UNIDAD 4 grafiquemos relaciones y funcio

(1)

UNIDAD

4:

GRAFIQUEMOS

RELACIONES

Y

FUNCIONES.

Plano cartesiano

.

¿Recuerdas la recta numérica? Esa recta resulta ser el eje

X

del plano cartesiano (eje horizontal). El eje vertical es el eje de las

y

. Ambos ejes se cortan perpendicularmente y en CERO. Así se forma el plano cartesiano, que es el siguiente:

Podemos observar las características siguientes: 1. Los valores positivos de

X

están a la derecha del origen 2. Los valores positivos de

y

están hacia arriba del origen 3. Los valores negativos de

X

están a la izquierda del origen

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

Origen (0, 0) Cuadrante I

Cuadrante II

Cuadrante III

Cuadrante IV

Eje

X

(2)

4. Los valores negativos de

y

están hacia abajo del origen

5. Todo valor a la izquierda es menor que todo valor a la derecha (en

X

) 6. Todo valor de abajo es menor que todo valor de arriba (en

y

)



Ubicación de un par ordenado en el plano cartesiano.

Un par ordenado representa un punto en el plano cartesiano. Por ejemplo, el par ordenado (-2, 5) tiene a –2 como coordenada en

X

, mientras que su coordenada en

y

es 5. Para ubicar tal punto, trazamos una línea que pase por –2 en

X

yotra que pase por 5 en

y

. Donde se cortan es el punto.

Ejemplos

. Ubicar en el plano los puntos siguientes: (2, 5), (-3, 4), (-2, -3), (5, -2),

X

= 3 y

y

= -4.



Solución

.

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

(2, 5)

(-3, 4)

(-2, -3)

(5, -2)

X

= 3

(3)



Actividad 1. Encuentra las incógnitas en los pares ordenados siguientes:

1. (m, 5) = (7, k) _________ _________ 2. (n + 1, p) = (10, -3) _________ _________

3. (q + 2, d) = (7, -5) _________ _________ 4. (q - 5, b) = (-5, 7) _________ _________

5. (5 - q, 5) = (7, 2 - a) _________ _________ 6. (2m + 1, 4m - 5) = (11 – 2b, 2b - 3) _________ _________



Actividad 2. Ubica en el plano cartesiano los puntos siguientes:

1. (1, 4) 2. (-2, 3) 3. (-4, -2) 4. (4, -3) 5. y = 4 6. x = -3



_{discusión 1}

. 1. Marquen 4 puntos que estén a 3 unidades del punto (1, 2) y graficarlos. (Una unidad es la distancia entre un entero y el siguiente; por ejemplo, entre 5 y 6 hay una unidad). 2. Encuentren la distancia entre los puntos (1, 1) y (5, 4) (Ayuda: aplicarán Pitágoras)

3. Producto cartesiano

.

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

(4)

3.1 Definición.

Si A y B son 2 conjuntos, el producto cartesiano AXB es el conjunto de pares ordenados formado al combinar todos los elementos de A con todos los de B, en ese orden.

En notación de conjunto: AXB =

{

(

X

,

y

)

⁄

X



A y y



B

}

Se concluye que AXB es diferente de BXA. Además, A es el conjunto de partida, y B es el conjunto de llegada.

Ejemplo

. A =

{

2, 5, 6, 8

}

y B =

{

3, 5, 7

}

Con estos conjuntos encontrar AXB y BXA



Solución

.



AXB =

{

(2, 3), (2, 5), (2, 7), (5, 3), (5, 5), (5, 7), (6, 3), (6, 5), (6, 7), (8, 3), (8, 5), (8, 7)

}



BXA =

{

(3, 2), (3, 5), (3, 6), (3, 8), (5, 2), (5, 5), (5, 6), (5, 8), (7, 2), (7, 5), (7, 6), (7, 8),

}



Actividad 3. Con los conjuntos

A =

{

2, 3, 5

}

B =

{

3, 5, 7

}

y C =

{

4, 6, 7, 8

}

calcula:

1. AXB = _____________________________________________________________________________________________

2. BXA = _____________________________________________________________________________________________

3. AXC = _____________________________________________________________________________________________

4. CXA = _____________________________________________________________________________________________

5. BXC = _____________________________________________________________________________________________

6. CXB = _____________________________________________________________________________________________

7. (A

∩

B)XC =

_____________________________________________________________________________________________

8. (B

∩

C)XA =

______________________________________________________________________________________________



_{discusión 2}

. Se tiene un conjunto con 20 elementos y otro con 30. ¿Cuántos pares ordenados resultarán del producto cartesiano entre ambos? ________

3.2 Representación de productos A X B en el plano cartesiano, donde

A y B sean subconjuntos de

ℜ

o iguales a

ℜ

.

Graficar AXB es ubicar en el plano cartesiano todos los puntos (pares ordenados) que resulten del producto cartesiano AXB.

Ejemplo

. Si A =

{

2, 3, 5 } y B =

{

5, 7}, grafiquemos AXB.

(5)

Gráfica de AXB

8

7

6

5

4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

Ejemplo

. Si A =

]

1, 3

]

y

B =

[

2, 4

[

graficar AXB y BXA.



Solución

. Al graficar AXB el conjunto A es el de partida: estará en el eje

X

. B es el conjunto de llegada: estará en

y

.

En este gráfico se hallan todos los valores comprendidos entre 1 y 3. Observa que la línea

X

= 1 está punteada. Esto se debe a que el 1 no está comprendido: ahí el intervalo es abierto. En este caso, hemos trabajado con dos

(6)

El gráfico de AXB resultará al traslapar ambos gráficos:

Seleccionemos 4 puntos que no pertenecen a AXB: (1, 2). (2, 4). (1, 3), (4, 1) Para el primer caso, (1, 2), la coordenada 1 (coordenada en x) no pertenece a AXB, aunque la segunda coordenada, 2, sí pertenece. Para que el punto pertenezca a AXB, ambas coordenadas deben pertenecer. En el caso de (2, 4), vemos que la primera coordenada, 2, pertenece a AXB; pero la

1 2 3 4 5

4

3

2

1

1 2 3 4 5

4

3

2

1

1 2 3 4 5

El conjunto B es el de llegada: estará en el eje y.

En este gráfico se hallan todos los valores comprendidos entre 2 y 4. Observa que la línea

y

= 4 está punteada. Esto se debe a que el 4 no está comprendido: ahí el intervalo es abierto.

(7)

segunda coordenada NO pertenece. Para el punto (4, 1), ninguna de las coordenadas pertenece a AXB.

Al graficar BXA, B es el conjunto de partida y A es el de llegada. Es decir que B estará en

X

y A en

y

. El gráfico BXA es el siguiente:



Actividad 4. Si

A =

{

2, 3, 5, 7, 9, 10 } y B =

{

5, 6, 7, 8}, grafica AXB y BXA.



Actividad 5. Con los conjuntos

A =

[

-2, 3

[

B =

]

2, 4

]

y C =

[

-3, 5

]

graficar AXB, BXA, AXC, CXA, BXC y CXB.

4. Relaciones

.

4.1 Definición. Para los conjuntos

A y B, una relación (

R

) de A en B, es cualquier subconjunto de AXB.

Para el caso de A =

{

2, 3, 5 } y B =

{

5, 7}, se tiene que AXB =

{

(2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 5), (5, 7) } Tres relaciones de A en B son las siguientes:

R

1 =

{

(2, 5), (2, 7), (3, 5) }

R

1 =

{

(3, 5), (3, 7) }

R

1 =

{

(5, 5) }

4

3

2

1

1 2 3 4

(8)

4.2 Conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango

(recorrido) de una relación y su gráfico.



Conjunto de partida

. Es el conjunto que contiene las primeras componentes de un producto cartesiano. Es decir que para AXB, el conjunto de partida es A.



Conjunto de llegada

. Es el conjunto que contiene las segundas componentes de un producto cartesiano. Es decir que para AXB, el conjunto de llegada es B.



Dominio

. Es el conjunto que contiene las primeras componentes de una relación



Rango o recorrido

. Es el conjunto que contiene las segundas componentes de una relación

Ejemplo

. Sea AXB =

{

(2, 3), (2, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 5), (5, 10), (5, 12) }. Si la relación

R

de A en B es el conjunto formado por los pares ordenados en los que la segunda componente es el doble de la primera, calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.



Solución

.

▬ El conjunto de partida son las primeras componentes del producto cartesiano:

{

2, 3, 5 }

▬ El conjunto de llegada son las segundas componentes del producto cartesiano:

{

3, 4, 5, 6, 10, 12 }

La relación

R

de A en B que buscamos estará formada por los pares ordenados en los que la segunda componente es el doble de la primera:

{

(2, 4), (3, 6), (5, 10)

} De esta relación

saldrán el dominio y el rango.

▬ El dominio son las primeras componentes de la relación:

{

2, 3, 5 }

▬ El rango son las segundas componentes de la relación:

{

4, 6, 10 }

Ejemplo

. Sea P =

{

2, 3, 5 } y Q =

{

5, 7, 9, 11} Si la relación

R

es:

R

=

{

(

X

,

y

) /

X



P y

y



Q, con

y

= 2

X

+ 1 }

Calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.



Solución

.

▬ Conjunto de partida:

{

2, 3, 5 }

▬ Conjunto de llegada:

{

5, 7, 9, 11 }

(9)

Formemos el producto cartesiano PXQ, y seleccionemos los pares ordenados que cumplan con la condición de la relación.

PXQ =

{

(2, 5)

, (2, 7), (2, 9), (2, 11), (3, 5),

(3, 7)

, (3, 9), (3, 11), (5, 5), (5, 7), (5, 9),

(5, 11)

}

Por lo tanto:

R

=

{

(2, 5)

,

(3, 7)

,

(5, 11)

}

▬ El dominio es:

{

2, 3, 5

}

▬ El rango es:

{

5, 7, 11

}

...

NOTA: debemos leer cuidadosamente la relación, pues nos puede conducir a errores. La

relación anterior es:

R

=

{

(

X

,

y

) /

X



P y

y



Q, con

y

= 2

X

+ 1

}

Es una relación de P

en Q.

Cambiémosla por:

R

=

{

(

X

,

y

) /

X



Q y

y



P, con

y

= 2

X

+ 1

}

Esta es una relación de

Q en P.

Para este caso el producto cartesiano sería

QXP =

{

(5, 2),(5, 3), (5, 5), (7, 2),(7, 3), (7 5), (9, 2),(9, 3), (9, 5), (11, 2), (11, 3), (11, 5),

}

Para este producto cartesiano, la relación es el conjunto vacío: no hay un par ordenado cuya segunda componente sea el doble más UNO que la primera. Por lo tanto no habría dominio y rango.

...

Ejemplo

. Sea Q =

{

2, 4, 6, 8

}

Si la relación es: R =

{

(

X

, y) /

X



QXQ con

X

+ y =

12

}



Solución

.

▬ El conjunto de partida y el de llegada es el mismo: Q =

{

2, 4, 6, 8

}

La relación nos dice que sus pares ordenados pertenecen al producto cartesiano QXQ, que también puede expresarse como Q2

QXQ =

{

(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8), (8, 2), (8, 4),

(8, 6), (8, 8)

}

También la relación nos dice que la suma de las coordenadas del par ordenado es igual a 12. Por lo tanto:

R

=

{

(4, 8), (6, 6), (8, 4)

}

(10)

▬ El rango es:

{

4, 6, 8

}

El dominio es igual al rango.

Ejemplo

. Sea Q =

{

2, 4, 5, 6

}

Si la relación es: R =

{

(

X

, y) /

X



N y

y



Q

/

2

X

+ y = 12

}



Solución

.

Los pares ordenados de la relación son (

X

,

y

) y

X

(la primera componente) pertenece a los naturales. Las segundas componentes pertenecen a Q (Es una relación de N en Q) Por lo tanto:

▬ El conjunto de partida es N

▬ El conjunto de llegada es Q

Para calcular dominio y rango necesitamos NXQ, que es un conjunto infinito. No es posible expresarlo por extensión, así que haremos los cálculos por inspección.

Sabemos que 2

X

+

y

= 12.

y

puede tomar los 4 valores de Q: 2, 4, 5 y 6.

X

puede tomar cualquier valor natural, pero nos interesan aquellos que reproduzcan los 4 de

y

. Por lo tanto despejemos

X

y sustituyamos los valores de

y

.

2 X

+

y

= 12



X

= (12

–

y

)

/

2

Valor de

y

X

= (

12 –

y

)/2

2 5

4 4

5 7/2

6 3

De la relación resulta que: ▬ El dominio =

{

3, 4, 5

}

▬ El rango =

{

2, 4, 6

}

Ejemplo

. Calcular el dominio, rango y gráfica de la relación

R =

{

(

X

, y)



ℜXℜ

/

y

– 2

X

> -2

}



Solución

.

ℜXℜ

es el producto cartesiano de los reales con los reales; es decir que

ℜXℜ

es todo el plano cartesiano.

Despejemos

y

de

y

–

2

X

>

-

2:

y

>

2

X

– 2

Ahora grafiquemos la frontera cambiando

>

por

=

:

y

=

2 X

– 2. La frontera no estará

incluida.

De aquí obtenemos los pares ordenados que satisfacen la relación. Por lo tanto:

R

= { (5, 2), (4, 4), (3, 6) }

El par ordenado (7/2, 5) no pertenece al producto cartesiano NXQ, por tal razón no pertenece a la relación.

(11)

y

=2

X

–2

es una línea recta. Para su gráfica bastan 2 puntos. Tomemos los puntos

X

= 0, y

X

= 4.

X

y

=

2 X

– 2

Puntos

0 -2

(0, -2)

4

6 (4, 6)

La gráfica es la siguiente:

En cuanto al dominio y el rango, se tiene que tanto

X

como

y

pueden tomar cualquier valor. Es decir que el dominio y el rango son los reales.

El gráfico puede apreciarse en la página siguiente.

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-2 -1 1 2 3 4 5

Ahora tomemos 2 puntos: uno a cada lado de la recta

.

Tomemos los puntos (4, 1) y (0, 0) Probamos estos puntos en la desigualdad:

Probando (4, 1), que está a la derecha de la recta.

y

–

2

X

>

-2

(1)– 2(4)

>

-

2

1 – 8

>

-2



-

7

>

-

2

¡¡ Falso !!

Probando (0, 0), que está a la izquierda de la recta.

y

–

2

X

>

-

2

(0)– 2(0)

>

-

2

0

>

-

2

¡¡

Verdadero

!!

(12)

...

....

Si la relación hubiese sido

y

–

2

X

≥ -2

, entonces la frontera estaría incluida, y se tendría una línea continua.

y

– 2

X

< -

2, entonces la frontera NO estaría incluida, y la relación se cumpliría en todos los puntos a la derecha de la recta.

y

–

2

X

= -

2, entonces la relación se cumpliría únicamente en la línea recta.

Ejemplo

. Encontrar el dominio, rango y gráfica de la relación

R =

{

(

X

, y) /

X



ℜXℜ

y

>

X

2 +2

}

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-2 -1 1 2 3 4 5

(13)

▬

Calculando el dominio

: el dominio son los valores que puede tomar la

X

. En la desigualdad

y

>

X

2

+2

, es evidente que

X

puede tomar cualquier valor: nada se lo impide.

Se concluye

que el dominio es todos los reales.

▬

Calculando el rango

: el rango son los valores que puede tomar la

y

. Se tiene que

X

2

,

para

cualquier valor de

X

,

es CERO o mayor que cero. Por lo tanto, el menor valor que tomará

X

2

+

2

es 2.

Se concluye que el rango es:

[

2

, +

∞[

Esto se ve mejor despejando

X

de la ecuación:

X

<

√y

-

2 Aquí el mínimo valor que puede tomar

y

es 2, de lo contrario se obtiene un número negativo (que no tiene raíz cuadrada. Por ejemplo, si toma el valor de 1, obtenemos 1 – 2 = -1.

▬

Tracemos la gráfica

.

y

>

X

2

+

2 es una parábola abierta hacia arriba y que comienza en

y

= 2.

Se tienen los puntos siguientes:(-2, 6), (-1, 3), (0, 2), (1, 3), (2, 6) Tal parábola es la frontera, la cual no está comprendida en la relación (por ello es punteada)

Ahora probemos 2 puntos: uno interno (0, 5) y otro externo (0, 0) Sustituyamos en y>

X

2_+2.

6

5

4

3

2

1

-2 -1 1 2

Para (0, 5) se tiene:

y

>

X

2

+

2

5 >

(0)

2

+

2

5 >

2

¡¡ Cierto !!

Por lo tanto, la relación se cumple en el área interna de la parábola.

En realidad, basta con probar un punto. No es necesario probar el otro.

...

6

5

4

3

(14)

Ejemplo

. Encontrar dominio y rango de la relación R =

{

(

X

, y)



ℜXℜ

/

y

≤

√

2 –

X

}

▬

Calculando el dominio

. El dominio son los valores que puede tomar la

X

. En la desigualdad

y

≤

√

2

–

X

, es evidente que

X

NO

puede tomar un valor mayor que 2. En tal caso tendríamos la raíz de un número negativo, que no existe. Por ejemplo, si

X

= 3, tenemos:

√

2 – 3 =

√

-1

,

que no existe (es imaginario) Pero sí puede tomar un valor igual o menor que 2. Se concluye que el dominio es

]-∞

,

2

]

▬

Calculando el rango

. El rango son los valores que puede tomar la

y

. En la desigualdad

y

≤

√

2

–

X

, es evidente que

y

puede tomar cualquier valor, pues todo número positivo tiene 2 raíces: una positiva y otra negativa. Para el caso, las raíces de 4 son 2 y –2: 22= 4

,

(-2)2 = 4. Por lo tanto el rango son todos los reales. Esto se visualiza mejor despejando

X

.

y

=

√

2

–

X



y

2=

(

√

2

–

X

)

2



y

2= 2

–

X



y

2

– 2=

–

X



X

=

2 –

y

2

Para todo

valor de

y



Actividad 6. En cada caso encontrar el conjunto de partida, conjunto de llegada,

dominio y rango de la relación y su gráfico.

1. AXB = {(2, 4), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 10), (4, 8), (4, 13), (5, 10), (5, 16), (6, 12), (6, 18)

}. Y

la relación es

R

= { (

X

,

y

)



AXB /

y

= 3

X

+ 1 }

Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada ________________________

Dominio ________________________ Rango ________________________

2.

M

= {2, 3, 5 } y Q = {5, 6, 9, 12}

R

= { (

X

,

y

) /

X



M y

y



Q, con

y

= 3

X

– 3 }

(15)

Dominio ________________________ Rango ________________________

3.

M

= {2, 3, 5 } y Q = {5, 6, 9, 12}

R

= { (

X

,

y

) /

X



Q y

y



M, con

y

=

X

– 4 }

Dominio ______________________ Rango _______________________

4.

M

= {2, 3, 5 } y Q = {5, 6, 7, 8 }

R

= { (

X

,

y

) /

X



Q y

y



M, con

y

+

X

= 10 }

Dominio ________________________ Rango ________________________

5.

M

= {2, 3, 5 } y Q = {5, 6, 7, 8 }

R

= { (

X

,

y

) /

X



M y

y



Q, con

y

+

X

= 10 }

Dominio ________________________ Rango _______________________

6.

Q

= {2, 4, 5 } y M = {5, 6, 7, 8 }

R

= { (

X

,

y

) /

X



Q y

y



M, con 2

y

–

X

= 8 }

Dominio ________________________ Rango _______________________



Actividad 7. Calcular dominio, rango y la gráfica de la relación en los casos siguientes.

1.

R

=

{

(

X

, y)



ℜXℜ

/

y

= 3

X

-5

}

Dominio ___________________ Rango _____________________

2.

R

=

{

(

X

, y)



ℜXℜ

/

y

> 3

X

-5

}

Dominio ___________________ Rango _____________________

3.

R

=

{

(

X

, y)



ℜXℜ

/

y

≤ 3

X

-5

}

Dominio ___________________ Rango _____________________

(16)

5 .

R

=

{

(

X

,

y

)



ℜXℜ

/

y

>

X

2

+2

}

Dominio

_________________

Rango

__________________

6.

R

=

{

(

X

, y)



ℜXℜ / y ≤

X

2 +2

}

Dominio ____________________ Rango __________________

7.

R

=

{

(

X

, y)



ℜXℜ / y ≤

X

2 – 2

}

Dominio ____________________ Rango __________________

8.

R

=

{

(

X

, y)



ℜXℜ / y ≤ 2 –

X

2

}

Dominio ____________________ Rango __________________

9.

R

=

{

(

X

, y)



ℜXℜ / 2 –

X

2

–

y ≤ 0

}

Dominio ____________________ Rango __________________

10.

R

=

{

(

X

, y)



ℜXℜ / 2 –

X

2

–

y > 0

}

Dominio ____________________ Rango __________________

11.

R

=

{

(

X

, y)



ℜXℜ / 5 –

X

2 + y ≤ 0

}

Dominio ____________________ Rango __________________

12.

R

=

{

(

X

, y)



ℜXℜ / 5 –

X

2 + y < 0

}

Dominio ____________________ Rango __________________

13.

R

=

{

(

X

, y)



ℜXℜ / -5 +

X

2 – y < 0

}

Dominio ____________________ Rango __________________



discusión 3

. Para cada relación, encontrar el dominio y el rango.

1.

R

=

{

(

X

, y)



ℜ

2 /

y

≤

5 –

X

}

Dominio ____________________ Rango __________________

2.

R

=

{

(

X

, y)



ℜ

2 /

y

< 4 –

X

}

Dominio ____________________ Rango __________________

3.

R

=

{

(

X

, y)



ℜ

2 /

y

>

X

–

2

}

Dominio ____________________ Rango __________________

4.

R

=

{

(

X

, y)



ℜ

2 /

y

> 2

X

–

10

}

Dominio ____________________ Rango __________________

(17)

6.

R

=

{

(

X

, y)



ℜ

2 /

y

2 –

X

< -4

}

Dominio ____________________ Rango __________________

Soluciones

.

Actividad 1

.

1. k = 5 2. n = 9 p = –3 3. q = 5 d = –5 4. q = 0 b = 7 5. q = –2 a = –5 6. m = 2 b = 3

discusión

1

.

1. Le sumamos y restamos 4 a una coordenada sin alterar la otra. Los puntos son: (1, 6), (1, -2), 5, 2(), (-3, 2) 2. Se forma un triángulo rectángulo de lados 3 y 4, siendo la distancia la hipotenusa: 5 unidades.

Actividad 3

.

1. AXB = (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 3 ), (5, 5), (5, 7)

2. BXA = (3, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5), (7, 2), (7, 3), (7, 5)

3. AXC = (2, 4), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (5, 4 ), (5, 6), (5, 7), (5, 8)

4. CXA = (4, 2), (4, 3), (4, 5), (6, 2), (6, 3), (6, 5), (7, 2), (7, 3), (7, 5), (8, 2), (8, 3), (8, 5)

5. BXC = (3, 4), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (5, 4), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (7, 4 ), (7, 6), (7, 7), (7, 8)

6. CXB = (4, 3), (4, 5), (4, 7), (6, 3), (6, 5), (6, 7), (7, 3), (7, 5), (7, 7), (8, 3), (8, 5), (8, 7)

7. (A

∩

B)XC = (3, 4), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (5, 4 ), (5, 6), (5, 7), (5, 8)

8. (B

∩

C)XA = (7, 2), (7, 3), (7, 5)

discusión

2

. 600

Actividad 5

.

Actividad 6

.

1. Conjunto de partida { (2, 3, 4, 5, 6

} Conjunto de llegada { 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 16, 18

}.

R

= { (2, 7), (3, 10), (4, 13), (5, 16)

}

Dominio { (2, 3, 4, 5

} Rango {7, 10, 13, 16

}

2. Conjunto de partida {2, 3, 5 } Conjunto de llegada {5, 6, 9, 12}

R

= { (3, 6), (5, 12)

} Dominio {3, 5 } Rango {6, 12}

3. Conjunto de partida {5, 6, 9, 12} Conjunto de llegada {2, 3, 5 } -2 -1 1 2 3 4

4

3

2

1

(18)

Dominio {6, 9

} Rango {2, 5

}

4. Conjunto de partida {5, 6, 7, 8 } Conjunto de llegada {2, 3, 5 } Dominio {5, 7, 8

} Rango {2, 3, 5 }

5. Conjunto de partida M = {2, 3, 5 } Conjunto de llegada Q = {5, 6, 7, 8 }

Dominio M = {2, 3, 5 } Rango {5, 7, 8 }

6. Conjunto de partida Q = {2, 4, 5 } Conjunto de llegada M = {5, 6, 7, 8 }

Dominio 2, 4 Rango 5, 6

Actividad 7

.

1. Dominio

ℜ

Rango

ℜ

El gráfico es sólo la recta

2. Dominio

ℜ

Rango

ℜ

El gráfico es sólo la zona a la izquierda de la recta.

3. Dominio

ℜ

Rango

ℜ

El gráfico es la zona a la derecha de la recta, incluida ésta. 4. Dominio

ℜ

Rango

ℜ

El gráfico es la zona a la derecha de la recta, incluida ésta.

5. Dominio

ℜ

Rango

[

2, +

∞

[

El gráfico es la zona interna de la parábola.

6. Dominio

ℜ

Rango

[

2, +

∞

[

El gráfico es la zona externa de la parábola, incluida ésta.

7. Dominio

ℜ

Rango

[

-2, +

∞

[

8. Dominio

ℜ

Rango

[

-2, +

∞

[

El gráfico es la zona interna de la parábola, incluida ésta.

9. Dominio

ℜ

Rango

]

-

∞

,2

]

10. Dominio

ℜ

Rango

]

-

∞

,2

]

11. Dominio

ℜ

Rango

[

-5, +

∞

[

12. Dominio

ℜ

Rango

[

-5, +

∞

[

El gráfico es la zona externa de la parábola. 13. Dominio

ℜ

Rango

[

-5, +

∞

[

discusión

3

. En todos, el rango es

ℜ.