Pontificia Universidad Cat´olica de Chile Facultad de F´ısica
FIS1533 - Electricidad y Magnetismo // 1-2018 Profesor: Giuseppe De Nittis - [email protected]
Ayudant´ıa 2
Ley de Coulomb08 de Marzo de 2018
Ayudante: Mat´ıas Henr´ıquez - [email protected]
1.
F´
ormulas y constantes
1.1.
Ley de Coulomb
La fuerza electroest´atica que ejerce una carga q1, ubicada enr1 con respecto al origen, sobre una carga
q2, ubicada enr2 con respecto al origen, est´a dada por:
Fq2 = 1 4π0
q1q2(r2−r1)
||r2−r1||3
[N] (1.1)
1.2.
Permitividad El´
ectrica del vac´ıo
0 = 8.85·10−12
C2
N m2
(1.2)
1.3.
Carga el´
ectrica elemental
e = 1.6·10−19 [C] (1.3)
1.4.
C´
alculo de carga en un volumen
V
Si un cuerpo de volumen V posee una distribuci´on de carga ρ, entonces la carga total del cuerpo est´a dada por:
Qtotal =
Z Z Z
V
2.
Problemas
Problema 1: Ley de Coulomb en cargas discretas
Las cargas puntuales Q1 y Q2, de masa m ambas, se localizan en (4,0,−3) y (2,0,1) respectivamente.
SiQ2 = 4 [nC], halle el valor deQ1 de tal manera que la fuerza neta sobre una carga de prueba de valor q
en (5,0,6), tambi´en de masa m, carezca de componente i. Explique por qu´e es v´alido despreciar la fuerza de atracci´on universal de cada carga con respecto a la carga de prueba.
Problema 2
Una regi´on en el espacio contiene una carga total positiva Q que est´a distribuida en forma esf´erica de manera que la densidad volum´etrica de carga ρ(r) est´a dada por:
ρ(r) =
3αr
2R para r ≤R/2
α
1−r R
2
para R/2≤r ≤R
0 para r ≥R
en donde α es una constante positiva de unidades [C/m3]. Determine α en t´erminos de Q y R.
Problema 3: Ley de Coulomb con distribuciones continuas
Una carga q de masa m se ubica entre dos l´ıneas a una distancia d de cada una, como se indica en la figura. Si la l´ınea de largo h2 es de densidad de carga λ uniforme, calcule la densidad de carga de la l´ınea
de largoh1 para que la cargaq se mantenga quieta en el eje Y. Asuma que hay unos topes que impiden que
la carga puntual se mueva en el eje X.
h2
h1
d d
Problema 4: Ley de Coulomb con distribuciones continuas 2
Una carga q se ubica a una distancia d del centro de un disco de radio R, tal como muestra la figura, y de densidad de superficie uniforme σ. Calcule la fuerza que ejerce el disco sobre la carga. Analice qu´e sucede cuando R → ∞
q
Pontificia Universidad Cat´olica de Chile Facultad de F´ısica
FIS1533 - Electricidad y Magnetismo // 1-2018 Profesor: Giuseppe De Nittis - [email protected]
Ayudant´ıa 2
Ley de Coulomb
08 de Marzo de 2018
Ayudante: Mat´ıas Henr´ıquez - [email protected]
1.
F´
ormulas y constantes
1.1.
Ley de Coulomb
La fuerza electroest´atica que ejerce una carga q1, ubicada enr1 con respecto al origen, sobre una carga
q2, ubicada enr2 con respecto al origen, est´a dada por:
Fq2 = 1 4π0
q1q2(r2−r1)
||r2−r1||3
[N] (1.1)
1.2.
Permitividad El´
ectrica del vac´ıo
0 = 8.85·10−12
C2
N m2
(1.2)
1.3.
Carga el´
ectrica elemental
e = 1.6·10−19 [C] (1.3)
1.4.
C´
alculo de carga en un volumen
V
Si un cuerpo de volumen V posee una distribuci´on de carga ρ, entonces la carga total del cuerpo est´a dada por:
Qtotal =
Z Z Z
V
ρdV (1.4)
2.
Problemas
Problema 1: Ley de Coulomb en cargas discretas
Las cargas puntuales Q1 y Q2, de masa m ambas, se localizan en (4,0,−3) y (2,0,1) respectivamente.
SiQ2 = 4 [nC], halle el valor deQ1 de tal manera que la fuerza neta sobre una carga de prueba de valor q
en (5,0,6), tambi´en de masa m, carezca de componente i. Explique por qu´e es v´alido despreciar la fuerza de atracci´on universal de cada carga con respecto a la carga de prueba.
Respuesta:
Sean r1 = (4,0,−3), r2 = (2,0,1) y rq = (5,0,6) las ubicaciones con respecto al origen de las cargas Q1, Q2 y q respectivamente.
La fuerza electroest´atica que ejerce Q1 sobre la carga de prueba q est´a dada por:
Fq,1 =
1 4π0
qQ1(rq−r1)
||rq−r1||3
= 1 4π0
qQ1[(5,0,6)−(4,0,−3)] ||(5,0,6)−(4,0,−3)||3
= 1 4π0
qQ1(1,0,9)
823/2
La fuerza electroest´atica que ejerce Q2 sobre la carga de prueba q est´a dada por:
Fq,2 =
1 4π0
qQ2(rq−r2)
||rq−r2||3
= 1 4π0
qQ2[(5,0,6)−(2,0,1)] ||(5,0,6)−(2,0,1)||3
= 1 4π0
qQ2(3,0,5)
343/2
La fuerza neta que act´ua sobre la carga q est´a dada por:
Fq = Fq,1+Fq,2
Fq·i = Fq,1·i+Fq,2 ·i
= q 4π0
Q1
823/2 +
3Q2
343/2
igualando a 0, se obtiene:
Q2 = −
1 3
34 82
3/2 Q1
= 0.356 [nC]
Veamos por qu´e se pudo despreciar la fuerza de gravitaci´on universal entre las cargas. Esta fuerza, entre dos objetos de masas m1 y m2, ubicados con respecto al origen en r1 y r2 respectivamente, se
describe con la siguiente ecuaci´on:
F1→2 = G
m1m2(r2−r1)
||r2−r1||3
en donde G es la constante de gravitaci´on universal dada por:
G = 6.674·10−11
N m2
Kg2
Vemos la similitud entre las ecuaciones para fuerza electroest´atica y de gravitaci´on universal. Es evidente que:
Gm2 < 1
4π0
q|Q1,2|
asumiendo un valor realista para q = 1 [nC] y una masa exageradamente grande m = 1 [Kg] (no realista, solo para ejemplificar y ver si se puede llegar a que la desigualdad no se cumpla), se obtendr´ıa:
6.674·10−11 < 3596.7·10−11
Problema 2
Una regi´on en el espacio contiene una carga total positiva Q que est´a distribuida en forma esf´erica de manera que la densidad volum´etrica de carga ρ(r) est´a dada por:
ρ(r) =
3αr
2R para r ≤R/2
α
1−r
R 2
para R/2≤r ≤R
0 para r ≥R
en donde α es una constante positiva de unidades [C/m3]. Determine α en t´erminos de Q y R.
Respuesta:
Utilizando coordenadas esf´ericas, se tiene que la carga total Qest´a dada por:
Q =
Z Z Z
V
ρ(r)dV =
Z Z Z
V
ρ(r)r2sinφdrdθdφ
= π Z 0 2π Z 0 R/2 Z 0 3αr
2R ·r
2sinφdrdθdφ+
π Z 0 2π Z 0 R Z R/2 α
1−r
R 2
·r2sinφdrdθdφ
=
π Z
0
sinφdφ· 2π Z 0 dθ· R/2 Z 0
3αr3
2R dr+ R Z
R/2
αr2
1−r
R 2 dr
= 4π·
3α 2R R/2 Z 0
r3dr+α R Z
R/2
r2dr− α
R2
R Z
R/2
r4dr
= 4π·
3α
2R · R4
64 +α· 7R3
24 −
α R2 ·
31R5
160
= 4παR3·
3 128 + 7 24− 31 160
= 233παR
3
480
Por lo tanto:
Problema 3: Ley de Coulomb con distribuciones continuas
Una carga q de masa m se ubica entre dos l´ıneas a una distancia d de cada una, como se indica en la figura. Si la l´ınea de largo h2 es de densidad de carga λ uniforme, calcule la densidad de carga de la l´ınea
de largoh1 para que la cargaq se mantenga quieta en el eje Y. Asuma que hay unos topes que impiden que
la carga puntual se mueva en el eje X.
h2
h1
d d
q
Respuesta:
Primero calculemos la fuerza electroest´atica que ejerce la barra de largoh2 sobre la carga q. Para ello,
la barra se divide en muchas peque˜nas cargas dq2 ubicadas en (−d, y) con y ∈[0, h2], en donde:
dq2 = λdy
luego se calcula la fuerza electroest´atica que ejerce cada una de estas peque˜nas cargas sobre la carga
q y se aplicar´a el principio de superposici´on. Aplicando la ley de Coulomb se tiene que el diferencial de fuerza electroest´atica que ejerce cada una de ellas sobre la carga q est´a dada por:
dF2 =
1 4π0
q·dq2·[(0,0)−(−d, y)] ||(0,0)−(−d, y)||3
= 1 4π0
q·λdy·(d,−y) (d2+y2)3/2
F2 = Z dF2 = h2 Z 0 1 4π0
q·λdy·(d,−y) (d2+y2)3/2
por enunciado nos dicen que existen topes que impiden el movimiento de la carga q en el eje X, por ende integramos solamente en el eje Y:
F2·(0,1) = − h2
Z
0
1 4π0
q·λdy·y
(d2+y2)3/2
F2,y = λq
4π0
1 (d2+h
2)1/2
− 1
d
(j)
Ahora para la barra de altura h1, asumiendo que tiene una densidad λ
0
, de manera an´aloga se obtiene:
F1,y = λ0q
4π0
1 (d2+h
1)1/2
−1
d
(j)
La sumatoria de fuerzas en el eje ydebe ser 0 para estar en equilibrio. Dado que el peso de la carga est´a dado por Pq =mg (−j), se tiene que:
F2,y+F1,y+Pq = 0
λq
4π0
1 (d2+h
2)1/2
− 1 d + λ 0 q
4π0
1 (d2+h
1)1/2
− 1
d
−mg = 0
Despejando λ0 se obtiene:
λ0 =
mg− λq
4π0
1 (d2+h
2)1/2
− 1
d
q
4π0
1 (d2+h
1)1/2
− 1
Problema 4: Ley de Coulomb con distribuciones continuas 2
Una carga q se ubica a una distancia d del centro de un disco de radio R, tal como muestra la figura, y de densidad de superficie uniforme σ. Calcule la fuerza que ejerce el disco sobre la carga. Analice qu´e sucede cuando R → ∞
q
d
Respuesta:
De manera similar al problema anterior, se aplicar´a el principio de superposici´on. El disco se divide en muchos peque˜nos diferenciales de cargas superficiales dqs ubicados en (rcosθ, rsinθ,0) con r ∈[0, R]
y θ ∈[0,2π] (utilizaci´on de coordenadas polares). Cada diferencial de carga superficial cumple con:
dqs = σdS=σrdrdθ
cada uno de estos diferenciales ejerce una fuerza electroest´atica sobre la cargaq, ubicada en (0,0, d), dada por la Ley de Coulomb:
dF = 1 4π0
qdqs[(0,0, d)−(rcosθ, rsinθ,0)]
||(0,0, d)−(rcosθ, rsinθ,0)||3
= 1 4π0
qσrdrdθ·(−rcosθ,−rsinθ, d) (d2+r2)3/2
F = qσ 4π0
2π Z
0
R Z
0
rdrdθ·(−rcosθ,−rsinθ, d) (d2+r2)3/2
notamos que las integrales en las coordenadas x e y se anulan (ya que
2π Z
0
sinθdθ =
2π Z
0
cosθdθ = 0)
por simetr´ıa. Por lo tanto solamente integramos en la coordenada z:
Fz = qσd
4π0 2π Z
0
R Z
0
rdrdθ
(d2+r2)3/2
= qσd 20
1
|d|−
1
√
d2+R2
entonces:
F =
0,0,qσd
20
1
|d| −
1
√
d2+R2
Notemos que cuando tomamos el l´ımite R→ ∞, se obtiene:
Fz = qσ
20
d
|d|
