Esperanzamatem´aticadeunavariablealeatoriadiscreta GrupoCDPYE-UGR ThisworkislicensedunderaCreativeCommonsAttribution-NonCommercial-NoDerivs2.5License.BY:

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Esperanza matem´ atica de una variable aleatoria discreta

Esperanza matem´ atica de una variable aleatoria discreta

Sea X : (Ω, A, P) −→ (R, B, PX) una variable aleatoria discreta con valores en el conjunto E_X. i) Existe la esperanza matem´atica (o simplemente, esperanza) de X si X

x∈EX

|x|P(X = x) < +∞.

ii) En caso de existir la esperanza, que notaremos E[X], se define como E[X] = X

x∈EX

xP(X = x).

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Esperanza matem´ atica de una variable aleatoria discreta

Sea X : (Ω, A, P) −→ (R, B, PX) una variable aleatoria discreta con valores en el conjunto E_X. i) Existe la esperanza matem´atica (o simplemente, esperanza) de X si X

x∈EX

|x|P(X = x) < +∞.

ii) En caso de existir la esperanza, que notaremos E[X], se define como E[X] = X

x∈EX

xP(X = x).

Ya que la convergencia absoluta de una serie implica su convergencia, la esperanza de una variable aleatoria, si existe, es siempre finita.

Esperanza matem´ atica de una variable aleatoria discreta

Sea X : (Ω, A, P) −→ (R, B, PX) una variable aleatoria discreta con valores en el conjunto E_X. i) Existe la esperanza matem´atica (o simplemente, esperanza) de X si X

x∈EX

|x|P(X = x) < +∞.

ii) En caso de existir la esperanza, que notaremos E[X], se define como E[X] = X

x∈EX

xP(X = x).

Ya que la convergencia absoluta de una serie implica su convergencia, la esperanza de una variable aleatoria, si existe, es siempre finita.

Si E_X es un conjunto finito, la suma que define E[X] consta de un n´umero finito de sumandos y es, por tanto, absolutamente convergente.

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Esperanza matem´ atica de una variable aleatoria discreta

Sea X : (Ω, A, P) −→ (R, B, PX) una variable aleatoria discreta con valores en el conjunto E_X. i) Existe la esperanza matem´atica (o simplemente, esperanza) de X si X

x∈EX

|x|P(X = x) < +∞.

ii) En caso de existir la esperanza, que notaremos E[X], se define como E[X] = X

x∈EX

xP(X = x).

Ya que la convergencia absoluta de una serie implica su convergencia, la esperanza de una variable aleatoria, si existe, es siempre finita.

Si E_X es un conjunto finito, la suma que define E[X] consta de un n´umero finito de sumandos y es, por tanto, absolutamente convergente. As´ı, toda variable con un n´umero finito de valores tiene esperanza.

Esperanza matem´ atica de una variable aleatoria discreta

Sea X : (Ω, A, P) −→ (R, B, PX) una variable aleatoria discreta con valores en el conjunto E_X. i) Existe la esperanza matem´atica (o simplemente, esperanza) de X si X

x∈EX

|x|P(X = x) < +∞.

ii) En caso de existir la esperanza, que notaremos E[X], se define como E[X] = X

x∈EX

xP(X = x).

Ya que la convergencia absoluta de una serie implica su convergencia, la esperanza de una variable aleatoria, si existe, es siempre finita.

Si E_X es un conjunto finito, la suma que define E[X] consta de un n´umero finito de sumandos y es, por tanto, absolutamente convergente. As´ı, toda variable con un n´umero finito de valores tiene esperanza.

Sin embargo, si E_X es infinito, es preciso imponer la convergencia absoluta ya que, en caso contrario, diferentes reordenaciones de los sumandos podr´ıan conducir a distintos valores para E[X].

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Esperanza matem´ atica de una variable aleatoria discreta

Sea X : (Ω, A, P) −→ (R, B, PX) una variable aleatoria discreta con valores en el conjunto E_X. i) Existe la esperanza matem´atica (o simplemente, esperanza) de X si X

x∈EX

|x|P(X = x) < +∞.

ii) En caso de existir la esperanza, que notaremos E[X], se define como E[X] = X

x∈EX

xP(X = x).

Ya que la convergencia absoluta de una serie implica su convergencia, la esperanza de una variable aleatoria, si existe, es siempre finita.

Si E_X es un conjunto finito, la suma que define E[X] consta de un n´umero finito de sumandos y es, por tanto, absolutamente convergente. As´ı, toda variable con un n´umero finito de valores tiene esperanza.

Sin embargo, si E_X es infinito, es preciso imponer la convergencia absoluta ya que, en caso contrario, diferentes reordenaciones de los sumandos podr´ıan conducir a distintos valores para E[X].

Ejemplo 1: Calcular, si existe, la esperanza de la variable X, siendo P



X = (−1)^j+13^j j



= 2

3^j, j = 1, 2, . . .

Esperanza matem´ atica de una variable aleatoria discreta

Sea X : (Ω, A, P) −→ (R, B, PX) una variable aleatoria discreta con valores en el conjunto E_X. i) Existe la esperanza matem´atica (o simplemente, esperanza) de X si X

x∈EX

|x|P(X = x) < +∞.

ii) En caso de existir la esperanza, que notaremos E[X], se define como E[X] = X

x∈EX

xP(X = x).

Ya que la convergencia absoluta de una serie implica su convergencia, la esperanza de una variable aleatoria, si existe, es siempre finita.

Si E_X es un conjunto finito, la suma que define E[X] consta de un n´umero finito de sumandos y es, por tanto, absolutamente convergente. As´ı, toda variable con un n´umero finito de valores tiene esperanza.

Sin embargo, si E_X es infinito, es preciso imponer la convergencia absoluta ya que, en caso contrario, diferentes reordenaciones de los sumandos podr´ıan conducir a distintos valores para E[X].

Ejemplo 1: Calcular, si existe, la esperanza de la variable X, siendo P



X = (−1)^j+13^j j



= 2

3^j, j = 1, 2, . . . X

x∈EX

|x|P (X = x) =

+∞

X

j=1

(−1)^j+13^j j

2 3^j =

+∞

X

j=1

2

j = +∞

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Esperanza matem´ atica de una variable aleatoria discreta

Sea X : (Ω, A, P) −→ (R, B, PX) una variable aleatoria discreta con valores en el conjunto E_X. i) Existe la esperanza matem´atica (o simplemente, esperanza) de X si X

x∈EX

|x|P(X = x) < +∞.

ii) En caso de existir la esperanza, que notaremos E[X], se define como E[X] = X

x∈EX

xP(X = x).

Ya que la convergencia absoluta de una serie implica su convergencia, la esperanza de una variable aleatoria, si existe, es siempre finita.

Si E_X es un conjunto finito, la suma que define E[X] consta de un n´umero finito de sumandos y es, por tanto, absolutamente convergente. As´ı, toda variable con un n´umero finito de valores tiene esperanza.

Sin embargo, si E_X es infinito, es preciso imponer la convergencia absoluta ya que, en caso contrario, diferentes reordenaciones de los sumandos podr´ıan conducir a distintos valores para E[X].

Ejemplo 1: Calcular, si existe, la esperanza de la variable X, siendo P



X = (−1)^j+13^j j



= 2

3^j, j = 1, 2, . . . X

x∈EX

|x|P (X = x) =

+∞

X

j=1

(−1)^j+13^j j

2 3^j =

+∞

X

j=1

2

j = +∞

y, por lo tanto, no existe E[X]. 

La esperanza de una variable discreta, si existe, es el valor medio de los valores de la variable ponderados por su probabilidad y, por este motivo, suele denominarse valor medio o media de la variable.

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La esperanza de una variable discreta, si existe, es el valor medio de los valores de la variable ponderados por su probabilidad y, por este motivo, suele denominarse valor medio o media de la variable. No tiene por qu´e coincidir con un valor concreto de la variable pero, al ser una media ponderada, siempre estar´a comprendida dentro del rango de valores.

La esperanza de una variable discreta, si existe, es el valor medio de los valores de la variable ponderados por su probabilidad y, por este motivo, suele denominarse valor medio o media de la variable. No tiene por qu´e coincidir con un valor concreto de la variable pero, al ser una media ponderada, siempre estar´a comprendida dentro del rango de valores.

Ejemplo 2: Calcular la media del n´umero de bolas blancas obtenidas cuando se extraen simult´aneamente dos bolas de una urna que contiene 5 blancas y tres negras, todas distinguibles.

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La esperanza de una variable discreta, si existe, es el valor medio de los valores de la variable ponderados por su probabilidad y, por este motivo, suele denominarse valor medio o media de la variable. No tiene por qu´e coincidir con un valor concreto de la variable pero, al ser una media ponderada, siempre estar´a comprendida dentro del rango de valores.

Ejemplo 2: Calcular la media del n´umero de bolas blancas obtenidas cuando se extraen simult´aneamente dos bolas de una urna que contiene 5 blancas y tres negras, todas distinguibles.

Si denotamos X a la variable que define el n´umero de bolas blancas obtenidas al extraer las dos bolas, su funci´on masa de probabilidad es (ver ejemplo 1 de variable aleatoria discreta)

P (X = 0) = 6

56, P (X = 1) = 30

56, P (X = 2) = 20 56·

La esperanza de una variable discreta, si existe, es el valor medio de los valores de la variable ponderados por su probabilidad y, por este motivo, suele denominarse valor medio o media de la variable. No tiene por qu´e coincidir con un valor concreto de la variable pero, al ser una media ponderada, siempre estar´a comprendida dentro del rango de valores.

Ejemplo 2: Calcular la media del n´umero de bolas blancas obtenidas cuando se extraen simult´aneamente dos bolas de una urna que contiene 5 blancas y tres negras, todas distinguibles.

Si denotamos X a la variable que define el n´umero de bolas blancas obtenidas al extraer las dos bolas, su funci´on masa de probabilidad es (ver ejemplo 1 de variable aleatoria discreta)

P (X = 0) = 6

56, P (X = 1) = 30

56, P (X = 2) = 20 56· Ya que esta variable s´olo toma tres valores, existe su esperanza y vale

E[X] =

 0 × 6

56

 +

 1 ×30

56

 +

 2 ×20

56



= 1.25.

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La esperanza de una variable discreta, si existe, es el valor medio de los valores de la variable ponderados por su probabilidad y, por este motivo, suele denominarse valor medio o media de la variable. No tiene por qu´e coincidir con un valor concreto de la variable pero, al ser una media ponderada, siempre estar´a comprendida dentro del rango de valores.

Ejemplo 2: Calcular la media del n´umero de bolas blancas obtenidas cuando se extraen simult´aneamente dos bolas de una urna que contiene 5 blancas y tres negras, todas distinguibles.

Si denotamos X a la variable que define el n´umero de bolas blancas obtenidas al extraer las dos bolas, su funci´on masa de probabilidad es (ver ejemplo 1 de variable aleatoria discreta)

P (X = 0) = 6

56, P (X = 1) = 30

56, P (X = 2) = 20 56· Ya que esta variable s´olo toma tres valores, existe su esperanza y vale

E[X] =

 0 × 6

56

 +

 1 ×30

56

 +

 2 ×20

56



= 1.25.

As´ı, el n´umero medio de bolas blancas extra´ıdas es 1.25, valor comprendido en el rango de valores de X (el intervalo

[0, 2]), que resulta al ponderar cada valor de X por su probabilidad. 

La esperanza de una variable discreta, si existe, es el valor medio de los valores de la variable ponderados por su probabilidad y, por este motivo, suele denominarse valor medio o media de la variable. No tiene por qu´e coincidir con un valor concreto de la variable pero, al ser una media ponderada, siempre estar´a comprendida dentro del rango de valores.

Ejemplo 2: Calcular la media del n´umero de bolas blancas obtenidas cuando se extraen simult´aneamente dos bolas de una urna que contiene 5 blancas y tres negras, todas distinguibles.

Si denotamos X a la variable que define el n´umero de bolas blancas obtenidas al extraer las dos bolas, su funci´on masa de probabilidad es (ver ejemplo 1 de variable aleatoria discreta)

P (X = 0) = 6

56, P (X = 1) = 30

56, P (X = 2) = 20 56· Ya que esta variable s´olo toma tres valores, existe su esperanza y vale

E[X] =

 0 × 6

56

 +

 1 ×30

56

 +

 2 ×20

56



= 1.25.

As´ı, el n´umero medio de bolas blancas extra´ıdas es 1.25, valor comprendido en el rango de valores de X (el intervalo

[0, 2]), que resulta al ponderar cada valor de X por su probabilidad. 

Ejemplo 3: Calcular el n´umero medio de lanzamientos independientes de un dado hasta salir un 4 o un 6.

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La esperanza de una variable discreta, si existe, es el valor medio de los valores de la variable ponderados por su probabilidad y, por este motivo, suele denominarse valor medio o media de la variable. No tiene por qu´e coincidir con un valor concreto de la variable pero, al ser una media ponderada, siempre estar´a comprendida dentro del rango de valores.

Ejemplo 2: Calcular la media del n´umero de bolas blancas obtenidas cuando se extraen simult´aneamente dos bolas de una urna que contiene 5 blancas y tres negras, todas distinguibles.

Si denotamos X a la variable que define el n´umero de bolas blancas obtenidas al extraer las dos bolas, su funci´on masa de probabilidad es (ver ejemplo 1 de variable aleatoria discreta)

P (X = 0) = 6

56, P (X = 1) = 30

56, P (X = 2) = 20 56· Ya que esta variable s´olo toma tres valores, existe su esperanza y vale

E[X] =

 0 × 6

56

 +

 1 ×30

56

 +

 2 ×20

56



= 1.25.

As´ı, el n´umero medio de bolas blancas extra´ıdas es 1.25, valor comprendido en el rango de valores de X (el intervalo

[0, 2]), que resulta al ponderar cada valor de X por su probabilidad. 

Ejemplo 3: Calcular el n´umero medio de lanzamientos independientes de un dado hasta salir un 4 o un 6.

La funci´on masa de probabilidad de la variable X, que describe el n´umero de lanzamientos necesarios hasta que sale un 4 o un 6, est´a dada por (ver ejemplo 2 de variable aleatoria discreta)

P (X = n) = 2ⁿ⁻¹

3ⁿ , ∀n ∈ N,

y ya que todos sus valores son positivos, la convergencia absoluta de la serie que define su esperanza equivale a la convergencia;

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y ya que todos sus valores son positivos, la convergencia absoluta de la serie que define su esperanza equivale a la convergencia; as´ı,

∃E[X] ⇔

+∞

X

n=1

n2ⁿ⁻¹ 3ⁿ = 1

3

+∞

X

n=1

n 2 3

n−1

< +∞.

y ya que todos sus valores son positivos, la convergencia absoluta de la serie que define su esperanza equivale a la convergencia; as´ı,

∃E[X] ⇔

+∞

X

n=1

n2ⁿ⁻¹ 3ⁿ = 1

3

+∞

X

n=1

n 2 3

n−1

< +∞.

Notemos que

+∞

X

n=0

xⁿ= 1

1 − x, ∀x / |x| < 1,

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y ya que todos sus valores son positivos, la convergencia absoluta de la serie que define su esperanza equivale a la convergencia; as´ı,

∃E[X] ⇔

+∞

X

n=1

n2ⁿ⁻¹ 3ⁿ = 1

3

+∞

X

n=1

n 2 3

n−1

< +∞.

Notemos que

+∞

X

n=0

xⁿ= 1

1 − x, ∀x / |x| < 1,

y ya que toda serie de potencias es derivable t´ermino a t´ermino en el interior de su intervalo de convergencia, se tiene

+∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹ = 1

(1 − x)², ∀x / |x| < 1.

y ya que todos sus valores son positivos, la convergencia absoluta de la serie que define su esperanza equivale a la convergencia; as´ı,

∃E[X] ⇔

+∞

X

n=1

n2ⁿ⁻¹ 3ⁿ = 1

3

+∞

X

n=1

n 2 3

n−1

< +∞.

Notemos que

+∞

X

n=0

xⁿ= 1

1 − x, ∀x / |x| < 1,

y ya que toda serie de potencias es derivable t´ermino a t´ermino en el interior de su intervalo de convergencia, se tiene

+∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹ = 1

(1 − x)², ∀x / |x| < 1.

Aplicando este resultado a x = 2

3 deducimos la existencia de E[X] y su valor, E[X] = 3.