Capitulo IV - Ecuaciones Diferenciales d

(1)

4

Ecuaciones Diferenciales de

primer Orden

1.1 1.1. Introducción

Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo de ecuación que contenga derivadas. Así como al estudiar álgebra y trigonometría se Iinvierte bastante tiempo en resolver ecua-ciones, como x2+4 x+4=0 con la variable x, en este tema vamos a resolver ecuaciones diferenciales como y” + 3y’ + y = 0, para determinar la función y.

El descubrimiento independiente del cálculo por Newton y Leibniz en el siglo 17 proporcionó el ímpetu para los grandes avances que siguieron en las matemáticas, ciencias, e ingeniería. Una de las más importantes y fascinantes ramas de las matemáticas que proporcionó el medio para las formulaciones matemáticas y soluciones de variados problemas en estas áreas se llama ecuaciones diferenciales.

En cálculo aprendimos que la derivada, dy/dx, de la función y= f(x) es en si, otra función de x que se

determina siguiendo las reglas adecuadas; por ejemplo, si y=ex2

, entonces dyêdx=2 xex2

. Al reemplazar ex2 por el símbolo y se obtiene:

(1) dy

dx =2 xy

El problema que afrontaremos en este curso no se trata de dada una función y=f(x), determinar su deriva. El problema es dada una ecuación diferencial, ¿Hay algún método por el cual podamos determi-nar a la función y?.

1.2 Conceptos de ecuaciones diferenciales

La ecuación que planteamos en (1.1) se llama ecuación diferencial. Antes de avanzar más, veamos algunas definiciones más precisas de este concepto.

D

Deeeeffffiiiinnnniiiicccciiiióóóónnnn 1111

Definición 1: [DZ,1]

(2)

D

Deeeeffffiiiinnnniiiicccciiiióóóónnnn 2222

Definición 1: [MS,2]

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocidad depende sólo de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas ordinarias) la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocid depende de más de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas parciales) la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.

E

Ejjjjeeeem

m

mpppplllloooo 2222....1111

m

Ejemplos:

y ' +x y=3

y ''+5 y '+6 y=cosHxL L d

2_i

Hd tL2

+Rd i d t+

1

C i=EwcosHwtL

Todas estas ecuaciones corresponden a ecuaciones diferenciales.

Cuando una ecuación envuelve una o más derivadas con respecto a una variable particular, esa variable es llamada variable independiente. Una variable es llamada dependiente si en la ecuación hay alguna derivada de esa variable. Por ejemplo:

dy

dx =2 x + y ö

x es la variable independiente y es la variable dependiente

d2x

dt2

-2dx

dt -15 x=0 ö

t es la variable independiente x es la variable dependiente

1.3 Clasificación de las ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.

1.3.1 Clasificación según el tipo

1.- Ecuación diferencial ordinaria: Son aquellas ecuaciones que sólo contienen derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.-Por ejemplo:

dy

dx =6 x+5;

d2_x

dt2

- dx

dt =e

t_{, y} dx

dt + dy

dt =3 x+y

(3)

∑2_u

∑x2

+ ∑

2_u

∑y2

=0, ∑

2_u

∑x2

= ∑

2_u

∑t2

-2∑u

∑x, y

∑u

∑y =

-∑v

∑x

Las derivadas ordinarias tienen diversas notaciones:

dy

dx,

d2_y

dx2 , d

3_y

dx3

ö Notación de Leibniz

y ', y '', y ''' ö Notación con primas

y°, y.., ...y ö Notación de Newton o de puntos

1.3.2 Clasificación según el orden

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden en la ecuación, por ejemplo:

d3y

dx3

+3d

2_y

dx2

+5 dy dx

3

-4 y=ex ö d3_y

dx3 Tercer orden

d2_y

dx2 Segundo orden dy

dx Primer orden

1.3.3 Clasificación según la linealidad

Ecuaciones diferenciales lineales:

Otra forma de representar una ecuación diferencial es:

(2)

FIx, y, y ', ..., yHnLM=0

Se dice que una ecuación diferencial como la (1.2) es lineal si F es lineal en y, y', y'', ..., yHn-1L_.

Esto quiere decir que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando la ecuación (1.2) es

anHxLyHnL+an-1HxLyHn-1L+...+a1HxLy '+a0HxLy-gHxL=0, o bien

(3)

anHxL

dHnLy

dxn +an-1HxL

dHn-1Ly

dxn-1

+...+a1HxL

dy

dx+a0HxLy=gHxL

En esta última ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferen-ciales lineales:

a) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, el expo-nente de todo término donde aparece y es 1.

b) Cada coeficiente sólo depende de x, que es la variable independiente. Las ecuaciones

Hy-xLdx + 4 xdy = 0, y '' -2 y '+y=0 d

3_y

dx3

+x dy

dx-5 y=e

x

(4)

Término no lineal : coeficiente depende de y

H1-yLy'+2 y=ex

Término no lineal : Función no lineal de y

d2y

dx2

+SenHyL=0

1.4 Variables Separables

En algunas ocasiones las ecuaciones diferenciales se podrán resolver usando integración y quizás esta integral requiera de algunas técnicas especiales.

1.4.1 Solución por integración:

Cuando f es independiente de la variable y, esto es

dy

dx =gHxL

Si f g(x) es una función contínua se resolverá por integración:

y=_‡ gHxLdx + C

D

Deeeeffffiiiinnnniiiicccciiiióóóónnnn 3333

Ecuación Separable

Se dice que una ecuación diferencial de primer orden, de la forma:

dy

dx=gHxLhHyL

es separable, o de variables separables.

[DZ,1]

Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales es necesario:

dy

dx =gHxLhHyL

1.- Reescribir la ecuación haciendo un despeje simple:

HL

=HL

HL = HL

2.- Integramos a ambos lados de la ecuación y nos queda como:

‡ pHyLdy=_‡ gHxLdx

PHyL+C1=GHxL+C2

(5)

E

Ejjjjeeeem

m

mpppplllloooo 4444....2222

Solución de una ecuación diferencial: H1+xLdy-ydx=0

Solución Solución Solución

Solución : : : : _{Dividimos ambos lados de la ecuación por (1+x)y:}

H1+xLdy-ydx

H1+xLy =0

H1+xLdy

H1+xLy -y

H1+xLydx=0

dy

y

-1

1+xdx=0

Lugos pasamos a sumar al otro lado de la igualdad el término dx

1+x:

dy

y =

1

1+xdx

Integramos a ambos lados de la ecuación:

‡ dy

y =‡

1

1+xdx

LnHyL+ C1=LnH1+xL + C2

Sumamos los valores constantes :

LnHyL = LnH1+xL + C

Como necesitamos es la variable y necesitamos aplicar la operación inversa al Ln que es la exponencial :

y = eLnH1+xL+C=eLnH1+xLeC =H1+xLeC y=H1+xLc

E

Ejjjjeeeem

m

mpppplllloooo 4444....3333

Obtener la solución de la ecuación diferencial

dy

dx =

-x

y con valor inicial y(4)=-3

Solución : : : : _{Aplicamos lo mismo que en el ejemplo anterior:}

dy

dx =

-x

y ï y dy = -x dx

Integrando en ambos lados :

y2

2 +c1=

-x2

2 +c2

y2

2 =

-x2

(6)

Sustituyendo el valor inicial yH4L= -3

H-3L2 2 =

-H4L2 2 +c

Despejando a c :

2 c=9+16 c= 25

2

1.5 Ecuación Diferencial Lineal de primer orden

Anteriormente se dijo que una ecuación diferencial es lineal cuando de primer grado en la variable dependiente y en todas su derivadas.

D

Deeeeffffiiiinnnniiiicccciiiióóóónnnn 4444

Ecuación lineal

Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma

a1HxL dy

dx+a0HxLy=gHxL

es una ecuación lineal.

ö Cuando g(x) es cero, entonces la ecuación diferencial es homogénea, en cualquier otro caso no es homogénea.

T

Teeeeoooorrrreeeem

m

maaaa 1111

La ecuación diferencial lineal de primer orden dy

dx+PHxLy= fHxL se puede

transformar en una ecuación diferencial separable multiplicando ambos lados de la ecuación por el factor integrante eŸPHxLdx.

[ES,2]

1.5.1 Solución de una ecuación diferencial de primer orden

1.- Convertir una ecuación diferencial lineal a la forma estándar de una ecuación diferencial:

dy

dx+PHxLy= fHxL

2.- A partir de la forma estándar, identificar a P(x) y a continuación determinar el factor integrante:

eŸPHxLdx

3.- Multiplicar la forma estándar de la ecuación por el factor integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente, y; esto es,

d

dxAe

ŸPHxLdx

yE=eŸPHxLdx fHxL

(7)

E

Ejjjjeeeem

m

mpppplllloooo 5555....4444

Obtener la solución de la ecuación diferencial:

dy

dx-3 y=0

Solución : : : : _{Aunque esta ecuación diferencial se puede resolver por variable separables, vamos a usar}

este nuevo procedimiento ya que tiene la forma estándar de ecuación diferencial de primero orden.

Además vale la pena destacar que es una ecuación diferencial lineal de primer orden homogénea.

1.-Comparamos la ecuación con la forma estándar :

dy

dx-3 y=0 ó

dy

dx+PHxLy= fHxL

2.- Para determinar el factor integrante usamos :

eŸPHxLdx= eŸ-3 dx=e-3 x

3.- Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante a ambos lados :

dy

dx-3 y=0 ï e

-3 x dy

dx-3 e

-3 x_y₌₀

d

dxIe

ŸPHxLdx

yM=eŸPHxLdx fHxL d

dxIe

-3 x_yM₌_e-3 x_.0

d

dxIe

-3 x_y_M₌₀

4.- Integramos ambos lados de la ecuación :

(8)

e-3 xy=C Despejamos el valor de y

y= C

e-3 x =Ce

3 x

E

Ejjjjeeeem

m

mpppplllloooo 5555....5555

dy dx-3 x

2_y₌_x2

Solución : : : : _{Dada que es una ecuación diferencial de primer orden no homogénea de la forma estándar}

dy

dx +PHxLy= fHxL podemos usar el procedimiento anterior:

1.- PHxL = -3 x2 fHxL=x2

2.- El factor integrante será :

eŸPHxLdx=eŸ-3 x2dx =e-x3

3.- Multiplicamos la ecuación por el factor integrante :

e-x3 dy

dx-3 x

2_e-x3

y=e-x3x2 esto nos queda de la forma

d

dxIe

-x3

yM=e-x3x2

‡ d

dxIe

-x3

yM=_‡ e-x3x2dx

e-x3y=_· e-x3x2dx Cambio de Variable :

u= -x3

du= -3 x2dx

-du

3 =x

2_dx

e-x3y=_‡ eu -du

3 =

-1

3 e

u₊_C₌ -1

3 e

-x3 +C

e-x3y= -1

3 e

-x3

+C Despejamos a y

y= 1

3e

-x3

ex3+Cex3 Simplificando nos queda

y= 1

3 +Ce

x3

E

Ejjjjeeeem

m

mpppplllloooo 5555....6666

x dy

dx -4 y= x

(9)

Solución : : : : _{Dada que es una ecuación diferencial de primer orden no homogénea pero aún no está}

escrita de la forma estándar dy

dx +PHxLy= fHxL, por lo que primero debemos llevarla a esa

forma:

1.- Reescribimos la ecuación

xdy

dx-4 y=x

6_ex _{Dividimos la ecuación entre x}

xdy

dx-4 y

x =

x6_ex

x Separamos la suma

x

dy

dx -4

x y= x6

x e

x _{Simplificamos}

dy

dx -4

x y=x

5

ex

2.- Obtenemos a PHxL y fHxL PHxL= -4

x fHxL=x

5_ex

3.- Determinamos el factor integrante

eŸPHxLdx=eŸ

-4

x dx=e-4 LnHxL=eLnIx -4_M

=x-4

3.- Multiplicamos la ecuación por el factor integrante :

x-4dy

dx -4

x x

-4_y₌_x-4_x5_ex _{esto nos queda de la forma}

d

dxIx

-4

yM= x-4x5ex Simplificamos

d

dyIx

-4_yM₌_x-4+5_ex₌_xex

‡ _dxd Ix-4yM=_‡ x exdx

x-4y=_‡ x exdx Integración por parte : u=x dv=e

x_dx

du=dx v=ex

(10)

y = x

x-4e

x_- e x

x-4+ C

x-4 Simplificamos

y= x5ex-x4ex+Cx4

E

Ejjjjeeeem

m

mpppplllloooo 5555....7777

dy

dx+y=x yH0L=4

Solución : : : : _{Seguimos los mismos pasos}

PHxL=1 fHxL=x eŸdx=ex Factor integrante

d

dxHe

x_yL₌_{x e}x

‡ _dxd HexyL=_‡ x exdx

exy=_‡ x exdx Integración por parte : u= x dv=e

x_dx

du=dx v=ex

ex_y ₌ _{u v} _-_Ÿ_vdu ₌ _{x e}x _- _Ÿ_ex_dx ₌ _{x e}x _-_ex₊_C

exy= x ex -ex+C Despejamos a y

y =x ex -ex+C

Evaluamos el valor inicial y(0) = 4 x=0 y=4 y =x ex _-_ex₊_C

4 = 0. e0_-_e0₊_C

4 = -1 + C C=5

La solución de la ecuación diferencial será: y =x ex _-_ex₊₅

1.6 Ecuaciones Exactas

D

Deeeeffffiiiinnnniiiicccciiiióóóónnnn 5555

Ecuación Exacta

Una expresión diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial de alguna función f(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

(11)

Por ejemplo una ecuación diferencial exacta sería:

x2y3dx+ x3y2dy=0

donde

MHx, yL=x2y3 y NHx, yL = x3y2

T

Teeeeoooorrrreeeem

m

maaaa 2222

Criterio para una diferencial exacta

Sean continuas M(x,y) y N(x,y), con derivadas parciales continuas en una región rectangular, R, definida por a<x<b, c<y<d. Entonces, una condición necesaria y suficiente para que M(x,y)dx + N(x,y)dy sea una diferencial exacta es que

∂M

∂y =

∂N

∂x

E

Ejjjjeeeem

m

mpppplllloooo 6666....8888

Solución de la ecuación diferencial exacta 2 xydx+Ix2+1Mdy=0

Solución : : : : _{Lo primero que debemos hacer es comparar nuestra ecuación diferencial con la forma que}

plantea la definición de la ecuación diferencial exacta:

Y verificamos que realmente es una ecuación diferencial exacta haciendo uso del Teorema 2:

∑M

∑y =

∑N

∑x

∑M

∑y = 2 x Ñ ∑N

∑x = 2 x Ñ

Por lo que debe existir una función f(x,y) tal que:

∑f

∑x =2 xy H1L Integramos esta ecuación respecto a x

∑f

∑y =Ix

2₊

1M H2L Integramos esta ecuación respecto a y Tomamos la primera ecuación :

fHx, yL=x2y + gHyL H3L

Tomamos ésta última ecuación y la derivamos respecto a y y la igualamos a (2):

∑f

∑y =x

2₊

(12)

x2+g 'HyL= x2+1 Despejamos a g 'HyL g 'HyL=1 Integramos respecto a y

gHyL = y

Sustituimos éste resultado en la ecuaciónH3L:

fHx, yL=x2y + gHyL fHx, yL=x2y + y

E

Ejjjjeeeem

m

mpppplllloooo 6666....9999

Solución de la ecuación diferencial exacta

Ie2 y-y cos xyMdx+I2 x e2 y-x cos xy +2 yMdy=0

Solución : : : : _{De la ecuación obtenemos que:}

MHx, yL=e2 y-y cos xy Derivando ∑M

∑y =2 e

2 y_-_cosxy₊_xysenH_xyL

NHx, yL=2 x e2 y-x cos xy +2 y Derivando ∑N

∑x =2 e

2 y

-cosxy+xysenHxyL Sabemos que :

∑f

∑x =MHx, yL=e

2 y_-_{y cos xy} H₁L

∑f

∑y =NHx, yL=2 x e

2 y_-_{x cos xy} ₊_{2 y} _H₂_L

Ahora integramos la ecuaciónH2L:

fHx, yL=_{‡ I}2 x e2 y-x cos xy+2 yM„y= 2 x e

2 y

2

-xSenHxyL

x +

2 y2

2 +hHxL

fHx, yL=x e2 y-SenHxyL+y2+hHxL H3L Derivamos la ecuaciónH3L:

∑

∑x fHx, yL=e

2 y

-y cosHxyL+0+h 'HxL=MHx, yL=e2 y-y cos xy e2 y-y cosHxyL+0+h 'HxL=e2 y-y cos xy Simplificando nos queda :

h 'HxL=0 Integramos este resultado : hHxL=c

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Dennis Zill y Michael Cullen “ECUACIONES DIFERENCIALES”, 5ta y 6ta edición. [2] Earl Swokowski, "CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA", 2da edición [3] N. Piskunov, "CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL", 3ra edición

[4] Roland Larson, "CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA", 6ta edición [5] James Stewart, "CÁLCULO MULTIVARIABLE".

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