Razon de cambio promedio

11.1

Razón de cambio promedio

DEFINICION:

La razón de cambio promedio con respecto a x, a medida que x cambia de x₁ a x₂, es la razón entre el cambio en los valores de salida y los valores de

entrada :

donde x₂ ≠ x₁.

y₂  y₁ x₂  x₁ ,

DEFINICION (conclusión):

representa la razón de cambio promedio y a la vez, es la pendiente de la

recta que va desde P(x₁, y₁) a Q(x₂, y₂). La recta

se conoce como una

recta secante.

PQ,

y₂  y₁

x₂  x₁ 

f (x₂)  f (x₁)

x₂  x₁ ,

Ejemplo 1: Para determinar la razón

a) x cambia de 1 a 3. b) x cambia de 1 a 2. c) x cambia de 2 a 3.

Solución:

a) Cuando x₁ = 1, Cuando x₂ = 3,

La razón de cambio promedio es

y  f (x)  x2

y  f (x₁)  f (1)  12  1.

y  f (x₂ )  f (3)  32  9. 9 1

31  8

2  4.

Ejemplo 2 (conclusión):

Cuando x₂ = 2,

La razón de cambio promedio es

c) Cuando x₁ = 2, Cuando x₂ = 3,

La razón de cambio promedio es

y  f (x₁)  f (1)  12  1.

y  f (x₁)  f (2)  22  4. 4 1

2 1  3

1  3.

y  f (x₁)  f (2)  22  4.

y  f (x₁)  f (3)  32  9. 9  4

3  2  5

1  5.

La razón de cambio promedio es

Práctica corta 1

Instrucciones: Describa en una oración corta la razón de

cambio promedio para cada situación. No olvide incluir

unidades.

a.) Llovió 4 pulgadas en un periodo de 8 horas.

La razón de cambio promedio se calcula:

Descripción: La razón promedio de lluvia fue de 0.5 pulgadas

por hora.

4 in 0 in 4 in 1 in . 8 hr 0 hr 8 in 2 hr



La razón de cambio promedio es

Práctica corta (continuación)

b.) Tu carro viaja 250 millas con 20 galones de gasolina.

La razón de cambio promedio se calcula:

Descripción: El promedio de las millas viajadas es 12.5 millas por

galón.

c.) A las , la temperatura era 82 degrees. A las , la

temperatura era 76 degrees.

La razón de cambio promedio se calcula: 82−76 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠_{2 𝑃𝑀 −5𝑃𝑀} = ₋₃6 = −2

Descripción: El cambio promedio en temperatura fue de 2 grados por hora. Note que el negativo NO se escribe en la descripción, solo se

interpreta como que la temperatura bajó durante esas horas.

250 mi 0 mi 250 mi 25 mi . 20 gal 0 gal 20 gal 2 gal

 _{ }



DEFINICION:

La razón de cambio promedio de f con respecto a x

también se llama el cociente diferencial y está dada por donde h ≠ 0.

El cociente

diferencial es igual a la pendiente de la recta secante a

la curva.

f(x  h) f (x)

h ,

El cociente de diferencias es una

FORMULA, que nos permite calcular la

pendiente de una recta secante usando

cualquier par de puntos que pertenecen a la curva bajo estudio.

(x, f (x))

y (x+h, f (x+h)).

f (x  h) f (x)

h ,

Ejemplo 2: Dado , determinar el cociente

a) x = 5 y h = 3. b) x = 5 y h = 0.1.

a) 1) Se sustituye x = 5 y h = 3 en la fórmula:

Ejemplo 2:

Razón de cambio promedio

Recta secante que pasa por dos

puntos.

Ejemplo 2 (cont.):

b) (1)Sustituimos x = 5 y h = 0.1 en la fórmula:

Razón de cambio promedio

 

( ) ( )

f x h f x

h

 

 (5 0.1) (5)

0.1

f f _ (5.1)  (5)

0.1

f f

  5.12 52

0.1

  26.01 25

0.1 

1.01

Ejemplo 2 (conclusión):

Razón de cambio promedio

 

( ) ( )

f x h f x

h  10.1

Recta secante que pasa por dos

puntos.

Ejemplo 3: Para hallar una fórmula para el

cociente diferencial para cualquier punto en la curva.

Razón de cambio promedio

f (x)  x2

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ =

𝑥 + ℎ 2 − (𝑥)2 ℎ

= 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − (𝑥)2 ℎ

= 2𝑥ℎ + ℎ2 ℎ

= ℎ(2𝑥 + ℎ) ℎ

Ejemplo 3: (cont.) Ahora para hallar el cambio promedio

Razón de cambio promedio

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ == 2𝑥 + ℎ

= 2 3 + 0.5

𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ℎ = ∆𝑥 ∆𝑥 = 𝑥₂ − 𝑥₁ ∆𝑥 = 3.5 − 3 ∆𝑥 = .5

= 6 + 0.5 = 6.5

El cambio

promedio en y

cuando x cambia de

3 a 3.5 es 6.5.

La pendiente de la

recta secante que

pasa por (3,9) y

Ejemplo 4: Para hallar una fórmula para el

cociente diferencial para cualquier punto en la curva.

f x

 

Razón de cambio promedio

2 2

3x 3xh h , h 0.

   





3 3

h x xh h

h

 



3 2 2 3 3

3 3

x x h xh h x

h

   

Ejemplo 4: (cont.) Ahora para determinar el cambio

Razón de cambio promedio

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ =

= 3(2)2+3(2)(1) + 12 ℎ = ∆𝑥

∆𝑥 = 𝑥₂ − 𝑥₁ ∆𝑥 = 3 − 2 ∆𝑥 = 1

= 12 + 6 + 1 = 19

El cambio

promedio en y

cuando x cambia de

2 a 3 es 19.

La pendiente de la

recta secante que

pasa por (2,8) y

Ejemplo 5: Para hallar una fórmula

f x

 

Razón de cambio promedio





x x h



 

Ejemplo 6: Utilizar la gráfica para estimar la razón

empleados en Construcción entre 2005 y 2008.

Razón de cambio promedio

En el 2005, un 9% de

empleados en Construcción eran nuevos.

En el 2008, un 4% de

Ejemplo 6: Utilizar la gráfica para estimar la razón

empleados en Construcción entre 2005 y 2008.

Razón de cambio promedio

En el 2005, un 9% de

empleados en Construcción eran nuevos.

En el 2008, un 4% de

Ejemplo 7 : Un submarino lanza un proyectil, la altura (en

metros) por encima del nivel del mar, está dada por la función cuadrática: f (x) = -12x2 + 72x - 60

donde x es el tiempo en segundos.

Razón de cambio promedio

Ejemplo 7 (cont.) : Un submarino lanza un proyectil, ….

f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.

Razón de cambio promedio

a) Trace los puntos en un plano y esboce la gráfica.

b) Calcule el cociente de diferencias entre cada dos puntos de la tabla.

𝑃₂ − 𝑃₁

0.5 =

𝑃₃ − 𝑃₂

0.5 =

𝑃₄ − 𝑃₃

0.5 =

𝑃₅ − 𝑃₄

0.5 =

𝑃₆ − 𝑃₅

0.5 =

𝑃₇ − 𝑃₆

0.5 =

𝑃₉ − 𝑃₈

Ejemplo 7 (cont.) : Un submarino lanza un proyectil, ….

f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.

Razón de cambio promedio

a) Trace los puntos en un plano y esboce la gráfica.

b) Calcule el cociente de diferencias entre cada dos puntos de la tabla.

𝑃₂ − 𝑃₁ 0.5 = 42

𝑃₃−𝑃₂

0.5 =30 𝑃4 − 𝑃3

0.5 = 18

𝑃₅ − 𝑃₄ 0.5 = 6

𝑃₆ − 𝑃₅ 0.5 − 6

𝑃₇ − 𝑃₆ 0.5 − 18

Ejemplo 7 (cont.) : Un submarino lanza un proyectil, ….

f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.

Razón de cambio promedio

c) ¿Qué patrones observas en los cálculos?

d) Llene los blancos adecuadamente: Cuando la función es creciente, las

pendientes de las rectas secantes son ________. Cuando la función decrece las pendientes de las rectas secantes horizontales son _________.

Las pendiente de las rectas

horizontales (paralelas al eje x) son iguales a _________.

𝑃₂ − 𝑃₁ 0.5 = 42

𝑃₃−𝑃₂

0.5 =30 𝑃4 − 𝑃3

0.5 = 18

𝑃₅ − 𝑃₄ 0.5 = 6

𝑃₆ − 𝑃₅ 0.5 − 6

𝑃₇ − 𝑃₆ 0.5 − 18

Ejemplo 7: Según los datos de La Liga Superior de Beisbol, el precio promedio de un boleto para un partido de Grandes Ligas se puede aproximar con la siguiente función, donde x es el número de años a partir de 1991 y p(x) es en dólares. (Fuente de los datos: www.teammarketing.com)

Razón de cambio promedio – Práctica adicional

𝑝 𝑥 = 0.03𝑥2 + 0.56𝑥 + 8.63

Determina:

a) el precio de un boleto en 1995

b) el precio de un boleto en 2008

𝑝 4 = 0.03(4)2+0.56(4) + 8.63 𝑝 4 = 0.48 + 2.24 + 8.63

𝑝 4 = $11.35

𝑝 17 = 0.03(17)2+0.56(17) + 8.63 𝑝 17 = 8.67 + 9.52 + 8.63

Ejemplo 7 (cont): Según los datos de La Liga Superior de

Beisbol, el precio promedio de un boleto para un partido de Grandes Ligas se puede aproximar con la siguiente función, donde x es el número de años a partir de 1991 y p(x) es en dólares. (Fuente de los datos: www.teammarketing.com)

Razón de cambio promedio

𝑝 𝑥 = 0.03𝑥2 + 0.56𝑥 + 8.63

Determina:

c) 𝑝 17 −𝑝(4)

17−4 . Interpreta este resultado.

= 26.82 − 11.35 17 − 4

= 15.47 13 ≈ 1.19

El precio promedio de un boleto para un partido de Grandes Ligas ha

Ejemplo 8: La cantidad de dinero en una cuenta de ahorro que tiene un balance inical de $2000 y recibe un 6% de interés compuesto 4 veces en el año está dado por

𝐴 𝑡 = 2000(1.015)4𝑡

Razón de cambio promedio

Determina:

a) 𝐴 3

b) 𝐴 5

𝐴 3 = 2000(1.015)4(3) 𝐴 3 = $2391.24

Ejemplo 8: La cantidad de dinero en una cuenta de ahorro que tiene un balance inical de $2000 y recibe un 6% de interés compuesto 4 veces en el año está dado por

𝐴 𝑡 = 2000(1.015)4𝑡

Razón de cambio promedio

Determina:

c) A 5 −A(3)

5−3 . Interpreta este resultado.

= 2693.71 − 2391.24 5 − 3

= 302.47 2

≈ $151.24