2.2. Mezclado de cuatro ondas espont ´aneo
La mezcla de cuatro ondas espont ´anea consiste en la aniquilaci ´on de dos fotones de frecuencias
ω1 y ω2 y la creaci ´on simult ´anea de dos fotones de frecuencias ωs y ωi, a los que llamamos
fotones se ˜nal y acompa ˜nante, respectivamente, debido a las fluctuaciones del vac´ıo. Siendo un proceso param ´etrico, se debe conservar la energ´ıa, lo que implica la siguiente relaci ´on entre las frecuencias de los fotones involucrados en el proceso:
ω1+ω2 =ωs+ωi. (21)
En general, los cuatro campos interaccionando a trav ´es de SFWM pueden estar en modos espectrales distintos, a lo que se le denomina caso no degenerado, pero tambi ´en puede darse el caso degenerado en el queω1 = ω2 = ωp. Lo mismo sucede para los fotones se ˜nal y
acom-pa ˜nante, donde se puede tener queωs =ωi =ω, o el caso no degenerado dondeωs no es igual
aωi.
direc-Figura 3: Esquema de la conservaci ´on de la energ´ıa y momento en el proceso de mezclado de cuatro ondas.
tamente relacionada con la condici ´on de empatamiento de fases, la cual se deriva de la conser-vaci ´on del momento en el proceso param ´etrico. Esta condici ´on se cumple cuando∆k= 0. En el caso co-propagante podemos escribir∆k(desempatamiento de fases) como:
∆k=k1(ω1) +k2(ωs+ωi−ω1)−ks(ωs)−ki(ωi)−φN L. (22)
Esta ecuaci ´on incluye una contribuci ´on nolinealφN L, un t ´ermino relacionado con los procesos de automodulaci ´on de fases y modulaci ´on cruzada de fases, lo cual resulta del hecho que para un material con χ(3) el ´ındice de refracci ´on es funci ´on de la intensidad. Note, adem ´as, que en esta ecuaci ´on est ´a impl´ıcita la conservaci ´on de energ´ıa en el segundo t ´ermino. Se puede demostrar que:
φN L = (γ1+ 2γ21−2γs1−2γi1)P1+ (γ2+ 2γ12−2γs2−2γi2)P2, (23)
dondePν representa la potencia pico del pulso incidente, y los coeficientesγ1 yγ2 resultan de la
SPM de los dos bombeos, y est ´an dadas por:
γν = 3χ
(3)ω0
ν 40c2n2νAνef f
. (24)
γµν = 3χ
(3)ω0
µ 40c2nµnνAµνef f
En la ecuaci ´on 24, se tiene el ´ındice de refracci ´onnν =n(ω0ν), conω0ν la frecuencia portadora
para el modoν y el ´area efectivaAef f, la cual se define como:
Aνef f = [
Z Z
dxdy|Aν(x, y)|4]−1, (26)
y
Aµνef f =
Z Z
dxdy|Aµ(x, y)|2|Aν(x, y)|2 −1
, (27)
donde la integral se calcula a lo largo de las dimensiones transversales de la gu´ıa de onda. Aqu´ı, las funciones Aµ(x, y) con µ = 1,2, s, i representan la distribuci ´on transversal y Aµν es el ´area
efectiva de traslape de dos modos. En contraste, los coeficientesγµν(conν = 1,2yµ = 1,2, s, i) corresponden a la contribuci ´on de modulaci ´on de fase cruzada que resulta de la dependencia del ´ındice de refracci ´on experimentada por cada uno de los 4 campos involucrados. Aunque general
γν 6=γµν puede mostrarse que para SFWM las aproximacionesγ1 ≈γ21≈γs1≈γi1 yγ2 ≈γ12≈
γs2 ≈ γi2 son v ´alidas, de lo cual se puede obtener la siguiente expresi ´on simplificada paraφN L
(Garay-Palmettet al., 2013):
φN L =γ1P1+γ2P2. (28)
Para que un proceso nolineal sea eficiente, se debe cumplir que ∆k = 0, es decir, se debe cumplir la condici ´on de empatamiento de fases. Si se tienen frecuencias fijas para el bombeo se pueden calcular las soluciones a la ecuaci ´on∆k = 0. Dichas soluciones representan las fre-cuencias a las que se puede obtener fotones se ˜nal y acompa ˜nante con la mayor eficiencia. Un diagrama de este fen ´omeno puede observarse en la Figura 3.
En el caso m ´as general, se puede tener SFWM para diferentes configuraciones de polarizaci ´on de los campos involucrados. Las configuraciones posibles son SFWM co-polarizado ya sea origi-nado en el elementoχ(3)xxxxoχ(3)yyyy del tensor de susceptibilidad el ´ectrica de tercer orden; SFWM
con fotones generados en polarizaci ´on ortogonal a los fotones de bombeo, asociados al elemento
χ(3)xxyy oχ(3)yyxx; y SFWM con bombeos cruzados en polarizaci ´on relacionados a los elementos del
´oyx.
Cap´ıtulo 3.
Automodulaci ´
on de fase en gu´ıas de onda de canal con
nanopart´ıculas met ´alicas
En este cap´ıtulo se estudia la manifestaci ´on del efecto de automodulaci ´on de fase en gu´ıas de onda de canal compuestas por nanopart´ıculas de Ag embebidas en s´ılice, fabricadas usando la t ´ecnica de multi-implantaci ´on i ´onica con mascarilla.
Las aplicaciones como interconexiones ´opticas, fuentes de fotones para procesamiento cu ´anti-co de la informaci ´on o dispositivos de ´anti-conmutaci ´on ´opti´anti-cos son de gran inter ´es actualmente. La implementaci ´on de este tipo de aplicaciones puede favorcerse tras el estudio de la ´optica nolineal en gu´ıas de onda basadas en nano-compositos embebidas en diel ´ectricos, pues estas represen-tan grandes ventajas en este campo, las cuales se mencionan en el Cap´ıtulo 1. Adem ´as, se ha demostrado que la respuesta nolineal de un medio que contiene nanopart´ıculas met ´alicas se ve reforzada gracias a la excitaci ´on ´optica del plasm ´on de resonancia de superficie (Stepanov, 2011). Finalmente, los medios guiados ofrecen la facilidad de incrementar la longitud de interacci ´on con el medio nolineal, as´ı como un alto confinamiento del campo el ´ectrico en la gu´ıa de onda, lo cual dis-minuye la energ´ıa requerida para la estimulaci ´on de efectos nolineales (S ´anchez Esquivel, 2017).
3.1. Gu´ıas de canal
Las gu´ıas de onda de canal usadas en este trabajo est ´an compuestas por nanopart´ıculas esf ´ericas met ´alicas, espec´ıficamente de Ag embebidas en s´ılice fabricadas por multi-implantaci ´on de iones con mascarilla. La implementaci ´on se llev ´o a cabo a 4,3,2.5 y 1.5 M eV con una fluencia de 1x1016 ´atomos/cm2. Las gu´ıas producidas se encuentran a una profundidad de1 µm dentro del sustrato, tienen un espesor de2 µm y se hicieron a 3 anchos distintos, como se muestra en la Figura 4 y est ´an separadas entre s´ı por125µm, aproximadamente. En total se tienen 30 gu´ıas de onda dentro de la muestra, habiendo 10 de cada ancho. La longitud de propagaci ´on de cada gu´ıa es de8mm.
3.1.1. Fabricaci ´on
Figura 4: Diagrama con dimensiones de las gu´ıas de onda de canal compuestas de nanopart´ıculas de Ag embebidas enSiO2.
a la cual se quiere que los iones penetren dentro del sustrato diel ´ectrico, tomando en cuenta su masa y las propiedades del sustrato. T´ıpicamente, para energ´ıas en el rango de los M eV, las distancias de penetraci ´on de los iones son del orden de micr ´ometros y el espesor de la capa que contiene los iones es usualmente menor a1 µm, de modo que, si se desea utilizar este m ´etodo para crear una gu´ıa de onda, su espesor es muy angosto. Debido a esto se usan varias energ´ıas de implantaci ´on en el mismo sustrato para crear varias capas delgadas de iones que se traslapen entre s´ı y formen una capa del grosor deseado. Despu ´es de hacer la implantaci ´on de los iones met ´alicos, se realiza un proceso t ´ermico para producir un proceso de nucleaci ´on de las nano-part´ıculas con posiciones aleatorias. Para crear las gu´ıas de onda de canal se usa una mascarilla de un material y grosor que sea capaz de frenar los iones acelerados que lleguen a ella, lo cual permite seleccionar las zonas donde se implantar ´an los iones; en este caso, la mascarilla cuenta con 30 orificios rectangulares de anchos10±1.5,15±1.5y20±1.5µm.
Se puede observar un diagrama de este proceso en la Figura 5. Un efecto inesperado de la implantaci ´on i ´onica es que genera una capa de carbono en la superficie del sustrato debido a la contaminaci ´on en la c ´amara de vac´ıo con aceite de las bombas, por lo que se lleva a cabo un segundo proceso t ´ermico para remover esta capa. Finalmente, se pulen las superficies laterales de la muestra para facilitar el acoplamiento de luz a las gu´ıas de onda.
3.1.2. Caracterizaci ´on
En esta secci ´on se discuten trabajo previo (S ´anchez Esquivel, 2017) (Can-Ucet al., 2015) y si-mulaciones que describen la caracterizaci ´on lineal de las gu´ıas de onda y la propagaci ´on de luz a trav ´es de ellas. Es necesario conocer estas caracter´ısticas para estimar el comportamiento de un pulso de luz intenso en el medio y su respuesta nolineal. Una caracter´ıstica importante es el espectro de absorci ´on de la gu´ıa de onda de canal fabricada por multi-implantaci ´on de iones, as´ı como el perfil de ´ındice de refracci ´on del medio guiado.
Espectro de absorci ´on
Este estudio se hizo previo a este proyecto de tesis y se us ´o una gu´ıa planar fabricada bajo las mismas condiciones que las gu´ıas de canal para facilitar la medici ´on. El espectro de absorci ´on se presenta en la Figura 6, el cual fue medido con un espectrofot ´ometro Cary 60-UV-VIS. En este espectro se ve claramente la presencia de un pico de absorci ´on alrededor de los350nmasociado a una resonancia del plasm ´on de superficie localizado, (LSPR por sus siglas en ingl ´es). La inten-sidad de la luz en la gu´ıa debe seguir la ley de Beer-Lambert, la cual establece queT = 10−OD, con T la transmitancia y OD la densidad ´optica de la muestra, de donde se puede obtener el coeficiente de absorci ´on lineal de la muestra dado porα0 =ln(10−OD)/L, dondeLes la longitud
de propagaci ´on de la gu´ıa. Usando la t ´ecnica de imagen por luz esparcida, se tomaron muestras de la luz esparcida por una de las gu´ıas de canal al tener luz acoplada a esta. En este caso, se tomaron valores para la absorci ´on en el r ´egimen cont´ınuo y pulsado del l ´aser, obteniendo para el primer caso un valor deαCW = 5.6±0.15 cm−1 y en el segundo deαpul = 5.1±0.49 cm−1, y se
toma la diferencia de ambos para calcular la componente del coeficiente de absorci ´on nolineal de
α= 0.5±0.2cm−1. Adem ´as, se tiene una absorbancia de0.48, (S ´anchez Esquivel, 2017).
Figura 6: Espectro de absorci ´on de una gu´ıa de onda planar fabricada por multi-implantaci ´on de iones. La muestra presenta una LSPR en358nm(S ´anchez Esquivel, 2017).
Una de las caracter´ısticas m ´as importantes cuando se trata de gu´ıas de onda es el perfil de ´ındice de refracci ´on, pues el contraste entre el ´ındice de refracci ´on del medio en el que se en-cuentra el n ´ucleo de la gu´ıa y el sustrato dicta en gran medida la propagaci ´on del campo el ´ectrico dentro de ella, por ejemplo determina qu ´e tan fuerte ser ´a el confinamiento del modo propagado. Por lo tanto, es indispensable conocer el contraste diel ´ectrico de la gu´ıa de onda para poder es-timar la dispersi ´on de los modos que pueden viajar en ella y as´ı poder hacer el estudio de las propiedades nolineales de la gu´ıa. La medici ´on de este perfil no es trivial en gu´ıas de onda que son fabricadas de tal forma que est ´an embebidas en una matriz, por lo que se debi ´o llevar a cabo una combinaci ´on de t ´ecnicas experimentales y te ´oricas para poder estimar este contraste.
incidencia y se analiza la luz reflejada con un fotodiodo. Si la luz se hace incidir al ´angulo ´optimo de acoplamiento a la gu´ıa de onda, a la cual el campo evanescente asociado a la reflexi ´on total in-terna en el prisma se acopla por medio de tunelaje ´optico a uno de los modos de propagaci ´on, se tendr ´a en la medici ´on una ca´ıda abrupta de la luz en el fotodiodo. Es posible relacionar el ´angulo de incidencia en el que se produce acoplamiento de luz, con el ´ındice efectivo de la gu´ıa de onda para ese modo. El conjunto de ´ındices efectivosnef f para todos los modos que soporta la gu´ıa se
usa luego para reconstruir el perfil de ´ındice de refracci ´on. Esto se hace buscando soluciones a la ecuaci ´on de onda usando el m ´etodo num ´erico de Propagaci ´on de Haces (BPM, por sus siglas en ingl ´es) que satisfagan los resultados de la medici ´on de ´ındices efectivos. Se us ´o el software Gin ´es Lifante (Gin ´es, 2018), el cual usa el m ´etodo BPM y est ´a optimizado para gu´ıas de onda de alto contraste. Este software relaciona el ´ındice efectivo con las constantes de propagaci ´on de los modos permitidos en la gu´ıa. Se busca empatar en el software Lifante la mejor combinaci ´on entre los par ´ametros conocidos de la gu´ıa de onda y los perfiles de ´ındice de refracci ´on propuestos a partir de la distribuci ´on de iones implantados. Cabe mencionar que la distribuci ´on de iones implan-tados puede ser proporcionado por el fabricante. El mejor ajuste obtenido se puede observar en la Figura 7. A partir de este perfil de ´ındice de refracci ´on se hizo un ajuste Gaussiano a la curva y se tom ´o el m ´aximo de este como el contraste diel ´ectrico de la gu´ıa de onda (S ´anchez Esquivel, 2017).
Estructura de modos
Figura 7: Estimaci ´on del perfil de ´ındice de refracci ´on para la gu´ıa de onda obtenido a partir de los ´ındices efectivos medidos y la distribuci ´on de iones implantados (S ´anchez Esquivel, 2017).
posteriormente, al implementar un dispositivo experimental para observar la distribuci ´on espacial de la luz a la salida de las gu´ıas, que en todos los casos se presenta como se puede observar en la Fig 9. En esta imagen pueden observarse varios l ´obulos, lo cual indica que se est ´an excitando modos de orden superior. N ´otese el bajo contraste entre los modos y la luz difusa, lo que implica una pobre eficiencia de acoplamiento o p ´erdidas altas de luz en la gu´ıa de onda, lo que implica que la luz no est ´a siendo guiada de forma ´optima dentro de la gu´ıa de onda.
3.1.2.1. Estudio del fen ´omeno de automodulaci ´on de fase
Figura 8: Simulaci ´on de los modos soportados por una gu´ıa de onda de canal de10x2µm2. a) el modo
funda-mental y b) el 5to modo excitado, que es el modo de orden mayor soportado
Figura 9: Foto de un modo de orden superior a la salida de una gu´ıa de onda de canal de10x2µm2
Dispositivo experimental
salida de las gu´ıas, o un espectr ´ometro Ocean Optics USB2000, con rango de sensibilidad en el visible y hasta el infrarrojo cercano, para medir el espectro del pulso de luz a la salida de las gu´ıas.
Figura 10: Arreglo experimental implementado para observar la automodulaci ´on de fases de pulsos de femto-segundos a la salida de las gu´ıas de onda con nanopart´ıculas de Ag.
El experimento consisti ´o en acoplar el haz de luz l ´aser en cada gu´ıa y comparar el espectro de los pulsos a la entrada y a la salida de estas. Como se mencion ´o en el cap´ıtulo 1, la automodula-ci ´on de fase en este caso se debe manifestar como un ensanchamiento del espectro del pulso de entrada despu ´es de haberse propagado por la gu´ıa de onda. Para asegurar que la luz est ´a siendo acoplada a una gu´ıa de onda y esta est ´a guiando luz, se hace una prueba poniendo una c ´ama-ra CMOS a la salida de la gu´ıa de onda en la que se pueden observar uno o la suma de varios modos espaciales, los cuales conocemos de los c ´alculos que se mencionan en la secci ´on anterior.
Resultados experimentales
A continuaci ´on se presentan los resultados obtenidos en el experimento realizado para medir el efecto de automodulaci ´on de fase en un pulso de luz que se propaga a trav ´es de una gu´ıa de onda de nanopart´ıculas met ´alicas, as´ı como los resultados de las simulaciones de la propagaci ´on de un pulso de luz con las condiciones reales usadas en el experimento, para fines de comparaci ´on entre teor´ıa y experimento.
estas simulaciones se hizo un c ´alculo de la dispersi ´on de las gu´ıas de onda de canal, a partir de su geometr´ıa usando la paqueter´ıa Mode Solutions de Lumerical. En la Figura 11 se muestra, a manera de ejemplo, la curva de dispersi ´on para una gu´ıa con dimensiones de10x2µm2. A partir de este c ´alculo podemos obtener la dispersi ´on de la gu´ıa de onda para un rango de longitudes de onda deseadas y usar esta para calcular la propagaci ´on de forma aproximada. Cabe mencionar que para este c ´alculo es necesario conocer el ´ındice de refracci ´on nolinealn2 del medio, el cual
fue calculado en un trabajo previo para las gu´ıas usadas en este trabajo, siendo en este caso
n2 = 0.0384x10−15cm2/GW (Can-Ucet al., 2015).
Figura 11: Curva de dispersi ´on calculada usando la paqueter´ıa Mode Solutions de Lumerical para una gu´ıa de onda de dimensiones10x2µm2.
En la Figura 12 se puede observar el resultado de la simulaci ´on de propagaci ´on para una gu´ıa de ancho10µm, el cual es muy similar a los resultados obtenidos para las gu´ıas de anchos15µm
y20µm, pues a pesar de tener dimensiones distintas, lo cual, como se menciona anteriormente, afectar´ıa la propagaci ´on de un pulso a trav ´es de ellas, en este caso el coeficiente nolinealn2 es
Figura 12: Simulaci ´on de un pulso a la entrada de una gu´ıa de onda de nanopart´ıculas de Ag en SiO2 de
10x2µm2y a la salida de esta.
En el experimento la luz fue acoplada a diferentes gu´ıas de onda en la muestra. En la Figura 13 se muestra el espectro medido que exhibi ´o el mayor ensanchamiento espectral, entre todos los tomados durante el experimento. El pulso a la salida de la gu´ıa de onda tiene un ancho de 25.3nm(FWHM, ancho completo a la mitad del m ´aximo), en contraste con el pulso de entrada, el cual exhibe un FWHM de8nm. En este caso, la luz fue inyectada a una de las gu´ıas con10 µm
de ancho.
En la Figura 14 se presenta el resultado del experimento para gu´ıas de ancho 15 y 20 µm, respectivamente. Para la gu´ıa de15µmel mayor ensanchamiento espectral es de5.8nmy para la gu´ıa de20µmde ancho es de6.2nm(FWHM).
Figura 13: Resultado de ensanchamiento del espectro de un pulso de luz al propagarse por8mmen una gu´ıa de onda de ancho de10µm
Figura 14: Resultado de ensanchamiento del espectro de un pulso de luz al propagarse por8mmen una gu´ıa de onda de ancho de a)15µmy b)20µm.
An ´alisis de resultados
Figura 15: Simulaci ´on de un pulso a la entrada de una gu´ıa de onda de nanopart´ıculas de Ag en SiO2 de
10x2µm2y a la salida de esta para el modo fundamental y los primeros 4 modos excitados de orden superior (cada modo en un color diferente).
de luz que incide en una gu´ıa de onda de nanopart´ıculas, del orden de todo el espectro visible. Para los diferentes anchos de gu´ıas de onda restantes, 15 y 20 µm, las simulaciones muestran que el espectro a la salida de estas se ve ensanchado en la misma medida que en la gu´ıa de 10µm. Adem ´as, podemos ver que el espectro del pulso a la salida de la gu´ıa presenta asimetr´ıa y peque ˜nas ondulaciones o m ´aximos a lo largo del espectro; esto se debe a que la simulaci ´on toma en cuenta que en la propagaci ´on pueden estar presentes otros efectos adem ´as de la automodu-laci ´on de fase, como lo son el efecto Raman o el de ”self steepening”, los cuales son descritos brevemente en el cap´ıtulo 2. Las ondulaciones que se presentan son t´ıpicas del efecto de automo-dulaci ´on de fase. Adem ´as, las simulaciones fueron hechas partiendo de la dispersi ´on calculada para el modo fundamental guiado, pues es el modo que se empata mejor con el modo espacial del l ´aser usado, y por lo tanto el que se piensa que ser ´a excitado preferentemente al acoplar luz del l ´aser a cada gu´ıa de onda.
sea del orden de cientos de nan ´ometros. Existen varios factores que pueden explicar el porqu ´e los resultados experimentales no mostraron un ensanchamiento tan grande como el esperado: el hecho de que las gu´ıas son altamente multimodales, las interrupciones y defectos en las gu´ıas, la pobre eficiencia de acoplamiento y las p ´erdidas dentro de la gu´ıa. El poco contraste que se puede observar en la Figura 9 podr´ıa ser explicado por las ´ultimas dos razones.
Es importante notar que las gu´ıas de onda de todas las dimensiones disponibles en la muestra son altamente multimodales para la longitud de onda usada en el experimento, y nunca fue posible excitar s ´olo el modo fundamental; sin embargo, en la Figura 15 se presentan las simulaciones para los primeros 5 modos excitados de orden superior para una gu´ıa de onda de10µm. Podemos ver que excitar el modo fundamental o un modo de orden superior no deber´ıa impedir la observaci ´on del efecto de automodulaci ´on de fase, sin embargo, no se ha explorado el caso en que se excite m ´as de un modo a la vez.
Se intent ´o mejorar la eficiencia de acoplamiento reemplazando la fibra SMF 28 en el dispositivo experimental por una fibra con las mismas caracter´ısticas, pero con la punta adelgazada. Esto hace al di ´ametro del haz de salida de la fibra m ´as peque ˜no, en este caso de3µm, comparable con las dimensiones transversales de las gu´ıas de onda en la muestra, pero esto no present ´o una mejora en la eficiencia de acoplamiento. Se hizo entonces un estudio a fondo de las 30 gu´ıas de onda que se encuentran dentro de la muestra para poder identificar defectos o imperfecciones. En la Figura 16 se pueden observar ejemplos de fotograf´ıas tomadas con un microscopio ´optico en donde se aprecian los diferentes defectos que se encontraron en las gu´ıas de onda, tanto en las secciones transversales por donde se acopla o desacopla la luz del l ´aser de bombeo, as´ı como interrupciones a lo largo de las gu´ıas.
Figura 16: Fotograf´ıas de las gu´ıas de onda tomadas con un microscopio ´optico para identificar defectos a) en la secci ´on transversal y b) y c) a lo largo de la direcci ´on de propagaci ´on en estas.
Cap´ıtulo 4.
Estudio de procesos param ´etricos en gu´ıas de onda de
canal
En primera instancia, en este cap´ıtulo se discute la viabilidad de implementar procesos nolineales param ´etricos en las gu´ıas de onda con nanopart´ıculas de plata disponibles y cuyas caracter´ısticas han sido enunciadas en el cap´ıtulo anterior. En los procesos param ´etricos no existe un intercambio de energ´ıa entre el campo electromagn ´etico y el medio en el que este incide, de manera que hay conservaci ´on de energ´ıa entre los fotones de bombeo y los emitidos. Estos fen ´omenos se deben a la respuesta instant ´anea del material ante un campo de luz intenso y se manifiestan como la generaci ´on de nuevas frecuencias, las cuales deben cumplir, adem ´as, con el principio de conservaci ´on de momento. Como se menciona en el Cap´ıtulo 2, la informaci ´on cu ´antica puede ser codificada en diversos medios, incluyendo ´atomos, iones y electrones. Sin embargo, los fotones son el medio m ´as ´util para el transporte de informaci ´on cu ´antica (Jenneweinet al., 2000), por lo que resulta interesante generar parejas o tripletes de fotones que est ´en correlacionados. Uno de los procesos param ´etricos que se puede usar para generar parejas de fotones es el mezclado de cuatro ondas espont ´aneo, que se origina, al igual que SPM, en la susceptibildad nolineal de tercer ordenχ(3) y consiste b ´asicamente en la aniquilaci ´on de dos fotones de bombeo que a la vez que se producen dos fotones que llamaremos se ˜nal y acompa ˜nante.
Por otro lado, en este cap´ıtulo se describe una propuesta de dise ˜no de una fuente de parejas de fotones, por medio del proceso de SFWM en una gu´ıa de onda de nanopart´ıculas de plata, viable de implementar experimentalmente. El proceso de SFWM y las condiciones necesarias para que este pueda ocurrir en una gu´ıa de onda puede verse a detalle en el Cap´ıtulo 2.
4.1. Propiedades de empatamiento de fases para el proceso de SFWM en gu´ıas de onda
con nanopart´ıculas de plata
Como se estudi ´o en el cap´ıtulo 2, el punto de partida para el estudio de SFWM es asegurar que se tiene empatamiento de fases, que para el caso en que se aniquilan dos fotones de frecuencia
ωp para generar una pareja de fotones con frecuencias ωs yωi, puede ser escrito de la siguiente
forma: