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CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN

Encontramos ángulos en los edificios, piezas mecánicas y muchos objetos que nos rodean.

Los ángulos nos facilitan varias tareas; por ejemplo, es más sencillo subir una carga mediante una rampa con cierta inclinación que hacerlo de manera vertical (véase figura 1.1).

FIGURA 1.1

El drenaje de una casa debe tener cierta inclinación para un mejor desagüe (véase figura 1.2).

FIGURA 1.2

En una autopista, el peralte de una curva da mayor seguridad (véase figura 1.3).

FIGURA 1.3

Inclina esta hoja y observa desde donde indica la flecha en la figura 1.4; descubrirás una sorpresa.

Así, los ángulos tienen un amplio campo de aplicación en el mundo que nos rodea.

DEFINICIÓN, NOTACIÓN Y MEDIDA Definición

Ángulo es la abertura comprendida entre dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice y las semirrectas que se forman se llaman lados (véase figura 1.5).

FIGURA 1.5 Notación

En la figura 1.5, se forman cuatro ángulos y se distinguen de tres formas diferentes, de acuerdo con cada situación particular.

Primera

Entre los lados del ángulo, se coloca una letra minúscula, un número o una letra del alfabeto griego; el arco indica el ángulo al que se refiere (véase figura 1.6).

FIGURA 1.6

Si nos basamos en la figura 1.6, un ángulo se expresa anteponiendo a la letra el símbolo que significa ángulo; de esta manera tenemos

Segunda

Se coloca una letra mayúscula en el vértice del ángulo (véase figura 1.7).

FIGURA 1.7

respectivamente, o como

Tercera

Los puntos que conforman el ángulo se indican por medio de tres letras mayúsculas (véase figura 1.8).

FIGURA 1.8

Para expresar el ángulo remarcado en la figura 1.8, se coloca en medio de las tres letras la que corresponde al vértice del ángulo. Así queda de la siguiente manera:

Medida

La medida de los ángulos nos muestra con exactitud el movimiento de cualquier objeto. Por ejemplo:

Los ángulos de más de 360° nos permiten conocer el número de rotaciones completas que sufre un cuerpo. La Tierra da un giro de 360° cada 24 h; si dividimos 360° entre 24 obtenemos: 3600 ÷ 24h = 15 0/h

lo cual nos indica que la Tierra cada hora gira un ángulo de 15°. Si queremos saber en cuánto tiempo (en horas) la Tierra gira un ángulo de 15300, primero debemos obtener las rotaciones completas dividiendo 15300 entre 360°.

Son cuatro rotaciones completas más un ángulo de 90°, que corresponde a ¼ de rotación. La figura 1.9 ilustra el giro.

.

FIGURA 1.9

Para conocer el tiempo en horas y como sabemos que cada rotación completa tarda 24 h, multiplicamos el número de rotaciones por 24

UNIDADES DE MEDIDA DE LOS ÁNGULOS

Para expresar la medida de los ángulos, contamos entre otros con los sistemas sexagesimal, centesimal, mixto y circular.

Sistema sexagesimal

Este sistema es el más conocido y mediante él se divide una rotación completa en 360 partes iguales, cada una de las cuales se llama grado; por lo tanto:

1 grado sexagesimal = parte de una rotación completa.

Cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos; de esta manera: 1 minuto sexagesimal = de grado.

El minuto se divide también en 60 partes iguales y éstas se denotan como

segundos:

1 segundo sexagesimal = de minuto.

La notación de un ángulo de 58 grados, 15 minutos, 8 segundos es: 58° 15' 8"

Adición y sustracción de ángulos sexagesimales

Dos ángulos expresados en grados completos se suman o restan como si se sumaran o restaran dos números enteros; por ejemplo:

35° + 15° = 50° y 85° - 60° = 25°

Problema

El brazo de una grúa de precisión tiene un ángulo de 35° 25' 46" respecto a la horizontal; después aumenta su inclinación un ángulo de 18° 45' 32". ¿Con qué ángulo respecto a la horizontal se encuentra el brazo de la grúa?

Para resolver el problema se suman 35° 25' 46" y 18° 45' 32" primero se suman los segundos

Como 60' equivalen a 1°, entonces 71' equivalen a 1° 11'; anexamos el grado a la columna correspondiente, dejamos 11 en la columna de los minutos y sumamos los grados

El total de la suma es: 54° 11' 18"

Por lo tanto, el ángulo del brazo es de 54° 11' 18"

Problema

El brazo de una grúa de precisión está formando un ángulo de 63° respecto a la horizontal; después lo baja un ángulo de 25° 42' 36". ¿Qué ángulo tendrá el brazo de la grúa respecto a la horizontal?

Para resolver este problema se restan 25° 42' 36" a 63°

Como un grado equivale a 60 minutos, podemos descomponer 63° en 62° 60' y como cada minuto equivale a 60 segundos, se descompone 60' en 59' 60" ; de esta manera: 63° = 62° 59' 60"

Ahora podemos efectuar la resta sin ningún problema, restando cada columna por separado

Finalmente, la diferencia será el ángulo de 37° 17' 24", correspondiente al ángulo del brazo de la grúa respecto a la horizontal.

Sistema centesimal

A diferencia del sexagesimal, en este sistema la rotación completa se divide en 400 partes iguales, cada una de las cuales se llama grado centesimal.

1 grado centesimal = parte de una rotación completa.

Cada grado centesimal se divide en 100 partes iguales que reciben el nombre de minutos centesimales.

1 minuto centesimal = de grado centesimal.

El minuto centesimal se divide a su vez en 100 partes llamadas segundos.

La notación de un ángulo de 45 grados, 15 minutos, 18 segundos se puede expresar de tres formas distintas:

Si de rotación completa en el sistema sexagesimal equivale a 90°, entonces en el sistema centesimal equivale a 100g, de tal manera que 90° sexagesimales equivalen a centesimales.

Sistema mixto

En la actualidad, se tiende a expresar los ángulos en grados sexagesimales y en fracciones decimales de grados sexagesimales; por ejemplo, 38° 30' se expresa en el sistema mixto como 38.5°, porque 30' equivalen a la mitad de un grado

Si queremos expresar 38.58° en grados, minutos y segundos, debemos considerar que la parte entera representa los grados y la parte decimal los minutos y segundos; para obtener estos últimos, como sabemos que Io equivale 60', aplicamos "la regla de tres"

Así tenemos 38° 34.8'.

Ahora convertimos los decimales a segundos de la misma manera, partiendo de que 1' equivale a 60"

Entonces 38.58° = 38° 34' 48"

Ejemplo

Expresar en el sistema mixto 35° 25' 12"

Primero convertimos los segundos en fracción de minutos

de esta manera tenemos 35° 25.2' y convertimos los minutos a fracción de grado.

Así tenemos que 35° 25' 12" = 35.42°.

Sistema circular

Este sistema es muy utilizado en física y trigonometría. Los ángulos se miden en radianes; un radián es el ángulo central de la circunferencia, cuyo arco determinado por los lados del ángulo tiene una longitud igual al radio de la circunferencia (véase figura 1.10).

FIGURA 1.10

El perímetro del círculo está determinado por P = 2

π

π

π veces y

1radián = parte de una rotación completa.

Para convertir radianes en grados sexagesimales y viceversa, utilizamos "la regla de tres"; si una rotación completa en el sistema sexagesimal equivale a 360° y en el sistema circular a 2

π radianes, esto quiere decir que:

360° sexagesimales equivalen a 2

π radianes

1. Convertir

π

Finalmente tenemos que

π

2. Convertir 90° 18'a radianes.

Primero convertimos 90° 18' al sistema mixto y tenemos 90.3°

Por lo tanto 90° 18' = 1.576 rad.

LONGITUD DE ARCO

Como en este sistema se relaciona el ángulo central con la longitud del arco que subtiende, una de sus principales aplicaciones es encontrar la longitud del arco.

Para conocer la medida de un ángulo en radianes, partiendo de la longitud del arco s, basta conocer cuántas veces o qué parte del radio r cabe en la longitud del arco Í. ASÍ se obtiene la siguiente expresión:

de la cual despejamos s, que es la longitud del arco, y tenemos:

que es la fórmula para encontrar la longitud de un arco conociendo el radio y el ángulo medido en radianes.

Problema

Calcular la longitud del arco de la siguiente figura.

s = (0.78 rad) (5 u)

S = 3.9U

Por lo tanto, la longitud del arco es de 3.9 unidades.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS .

FIGURA 1.11

Signo de los ángulos

Cuando el lado terminal rota en dirección contraria a la de las manecillas del reloj, la medida del ángulo es positiva, como se muestra en la figura 1.11;

si la rotación sigue el mismo sentido de las manecillas del reloj, entonces se trata de un ángulo con medida negativa, como se ve en la figura 1.12.

FIGURA 1.12 Ángulos coterminales

Cuando los ángulos se encuentran en posición normal y su lado terminal coincide en estar en el mismo lugar, decimos que son ángulos coterminales.

Por ejemplo, el ángulo de 45° y el de 405° son coterminales, como se muestra en la figura 1.13.

Ángulo coterminal 45° + 360° = 405°

FIGURA 1.13

Ángulos cóncavos y convexos

Cuando situamos un ángulo en el plano de coordenadas rectangulares (plano cartesiano), uno de cuyos lados llamado lado inicial coincide con el

eje de las abscisas (eje x) en su parte positiva y con el vértice en el origen, el lado terminal es el que resulta de la rotación que parte del lado inicial, indicada por la flecha curva que representa

la rotación. Cuando un ángulo se encuentra así,

Un ángulo divide el plano en dos regiones a y b, como se muestra en la figura 1.14

FIGURA 1.14

El ángulo que delimita la región a se llama ángulo convexo y el de la región b, ángulo cóncavo.

El ángulo cóncavo mide más de 180° y menos de 360°; el convexo, menos de 180° y más de 0o_.

Ángulo de elevación

Si vemos hacia el horizonte y elevamos la mirada para observar un avión, hacemos un giro que genera un ángulo de elevación, como se muestra en la figura 1.15.

FIGURA 1.15

Ángulo de depresión

Si observamos el horizonte desde un acantilado y bajamos la vista a una lancha que navega cerca del acantilado, hacemos un giro que genera un ángulo de depresión, mostrado en la figura 1.16.

FIGURA 1.16

De acuerdo con la magnitud de su medida, los ángulos se clasifican en agudo, recto, obtuso, llano, entrante y perigonal.

Por ejemplo, el ángulo de elevación de una escalera debe ser agudo para facilitar el ascenso, como se muestra en la figura 1.17.

FIGURA 1.17

Por ejemplo, para su lanzamiento, un transbordador espacial es colocado de tal modo que, forma un ángulo recto respecto del suelo, como se puede ver en la figura 1.18

FIGURA 1.18

Ángulo de depresión: es el generado a partir de la horizontal, en dirección negativa a un punto dado.

Ángulo agudo: es el ángulo que mide menos de 90" y más de 0".

Ángulo recto: es el ángulo que mide exactamente 900

Por ejemplo, una autopista se considera segura si sus curvas son ángulos obtusos, como se muestra en la figura 1.19.

FIGURA 1 .19

Por ejemplo, cuando extiendes completamente tus brazos hacia los lados, éstos forman el ángulo llano o colineal mostrado en la figura 1.20.

FIGURA 1.20

Por ejemplo, cuando un avión despega y alcanza su altura normal, éste describe un ángulo entrante, como el mostrado en la figura 1.21.

FIGURA 1.21

Ángulo llano: también llamado colineal, es el ángulo que mide 180°.

Ángulo entrante: es el ángulo que mide más de 180° y menos de 360°.

Por ejemplo, cuando la Tierra gira 360° en 24 h gira un ángulo perigonal como se muestra en la figura 1.22.

FIGURA 1.22

Por ejemplo, en una rueda, los ángulos centrales formados por los rayos son consecutivos, como se ve en la figura 1.23.

FIGURA 1.23

En la figura 2.25, cada uno de los ángulos 1, 2, 3, 4, 5 ,6, 7 y 8 es consecutivo con el ángulo inmediato.

Por ejemplo, en la pendiente de un puente se consideran dos ángulos respecto al suelo, como se ve en la figura 1.24.

FIGURA 1.24

En la figura 1.24, son adyacentes.

Ángulos consecutivos: son los que tienen el mismo vértice y un lado común.

Ángulos adyacentes: son dos ángulos consecutivos, cuyos lados no comunes forman un ángulo llano.

Por ejemplo, el ángulo de medida 35° y el de 55° son complementarios porque 35° + 55° = 90°, correspondientes a un ángulo recto.

Por ejemplo, un ángulo de medida 85° y el de 95° son suplementarios porque 85° + 95° = 180°.

Por ejemplo un ángulo con medida de 120° y el de 240° son conjugados, ya que 120° + 240° = 360°.

Para encontrar el complemento de un ángulo, sigue este procedimiento. Se trata de hallar el complemento del ángulo de 23° 32' 15".

Como los ángulos deben sumar 90°, planteamos la siguiente ecuación: X° + 23°32'15" = 90°

Despejamos X y tenemos: X° = 90°– 23°32'15" Efectuamos la operación:

Por lo tanto, X = 66° 27' 45", que es el complemento buscado.

De la misma manera podemos encontrar el suplemento y conjugado de un ángulo.

La suma de ángulos de la figura 1.25 se expresa en el inciso a) y la sustracción en el inciso b).

FIGURA 1.25

Por ejemplo, mediante la suma se encuentra el valor de los ángulos indicados en la figura 1.26.

Ángulos suplementarios: son dos ángulos que, al sumarse, dan como resultado un ángulo llano.

FIGURA 1.26

Donde la suma de los cuatro ángulos es un ángulo llano. La suma se expresa así:

Tenemos una ecuación de primer grado y para saber cuánto mide cada ángulo, necesitamos conocer el valor de x, mediante esta operación:

6x=180°

x =30°

De esta manera, determinamos que el primer ángulo expresado como

El primer ángulo mide 150

El segundo ángulo, 2.5x mide 2.5(30°) = 75°.

La medida del tercer ángulo x es de 30° y del cuarto, 2x, será 2(30°) = 60°. La suma de los cuatro ángulos debe ser igual a 180°; veamos:

15° + 75° + 30° + 60° = 180°

En la figura 1.27 se muestran los ángulos con sus respectivos valores.

FIGURA 1.27

Por ejemplo, las tijeras mostradas en la figura 1.28 tienen ángulos a y b

opuestos por el vértice.

Teorema: "Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes" (véase figura 1.29).

FIGURA 1.28 FIGURA 1.29

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA

SECANTE

Al trazar dos rectas paralelas y una secante (transversal), obtenemos los ocho ángulos mostrados en la figura 1.30.

FIGURA 1.30

Los ángulos 3,4,5 y 6 se llaman internos por estar dentro de las paralelas. Los ángulos 1, 2, 7 y 8 se llaman externos por estar fuera de las paralelas. Los ángulos 1, 3, 5 y 8 son colaterales por estar en un mismo lado de la secante, así como los ángulos 2, 4, 6 y 7.

Cuando dos ángulos colaterales (uno interno y otro externo) no son adyacentes, se llaman correspondientes. En la figura 1.30 podemos encontrar los siguientes pares de ángulos correspondientes: 2 y 6, 4 y 7, 1 y 5, 3 y 8. Los ángulos correspondientes son congruentes, pues al superponerlos coinciden los lados de uno con los del otro, así como el vértice.

En la figura 1.30, los pares de ángulos 3 y 5, 4 y 6 se llaman colaterales internos, ya que están dentro de las paralelas y del mismo lado de la secante. Los pares de ángulos 1 y 8, 2 y 7 mostrados en la figura 1.30, se llaman

colaterales externos por estar fuera de las paralelas y del mismo lado de la secante.

Tanto los colaterales internos como los externos son ángulos suplementarios; es decir, suman 180°.

Teorema: "Los ángulos colaterales internos son suplementarios" (véase figura 1.31).

FIGURA 1.31

Teorema: "Los ángulos colaterales externos son suplementarios" Teorema: "Los ángulos alternos internos son congruentes" Teorema: "Los ángulos alternos externos son congruentes".

FIGURA 1.32

Teorema: "Dos ángulos que tienen sus lados respectivos paralelos son congruentes o suplementarios". figura 1.33 (Caso congruentes)

FIGURA 1.33

Ahora observemos el caso en el que son suplementarios (véase figura 1.34).

FIGURA 1.34

RESUMEN DE UNIDAD

• Ángulo es la abertura comprendida entre dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice; las semirrectas que se forman se conocen como lados del ángulo.

encuentra el vértice; y en la tercera se colocan las letras mayúsculas que determinan el ángulo, teniendo en cuenta que la letra correspondiente al vértice se coloca en medio.

• Para expresar la medida de los ángulos, tenemos los sistemas sexagesimal, centesimal, mixto y circular.

• Un ángulo es convexo cuando mide menos de 180° y cóncavo si es mayor de 180° y menor de 360°; es agudo si es menor de 90°; recto, si mide 90°; obtuso, si es mayor de 90° y menor de 180°; llano, si mide 180°, entrante, si es mayor de 180° y menor de 360°; y perigonal, si su medida es de 360°.

• Dos ángulos son consecutivos si comparten el vértice y un lado, y son adyacentes si además de ser consecutivos sus lados no comunes forman un ángulo llano.

• Dos ángulos son complementarios si la suma de los mismos es un ángulo recto; suplementarios, si suman un ángulo llano; y conjugados, si forman un ángulo perigonal.

• Los ángulos opuestos por el vértice son los que comparten el mismo vértice y cuando los lados de uno son la extensión de los lados del otro.

• Al cortar un par de paralelas por una recta (transversal), se forman ocho ángulos que se relacionan en pares y reciben, de acuerdo con su ubicación, uno de los nombres siguientes:

si están dentro de las paralelas, se llaman internos; si están fuera de las paralelas, externos; de un mismo lado de la transversal, colaterales; a uno y otro lados de la transversal, alternos. De esta manera, los ángulos alternos internos tienen la característica de estar a uno y otro lados de la transversal y también de estar dentro de las paralelas.

• Tanto los ángulos alternos internos como los alternos externos son congruentes; los colaterales internos y externos son suplementarios.