Unidad 10: Derivadas y Aplicaciones

Texto completo

(1)IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. UNIDAD 10 DERIVADAS Y APLICACIONES 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.. Tasa de variación media Derivada de una función en un punto. Función derivada. Derivadas sucesivas Reglas de derivación Interpretación geométrica de la derivada Rectas tangente y normal a una función y = f ( x ) en un punto A(a, f (a )) Derivadas laterales Derivabilidad y continuidad Aplicaciones de las derivadas 8.1. Máximos y mínimos relativos (extremos relativos) 8.2. Crecimiento y decrecimiento (monotonía) 8.3. Convexidad y concavidad (curvatura) 8.4. Optimización de funciones 9. Representación gráfica de funciones. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 10: Derivadas y Aplicaciones.

(2)

(3) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. UNIDAD 10 DERIVADAS Y APLICACIONES 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función y = f (x ) en un intervalo [a, b] como:. f (b ) − f (a ) b−a Si considero la recta que une A(a, f (a )), B (b, f (b )) , TVM [a, b] =. su pendiente es:. m = tg α = TVM [a, b]. ⎧a → Extremo inferior del intervalo. ⎪ Es usual escribir [a, b] = [a, a + h], siendo ⎨a + h → Extremo superior del intervalo. ⎪h → Longitud del intervalo. ⎩ Con lo cual:. m = tg α = TVM [a, a + h] =. f (a + h ) − f (a ) h. Ejemplo: Halla la TVM de la función f (x ) = x 2 − 2 x en: a) Los intervalos [1, 2]; [1, 3]; [1, 4].. b) El intervalo [1, 1 + h].. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 3. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 10: Derivadas y Aplicaciones.

(4) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. 2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS Una función y = f (x ) es derivable en a, si existe el siguiente límite y es finito:. lím x →a. f (x ) − f (a ) x−a. En cuyo caso al valor de este límite se le llama derivada de f en a, y se escribe f ′(a ).. lím x →a. f ( x ) − f (a ) df = f ′(a ) (También se escribe (a) ) x−a dx. ⎧x − a = h con lo cual, la definición anterior ⎩x → a ⇒ x − a → 0 ⇒ h → 0. Si tomamos x = a + h entonces ⎨. de derivada de una función en un punto equivale a que exista:. lím h→0. f (a + h ) − f (a ) = f ′(a ) h. Ejemplo: Sea la función f ( x ) = x 2 + 3 x. Calcula, usando la definición de derivada, f ′(0 ), f ′(1) y. f ′(3).. Como hemos visto en el ejemplo anterior, hay que calcular un límite para obtener la derivada de una función en cada uno de los puntos en los que se nos pida, lo cual es un trabajo molesto y engorroso. Es preferible obtener la función derivada de f ( x ) , es decir f ′( x ) , que nos permita obtener fácilmente el valor de la derivada de esa función en un punto “cualquiera” simplemente sustituyendo. Ejemplo: Halla la función derivada de f ( x ) = x 2 + 3 x y úsala para calcular de nuevo f ′(0 ), f ′(1) y. f ′(3).. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 4. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 10: Derivadas y Aplicaciones.

(5) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. También se pueden calcular las derivadas sucesivas de una función: Si derivamos dos veces la función f ( x ) (es decir, hacemos la derivada de la función derivada f ′( x ) ) obtenemos la derivada segunda f ′′( x ) ; si derivamos tres veces obtenemos la derivada tercera f ′′′( x ) y así sucesivamente (también se escribe y ′, y ′′, y ′′′... ). Dicho de un modo más formal: Si f es una función derivable en todos los puntos de un intervalo abierto (a, b ) , entonces la función:. f ′ : (a, b ) → ℜ se llama función derivada de f . x a f ′( x ) Si a su vez f ′ es derivable en (a, b ) obtenemos su derivada ( f ′)´= f ′′ :. f ′′ : (a, b ) → ℜ que se llama función derivada segunda de f . x a f ′′( x ). Análogamente se pueden definir f ′′′, f iv ) , f v )... Sin embargo, para derivar funciones NO es necesario hacerlo resolviendo límites como en el ejemplo anterior. Existen sencillas reglas prácticas con las que se pueden hallar fácilmente las derivadas de las funciones elementales. Veamos esas reglas.. 3. REGLAS DE DERIVACIÓN REGLAS DE DERIVACIÓN. Suma y resta Producto y cociente. (f. ′ + g ) = f ′ + g′ ′. ( f ⋅ g). Producto por un número Composición de funciones. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. (f. ′ − g ) = f ′ − g′. ′ ⎛ f ⎞ f ′⋅ g − f ⋅ g′ ⎜⎜ ⎟⎟ = g2 ⎝ g ⎠. = f ′ ⋅ g + f ⋅ g′. (k ⋅ f )′ = k ⋅ f ′ (g o f )′ = g ′( f ) ⋅ f ′ Regla de la cadena. 5. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 10: Derivadas y Aplicaciones.

(6) IES Padre Poveda (Guadix). f ( x) = k f ( x) = x f ( x) = k ⋅ x f ( x) = x. Matemáticas I. TABLA DE DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Funciones simples Funciones compuestas. f ′( x) = 0 f ′( x) = 1 f ′( x) = k f ′( x) = n ⋅ x n−1. n. f ( x) = x. f ′( x) =. f ( x) = n x. f ′( x) =. f ( x) = ln x. f ′( x) =. 2 x 1. n⋅ x. n −1. 1 x 1 1 f ′( x) = ⋅ x ln a f ′( x) = e x f ′( x) = a x ⋅ ln a f ′( x) = cos x f ′( x) = − sen x. f ( x) = log a x f ( x) = e x f ( x) = a x f ( x) = sen x f ( x) = cos x f ( x) = tg x. 1. n. f ′( x) = 1 + tg 2 x =. f ( x) = cot g x. f ′( x ) =. g′ = k ⋅ f ′ g ′ = n ⋅ f n−1 ⋅ f ´ 1 g′ = ⋅ f′ 2 f. g =k⋅ f g= f. n. g=. f. g′ =. g ( x ) = ln f. g ′( x ) =. g ( x ) = log a f g ( x) = e f. 1 = sec 2 x cos 2 x. −1 = − cos ec 2 x sen 2 x. 1. g=n f. n ⋅ f n −1 n. .f ′. f′ f f′ g′ = f ⋅ ln a g ′( x) = e f ⋅ f ′. g ( x) = a f g ( x) = sen f g ( x) = cos f. g ′ = a f ⋅ f ′ ⋅ ln a. g ( x) = tg f. g′ = 1+ tg2 f ⋅ f ′ =. g = cot g f. g′ =. g ′ = cos ( f ) ⋅ f ′ g ′ = − sen ( f ) ⋅ f ′. (. ). f′ = sec2 ( f ) ⋅ f ′ cos2 f. − f′ = − cos ec 2 ( f ) ⋅ f ′ 2 sen f. f ( x) = sec x. f ′( x) = tg x ⋅ sec x. g = sec f. g ′ = tg f ⋅ sec( f ) ⋅ f ′. f ( x) = cos ec x. f ′( x) = − cot g x ⋅ cos ec x. g = cos ec f. g ′ = − cot g f ⋅ cos ec ( f ) ⋅ f ′. g = arcsen f. g ′( x) =. g ( x) = arccos f. g ′( x) =. f ( x) = arcsen x. f ′( x) =. f ( x) = arccos x. f ′( x) =. f ( x) = arctg x f ( x) = arc cot g x. 1 1− x −1. 2. 1− x 1 f ′( x) = 1 + x2 −1 f ′( x) = 1 + x2. 2. g ( x) = arctg f. g ′( x) =. g = arc cot g f. g′ =. 1. Halla la derivada de las siguientes funciones: 1) f ( x ) = 5 x 7) f ( x ) = (2 x − 5)(4 − 3x ) 2 3 2) f ( x ) = 7 x 8) f (x ) = 3x 2 − 5 x + 4. (. ). 5 3) f ( x ) = 4 x 6 9) f ( x ) = 2 x 2 + 7 x − 3 3 11 3 2 1 2 4) f (x ) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 7 3 4 3 2 10) f ( x ) = x −3 5) f ( x ) = x 3 + 3x 2 − 4 x + 1 x2 11) f ( x ) = 2 6) f ( x ) = x 2 (7 − 2 x ) x +1. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. (. 6. ). f′ 1− f 2 − f′ 1− f 2. f′ 1+ f 2. − f′ 1+ f 2. 12) f ( x ) = x. 13) f ( x ) = 7 x. 14) f ( x ) = x 3 − x. 15) f ( x ) = 3 ( x + 6). 2. 16) f ( x ) = e − x. 17) f ( x ) = 3 x. 2. +5. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 10: Derivadas y Aplicaciones.

(7) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. 27) f ( x ) = x ⋅ ln x 28) f (x ) = e x ⋅ ln x. 18) f ( x ) = e x. 19) f ( x ) = e x + x 2 2. 20) f ( x ) = e 21) 22). 23) 24). x2. (x. 3. + 11x. 38) f ( x ) = tg x 2. 39) f ( x ) = e 3 x + senx 2. 29) f (x) = (2x − 7) (3x − 5) 2. ). 40) f (x ) = e x. 30) f ( x ) = ln x 31) f ( x ) = sen(x 2 + 3). ex f (x ) = 2x − 5 3x − 7 f (x ) = 2x − 1 5 f (x ) = x f (x ) = ln x 3. 42) f ( x ) = arccos x 2 43) f ( x ) = arctg e x. ⎛ x⎞ 44) f (x ) = arcsen⎜ ⎟ ⎝2⎠. 45) f ( x ) = arccos(ln x ) senx 46) f ( x ) = senx + cos x. 36) f (x ) = (cos x ). 2. 37) f (x ) = (tg x ). 2. 2. Halla la derivada de las siguientes funciones:. a) f (x ) = (3 x + 1) ⋅ ln( x 2 + 1) 3. g ) f (x ) =. ex 7x5 − 4 c) f ( x ) = (x 3 + 1)⋅ e 7 x d ) f ( x ) = 3 x ⋅ ln x e) f ( x ) = (x 2 + 1)⋅ ( x 5 − 6 x) 6. b) f ( x ) =. f ) f (x ) =. l ) f (x ) = (x 2 + 2 )⋅ ln( x 2 + 2) m ) f ( x ) = 35 x + e x ln x n) f ( x ) = 2 x ñ) f ( x ) = (1 − x 3 )⋅ cos x 1 o) f ( x ) = 4 x 3 − 5 x + x e. 3 + ln(1 − x) (2 x − 5)2. ex x3 +1 i ) f ( x ) = 2 x ⋅ e 3 x −1 j ) f ( x ) = e1− x + ln( x + 2) 1 − 3x 3 k ) f (x ) = + (5 x − 2) x h) f ( x ) =. (x + 1)2 x2 − 2. 3. Calcula la derivada de las siguientes funciones (son de la forma f ( x ) = g ( x ). h(x ). a) f (x ) = x 2 x. +5 x −6. 41) f (x ) = arcsen(2 x ). 32) f ( x ) = sen x 33) f (x ) = x ⋅ sen x x 34) f ( x ) = sen x 35) f (x ) = 2 cos 7 x. 25) f ( x ) = ln(x 2 + 5 x − 1) ln x 26) f (x ) = x. 2. b) f ( x ) = (senx ). c) f ( x ) = x cos x. x. ).. d ) f ( x ) = (cos x ). cos x. 4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. ¿Qué ha ocurrido en la gráfica de y = f ( x ) al tomar este límite “en la tasa de variación media”?. Todas estas rectas son secantes a la función con un punto común A(a, f (a )).. mAP1 = tg α1 = TVM [a, a + h1 ] =. mAP2 = tg α 2 = TVM [a, a + h2 ] = mAP3 = tg α3 = TVM [a, a + h3 ] =. f (a + h1 ) − f (a ) h1. f (a + h2 ) − f (a ) h2. f (a + h3 ) − f (a ) h3. Si hi → 0 entonces Pi → A , con lo cual la recta. tangente a f en A(a, f (a )) se obtiene como límite de las rectas secantes. Pero además, la pendiente m de la recta tangente a la función f en A(a, f (a )) es:. m = tg α = lím tg (α i ) = lím α i →α. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. h →0. f (a + h ) − f (a ) = f ′(a ) , es decir: h. 7. m = f ′(a ). Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 10: Derivadas y Aplicaciones.

(8) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. El resultado anterior (que m = f ′(a )) se conoce como Interpretación geométrica de la derivada y nos dice que:. ⎧ Pendiente de la recta tangente a la gráfica Derivada de una funcion f en a = ⎨ ⎩de la función f en el punto A(a, f (a )). 5. RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 5.1. RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN y = f ( x ) EN UN PUNTO A(a, f (a )). La ecuación de la recta tangente en su forma punto pendiente es y − f (a ) = m( x − a ) .. Pero m = f ′(a ) (Por la interpretación geométrica de la derivada). Por tanto: ⎧ Ecuación de la recta tangente y − f (a ) = f ′(a ) ⋅ ( x − a ) ← ⎪⎨a la gráfica de f en el punto ⎪ A(a, f (a )) ⎩. 5.2. RECTA NORMAL A UNA FUNCIÓN y = f ( x ) EN UN PUNTO A(a, f (a )). La ecuación de la recta normal en su forma punto pendiente es y − f (a ) = m′( x − a ) . Las rectas tangente y normal son perpendiculares entre sí. Condición de perpendicularidad:. m ⋅ m′ = −1 ⇒ m′ = −. 1 1 =− m f ′(a ). Por tanto:. ⎧ Ecuación de la recta normal 1 (x − a ) ← ⎪⎨a la gráfica de f en el punto y − f (a ) = − f ′(a ) ⎪ A(a, f (a )) ⎩ 3 2 Ejemplo1: Calcula la función derivada de f (x ) = x − 2 x + 3 y halla: a) Las pendientes de las rectas tangentes en las abscisas − 1 y 3. b) Las ecuaciones de dichas rectas tangentes. Ejemplo 2: Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función c) f ( x ) = ln x en x = e. a) f ( x ) = x 2 − 5 x en x = −1.. b). f ( x ) = ln x en x = 1.. 6. DERIVADAS LATERALES A los siguientes límites, si existen y son finitos, se les llama:. ( ). f ′ a + = lím+. ( ). h →0. f ′ a − = lím− h→0. f (a + h ) − f (a ) → Derivada por la derecha de f en a. h f (a + h ) − f (a ) → Derivada por la izquierda de f en a. h. Ambos límites reciben el nombre de derivadas laterales de la función f en a. Propiedad:. ⎧ f ′(a ) f es derivable en a ⇔ Existen ⎪⎨ , son finitas y f ′(a + ) = f ′(a − ) +. ( ). ⎪⎩ f ′ a −. ( ) = f ′(a ). En cuyo caso, f ′(a ) = f ′ a. +. −. Ejemplo: Comprueba que la función valor absoluto f ( x ) = x , que es continua en x = 0, no es. derivable en x = 0. Represéntala. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 8. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 10: Derivadas y Aplicaciones.

(9) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. ⎧ x si x ≥ 0 ⎩− x si x < 0. Solución: f ( x ) = x = ⎨. f (0 + h ) − f (0 ) f (h ) − f (0 ) −h ⎫ = lím− = lím = −1⎪ → h 0 → h 0 ⎪ h h h − + ⎬⇒ f′0 ≠ f′0 ( ) ( ) ( ) ( ) f 0 h f 0 f h f 0 h + − − f ′ 0 + = lím+ = lím+ = lím+ = 1 ⎪ h →0 h →0 h →0 h h h ⎭⎪ Por tanto, la función no es derivable en x = 0.. ( ). f ′ 0 − = lím−. ( ). h →0. ( ). ( ). 7. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. Si observas el ejemplo anterior está claro que “Una función continua en a NO tiene por qué ser derivable en a ” (podrá serlo o no). Si f es continua en a pero no derivable en a , tendremos puntos “angulosos” (con pico) como en las dos primeras figuras, o puntos de tangente vertical como en la tercera:. Funciones continuas en a pero no derivables en a. Sin embargo: Propiedad: Si f es derivable en a ⇒ f es continua en a. Función no continua en a y, por tanto, no derivable en a. Por tanto: Si f NO es continua en a ⇒ NO puede ser derivable en a Una función derivable tendrá una gráfica “suave” sin “puntos angulosos”. Ejemplo 1: Estudia la continuidad y derivabilidad de las funciones: ⎧x 2 + 2x + 1 si x < −1 si x ≤ −2 ⎧− 2 ⎪ a) f ( x) = ⎨2x + 2 si −1 ≤ x ≤ 2 b) f ( x) = ⎨ 2 ⎩x + 1 si x > −2 ⎪− x 2 + 8x si x > 2 ⎩. ⎧ln( x − 1) c ) f ( x) = ⎨ ⎩3x − 6. si x < 2 si x ≥ 2. ⎧ si 0 ≤ x < 2 2x 2 ⎪ Ejemplo 2: Sea la función f (x ) = ⎨ 2 x + a si 2 ≤ x ≤ 4 ⎪− x 2 + 10 x + b si x > 4 ⎩ a) Calcula los valores de a y b para que f sea continua en su dominio. b) Estudia la derivabilidad de f para esos valores de a y b.. ⎧ ex ⎪ Ejemplo 3: Estudiar la continuidad y derivabilidad de esta función: f (x) = ⎨ 1 ⎪− x2 +3x + 2 ⎩. si x ≤ 0 si 0< x < 3 si x ≥ 3. ⎧mx + 3 Ejemplo 4: Obtén los valores de m y n para que sea derivable la función: f ( x ) = ⎨ 2 ⎩2 x − n. Ejemplo 5: Estudia la derivabilidad de: a ) f ( x ) = x − 3. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 9. si x ≤ 1 si x > 1. b) f ( x ) = x 2 − 9 .. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 10: Derivadas y Aplicaciones.

(10) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 8.1. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS (EXTREMOS RELATIVOS). Si f alcanza un extremo relativo en x = a ⇒ La recta tangente (si existe, es decir, si f es derivable en a ) a f en ese punto es horizontal y tendrá pendiente cero. ⇒ f ′(a ) = 0.. Puntos críticos o singulares: son aquellos en los que f ′(a ) = 0 , es decir, los “candidatos” a máximos o mínimos relativos. Los puntos críticos se obtienen resolviendo la ecuación f ′( x ) = 0. Propiedad: (Condición necesaria pero NO suficiente para la existencia de extremos relativos) Si f es derivable en a y tiene un extremo relativo en a ⇒ f ′(a ) = 0. Sin embargo, que f ′(a ) = 0 NO implica que tenga un extremo relativo en a como podemos observar en la gráfica de esta función (Pero SÍ proporciona los “candidatos”). Propiedad: Si f ′(a ) = 0 entonces:. a ) Si f ′′(a ) < 0 ⇒ f tiene un máximo relativo en a b) Si f ′′(a ) > 0 ⇒ f tiene un mínimo relativo en a. 3 2 3 Ejemplo: Estudiar los extremos relativos de las funciones: a) f ( x) = x −6x +9x + 2 b) g(x) = x − x. Solución: a) Máximo relativo en x = 1 con valor f (1) = 6 ⇒ M (1, 6 ) Mínimo relativo en x = 3 con valor f (3) = 2 ⇒ m(3, 2 ). b) Mínimo relativo en x =. 3 3. Máximo relativo en x = −. ( )= − con valor g (− ) =. con valor g 3 3. 3 3. 2 3 9. 3 3. ⇒m. 2 3 9. (. 3 3. , − 293. (. ⇒M −. 3 3. ,. ) 2 3 9. ). 8.2. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO (MONOTONÍA) Observa la gráfica adjunta de una función derivable:. Si f es estrictamente creciente en un intervalo abierto, las rectas tangentes en los puntos de ese intervalo también lo serán ⇒ sus pendientes serán positivas ⇒ f ′ > 0 en ese intervalo. Por otro lado, si f ′ > 0 en un intervalo abierto en el que f es derivable ⇒ Las pendientes de las rectas tangentes serán positivas ⇒ Las rectas tangentes serán estrictamente crecientes ⇒ f es estrictamente creciente en ese intervalo abierto. Análogamente, si f es estrictamente decreciente en un intervalo abierto, las rectas tangentes en los puntos de ese intervalo también lo serán y por tanto sus pendientes serán negativas ⇒ f ′ < 0 en ese intervalo. Por otro lado, si f ′ < 0 en un intervalo abierto en el que f es derivable ⇒ Las pendientes de las rectas tangentes serán negativas ⇒ Las rectas tangentes serán estrictamente decrecientes ⇒ f es estrictamente decreciente en ese intervalo abierto. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 10. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 10: Derivadas y Aplicaciones.

(11) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. Propiedad: Sea f una función derivable en un intervalo abierto (a, b). a) Si f ′ > 0 en (a, b) ⇒ f es estrictamente creciente en (a, b). b) Si f ′ < 0 en (a, b) ⇒ f es estrictamente decreciente en (a, b). c) Si f ′ = 0 en (a, b) ⇒ f es constante en (a, b).. Para determinar los intervalos de monotonía de una función derivable así como sus extremos relativos, tendremos en cuenta el signo de la primera derivada de acuerdo con el siguiente esquema de la recta real.. En el caso de que existan puntos en los que f no es continua o no es derivable, también habrá que considerarlos al hacer el esquema anterior. Propiedad: Si a es un punto crítico de f (es decir, f ′(a ) = 0 ) y. a ) f ′ > 0 a su izquierda (est. creciente ) ⎫ ⎬ ⇒ f tiene un máximo relativo en a f ′ < 0 a su derecha (est. decrecient e )⎭. b) f ′ < 0 a su izquierda (est. decrecient e )⎫ f ′ > 0 a su derecha (est. creciente ). ⎬ ⇒ f tiene un mínimo relativo en a ⎭. Ejemplo 1: Estudia la monotonía de las funciones: a) f ( x ) = 2 x + 3 x − 12 x 3. 2. x2 b) g ( x ) = x −1. Estudia también sus extremos relativos a partir de la información proporcionada por la monotonía. Solución: a) Estr. creciente en (− ∞,−2 ) ∪ (1,+∞ ) ; Estr. decreciente en (− 2,1) Máximo relativo en x = −2 con valor f (− 2 ) = 20 ⇒ M (− 2,20 ) Mínimo relativo en x = 1 con valor f (1) = −7 ⇒ m(1,−7 ). b) Estr. creciente en (− ∞,0 ) ∪ (2,+∞ ) ; Estr. decreciente en (0,1) ∪ (1,2 ) Máximo relativo en x = 0 con valor g (0 ) = 0 ⇒ M (0,0 ) Mínimo relativo en x = 2 con valor g (2 ) = 4 ⇒ m(2,4 ). Ejemplo 2: Sea la función f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c. Calcula a, b y c sabiendo que su gráfica. pasa por el punto A(0,0 ), que tiene un máximo relativo en x = −1 y un mínimo relativo en x = 1. Solución: a = 0; b = −3; c = 0 ⇒ f (x ) = x 3 − 3 x. Ejemplo 3: Halla a y b para que la función f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + 1 tenga un mínimo relativo. en el punto P (2,−15).. Solución: a = 0; b = −12 ⇒ f (x ) = x 3 − 12 x + 1 Ejemplo 4: Sea la función f ( x ) = x 2 + ax + b. Calcula a y b sabiendo que su gráfica pasa por el. punto A(3,0 ) y que la recta tangente a la gráfica en ese punto es paralela a la recta. y = 2 x + 5. Solución: a = −4; b = 3 ⇒ f (x ) = x 2 − 4 x + 3. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 11. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 10: Derivadas y Aplicaciones.

(12) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. 8.3. CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD (CURVATURA) Para determinar los intervalos de convexidad y de concavidad de una función tendremos en cuenta el signo de la segunda derivada de acuerdo con el siguiente esquema de la recta real:. En el caso de que existan puntos en los que f no es continua o no es derivable, también habrá que considerarlos al hacer el esquema anterior. Por tanto: Propiedad: Si f ′′ > 0 en un intervalo abierto (a, b) ⇒ f es convexa en (a, b). Si f ′′ < 0 en un intervalo abierto (a, b) ⇒ f es cóncava en (a, b). Además, diremos que f presenta en a un punto de inflexión si en (a, f (a )) la función pasa de ser convexa a cóncava o viceversa (la recta tangente atravesará la curva). Propiedad: Si f ′( a ) = f ′′( a ) = ... ... = f. n − 1). (a) = 0. n). y f ( a ) ≠ 0. Entonces: • Si n es par ⇒ Extremo relativo en x = a.. • Si n es impar ⇒ Punto. de inflexión en x = a.. “Candidatos” a puntos de inflexión: son aquellos en los que f ′′(a ) = 0 . Es decir, los posibles. puntos de inflexión se obtienen resolviendo la ecuación f ′′( x ) = 0. El cambio de curvatura nos asegurará que, en efecto, estamos en presencia de un punto de inflexión siempre que la función sea, al menos, continua en a. También podemos aplicar la siguiente propiedad: Propiedad:. Si f ′′(a ) = 0 y f ′′′(a ) ≠ 0 ⇒ f tiene un punto de in flexión en a. Ejemplo 1: Estudia la curvatura y puntos de inflexión de f (x ) = x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 − 5 x + 1.. Solución: Convexa en (− ∞,1) ∪ (2,+∞ ) ; Cóncava en (1,2 ). Punto de inflexión en x = 1 con valor f (1) = 3 ⇒ P1 (1,3). x = 2 con valor f (2 ) = 7 ⇒ P2 (2,7 ). Ejemplo 2: Estudia la monotonía y curvatura de f ( x ) = x 4 − 6 x 2 . Esboza su gráfica.. (. ) (. ). (. ) ( ). Solución: Estr. creciente en − 3,0 ∪ 3,+∞ ;Estr. decreciente en − ∞,− 3 ∪ 0, 3 . Máximo relativo en x = 0 con valor f (0 ) = 0 ⇒ M (0,0 ). (. ). (. Mínimo relativo en: x = − 3 con valor f − 3 = −9 ⇒ m1 − 3 ,−9. ( ). (. ). ). x = 3 con valor f 3 = −9 ⇒ m2 3 ,−9 Convexa en (− ∞,−1) ∪ (1,+∞ ) ; Cóncava en (− 1,1) Punto de inflexión en: x = −1 con valor f (− 1) = −5 ⇒ P1 (− 1,−5) x = 1 con valor f (1) = −5 ⇒ P2 (1,−5) Ejemplo 3: Sea la función g ( x ) = x 3 + ax 2 + b. Calcula a y b sabiendo que su gráfica presenta. un punto de inflexión en el punto (2,5).. Solución: a = −6; b = 21 ⇒ g (x ) = x 3 − 6 x 2 + 21 Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 12. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 10: Derivadas y Aplicaciones.

(13) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. 8.4. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES En matemáticas y en otras disciplinas científicas se trata con frecuencia de optimizar una función (hacer máximos o mínimos unos costes, un volumen o área, unos beneficios...). Para resolverlos: 1º) Construimos la función a maximizar o minimizar y se expresa con una sola variable. 2º) Se hallan los máximos y/o mínimos de esa función. Si f es continua en un intervalo cerrado. [a, b] , habrá que tener en cuenta el valor que toma la función en a. y b. 3º) Se interpretan los resultados rechazando los no posibles por la naturaleza del problema. Ejemplo 1: Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que la suma del quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea mínimo. Solución: x = 24; y = 20. Ejemplo 2: Se desea construir una caja abierta de base cuadrada y 864 dm3 de capacidad. ¿Cuáles han de ser sus dimensiones para que su superficie sea mínima? Solución: Lado de la base x = 12 dm; Altura y = 6 dm. Ejemplo 3: De entre todos los rectángulos de perímetro 8cm, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. Calcula su diagonal. Solución: x = y = 2cm (Un cuadrado). Diagonal 2 2cm. Ejemplo 4: De todos los triángulos isósceles cuya base y altura suman 20 cm, ¿qué base tiene el de área máxima? Solución: 10 cm de base. Ejemplo 5: De todos los cilindros de 8 dm3 de volumen, ¿cuánto mide el radio y la altura del de menor superficie total? Solución: r = 3 π4 dm; h = 2 3 π4 dm. Ejemplo 6: Se quiere construir una ventana de forma rectangular de 1m2 de superficie. Si el precio del marco es de 2′5 € / m para la parte vertical y de 3′6 € / m para la horizontal. ¿Qué dimensiones debe tener para que el coste sea mínimo? Solución: Tramo horizontal: x = 56 m; Tramo vertical: y = 65 m. Ejemplo 7: Un pastor dispone de 1000 m de tela metálica para construir una cerca rectangular aprovechando una pared ya existente. Hallar las dimensiones más convenientes para que el área encerrada sea máxima. Solución: 500m; 250m. Ejemplo 8: Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener las dimensiones que minimizan la superficie del papel. Solución: Ancho 5 cm; Alto: 10 cm. Ejemplo 9: Un jardinero tiene que hacer un jardín con forma de sector circular de 150m de perímetro. ¿Qué radio le debe dar para que su superficie sea máxima? Solución: r = 37.5 m. Ten en cuenta que S sec tor = 12 lr.. 9. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Para llevar a cabo la representación gráfica de una función estudiaremos los siguientes puntos: 1. Dominio de la función. 2. Puntos de corte con los ejes. (Esto nos permitirá, además, conocer el “signo de la función”). 3. Simetrías. 4. Periodicidad. 5. Continuidad, discontinuidades y asíntotas. 6. Monotonía. Extremos relativos. 7. Curvatura. Puntos de inflexión. 8. Si es necesario, cálculo de otros puntos de la gráfica construyendo una tabla de valores. Ejemplos: Representa gráficamente las siguientes funciones:. a) f (x) =. x2 x −1. b) f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x c) f ( x) =. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 13. x2 − 9 x2 −1. d ) f (x) =. x2 − 4 x +1. e) f (x) = sen x. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 10: Derivadas y Aplicaciones.

(14) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. Soluciones: a). b). c). d). e). Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 14. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 10: Derivadas y Aplicaciones.

(15)