Láser bombeado por diodo que emite a dos longitudes de onda cercanasEnd pumped solid-state laser which emits two nearby wavelengths

Y APROBADA POR EL SIGUIENTE COMITÉ

Dr. Roger Sean Cudney Bueno Director del Comité

Dr. Pedro Gilberto López Mariscal Dr. Heriberto Márquez Becerra

Miembro del Comité Miembro del Comité

Dr. Serguei Stepanov Miembro del Comité

Pedro Negrete Regagnon Dr. David Hilario Covarrubias Rosales Coordinador del programa de posgrado en

Óptica Física Director de Estudios de Posgrado

PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS EN ÓPTICA CON ORIENTACIÓN EN ÓPTICA FÍSICA

Láser bombeado por diodo que emite a dos longitudes de

onda cercanas

TESIS

que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de MAESTRO EN CIENCIAS

Presenta:

DANIEL STAUFERT DELGADILLO

RESUMEN de la tesis de Daniel Staufert Delgadillo presentada como requisito parcial para la obtención del grado de MAESTRO EN CIENCIAS en ÓPTICA con orientación en ÓPTICA FÍSICA. Ensenada, Baja California. diciembre de 2011.

Láser bombeado por diodo que emite a dos longitudes de

onda cercanas

Resumen aprobado por:

Director de Tesis

En esta tesis diseñamos y fabricamos un láser de estado sólido que trabaja en modo pulsado (Q-switch activo), el cual emite dos pulsos simultáneos capaces de sincronizarse, cuyas longitudes de onda son ligeramente distintas (1047 nm y 1064 nm) pero discernibles entre sí. Este tipo de emisión se debe a que dentro de una misma cavidad se encuentran colocados en serie dos cristales dopados con neodimio (Nd:YLF y Nd:YVO4), bombeados longitudinalmente por un diodo láser

de 808 nm. El propósito de este láser es obtener radiación de terahertz mediante la resta de frecuencias de las dos longitudes de onda que emite.

Para lograr el objetivo de la tesis hacemos la caracterización de tres cristales distintos (Nd:YLF, Nd:YVO4 y Nd:YAG) operando en modo continuo y modo

pulsado. Se alcanzan potencias de salida de hasta 800mW en modo continuo y eficiencias pendientes que van desde el 1% hasta el 21%. El modo pulsado se consigue mediante la introducción de un Q-switch mecánico dentro de la cavidad (un disco giratorio con perforaciones), con lo que se obtienen pulsos sincronizados de aproximadamente 60 ns de duración a una tasa de repetición de 11.5 kHz y potencias pico de hasta 1.2 kW por pulso. Finalmente, obtenemos la suma de frecuencias de los dos haces producidos por este láser con un cristal KTP (KTiOPO4), demostrando así que los pulsos están traslapados tanto espacial como

temporalmente, lo cual es vital para su uso posterior en la generación de radiación de terahertz.

Palabras Clave: Q-switch activo, láseres, Nd:YAG, Nd:YLF, Nd:YVO4, bombeo

ABSTRACT of the thesis presented by Daniel Staufert Delgadillo as a partial requirement to obtain the MASTER OF SCIENCE degree in OPTICS with orientation in PHYSICAL OPTICS. Ensenada, Baja California, México, December 2011.

End pumped solid-state laser which emits two nearby

wavelengths

In this thesis we design and manufacture a Q-switched solid-state laser which emits two pulses of different wavelengths (1047 nm and 1064 nm) simultaneously. This type of emission is obtained using two crystals doped with neodymium placed in series in the same cavity (Nd:YLF and Nd:YVO4), longitudinally pumped by a

808 nm laser diode. The purpose of this laser is to obtain terahertz radiation by difference frequency generation from both wavelengths that it emits.

To achieve the aim of the thesis we characterize three different crystals (Nd:YLF, Nd:YVO4 and Nd:YAG) operating in continuous wave (CW) and pulsed mode. The

systems reach output powers of about 800 mW in CW operation and slope efficiencies ranging from 1% to 21%. The pulsed mode operation is achieved by introducing a mechanical Q-switch inside the cavity (a rotating disk with holes) with which synchronized pulse-pairs of approximately 60 ns at a repetition rate of 11.5 kHz and peak powers up to 1.2 kW per pulse are obtained. Finally, we get sum-frequency generation of the two beams produced by this laser with a KTP crystal (KTiOPO4), demonstrating that the pulses are overlapped spatially and temporally, which is vital for later use in the generation of terahertz radiation.

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seguir

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los

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me

abandonaron

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Agradecimientos

Agradezco al CONACyT y proyecto de investigación por el apoyo económico otorgado para la consecución del grado de Maestría en Ciencias en Optica Física.

Al Dr. Roger Sean Cudney Bueno por la excelente dirección de este proyecto y por el apoyo tanto profesional como personal, y en particular por la paciencia que siempre me tuvo.

A mis amigos, con los que siempre hicimos un buen equipo y salimos adelante en las buenas y en las malas.

A los investigadores que siempre están dispuestos a transmitir sus conocimientos y enseñanzas en pro del crecimiento y del desarrollo de la ciencia en México.

Tabla de contenido

Resumen en español...i

Resumen en inglés...ii

Dedicatorias...iii

Agradecimientos...iv

Contenidos...v

Lista de figuras...vii

Lista de tablas...xii

I.Introducción...1

I.1.Motivación...2

I.2.Objetivo de la tesis...4

I.3.Estructura de la tesis...4

II.Nuestras necesidades...6

III.¿Qué es un láser?...10

III.1.Tipos de láseres...13

III.2.Tipo de bombeo...21

III.3.Q-switch...25

III.4.Óptica no-lineal; Mezcla de dos ondas...26

IV.Diseño de la cavidad...28

IV.1.Simulaciones...28

V.Simulación de pulsos...38

V.1.Solución a las ecuaciones diferenciales acopladas para un cristal...38

V.2.Segundo cristal...50

V.3.Dos pulsos sincronizables...53

VI.Fase experimental...56

VI.1.Diseño experimental para la emisión en CW para un medio activo cualquiera ... 56 VI.2.Diseño experimental en modo pulsado para un solo cristal (Q-switch activo)63 VI.3.Diseño experimental para dos cristales en CW y modo pulsado (QS)...72

VIII.Referencias bibliográficas...86

IX.Apéndices...88

IX.1.Apéndice A...88

IX.2.Apéndice B...90

IX.3.Apéndice C...91

Lista de figuras

Figura

Página

1. Esquema de un dispositivo láser emisor de dos frecuencias ω1 y ω2, que usa un

cristal no-lineal para producir una nueva frecuencia ω3...3

2. Esquema de un láser de estado sólido bombeado ópticamente de forma longitudinal...6

3. Esquema de un láser de estado sólido con dos medios bombeados ópticamente de forma longitudinal mediante un diodo láser de 808 nm de longitud de onda...7

4. Transiciones energéticas entre los niveles 1 y 2. a) Proceso de absorción. b) Proceso de emisión espontánea. c) Proceso de emisión estimulada...11

5. Sistema de cuatro niveles. R03 es el bombeo del nivel 0 al 3; τ₃₂ , τ₂₁ y τ₁₀ son

los tiempos de decaimiento hacia los niveles 3→2 , 2→1 y 1→0

respectiva-mente y σ21 es la sección eficaz de la transición entre los niveles 2 y 1...15

6. (izquierda) Gráficas de la inversión de población de las ecuaciones (15) y (20). Nótese que la inversión de población crece de manera lineal con el bombeo R03

antes de llegar a R03

umb _{, y justo después de este valor se amarra al valor ΔN}umb _. (derecha) En línea puntada se muestra la inversión de población y en línea continua la intensidad de salida de la ecuación (26). Nótese que la intensidad de salida es cero mientras la inversión de población va en aumento. Para bombeo por encima del umbral, la intensidad de salida crece de manera lineal...20

7. Mezclado de dos ondas mediante empatamiento de fases al atravesar un medio con una no linealidad óptica de segundo orden...26

Lista de figuras

(continuación)

Figura

Página

9. Simulación de la potencia de salida para dos cristales (Nd:YLF y Nd:YVO4)

dando como resultado un máximo cuando se usa un espejo de R2=31%. Se usa Pent =8W ...36

10. Representación gráfica de la función τc

( )

tiempo que τc se encuentra en su valor máximo es del orden del tiempo de

fluorescencia de los cristales, mientras que el tiempo que τc toma su valor

mínimo es mucho más corto...47

11. El ancho temporal de los pulsos simulados por computadora es de casi 50 ns. La linea punteada representa la inversión de población N2 , la cual decae

rápidamente cuando comienza la emisión de fotones φ , representados por la línea sólida...48

12. Generación por computadora de un tren de pulsos consecutivos con una separación de 128µs (la escala de tiempo es muy grande a comparación de la duración de los pulsos, por lo que los pulsos aparecen en la gráfica como líneas verticales)...49

13. Tren de pulsos generado por computadora para dos cristales bombeados simultáneamente. Las líneas punteadas representan la inversión de población para ambos cristales(la superior para el Nd:YLF y la inferior para el Nd:YVO4), mientras que las líneas sólidas verticales representan la emisión de

Lista de figuras

(continuación)

Figura

Página

14. Dos pulsos simultáneos producidos por simulación. El desfase entre ellos se debe a la diferencia en los parámetros físicos de cada uno de los cristales. El pulso derecho corresponde al emitido por el Nd:YLF, mientras que el izquierdo le corresponde al Nd:YVO4 (líneas continuas). Las líneas punteadas

corresponden a las inversiones de población correspondientes cada pulso y la línea superior corresponde a la abertura del Q-switch, que es de 1µs. Las gráficas de inversión de población y de los pulsos se encuentran en diferentes escalas...54

15. Serie de gráficas obtenidas modificando el factor de bombeo desde 2 hasta 5...55

16. La corriente de bombeo umbral es de 5.94 Ampères, y es determinada mediante el ajuste a una función de la forma m x

(

)

potencia de bombeo umbral. El diodo se mantiene trabajando a una temperatura promedio de 20ºC....57

17. Simulación por computadora de la generación del modo TEM00 usando una

cavidad concéntrica con un solo cristal como medio activo. Nótese que la cintura del haz de bombeo se encuentra dentro del medio activo, mientras que la cintura del modo se encuentra lejos de éste, cerca del espejo acoplador...58

18. En la gráfica se observan las nueve caracterizaciones para los tres cristales con los tres espejos acopladores...62

19. Esquema del montaje experimental usado para la generación de pulsos usando un solo cristal como medio activo; el Nd:YVO4...64

Lista de figuras

(continuación)

Figura

Página

21. Pulsos secundarios observados a potencias de bombeo de 5.6W, que equivale a 2.8 veces por encima de la potencia de bombeo umbral. (La escala en el eje y representa intensidad, mientras que la escala en el eje x es tiempo en microsegundos)...67

22. Un solo pulso observado al bajar la potencia hasta 1.6 veces la potencia de bombeo umbral. A diferencia de la gráfica 21, se han dejado de observar los pulsos secundarios...68

23. Ensanchamiento temporal del pulso respecto al bombeo; la gráfica inferior 1 corresponde al pulso más ancho, mientras que la gráfica superior 35 muestra al pulso más corto (medida a 3 veces la potencia de bombeo umbral), con una duración de 60 ns. Se muestran 35 mediciones subiendo la potencia cada 200 mW...69

24. Es posible observar que los datos experimentales (puntos) se acercan bastante a la curva teórica (línea continua), en la cual notamos que el tiempo de vida del pulso tiende a acercarse al tiempo de vida medio del fotón dentro de la cavidad (valor 1 en el eje y)...70

25. Caracterización de la potencia de salida promedio para el Nd:YVO4 en modo

pulsado. El Nd:YVO4 nos proporciona una eficiencia pendiente del 19.5% y una

potencia de bombeo umbral de 2.65 W usando un espejo acoplador del 90% de reflectancia (puntos: datos experimentales, línea sólida: ajuste) (nótese que en el cálculo de las expresiones correspondientes a la emisión del Nd:YVO4 en

modo pulsado que se hicieron antes del ajuste, se usó siempre el valor de 2W como potencia de bombeo umbral)...71

26. Nótese que la potencia de salida solamente disminuyó en un 14% al introducir el Q-switch. Lo mismo ocurre para las caracterizaciones de los cristales por separado para el modo CW. Se observa además un cambio en la pendiente, marcado como punto de inflexión (en ambas gráficas) alrededor de los 5.6 W, lo que se puede atribuir a la emisión del segundo cristal (Nd:YVO4) (Los puntos y

Lista de figuras

(continuación)

Figura

Página

27. Montaje experimental para el arreglo funcionando en QS. Con esta configuración se logran medir longitudes de onda del primero y segundo armónico, pulsos independientes y su desfase temporal. Todo en tiempo real...75

28. Longitud de onda del primer armónico del Nd:YLF y Nd:YVO4 (de izquierda a

derecha). Al parecer el analizador de espectros se encontraba descalibrado, puesto que ambas longitudes de onda deberían corresponder a 1047 y 1064 nm respectivamente...76

29. Caracterización independiente de los haces de Nd:YLF y Nd:YVO4 en modo

pulsado. El Nd:YLF tiene una potencia de bombeo de 3.18 W y una eficiencia pendiente del 0.14%, mientras que el Nd:YVO4 tiene una eficiencia pendiente de

5.61 W y 0.11% de eficiencia pendiente. Nótese que la potencia de bombeo umbral para el Nd:YVO4 corresponde al punto de inflexión señalado en la

figura 26...77

30. Pulsos desfasándose respecto a la potencia de bombeo. Aumentamos la potencia de 5W (pulso número 1) hasta 6.5W (pulso número 8)...79

31. Segundo armónico del Nd:YLF, de la suma de frecuencias y del Nd:YVO4 de izquierda a derecha (523.5 nm, 527.75 nm y 532 nm, respectivamente). La escala en el eje y es adimensional, mientras que la escala en el eje x es la longitud de onda en nanómetros...81

32. Mezcla de frecuencias respecto al desfase temporal. Se observa claramente la formación de una suma de frecuencias asociada al traslape temporal de los pulsos. Las gráficas azul, verde y amarilla se hicieron con una potencia de bombeo constante de 22A, la morada a 22.5A y la roja a 21A, permitiendo que todas ellas evolucionaran en el tiempo mientras los cristales se calentaban gradualmente con el bombeo...82

33. Se muestran las curvas de caracterización de los tres cristales distintos con los tres espejos acopladores diferentes y con sus ajustes a una ecuación de la forma de la ecuación (22). Mostrando como resultado las potencias de bombeo umbrales (W) y sus eficiencias pendientes (%)...90

Lista de tablas

Tabla

Página

I.

para el diseño del láser...7

II. Muestra las matrices asociadas a diferentes elementos que generalmente se encuentran dentro o fuera de una cavidad láser (Svelto, 1998)...30

III. Porcentaje de potencia de bombeo absorbida por los cristales usados como medio activo...59

IV. Se muestran las eficiencias pendientes y las potencias de bombeo umbral emitiendo en CW asociadas a los tres medios activos usando distintos espejos acopladores...63

V. Valores significativos de la emisión láser para dos cristales en serie emitiendo en modo pulsado (QS)...79

El campo de la radiación a THz es considerado hasta hace poco como una brecha en el amplio espectro electromagnético, considerado entre los 0.1 THz hasta los 10 THz. Dicho intervalo es el puente que une a la electrónica (microondas) con la óptica (infrarrojo).

Una de las más notables aplicaciones de la radiación a THz es en el campo de la metrología, ocasionando un gran impacto en el ámbito industrial. Así mismo, el potencial número de aplicaciones de los THz, que van desde imágenes médicas, exploración de seguridad y control de procesos en comunicaciones ultra-rápidas, conduce al rápido desarrollo de este tipo de fuentes y a la fabricación de herramientas para la inspección de calidad en las empresas.

El agua y los metales absorben fuertemente este tipo de ondas, mientras que los materiales plásticos son prácticamente transparentes ante ellas, lo que promueve el uso de radiación a THz para monitorear el contenido del equipaje en los aeropuertos, ya que se puede hacer distinción entre materiales con diferentes densidades.

El control de calidad en productos alimenticios y el monitoreo hidrológico en plantas para optimizar estrategias de riesgo son otras de las aplicaciones de la radiación de THz (Koch, 2008).

I.1. Motivación

Nuestra motivación es fabricar una fuente de luz láser que produzca radiación

electromagnética del orden de unos cuantos terahertz (THz=1012Hz). Una forma

mediante la cual se puede producir radiación con esa frecuencia es con un proceso de no-linealidad óptica conocido como resta de frecuencias. Esto es, mediante un proceso de mezcla de frecuencias, dos campos electromagnéticos con frecuencias distintas (ν₁ y ν₂ ) se restan, produciendo así un tercer campo

electromagnético cuya frecuencia resultante v3 equivale a la diferencia de las dos

frecuencias (ν1−ν2),

ν3=ν1−ν2 =c

λ2−λ1 λ1λ2 ⎛ ⎝⎜

⎞

⎠⎟ , (1)

donde c es la velocidad de la luz en el vacío y λ_i es la longitud de onda asociada

a cada una de las ondas electromagnéticas involucradas en el proceso.

Este proceso de resta de frecuencias se puede llevar a cabo haciendo pasar dos haces de luz de alta intensidad (cuyas longitudes de onda, como ya vimos, deberán ser muy cercanas entre sí (~nm)) a través de un cristal que tiene un alto

coeficiente no-lineal de segundo orden (χ2

) como el DSTMS1 _{y elOH1}2 _{(T. Bach).}

1 4-N,N-dimethylamino-4’-N’-methyl-stilbazolium 2,4,6-trimethylbenzenesulfonate

En la actualidad el proceso de resta de frecuencias se lleva a cabo con dos haces de luz producidos por dos fuentes de luz independientes. En esta tesis, concentraremos nuestra atención en el diseño de un dispositivo capaz de producir esos dos haces de manera simultánea en forma de pulsos de alta intensidad. Para esto necesitamos diseñar un láser que emita dos pulsos cortos (~ns) simultáneos y sincronizados, cuyo medio activo esté formado por dos cristales, donde cada uno emite radiación con una longitud de onda ligeramente distinta al otro, excitados mediante la misma fuente de bombeo y compartiendo la misma cavidad, como se muestra en la figura 1, de tal modo que el láser emita dos pulsos colineales y perfectamente traslapados temporal y espacialmente. Se espera que este láser simplifique enormemente la generación de radiación a órdenes de terahertz.

Figura 1. Esquema de un dispositivo láser emisor de dos frecuencias ω₁ y ω₂, que usa un cristal no-lineal para producir una nueva frecuencia ω₃.

Usando dos cristales, uno de Nd:YLF y otro de Nd:YVO4, cuyas emisiones tienen

longitudes de onda λ de 1047 nm y 1064 nm, respectivamente, tenemos una

diferencia de longitudes de onda de 17 nm, con lo cual podemos obtener una frecuencia de aproximadamente ν₃≈5THz.

Actualmente no contamos con el equipo necesario para producir y detectar frecuencias del orden de 5THz mediante la resta de frecuencias, pero sí para

cristal de KTP (KTiOPO4). Debido a que la suma de frecuencias es un fenómeno

análogo a la resta de frecuencias, entonces podemos suponer que si logramos obtener la suma de frecuencias, podremos también producir el fenómeno de resta de frecuencias, lo cual será un tema a tratar en un futuro.

I.2. Objetivo de la tesis

Diseñar y fabricar un láser que emita dos pulsos simultáneos de alta intensidad cuyas longitudes de onda sean distintas, muy cercanas, pero discernibles entre sí, con la finalidad de producir un fenómeno de suma de frecuencias mediante un cristal no-lineal KTP (KTiOPO4). Esto nos servirá como caso análogo para

posteriormente producir y detectar una resta de frecuencias con la intensión de generar radiación electromagnética con una frecuencia oscilante a unos cuantos THz (5THz).

I.3. Estructura de la tesis

En el capítulo dos se presenta un listado de las necesidades que debemos completar para la elaboración del láser y un óptimo funcionamiento, considerando aspectos imprescindibles para alcanzar los objetivos.

En el capítulo tres podemos encontrar una descripción sobre qué es un láser, bajo qué principios funciona, cuáles son los elementos necesarios para que un dispositivo de este estilo pueda sostener una oscilación láser y la clasificación de los diferentes tipos de láseres dependiendo de su forma de emisión (continua o pulsados).

transversal y el haz de bombeo, debatiendo entre cuál de las curvaturas y reflectividades de los espejos son las óptimas para un mayor desempeño y la dependencia de la potencia de salida respecto a las distintas reflectividades del espejo acoplador.

El capítulo cinco está destinado a la simulación por computadora de los pulsos láser producidos por la intervención de un Q-switch activo dentro de la cavidad, a la dependencia de la inversión de población respecto al número de fotones liberados en el proceso, representados mediante la solución numérica de un par de ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden para uno y dos cristales, y a la dependencia que existe entre la sincronización de los pulsos y la potencia de bombeo utilizada para la excitación del medio activo.

II. Nuestras necesidades

Un láser consta de tres elementos básicos. Un material o medio activo, un mecanismo de bombeo para excitar al material y dos espejos (generalmente paralelos) que logren confinar los fotones emitidos por el medio activo al decaer energéticamente, formando una cavidad oscilante y retroalimentando al medio. Ver figura 2.

Figura 2. Esquema de un láser de estado sólido bombeado ópticamente de forma longitudinal.

Nuestro objetivo es diseñar y fabricar un láser que emita dos pulsos en dos longitudes de onda distintas λ₁ y λ₂ cercanas entre sí, los cuales puedan

sincronizarse para poder generar una mezcla de frecuencias al hacerlos pasar a través de un cristal no lineal KTP. Para lograr esto proponemos hacer un láser cuya cavidad contenga dos medios activos bombeados simultáneamente mediante un diodo láser de longitud de onda λb. Además, el láser debe tener un dispositivo

Figura 3. Esquema de un láser de estado sólido con dos medios bombeados ópticamente de forma longitudinal mediante un diodo láser de 808 nm de longitud de onda.

Comenzamos estudiando tres cristales cuyo medio activo es el ion Nd3+ _embebido

en tres diferentes anfitriones; YLiF4 (YLF), YVO4 (YVO o “vanadato”) y Y3Al5O12

(YAG). Decidimos utilizar cristales diferentes pero dopados con el mismo elemento activo (iones de neodimio Nd3+_{) ya que los diferentes anfitriones modifican}

ligeramente las líneas de emisión del ion, logrando así una emisión ligeramente distinta para cada medio.

La tabla I muestra los cristales utilizados para el diseño de nuestro láser, la longitud de onda de emisión y la longitud de onda de absorción (bombeo) de cada uno de ellos.

Tabla I. Medios activos cristalinos dopados con iones de neodimio Nd3+ _{analizados para el diseño}

del láser.

Nd:YVO4 Nd:YAG Nd:YLF

λemisión

[ ]

λbombeo

[ ]

pulsos, cuya duración dependerá fuertemente del tiempo de vida medio del fotón dentro de la cavidad

τc = 2L

c

(

)

, (2)

donde L es la longitud de la cavidad, R2 la reflectividad del espejo acoplador y c

es la velocidad de la luz en el vacío. Debido a esto, un factor importante para minimizar la duración del pulso es que la cavidad sea lo más corta posible y que la reflectividad del espejo acoplador sea baja. Más adelante analizaremos la dependencia de la potencia de salida respecto R2 para encontrar la reflectividad

óptima del espejo acoplador para maximizar la potencia de salida.

Una de las principales bandas de absorción del ion Nd3+ _{se encuentra alrededor}

de los 808 nm, por lo que un diodo láser con esa longitud de onda nos bastará para bombear los tres cristales. Las principales bandas de absorción para el Nd:YVO4 y para el Nd:YAG se encuentran muy cerca de los 808 nm, mientras que

para el Nd:YLF, cuya principal banda de absorción se encuentra a 792.0 nm (para su emisión a 1047 nm), obtendremos una absorción ~5 veces menor que si estuviéramos bombeando con un diodo de 792 nm (Bollig, 2008). La intención de utilizar un solo mecanismo de bombeo longitudinal para la excitación de los cristales dentro de la cavidad es favorecer a la formación de dos emisiones colineales. Además, mediante un bombeo longitudinal podemos optimizar el traslape entre el modo TEM00 producido por la cavidad y el haz de bombeo,

III. ¿Qué es un láser?

Por su acrónimo en inglés (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation), un láser es un amplificador de luz basado en un proceso de emisión estimulada de radiación. Un láser requiere de un material capaz de proporcionar esta emisión estimulada; a este medio se le conoce como el medio activo o medio con ganancia. Para entender el término de “emisión estimulada” hay que explicar los procesos de interacción de la radiación electromagnética con la materia desde el punto de vista cuántico. Desde este punto de vista, la radiación electromagnética está compuesta de cuantos de energía, llamados fotones. La energía de estos fotones está dada por

E=hv, (3)

donde h es la contante de Planck

(

)

radiación electromagnética. Los electrones de los átomos pueden absorber fotones y saltar hacia niveles de mayor energía; cuando el átomo se encuentra en este estado se dice que se encuentra en un estado excitado y al proceso se le llama por razones obvias absorción, como se muestra en la Fig. 4 a).

Posteriormente, esa energía almacenada puede ser liberada de dos maneras distintas. Cuando transcurre un tiempo mayor al que el electrón es capaz de mantenerse en el nivel de mayor energía, decae espontáneamente, emitiendo un fotón con una energía igual a la diferencia de energías entre los niveles en que se da el decaimiento, como se muestra en la Fig. 4 b); a este proceso de le llama

emisión espontánea. Si mientras que el átomo se encuentra en un estado excitado interactúa con éste otro fotón, el fotón incidente inducirá el decaimiento del átomo, emitiendo otro fotón, como se muestra en la Fig 4 c); a este proceso se le llama

En el proceso de emisión estimulada se produce un fotón idéntico al que causa la colisión, esto significa que ambos fotones tendrán la misma energía, la misma fase y la misma dirección de propagación, es decir, dichos fotones serán coherentes entre sí.

Figura 4 Transiciones energéticas entre los niveles 1 y 2. a) Proceso de absorción. b) Proceso de emisión espontánea. c) Proceso de emisión estimulada.

En un medio activo se dan los tres procesos de manera simultánea. Si tomamos en cuenta únicamente las transiciones de absorción y emisión estimulada sin tomar en cuenta el decaimiento espontáneo, podemos entonces escribir el cambio en la intensidad de un haz que atraviesa un medio como

dI

dz=σem. est.NexcitadoI  − σabsNno excitadoI, (4)

donde σ_{em. est} es la sección eficaz asociada a la emisión estimulada y σ_abs es la

sección eficaz asociada al proceso de absorción, en donde ambas tienen unidades de área y dependen únicamente de la transición en particular. Nexcitado y Nno excitado son

σem. est.=σabs (5)

y por lo tanto

dI

dz =σI N

[

]

      =γI

, (6)

donde se define ΔN = Nexcitado−Nno excitado y

γ =σ ΔN (7)

es el cambio de intensidad por unidad de longitud. Debido a que la probabilidad de que un fotón induzca una absorción por un átomo no excitado es la misma de que un fotón induzca una emisión estimulada, necesitamos forzosamente que N_excitado

sea mayor que N_{no excitado}, para poder inducir una ganancia neta (γ >0).

Un principio básico de la termodinámica es que en condiciones de equilibrio térmico la distribución de población de los niveles de energía está descrita por la distribución de Boltzmann, por lo que

N_excitado Nno excitado

=exp −Eexcitado−Eno excitado

kBT

⎛ ⎝⎜

⎞

Esto nos dice que en equilibrio térmico hay más átomos en el estado base que en el estado excitado, por lo tanto γ <0 . Para obtener una ganancia neta

necesitamos romper de alguna forma ese equilibrio, y de esta forma obtener una

inversión de población que es cuando ΔN >0 . Esta inversión de población se

logra mediante un bombeo, como veremos más adelante.

III.1. Tipos de láseres

Los tipos de láseres que se han desarrollado hasta el momento se caracterizan de acuerdo al estado físico del medio activo, entre los cuales encontramos los

líquidos, los de gas y los láseres de estado sólido (Svelto 1998), siendo este último de gran interés en esta tesis.

III.1.1. Estado sólido

Los láseres de estado sólido son aquellos que contienen iones introducidos como impurezas en materiales dieléctricos transparentes (vidrios o estructuras cristalinas). Uno de los iones más usados es el Nd3+_{, perteneciente a la familia de}

tierras raras de la tabla periódica (Svelto 1998).

El anfitrión que rodea a los iones de Nd3+ _{modifica ligeramente sus niveles}

energéticos y debido a la alteración de estos niveles las líneas de emisión de estos iones varían ligeramente de un anfitrión a otro. Para esta tesis utilizamos tres tipos de anfitriones YLiF4 (YLF), YVO4 (YVO o “vanadato”) y Y3Al5O12 (YAG),

siendo éstos los materiales con estructuras cristalinas más utilizados en los láseres de estado sólido.

y conductividad térmica. El YAG es isotrópico, por lo cual el haz de salida es no-polarizado.

El YLF, por otro lado, es uniaxial y posee una birrefringencia tan alta que abruma la birrefringencia térmica inducida, además su tiempo de vida en el estado excitado es el doble del YAG y requiere de tan solo un tercio de la potencia de bombeo que requiere el YAG para obtener la misma potencia de salida trabajando en modo pulsado. Una deficiencia del YLF es que es muy propenso a fracturas térmicas principalmente en la operación de alta potencia, por lo que debe refrigerarse.

El YVO4 (también conocido como “vanadato”) suele ser el favorito, ya que combina

una alta absorción de ancho de banda y alta ganancia, es uniaxial y su tiempo de vida en el estado excitado es muy corto, lo cual es bueno para la operación del láser en una alta tasa de repetición Q-switched. Un problema para el vanadato es el autoenfocamiento térmico (Scheps 2002).

III.1.1.1. Láser de cuatro niveles

Los láseres de estado sólido de Nd:YLF, Nd:YVO4 y Nd:YAG son considerados

como láseres de cuatro niveles. Para un láser de cuatro niveles se considera que un átomo nada más puede estar en uno de cuatro niveles energéticos diferentes, los niveles 0 , 1 , 2 y 3 . Hay un bombeo del nivel 0 al nivel 3 , cuya

naturaleza por el momento no se especifica, y de ahí los decaimientos 3 → 2 ,

2 → 1 y 1 → 0 , representadas con flechas en la figura 5.

Los tiempos de decaimiento espontáneo τ₃₂ y τ₁₀ son relativamente cortos

entre los niveles 2 y 1 , lo que ocasiona que los átomos se queden

“estacionados” en el nivel N2 , incrementando así la probabilidad de que exista un

decaimiento estimulado del nivel N2 (nivel metaestable) al nivel N1.

Figura 5. Sistema de cuatro niveles. R03 es el bombeo del nivel 0 al 3; τ₃₂, τ₂₁ y τ₁₀ son los

tiempos de decaimiento hacia los niveles 3→2, 2→1 y 1→0 respectivamente y σ₂₁ es la sección eficaz de la transición entre los niveles 2 y 1.

Las ecuaciones de tasa describen la evolución temporal de la población de átomos excitados para cada uno de los niveles energéticos, y son las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:

dN3

dt =R03N0− N3

τ32

, (9)

dN2 dt =

N3 τ32

−N2 τ21

−

[

]

hν I , (10)

dN1

dt = N2

τ21

− N1

τ10

+

[

]

σ21

dN0

dt =−R03N0+ N1

τ10

, (12)

donde Ni es la población de átomos excitados para el nivel i , R03 es el bombeo

del nivel cero al tres, τij es el tiempo de decaimiento espontáneo del nivel i al j,

σ21 es la sección eficaz, I es la intensidad de la luz radiada dentro de la cavidad y

ν es su frecuencia.

Resolviendo las ecuaciones (9)-(12) para el estado estacionario podemos encontrar fácilmente quela inversión de población está dada por

ΔN =N2−N1=

N0R03

[

]

1+I Isat

, (13)

donde Isat es la intensidad de saturación, dada por la expresión:

Isat ≡

hν

σ21τ21

. (14)

Considerando que τ₂₁ >>τ₁₀, llegamos a que

ΔN= N0R03τ21 1+I Isat

. (15)

ΔN =N0R03τ21, (16)

es decir, para cualquier bombeo R03 mayor a cero obtenemos una inversión de

población. Es por esto que los láseres de cuatro niveles son muy utilizados.

Supongamos que el medio se coloca dentro de una cavidad hecha de dos espejos paralelos entre sí. Estos espejos confinarán a los fotones emitidos por el medio a la cavidad. Dicha confinación de luz retroalimenta al medio, generando de manera artificial un medio más largo al provocar que la luz dé más vueltas por el amplificador, ayudando así a incrementar la ganancia neta.

Para obtener una oscilación láser necesitamos que la ganancia proveída por el medio con inversión de población sea mayor a las pérdidas ocasionadas por la cavidad. Las pérdidas provocadas por la cavidad se deben primordialmente a la transmitancia de los espejos y a las pérdidas pasivas (pérdidas por absorción y esparcimiento de la luz dentro del medio de ganancia). Sean R1 y R2 las

reflectividades de los espejos y sea α las pérdidas pasivas por unidad de longitud.

Se puede demostrar fácilmente que la condición necesaria para que se dé oscilación láser es

R

R

e

 

 



e

_

≥

1

donde L es la longitud del medio de ganancia, α son las pérdidas pasivas y γ es

De la ecuación (17) podemos obtener la ganancia umbral (ganancia mínima para que pueda haber oscilación)

γumb=α −lnR1+lnR2

2L , (18)

pero ya habíamos encontrado un valor para la ganancia en la ecuación (7). Igualando entonces la ecuación (18) con (7), y usando (16), podemos obtener el bombeo umbral

R03

umb = 1

N0τ21σ21

α −lnR1+lnR2

2L

⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟. (19)

Sustituyendo la ecuación (19) en (16) obtenemos la inversión de población umbral

ΔNumb = 1

σ21

α −lnR1+lnR2 2L

⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ . (20)

Para este momento ya sabemos, por la ecuación (16), que la inversión de población crece de forma lineal al ir aumentando R03 . Si el bombeo es mayor que

el bombeo umbral, habrá una ganancia neta, por lo que cualquier ruido inicial será amplificado y aumentará la intensidad dentro de la cavidad con cada paso a través del medio amplificador. No es posible que este proceso siga indefinidamente, ya que la misma intensidad del haz hará decrecer la inversión de población, reduciendo así la ganancia (saturación de la ganancia); en el estado estacionario, la presencia del haz dentro de la cavidad obliga a la inversión de población a

amarrarse a un valor ΔNumb

En la cavidad habrá luz que viaja en ambos sentidos, una de ida con una intensidad Iida , y otra componente viajando en sentido opuesto, con una

intensidad Iregreso . Si suponemos que la reflectividad de los espejos es muy alta,

de tal manera que las pérdidas a través de ellos son muy bajas, la ganancia forzosamente es baja (en estado estacionario la ganancia es exactamente igual a las pérdidas). Bajo esta suposición,

Iida ≈Iregreso ≈I . (21)

La intensidad total que “ven” los átomos dentro de la cavidad es la suma de ambas intensidades, por lo que

Identro=Iida+Iregreso =2I . (22)

Sustituyendo esto en la ecuación (15) y despejando el valor de la intensidad, se tiene que

I= Isat

2

N0R03τ21 ΔN I

(

)

−1

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥, (23)

pero como el bombeo está encima del valor umbral, el valor de ΔN I

(

)

más que ΔNumb

. Entonces, introduciendo la ecuación para el bombeo umbral (19)

podemos llegar a que

Iida = Isat

2R₀₃umb R03−R03 umb

La intensidad de luz a la salida del láser será sólo una fracción de la intensidad de luz total dentro de la cavidad, y que dependerá únicamente de la transmitancia

T =1−R2 del espejo acoplador, por lo que

Isalida= Isat

2R03

umb

(

)

⎡⎣ ⎤⎦. (25)

Usando la ecuación (19) llegamos a la expresión

Isalida=N0hνL

1−R₂

2αL−lnR1−lnR2

R03−R03

umb

⎡⎣ ⎤⎦. (26)

Esto quiere decir, que para valores por encima del valor umbral, la intensidad de salida del láser (o lo que es lo mismo, su potencia de salida) se comporta de manera lineal, como se muestra a la derecha de la figura 6.

Δ

N

R

R

R

R

umb

I

Figura 6. (izquierda) Gráficas de la inversión de población de las ecuaciones (15) y (20). Nótese que la inversión de población crece de manera lineal con el bombeo R03 antes de llegar a R03

umb_{, y}

justo después de este valor se amarra al valor ΔNumb_{. (derecha) En línea puntada se muestra la} inversión de población y en línea continua la intensidad de salida de la ecuación (26). Nótese que la intensidad de salida es cero mientras la inversión de población va en aumento. Para bombeo por

III.2. Tipo de bombeo

III.2.1. Bombeo óptico

El bombeo es el proceso por el cual podemos llevar a los átomos que conforman un material hacia un estado excitado, lo que producirá una inversión de población (ΔN =N2−N1) entre dichos niveles. Para esto, una de las posibilidades es usar

una fuente de luz lo suficientemente intensa para irradiar al medio activo y llevar los átomos a un nivel de mayor energía. Generalmente estas fuentes emiten en un espectro electromagnético muy amplio, y la mayoría de los materiales usados como medios activos (incluyendo los que constan con cuatro niveles) tienen varias líneas de absorción secundarias, además de las principales, por lo que varias de las líneas espectrales del medio activo pueden ser excitadas.

III.2.1.1. Bombeo por diodo

El bombeo con láseres de diodo es uno de los bombeos más utilizados en la actualidad cuando no se requieren potencias de salida tan elevadas. Usando un diodo que emite con una frecuencia igual a la línea de absorción de nuestros cristales, podemos obtener fácilmente el proceso de absorción energético para nuestro láser y por consiguiente, una inversión de población y una emisión estimulada de radiación.

Para fines de elaboración de esta tesis, usamos un diodo láser que emite a una longitud de onda de 808 nm y un ancho de línea de 1.5 nm; esta longitud de onda es muy cercana a una de las principales líneas de absorción del ion Nd3+

embebido en YLF (Fornasiero 1999), en YVO4 y en YAG(Xingpeng Yan 2010).

El bombeo longitudinal con diodo láser es un método de bombeo eficiente para favorecer al acoplamiento entre el modo transversal generado por el resonador y el haz de bombeo (acoplamiento geométrico), ya que se estará bombeando únicamente la sección del medio que será utilizado para la generación de luz láser, a diferencia del bombeo transversal en el que todo el medio (en la mayoría de los casos) es bombeado, favoreciendo así la formación de modos transversales de orden mayor.

De la misma manera que tenemos transiciones entre los niveles 1 y 2 descritas

por una σ , podemos tener también transiciones entre los niveles 0 y 3 con otra

σb, producidas exclusivamente por absorción. Dichas transiciones inducen un

incremento en el número de átomos N3 dado por

dN₃

dt =N0

σbIb

hνb

. (27)

Comprando esta ecuación con la ecuación (9), vemos que en el caso de bombeo óptico

R03=

σb

hνb

Ib. (28)

Sea Ib

( )

de la dirección de propagación del haz de bombeo. Debido a que el bombeo será absorbido por el medio al ir atravesándolo, tenemos que

Ib(z)=Ib(0)e −αbz

, (29)

donde α es la absorción del bombeo por unidad de longitud, por lo que el bombeo

R03 dependerá también de la distancia z dentro del material como

R03

( )

hνb Ib(0)e

−αz_{, (30)}

donde hemos usado αb =σbN0 . Para simplificar nuestro análisis, usaremos en

nuestros cálculos el promedio espacial de R03, dado por

R03

( )

hνb

Ib(0)e −αbz

       = σb

hνb

Ib(0)

e−σbN0zdz 0 L

∫

∫

( )

hνbN0L

1−e−αbL

⎡⎣ ⎤⎦.

(31)

Isalida =

N₀hvL hvbN0L

1−R₂

2αL−lnR1−lnR2

1−e−αbL

⎡⎣ ⎤⎦ Ib(0)−Ib

umbral

⎡⎣ ⎤⎦

        = v

vb

1−R2 2αL−lnR1−lnR2

1−e−αbL

⎡⎣ ⎤⎦ Ib(0)−Ib

umbral

⎡⎣ ⎤⎦

         =η_qη_q I_b,abs −I_b,umbral_abs

⎡⎣ ⎤⎦,

(32)

donde η_q es la eficiencia cuántica y viene dada por η_q =v vb , ηc es la eficiencia

de acoplamiento y viene dada por η_c =

(

)

(

)

intensidad del bombeo absorbido por el medio, dado por I_b,abs = I_b(0) 1

(

)

Finalmente, si multiplicamos ambos lados de la (32) por el área del haz de bombeo y del modo de la cavidad, que estamos suponiendo ser iguales, obtenemos la potencia de salida

P_salida =η P_b,abs−P_b,absumbral

⎡⎣ ⎤⎦, (33)

donde η se conoce como la eficiencia pendiente y está dada por η=ηcηq . En

palabras, la potencia de salida depende linealmente de la potencia de bombeo por arriba del umbral absorbida por el medio, y la constante de proporcionalidad entre esta potencia de bombeo y la potencia de salida es la eficiencia pendiente.

III.3. Q-switch

Un dispositivo Q-switch funciona como un interruptor que inhibe o permite de alguna forma la oscilación láser dentro de la cavidad resonante. Cuando el interruptor está abierto (o sea cuando se inhibe la oscilación láser), el bombeo puede inducir una inversión de población mayor a la que se obtendría si el interruptor estuviera cerrado, ya que no hay dentro de la cavidad un haz que fuerza a la inversión de población a amarrarse a un cierto valor. En el momento que el interruptor se cierra, se genera el proceso de emisión estimulada de forma repentina, liberando así, a la mayoría de los fotones almacenados, produciendo un pulso de gran intensidad.

El tiempo que el Q-switch permanece abierto o cerrado puede depender de varios mecanismos. Cuando ese tiempo puede ser manipulado deliberadamente por el usuario, entonces el Q-switch se denomina activo.

III.3.1. Q-switch activo

Un Q-switch activo es aquel en el que el operador puede controlar deliberadamente el paso de luz a través del mismo, generando una ventana en el tiempo semejante a una función escalón, ya sea mediante un cristal electro-óptico cuyo índice de refracción cambia al aplicarse voltaje (Pockelʼs cell) o utilizando mecanismos un poco más rudimentarios, pero no por eso menos efectivos, como lo es un obturador mecánico.

III.3.1.1. Obturador mecánico (Disco perforado)

(cintura del modo). El disco puede girar a unas 3200 rpm aproximadamente y de esta forma es capaz de permitir y bloquear el paso de luz dentro de la cavidad (permitiendo e inhibiendo así que haya oscilación) con una tasa de repetición de hasta 11.5 KHz.

III.4. Óptica no-lineal; Mezcla de dos ondas

Cuando un campo electromagnético atraviesa un medio con una no-linealidad óptica de segundo orden muy alta, se induce una polarización en el medio. En el caso en el que se tienen dos haces de luz con distintas frecuencias atravesando colinealmente el mismo medio, es posible generar una suma y resta de frecuencias.

Figura 7 Mezclado de dos ondas mediante empatamiento de fases al atravesar un medio con una no linealidad óptica de segundo orden.

Para que esto ocurra se tiene que cumplir el producto de dos campos, en el que

dos ondas electromagnéticas con la misma amplitud E

( )

frecuencias distintas ω1 y ω2 interfieran, creando así otros dos campos

E 

(r,t)E(r,t)=E_ω1E*_ω1eˆ_ω1eˆ_ω1* +E_ω1E*_ω2eˆ_ω1eˆ*_ω2exp⎡⎣

(

)

(

)

resta de frecuencias



+...

...+ E_ω

1

( )

1eˆω1exp 2i k

 ω1⋅r



−2ω1t

⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦+ E_ω

2

( )

2eˆω2exp 2i k

 ω2⋅r



−2ω2t

⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦+...

...+E_ω1E_ω2eˆ_ω1eˆ_ω2exp i kω1+k



ω2

(

)

(

)

⎡⎣ ⎤⎦

⎡

⎣ ⎤⎦

suma de frecuencias



el término asociado a la resta de frecuencias corresponde a una envolvente que oscila con una frecuencia

ν3=ν1−ν2 =c

λ1−λ2

λ1λ2

⎛ ⎝⎜

⎞

⎠⎟ . (34)

Dicho término es el que origina el campo electromagnético con la frecuencia que nos motivó para la realización esta tesis, que para el caso de usar λ₁=1047nm y

λ2 =1064nm ésta será del orden de ν3≈5THz , pero que no contamos con el

equipo necesario para su detección, y para el caso de suma de frecuencias se tiene que

ν3=ν1+ν2 =c

λ1+λ2 λ1λ2 ⎛ ⎝⎜

⎞

⎠⎟ (35)

donde dicho término corresponderá a una frecuencia del orden de 570THz , a la

cual le corresponde una longitud de onda de 527nm (verde) y que es fácilmente

detectable en nuestro laboratorio.

IV. Diseño de la cavidad

IV.1. Simulaciones

Como ya sabemos, una cavidad láser se utiliza para alargar de manera artificial al medio con ganancia y así lograr una mayor amplificación (sea un haz o sólo la emisión espontánea la que se quiere amplificar). En general, la forma de la cavidad no puede ser arbitraria, sino que debe cumplir con ciertas restricciones geométricas para confinar la luz. La forma que tiene el haz que queda confinado dentro de la cavidad se puede describir asociando algunos parámetros que determinan su propagación a través de un sistema óptico, y en particular en resonadores láser. El formalismo de las matrices ABCD es la manera general para analizar la propagación de los haces paraxiales en medios ópticos.

Veamos por el momento la propagación de haces desde el punto de vista de la óptica geométrica. Supongamos que incide un rayo sobre un elemento óptico en un plano de entrada z=z1 como se muestra en la figura 8. Este rayo puede ser

caracterizado por dos parámetros, llamados el desplazamiento radial r1 y el

desplazamiento angular θ1 . Igualmente, el rayo vector a la salida del elemento

óptico, en el plano z=z2 , puede ser caracterizado por r2 y por θ2 . Bajo la

aproximación paraxial, los desplazamientos angulares se suponen lo suficientemente pequeños como para permitir la aproximación sinθ ≅tanθ ≅ θ . En

este caso las variables de salida

(

)

( )

relacionadas por una transformación lineal. Si nos fijamos que θ1≅

(

)

1 =r1' y

Figura 8. Formulación matricial para la propagación de un haz a través de un medio óptico cualquiera (fuente: Svelto, 1998).

r2 =Ar1+Br1' , (36a)

r2'=Cr1+Dr1' , (36b)

donde A,B,C y D son constantes características de los elementos ópticos del sistema. Podemos escribir las ecuaciones anteriores en forma matricial:

r2

r2'

⎛ ⎝

⎜⎜ ⎞_⎠⎟⎟= A B

C D

⎛ ⎝⎜

⎞ ⎠⎟

r1

r1'

⎛ ⎝

⎜⎜ ⎞_⎠⎟⎟, (37)

donde la matriz ABCD caracteriza completamente al elemento óptico dado dentro de la aproximación paraxial del haz (Svelto 1998). Si se concatenan elementos ópticos, el sistema conjunto también puede ser descrito por una matriz ABCD Mtot

Las matrices que caracterizan a los elementos ópticos más comunes se muestran en la tabla II.

Tabla II. Muestra las matrices asociadas a diferentes elementos que generalmente se encuentran dentro o fuera de una cavidad láser (Svelto, 1998).

Propagación en espacio libre 1 L n 0 1 ⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ...II.1

Lente delgada ₋11 0 f 1 ⎛

⎝

⎜ ⎞

⎠

⎟ ...II.2

Espejo esférico ₋1₂ 0

R 1 ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ...II.3

Desde el punto de vista ondulatorio, la onda viajera más sencilla que satisface la ecuación de onda paraxial es un haz gaussiano, que es un haz cuya distribución radial de su intensidad es gaussiana en cualquier plano perpendicular a su dirección de propagación. Sea z la dirección de propagación del haz. La

propagación de un haz gaussiano queda determinada por su radio complejo q(z),

dado por

1

q(z)= 1

R(z)+

iλ nπw2

(z), (38)

donde R(z)es el radio de curvatura del frente de onda, λes la longitud de onda, n

es el índice de refracción del material y w(z)es el radio al cual la amplitud decrece

a 1/e. Es posible demostrar que el parámetro q(z) de un haz al atravesar un

q2 =

Aq1+B Cq1+D

, (39)

donde q1 y q2 son los radios complejos de entrada y salida del elemento óptico,

respectivamente, y A,B,C,D son los elementos de la matriz ABCD del elemento

óptico. Esta ecuación es muy útil para analizar la propagación de haces dentro de una cavidad. En particular, puede ser utilizado para encontrar bajo qué condiciones puede darse una oscilación estable. Si se exige que en un recorrido de ida y vuelta por la cavidad el frente de onda se debe replicar, se puede encontrar con esta ecuación que la condición de estabilidad es

0 < A+D

4 +

1

2 < 1, (40)

donde A y D son elementos de la matriz ABCD para toda la cavidad. Para el caso

exclusivo de la propagación de un haz Gaussiano dentro de una cavidad formada por dos espejos R1 y R2, se obtiene que la condición de estabilidad es

0<g1g2 <1, (41)

donde

g1=1−L_R 1

y g2 =1−L_R 2

siendo R1 y R2 las curvaturas de los espejos y L la separación entre ellos

(Comunicación privada).

En una cavidad real hay elementos con diferentes índices de refracción y posiblemente otros elementos ópticos, por lo que realizar el producto de las matrices de manera analítica puede ser tedioso y poco práctico; conviene más hacerlo por computadora. Haremos uso de una herramienta computacional (Laser Cavity Simulator®_{) que nos permite resolver numéricamente la formulación}

matricial antes mencionada. El programa asocia las matrices (II.1)-(II.3) a cada elemento óptico que conforma el arreglo, tomando en cuenta el índice de refracción de cada elemento y arroja información importante sobre la estabilidad de la cavidad y el tamaño de la cintura del haz en cualquier posición sobre el eje

z.

Para obtener una máxima eficiencia en la emisión láser debe haber un buen traslape entre el haz de bombeo y el modo de oscilación dentro de la cavidad, esto facilitará la emisión en el modo fundamental (TEM00), reduciendo así la potencia

de bombeo umbral y aumentando la eficiencia del láser.

IV.1.1. Tipos de espejos

IV.1.1.1. Curvaturas de espejos

La curvatura de los espejos nos determinará el tipo de cavidad con la que estaremos trabajando. En esta ocasión utilizaremos espejos cóncavos con radios de curvatura que van desde 50 mm hasta 300 mm, formando así cavidades que ayudarán a la formación de modos de oscilación estables y de longitudes que van desde los 50 mm hasta los 150 mm.

Un parámetro importante que se ve fuertemente influenciado por la longitud de la cavidad (y también por la reflectividad del espejo acoplador) es el tiempo de vida medio del fotón τc dentro de la cavidad, por lo que será importante el uso de

espejos cuyos radios de curvatura sean cortos para poder elaborar cavidades pequeñas y así disminuir al máximo la duración de nuestros pulsos.

Diseñamos las cavidades de tal forma que la cintura del bombeo coincida con la parte más ancha del modo TEM00. Usando una lente para enfocar el haz de

bombeo, cuya distancia focal sea grande, lograremos dos cosas. Primero; debido a que el radio de la cintura del haz es proporcional a la distancia focal de la lente, la irradiancia será baja, a diferencia de si enfocáramos con una lente con una distancia focal menor. Al enfocar un haz gaussiano con una lente cuya distancia focal f sea conocida, podemos determinar el radio de su cintura con la siguiente

expresión:

w0,Gauss = 2λf

πD , (43)

donde D es el diámetro del haz gaussiano colimado que incide en la lente. En

haz no-ideal (no gaussiano) el radio de la cintura de un haz real queda determinada por la expresión

w0 = M 2 2λf

πD , (44)

donde el factor M2 >1 y es la razón entre la divergencia real que tiene un haz y la divergencia de un haz gaussiano. Nuestro haz de bombeo proviene de un diodo láser, la cual emite radiación infrarroja (λ=808nm), acoplado a una fibra óptica .

Esta fibra emite luz con una M2 =155 (determinado teóricamente y verificado

experimentalmente (comunicación privada)). Es importante tomar este valor en consideración al diseñar la cavidad, ya que cambia drásticamente las propiedades de enfoque del haz de bombeo dentro de los cristales de ganancia, y por ende el traslape entre el bombeo y el modo de la cavidad.

Otro parámetro importante es la distancia de Rayleigh zR , que es la distancia a

partir de la cintura del haz a la cual el radio aumenta a w0 2 (es decir, la distancia

a la cual podemos considerar que el haz permanece colmado) , y para un haz gaussiano está dado por

zR =

πw₀2

λ . (45)

IV.1.1.2. Simulación para determinar las reflectividades optimas de los espejos

Podemos determinar cuál será la reflectividad óptima de los espejos acopladores para producir una máxima potencia de salida para nuestro arreglo. Conociendo la potencia de bombeo absorbida umbral, la eficiencia cuántica para cada cristal, la potencia de entrada y la eficiencia de acoplamiento es posible determinar la reflectividad óptima del espejo acoplador para la cual se obtendrá una máxima potencia de salida.

Graficando la ecuación (33) contra la reflectividad del espejo acoplador R2 y

usando parámetros de pérdidas pasivas por longitud αL=0.5 en ambos cristales,

obtenemos las gráficas mostradas en la figura 9 (Todos los demás parámetros usados en la simulación se encuentran en el apéndice A), en las cuales podemos observar que ambos máximos son prácticamente iguales, obteniendo una potencia de salida máxima al usar un espejo acoplador de 32% aproximadamente.

Figura 9. Simulación de la potencia de salida para dos cristales (Nd:YLF y Nd:YVO4) dando como

resultado un máximo cuando se usa un espejo de R2=31%. Se usa P_ent=8W .

Como podemos observar de la ecuación (32), la eficiencia de acoplamiento geométrico depende de la reflectividad del espejo acoplador, por lo que existirá un valor de R2 para el cual la eficiencia total del láser será máxima.

V. Simulación de pulsos

V.1. Solución a las ecuaciones diferenciales

acopladas para un cristal

Como ya vimos, un láser de cuatro niveles puede ser descrito mediante las ecuaciones de tasa, las cuales rigen el comportamiento de la cantidad de átomos excitados en cada una de las bandas energéticas.

Hemos presentado la solución a estas ecuaciones para el caso estacionario, es decir, cuando todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. Ahora queremos analizar el régimen pulsado. No es posible resolver estas ecuaciones acopladas de manera analítica, por lo que se resolverán numéricamente.

V.1.1. Ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden

Podemos usar las ecuaciones para el estado estacionario aún para resolver pulsos en un estado no-estacionario

Podemos usar las ecuaciones (9)-(12) y resolverlas para el estado estacionario a pesar de que en realidad, al generar los pulsos no nos encontramos en este estado. Esto es algo que se puede demostrar considerando que τ₂₁>>τ₃₂ , pero

que en esta tesis no lo haremos. Entonces, para el estado estacionario tenemos que N1≈0, por lo que

N3

( )