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CAPÍTULO 5
MODELO ACOPLADO HIDRÓLISIS- ARRUDA-BOYCE
5.1. Introducción
La investigación de nuevos materiales es una ciencia que está en continuo crecimiento. Como ya se ha comentado, ese crecimiento puede considerarse exponencial en el área de los biomateriales. En los últimos años la aparición de nuevos biomateriales ha sido enorme. Debido a este crecimiento parece interesante investigar en nuevos modelos constitutivos, que representen sus comportamientos.
Los modelos constitutivos pueden representar cualquier tipo de comportamiento, ya sea comportamiento térmico, mecánico, químico, físico- químico de cualquier material, basta conocer los parámetros característicos del material para cada modelo (Arruda-Boyce, Neo-Hookeano, difusión, elástico lineal, etc.). Los procesos que caracterizan estos modelos se pueden dar simultáneamente y acoplando sus ecuaciones se puede analizar cómo influye uno en otro a través de un único modelo.
Como la capacidad computacional mejora, la implementación de estos modelos acoplados es posible, pero hay un límite, ya que es fácil darse cuenta que cuantos más factores se tienen en cuenta en un modelo, más complejo es ese modelo y, por lo tanto, más coste computacional tendrá. Para modelos acoplados nuevos es necesario partir de unas ecuaciones simples, como es el caso del modelo acoplado propuesto en este proyecto fin de carrera, donde para representar el comportamiento mecánico del biopolímero, cuyas
propiedades mecánicas se degradan por un proceso de hidrólisis, se han utilizado los modelos adecuados más simples disponibles en la bibliografía.
5.2. Definición del modelo acoplado propuesto de Hidrólisis- Arruda-Boyce
En los capítulos anteriores se han explicado los modelos de referencia que representan el proceso de hidrólisis (capítulo 3) y el comportamiento mecánico (capítulo 4) por separado. En este capítulo se acoplan ambos en un único modelo. Para tener una idea del procedimiento que se va a utilizar se ha representado en la figura 5.1 un esquema simplificado del mismo.
Figura 5.1. Esquema del procedimiento para obtener el modelo acoplado propuesto Hidrólisis- Arruda-Boyce
De forma resumida, los pasos a seguir son los siguientes: Primero, se crea la malla según los datos del problema, a saber, geometría, tipo de material, etc.
Luego, se determinan de forma experimental o por bibliografía los parámetros del modelo de hidrólisis (W0, Wmin, α y β). Una vez determinados, se añaden las condiciones de contorno y se ejecuta el modelo de hidrólisis, de donde se obtiene el archivo de texto con los pesos moleculares en los nodos para todo el intervalo de tiempo de forma ordenada. De este archivo se obtendrán, tras una serie de operaciones, los parámetros del modelo Arruda-Boyce para todos los
elementos de la malla (μ’ y λL) en un tiempo deseado, los cuales estarán afectados por el proceso de hidrólisis anterior. Añadiéndole las condiciones de contorno y carga, queda definido el modelo de elementos finitos acoplado Hidrólisis-Arruda-Boyce. A continuación, se ejecuta y se obtienen las curvas tensión-alargamiento para cada tiempo de degradación deseado del material.
5.2.1. Implementación del modelo acoplado propuesto Hidrólisis-Arruda-Boyce en Abaqus
®A continuación, se detalla el esquema de la figura 5.1 para entender los pasos que se han seguido para implementar el modelo acoplado propuesto de Hidrólisis-Arruda-Boyce para su posterior simulación en un problema real.
5.2.1.1. Datos del material y malla
Este punto dependerá de los datos del problema, es decir, de la geometría y del tipo de material que se desea implementar. Se realizará con el programa Abaqus/CAE 6.11-1. Con este mismo programa se realizará la malla del material, buscando un compromiso entre resultados adecuados y coste computacional mínimo. Esta malla la conformarán elementos del tipo DC3D8 para el análisis de la hidrólisis y del tipo C3D8RH en la parte mecánica. Ambos son elementos hexaédricos con interpolación lineal.
5.2.1.2. Parámetros del modelo acoplado
En el capítulo 3 se ha definido un modelo de hidrólisis a través de la subrutina HETVAL de Abaqus® de forma análoga a un proceso de flujo de calor.
Abaqus® tiene implementado el problema de transferencia de calor, y no el de difusión, por lo que habrá que tenerlo en cuenta al implementar la ecuación 3.1.
La otra ecuación importante de este proceso de hidrólisis es la que se encarga de actualizar el peso molecular de cada nodo conforme pasa el tiempo (ecuación 3.4).
En el modelo de hidrólisis existen cuatro parámetros (W0, Wmin, α y β) que dependen del tipo de material que se quiere implementar. W0 y Wmin serán pesos moleculares que se estimarán de la bibliografía y/o de resultados experimentales del material en cuestión. Los parámetros restantes (α y β) se calibrarán de forma experimental.
Por último, indicar que las condiciones de contorno que tendrá el problema simulan la inmersión de un material dentro de un medio acuoso, por lo tanto, la concentración en las caras del material será distinta de cero, mientras que en el interior será inicialmente nula, quedando definido así el modelo que caracteriza el proceso de la hidrólisis.
Finalmente, se ejecuta este modelo de elementos finitos que tendrá como salida un archivo de texto con los pesos moleculares de todos los nodos de cada elemento para cada tiempo que dura la simulación de forma ordenada.
A continuación, se explica cómo se obtienen los parámetros necesarios para la segunda parte del modelo. En el capítulo 4 ya se desarrolló el modelo de Arruda-Boyce para materiales homogéneos y quasi-incompresibles. En la ecuación 4.28 se puede ver que los parámetros del modelo son μ y λL. La presión p se determinará según un multiplicador de Lagrange en la implementación numérica de Abaqus®.
El parámetro constante μ del modelo Arruda-Boyce se va a denotar en el modelo acoplado como μ’, el cual no será constante y dependerá del elemento dando lugar a un material heterogéneo y quasi-incompresible. Esta heterogeneidad aparece por que el parámetro μ’ depende de la hidrólisis y, por consiguiente, del peso molecular. En la figura 3.5 se vio que la distribución del peso molecular en un instante determinado no era homogénea.
En la ecuación 4.17 se definió el parámetro μ0. Puesto que KB y la temperatura son constantes en este problema, para que varíe el parámetro μ0 la única variación posible es que cambie la densidad de cadenas, n. Parece lógico pensar que existirá una relación entre n y el peso molecular de tipo lineal, ya que cuando se aumenta el peso de las cadenas, dejando el volumen constante, es decir aumenta la densidad de la cadena, el peso molecular del biopolímero también aumenta en la misma proporción.
También se vio que μ es función de μ0 (ecuación 4.18). Por esta razón, y puesto que el modelo es simple, se puede asumir que la relación existente entre μ’ y μ será lineal con la siguiente forma:
µ′(x, y, z, t) =W(x,y,z,t)W
0 µ (5.1) donde W0 es el peso molecular inicial del polímero, μ es el parámetro del modelo Arruda-Boyce homogéneo definido en la ecuación 4.18, W es el peso molecular en un instante para un elemento y μ’ es el parámetro en dicho instante para ese elemento, quedando así acoplado ambos modelos. Los valores iniciales (μ, W0) son conocidos y el valor del peso molecular, W, se obtiene para cada nodo (x,y,z) en un tiempo dado (t1) del archivo de texto obtenido en el problema de hidrólisis. Como el peso molecular está en los nodos del elemento es necesaria una interpolación de los nodos al centroide de
cada elemento. Esta interpolación será lineal y se realizará con un código de MatLab®. Así se obtendrá un único peso molecular para cada elemento, el cuál será utilizado para calcular el parámetro μ’ del elemento para un instante de tiempo dado con la ecuación 5.1.
Para determinar el módulo de cizalladura inicial, μ0, se va a utilizar la ecuación 4.17 y una definición de la densidad de cadena, n [22].
n =ρNMA (5.2)
siendo ρ la densidad del material, M la masa molecular y NA el número de Avogadro (6,022x10-23).
Finalmente se escribe M en función del peso molecular inicial, W0, que es dato en esta parte del problema, quedando:
M =WS0 (5.3) siendo S el número aproximado de cadenas del biopolímero.
En la ecuación 5.6 se escribe la ecuación completa del módulo de cizalladura inicial en función del peso molecular del biopolímero:
µ0 =ρSNWA
0 kBΘ (5.4) Una vez se tiene el módulo de cizalladura inicial del material, a partir de éste se llega al parámetro μ’ del modelo acoplado con dos efectos: primero por la influencia de λL (ecuación 4.18) y segundo por la del peso molecular (ecuación 5.1). Para un tiempo determinado se tendrá para cada nodo la siguiente expresión del parámetro μ’:
µ′(x, y, z, t) =W(x,y,z,t)W
0
ρSNAW0 kBΘ
�1+ 3 5λL2+ 99
175λL4+ 513
875λL6+ 42039
67375λL8� (5.5) Haciendo la interpolación de los nodos al centro del peso molecular antes de aplicar la ecuación 5.5 se tendrá directamente el parámetro μ’ para cada elemento. Cada elemento será definido en el archivo de entrada de Abaqus® con el comando SET, que normalmente se utiliza para definir un conjunto de elementos, pero que en este caso, el conjunto es un solo elemento, con propiedades independientes.
El parámetro λL, definido a partir del número de enlaces rígidos (ecuación 4.19), no se ve afectado por la hidrólisis, ya que el número de enlaces se puede suponer constante durante toda la degradación. Por consiguiente el parámetro λL será constante e igual para todos los elementos y se estimará por curvas de ajuste.
5.2.1.3. Simulación y resultados
Una vez definidos los parámetros de cada elemento de la malla sólo falta determinar la condiciones de contorno y carga del problema mecánico y simularlo con Abaqus/Command 6.11-1. En este caso, las condiciones de contorno representarán las condiciones del ensayo uniaxial y la de carga, será un desplazamiento dado.
Finalmente, se obtendrán del archivo odb que proporciona Abaqus® tras la simulación, los resultados necesarios para analizar el comportamiento mecánico del material.