DESIGUALDADES GEOMETRICAS
Al hablar de desigualdades de segmentos y ángulos se está hablando de sus medidas. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
TRICOTOMIA
x, y Re se cumple uno y solo uno de los siguientes casos: 1) x < y 2) x = y 3) x > y
PROPIEDAD TRANSITIVA Si x < y y < z entonces x < z
PROPIEDAD ADITIVA
a) Si x < y entonces x + c < y + c
b) Si x < y a < b entonces x + a < y + b
PROPIEDAD MULTIPLICATIVA Si a < b y c > 0 entonces ac < bc
Si a = b + c; a, b, c R+ a > b y a > c EJERCICIO
HIPOTESIS:
PS
y
RQ
se bisecanTESIS: m(RQT) m(R)
1.
RMP
SMQ
1. Por ser opuestos por el vértice 2. M es punto medio deRQ
y
PS
2. De hipótesis3.
RM
MQ
PM
MS
3. De 2. Definición de punto medio
4.
RMP
SMQ
4. De 1 y 3. L – A – L5. m(R) m(RQS) 5. De 4. Ángulos correspondientes de triángulos
6.
(
)
(
)
(
)
m
RQT
m
RQS
m
SQT
6. Postulado de adición de ángulos
7.
m
RQT
m
(
RQS
)
7. De 6. Propiedades de las desigualdades.8.
m
RQT
m
R
8. Sustitución de 5 en7 ANGULO EXTERIOR DE UN TRIANGULOTEOREMA
Un ángulo exterior de un triangulo es mayor que un ángulo interior no adyacente a él. HIPOTESIS: CBD es un ángulo exterior A – B – D
TESIS: 1) ( ) ( ) 2) ( ) ( )
m CBD m C
m CBD m CAB
1. Por el punto medio M de
CB
, se trazaAF
, tal queAM
MF
1. Postulado de construcción de segmentos congruentes.
2.
CM
MB
2. De 1. Definición de punto medio 3. CMA FMB 3. Opuestos por el vértice.4. CMA FMB 4. De 1, 2, 3. L – A – L
5. m(C) m(MBF) 5. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.
6. m(CBD) m(MBF) m(FBD) 6. Adición de ángulos.
7. m(CBD) m(MBF) 7. De 6. Propiedad de las desigualdades. 8. m(CBD) m(C) 8. Sustitución de 5 en 7.
METODO INDIRECTO DE DEMOSTRACION. REDUCCION AL ABSURDO. Hasta ahora los métodos usados para demostrar teoremas han sido directos.
En algunas ocasiones es necesario utilizar un método indirecto para llegar a la tesis. Este método consiste en considerar todas las conclusiones posibles. Cada una de estas conclusiones deben ser investigadas de acuerdo con la hipótesis. Si puede demostrarse que todas las conclusiones posibles, excepto una, conducen a una contradicción,
entonces podemos concluir que la conclusión restante debe ser la correcta.
En este método se niega la tesis y se sigue un razonamiento lógico hasta llegar a una contradicción.
TEOREMA DE CONGRUENCIA LADO ANGULO ANGULO (L – A – A)
HIPOTESIS:
;
;
AC
DF
A
D
B
E
TESIS:
ABC
DEF
Se demuestra por reducción al absurdo o método indirecto.
Se niega la tesis, o sea que ABC no es congruente con DEF, entonces suponemos
AB
no es congruente conDE
, por lo tanto se pueden presentar dos casos: 1) AB < DEPrimer caso
1. AB < DE 1. Suposición 2. En
DE
existe un punto P, tal queAB
DP
2. Construcción 3.AC
DF
3. De hipótesis. 4. A D 4. De hipótesis5.
ABC
DFP
5. De 2, 3, 4. L – A – L 6.m
B
m
(
FPD
)
6. De 5 por ser ánguloscorrespondientes en triángulos congruentes.
7. m(FPD) m(E) 7. Por ser un ángulo exterior del
FPE
8. m(B) m(E) 8. Sustitución de 6 en 7. 9. m(B) m(E) 9. De hipótesis.
10. m(B) m(E) y m(B) m(E) 10. De 8 y 9. CONTRADICCION!
Esta contradicción se origino al supone que AB < DE. Por lo tanto la negación de la tesis,
ABC
no es congruente conDEF
, es falsa, entoncesABC
DEF
CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS
TEOREMA
Si dos triángulos rectángulos tienen respectivamente congruentes un cateto y un ángulo agudo, entonces son congruentes.
TEOREMA
Si dos triángulos rectángulos tienen sus hipotenusas congruentes y un ángulo agudo congruente entonces son congruentes.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
La distancia de un punto a una recta es el segmento perpendicular trazado del punto a la recta.
TEOREMA
Un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. (La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta.)
HIPOTESIS: LP es la bisectriz de ELN
y PB
PA LE LN
TESIS: PA = PB
1. PBL y PAL son triángulos rectángulos. 1. De hipótesis. Definición de triangulo Rectángulo
2. BLP ALP 2. De hipótesis. Definición de bisectriz 3. LP LP 3. Propiedad reflexiva
4. PBL PAL 4. De 1, 2 y 3. Por ser triángulos
rectángulos, con la hipotenusa un ángulo agudo congruentes.
5. PA = PB 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
TEOREMA
Si dos lados de un triangulo, no son congruentes, los ángulos opuestos a ellos tampoco son congruentes y a mayor lado se opone mayor ángulo.
HIPOTESIS: CA > CB
TESIS: m m
1. En
CB
existe un punto P, tal que
CA
CP
1. Postulado de construcción de segmentos congruentes
2. ACP es isósceles. 2. De 1. Definición de triangulo isósceles. 3. m(CAP) m(P) 3. De 2. En un triangulo isósceles a los
lados congruentes se oponen ángulos congruentes
4. m(CAP) m( ) m(BAP) 4. Adición de ángulos
6. m(P) m( ) 6. Sustitución de 3 en 5.
7. m( ) m(P) 7. es un ángulo exterior en ABP 8. m( ) m(P) m( ) 8. De 6 y 7.
9. m( ) m( ) 9. De 8.
TEOREMA. (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
Si dos ángulos de un triangulo no son congruentes, los lados opuestos a ellos no son congruentes y a mayor ángulo se opone mayor lado. HIPOTESIS: m m
TESIS: CA > CB
Se demuestra por el método indirecto o reducción al absurdo. Se niega la tesis: CA no es mayor que CB, entonces quedan dos casos AC = CB o AC < CB (ley de la
tricotomia)
1. AC = CB 1. Negación de la tesis.
2. ABC es isósceles 2. De 1. Definición de triangulo isósceles.
3. m( ) = m( ) 3. De 2. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes.
4. m( ) > m( ) 4. De hipótesis
5. CONTRADICCION! 5. De 3 y 4. Por la ley de la tricotomia. 6. AC < BC 6. Negación de la tesis.
7. m( ) > m( ) 7. De 6. En un triangulo a lado mayor se opone ángulo mayor.
8. m( ) < m( ) 8. De hipótesis.
9. CONTRADICCION! 9. De 7 y 8. Ley de la tricotomia. 10. Luego CA > CB 10. De 5 y 9.
COROLARIOS DEL TEOREMA ANTERIOR:
1. La medida de la hipotenusa de un triangulo rectángulo es mayor que la medida de cualquiera de sus catetos.
2. El segmento mas corto que une un punto con una recta es el segmento perpendicular a ella.
EJEMPLO
Se da el triangulo rectángulo ABC, con el ángulo recto en A, se traza la bisectriz de ACB que corta a AB en D. Demostrar que DB > DA. (Trazar DE BC)
HIPOTESIS: ABC rectángulo en A
CD es bisectriz del ángulo ACB TESIS: DB > DA
2. CD es bisectriz de ACB 2. De hipótesis
3. 1 2 3. De 2. Definición de bisectriz
4. AD DE 4. De 2. Un punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo.
5. DEB es rectángulo. 5. De 1. Definición de triangulo rectángulo.
6. DB > DE 6. De 5. En un triangulo rectángulo la hipotenusa es mayor que un cateto.
7. DB > DA 7. Sustitución de 4 en 6.
NOTA: El caso de congruencia de triángulos L – L – A no se da en todos los casos, por ejemplo:
El caso L – L – A; solo se da cuando el ángulo congruente es el mayor ángulo del triangulo.
TEOREMA. UNICO CASO DE CONGRUENCIA L – L – A
Si dos triángulos tienen respectivamente dos lados congruentes y un ángulo
congruente, pero estos ángulos son opuestos a los lados de mayor longitud, entonces son congruentes los triángulos.
HIPOTESIS:
;
;
;
AC
DF BC
EF
B
E
AC
AB AC
BC
DF
DE DF
EF
TESIS:
ABC
DEF
La demostración se hace por el método indirectoSe niega la tesis o sea que
ABC
no es congruente alDEF
1. AB DE 1. Negación de la tesis 2. AB > DE o AB < DE 2. De 1. Ley de la tricotomia 3. AB > DE 3. De 24. Existe un punto Q en
ED
, tal queEQ
AB
4. De 3. Postulado de construcción de segmentos congruentes.
5.
CB
FE
5. De hipótesis. 6. B E 6. De hipótesis7. ABC QEF 7. De 4, 5, 6. L – A – L
8.
AC
QF
8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.9.
DF
AC
9. De hipótesis.11. QDF es isósceles. 11. De 10. Definición de triangulo isósceles. 12. FDQ Q 12. De 11. Los ángulos de la base de un
triangulo isósceles son congruentes. 13. DF > EF 13. De hipótesis.
14. QF > EF 14. Sustitución de 10 en 13.
15. FDQ Q 15. De 14. En
QEF
, a lado mayor se opone ángulo mayor16.
m
E
m
FDQ
16. Sustitución de 12 en 1517.
m
FDQ
m
E
17. Por ser FDQ un ángulo exterior enFDE
18. ¡CONTRADICCION! 18. De 17. Porque la suposición de que eltriangulo ABC no es congruente con el triangulo DEF es falsa.
Analizar el caso AB < DE para llegar a una contradicción. TEOREMA
Si la hipotenusa y un cateto de un triangulo rectángulo son respectivamente
congruentes a la hipotenusa y un cateto de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.
RESUMEN DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS: 1. Cateto – Cateto
2. Cateto – Angulo agudo 3. Hipotenusa – Angulo agudo 4. Hipotenusa – Cateto
TEOREMA: LA DESIGUALDAD TRIANGULAR.
La suma de las medidas de dos lados de un triangulo es mayor que la medida del tercer lado.
HIPOTESIS: ABC cualquiera TESIS: AC + CB > AB
1. En
AC
existe un punto P tal queCP
CB
y unimos B con P.1. Construcción.
3. AP = AC + CB 3. Sustitución de 1 en 2
4. m(P) m(PBC) 4. A lados iguales se oponen ángulos congruentes.
5. m(PBA) m(PBC) m(CBA) 5. Adición de ángulos 6. m(PBA) m(PBC) 6. De 5. Propiedad de las
desigualdades.
7. m(PBA) m(P) 7. Sustitución de 4 en 6
8. AP > AB 8. En el PAB a mayor ángulo se opone mayor lado.
9. AC + CP > AB) 9. De 8. Adicion de segmentos. 10. AC + CB > AB 10. Sustitución de 1 en 9. TEOREMA DE LA ENVOLVENTE
HIPOTESIS: ABC cualquiera. O es un punto en el interior del triángulo
TESIS: AC CB AO OB
1. La
BO
corta a
AC
en D 1. De hipótesis. O es un punto interior 2. AD + DO > AO 2. Desigualdad triangular en ADO 3. DC + CB > BD 3. Desigualdad triangular en DCB 4. AD + DO + DC + CB > AO + BD 4. De 2 y 3. Suma de desigualdades. 5. AC + CB + DO > AO + BD 5. De 4. Adición de segmentos 6. AC + CB + DO > AO + OB + DO 6. De 5. Adicion de segmentos 7. AC + CB > AO + OB 7. De 6. Ley cancelativa. TEOREMASi dos lados de un triangulo son respectivamente congruentes a dos lados de otro triangulo y el ángulo incluido en el primer triangulo es mayor que el ángulo incluido en el segundo triangulo, entonces al tercer lado del primero es mayor que el tercer lado del segundo triangulo.
HIPOTESIS: AC DF CB; FE
m(ACB) m(F)
1. Trazamos
CK
, tal que ACK F 1. Construcción 2. En
CK
existe un punto G, tal queCG
FE
2. Postulado de construcción de segmentos congruentes
3.
AC
DF
3. De hipótesis 4.ACG
DFE
4. De 1, 2, 3. L – A – L5. Trazamos la bisectriz de GCB que corta a
AB
en H y trazamosGH
.5. Construcción
6. GCH HCB 6. De 5. Definición de bisectriz 7.
GC
FE
7. De 18.
FE
CB
8. De hipótesis9.
GC
CB
9. De 7 y 8. Propiedad transitiva 10.CH
CH
10. Propiedad reflexiva11.
CGH
CHB
11. De 6, 9, 10. L – A – L12.
GH
HB
12. De 11. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.13.
AG
DE
13. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes.14. AH + HG > AG 14. Desigualdad triangular en AGH 15. AH + HB > AG 15. Sustitución de 12 en 14
16. AB > AG 16. De 15. Adición de segmentos 17. AB > DE 17. Sustitución de 13 en 16. TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y el tercer lado del primero es mayor que el tercer lado del segundo, entonces la medida del ángulo
opuesto al tercer lado del primero es mayor que la medida del ángulo opuesto al tercer lado del segundo.
HIPOTESIS:
AC DF
BC EF
AB DE
TESIS: m(C) m(F)
1. m(C) no es mayor que ( )
m F
1. Negación de la tesis
2. m(C)= m(F) o m(C) es menor que m(F)
2. De 1. Ley de la tricotomia
4.
AC
DF
yBC
EF
4. De hipótesis5. ABC DEF 5. De 3 y 4. L – A – L
6.
AB
DE
6. De 5. Lados correspondientes en triángulos s 7. AB > DE 7. De hipótesis.8. CONTRADICCION! 8. De 6 y 7
9. m(C) m(F) 9. De 2. Suposición
10. AB < DE 10. De 9 y 4. Teorema anterior. 11. AB > DE 11. De hipótesis
12. CONTRADICCION! 12. De 10 y 11. Ley de la tricotomia. Luego las suposiciones son falsas y por lo tanto se cumple que m(C) m(F)
EJERCICIOS RESUELTOS
1).Si desde un punto A que no pertenece a la recta l, se traza una perpendicular a la recta y dos segmentos oblicuos, es mayor, el que está más alejado del pie de la
perpendicular.
HIPOTESIS:
AP
l PC
;
PB
TESIS:AC
AB
1. m(APB) 90º 1. De hipótesis. Definición de perpendicular
2. m( 1) 90º 2. De 1 y por ser 1 un ángulo exterior en el triangulo APB
3. 2 es agudo 3. De 2. Por ser el suplemento de un ángulo obtuso.
4. m( 2) m( 3) 4. Por ser 2 un ángulo exterior en triangulo CBA
5. m( 1) m( 2) 5. Por ser 1 obtuso y 2 agudo
6. m( 1) m( 3) 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva
7. AC > AB 7. De 6. En el CBA a mayor ángulo se opone mayor lado.
2)
HIPOTESIS: O es un punto interior del triangulo ABC
TESIS:
1)
2
2)
a
b
c
m
n
r
a
b
c
m
n
r
las desigualdades 5. 2(m + n + r) > a + b + c 5. De 4. Factor común 6.
2
a
b
c
m
n
r
6. De 5. Transposición de términos. Para la segunda parte de la demostración se sigue el proceso del ejemplo 2 y se llega a lo siguiente:b + a > n + m c + a > m + r b + c > r + n
y sumando las tres desigualdades se tiene:
2a + 2b + 2c > 2m + 2n + 2r de donde 2(a + b + c) > 2(m + n + r) a + b + c > m + n + r.
3)
1. m (ADB) > m (DEB) 1. Por ser ADB un ángulo exterior en DEB
2. m (DEB) > m(C) 2. Por ser DEB un ángulo exterior en AEC
3. m (ADB) > m(C) 3. De 1, 2. Propiedad transitiva. 4) Demostrar que en cualquier triangulo la suma de dos ángulos interiores en menor que 180º
HIPOTESIS: ABC cualquiera
TESIS:
( ) ( ) 180º
( ) ( ) 180º
( ) ( ) 180º
m m
m m
m m
1. es un ángulo exterior 1. Definición de ángulo exterior
2. m( ) > m( ) 2. De 1. Por ser DEB un ángulo exterior 3. m( ) + m(γ) = 180º 3. Por ser suplementarios.
4. m( ) = 180º - m(γ) 4. De 3. Transposición de términos 5. 180º - m (γ) > m( ) 5. Sustitución de 4 en 2
8. m( ) > m( ) 8. De 1. Por ser un ángulo exterior 9. 180º - m(γ) > m( ) 9. Sustitución de 4 en 8.
10. 180º > m( ) + m(γ) 10. De 9. Transposición de términos. 11. es un ángulo exterior en
∆ABC
11. Definición de ángulo exterior
12. m( ) > m( ) 12. De 11. Un ángulo exterior es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente a el. 13. m( ) + m( ) = 180º 13. Por ser suplementarios.
14.m( ) = 180º - m( ) 14. De 13. Transposición de términos 15.180º - m( ) > m( ) 15. Sustitución de 14 en 12
16.180º > m( ) + m( ) 16. De 15. Transposición de términos. 5) En un triángulo ABC, A – F – C y A – D – B, de manera que
FC
DB
. Si AB > AC, demostrar que FB > CD1. AB > AC 1. De hipótesis
2. m (ACB) > m (ABC) 2. De 1. Si un triangulo tiene dos lados desiguales al mayor se opone el ángulo mayor
3.
FC
DB
3. De hipótesis4.
BC
BC
4. Propiedad reflexiva5. FB > CD 5. De 2, 3, 4. Si dos triángulos tienen dos lados congruentes y el ángulo incluido en el primero es mayor que el incluido en el segundo, entonces el tercer lado del primero es mayor que el tercero del segundo.
6) Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triangulo es mayor que su semiperimetro y menor que su perímetro.
HIPOTESIS:
CH AH AH
;
1; 2 son alturas del triangulo TESIS:1 2
2
AB
BC
CA
1.
CH A
1;
BHC
;
AH B
2 son rectángulos 1. De hipótesis. Definición de altura y de triangulo rectángulo2.
1
2
AC
AH
BC
CH
AB
BH
2. De 1. En un
triangulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquier cateto. 3.
AB
BC
AC
AH
1CH
BH
2 3. De 2. Propiedad dela adición de las desigualdades 4.
AH
1H B
1AB
4. Teorema de ladesigualdad triangular.
AH
1H C
1AC
CH
HB
BC
CH
HA
AC
BH
2CH
2BC
BH
2AH
2AB
5.2 1 2 2 2 1 1 ( 2 2)
2 2 2
AH CH BH H B H C HB HA CH AH
AB BC AC
5. De 4.Propiedad de las desigualdades
6. 2AH1 2CH 2BH2 BC AB AC 2AB 2BC 2AC
6. De 5. Adición de segmentos
7.
2
AH
1CH
BH
22
AB
2
BC
2
AC
BC
AB
AC
7. De 6. transposición de términos8. 1 2
2
AB
BC
CA
AH
CH
BH
8. De 7. Aritmética9. 1 2
2
AB
BC
CA
AH
CH
BH
9. De 9. Lo mismo escrito de otra maneraEJERCICIOS DE DESIGUALDADES
1.
HIPOTESIS: AC EC
E D C B
2.
3. Se da un ABC y la mediana
AM
. Demostrar que2 AB AC AM
Sugerencia: en
AM
existe un punto P, tal queAM
MP
4. Demostrar que un triangulo cualquiera, la suma de las tres alturas es menor que el perímetro del triangulo.
5.
HIPOTESIS: CD CB
TESIS: 1)
2) ( ) ( )
3) ( 1) ( )
4)
AC DC
m ADC m A
m m A
AD BD
6.
HIPOTESIS:
AD AB
CD CB
CD AD
TESIS: m(DAB) m(DCB)
7.
HIPOTESIS:
DA DB
A D C
AD AB
8.
HIPOTESIS: ABC cualquiera
TESIS: m(ADB) m(C)
9.
HIPOTESIS: ADB es isosceles con DA DB DB > AB
A – D – C
TESIS: Triángulo ABC es un triangulo escaleno.
10.
11.
12.
HIPOTESIS: Triángulo ABC cualquiera
El punto O es un punto en el interior del triangulo.
TESIS: 1) 2 2)
a b c m n r
13. Demostrar el siguiente teorema:
Un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. (La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta).
14. Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triangulo es mayor que su semiperimetro y menor que su perímetro.
15. En un triángulo ABC, A – F – C y A – D – B, de manera que
FC
DB
. Si AB > AC, demostrar que FB > CD.16. Utilizar la demostración por reducción al absurdo o método indirecto de demostración para demostrar que si una mediana de un triangulo no es
perpendicular al lado que corta, entonces al menos dos lados del triangulo no son congruentes.
17. En el ABC, AC > AB. Demostrar que si D es un punto cualquiera entre B y C, entonces AC > AD.
18. Demostrar que si dos alturas de un triangulo son congruentes, el triangulo es isósceles.
19. Demostrar que si AM es una mediana del triangulo ABC, entonces los segmentos desde B y C, perpendiculares a AM , son congruentes.
20. Escribir el reciproco de cada uno de los siguientes enunciados y decidir si cada enunciado y cada reciproco es verdadero o falso:
A. Si dos ángulos son congruentes, entonces son rectos.
B. Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.
C. Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces equidista de los extremos del segmento.
D. Si dos ángulos son agudos, entonces son complementarios.
E. Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces son congruentes. ¿Será verdadero el reciproco de todo enunciado verdadero?
Ejercicios tomados de los siguientes textos:
Geometría Euclidiana de Nelson Londoño
Geometría Euclidiana de Hemmerling
Curso de Geometría. Reunión de profesores
Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli
Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.
EJERCICIOS RESUELTOS DE DESIGUALDADES
Demostrar utilizando el método indirecto de demostración o reducción al absurdo:
HIPOTESIS:
BC
BA
DC ≠ DATESIS:
BD
no es bisectriz de CBA1.
BD
es bisectriz de CBA 1. Negación de la tesis. Suposición. 2. 1 2 2. De 1. Definición de bisectriz 3.BD
BD
3. Propiedad reflexiva4.
BC
BA
4. De hipótesis5. BDC BDA 5. De 2, 3, 4. L – A – L
6.
DC
DA
6. De 5. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.7. DC ≠ DA 7. De hipótesis.
8. CONTRADICCION 8. De 6 y 7. Ley de la tricotomia
Por lo tanto la suposición 1 es falsa y por consiguiente es verdad que BD no es bisectriz.
HIPOTESIS: AB BD DC TESIS: AD > DC
1. ABD es isósceles 1. De hipótesis. Definición de triangulo isósceles 2. 2 3 2. De 1. Por ser ángulos de la base de un triangulo
isósceles
3. BDC es isósceles 3. De hipótesis. Definición de triangulo isósceles. 4. 4 5 4. De 3. Por ser ángulos de la base de un triangulo
isósceles
6. m(5) > m(2) 6. Sustitución de 4 en 5.
7. En ADC: AD > DC 7. De 6. En un triangulo a mayor ángulo se opone mayor lado
HIPOTESIS: AD AB CD CB CD > AD
TESIS: m (DAB) > m (DCB)
1. CD > AD 1. De hipótesis
2. m(1) > m(2) 2. De 1. En el ADC a mayor lado se opone mayor ángulo.
3. AD AB y CD CB 3. De hipótesis.
4. CB > AB 4. Sustitución de 3 en 1.
5. m(3) > m(4) 5. De 4. En el ABC a mayor lado se opone mayor ángulo.
6. m(1) + m(3) > m(2) + m(4) 6. De 2 y 5. Suma de desigualdades. 7. m(DAB) > m(DCB) 7. De 6. Suma de ángulos.
1. m(ADB) > m(DEB) 1. Por ser un ángulo exterior en el DEB 2. m(DEB) > m(C) 2. Por ser un ángulo exterior en el ACE 3. m(ADB) > m(C) 3. De 1 y 2. Propiedad transitiva.