Circuitos electricos inductivos y capacitivos : unidad 1

Circuitos electricos inductivos y capacitivos : unidad 1

Item Type info:eu-repo/semantics/learningObject Authors Mesones Málaga, Gustavo

Publisher Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas - UPC

Rights Copyright © 2005 por Mesones Málaga, Gustavo, Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas - UPC

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Capítulo 4

Elementos de Almacenamiento de Energía

Básicamente nuestro estudio está centrado en el uso de los condensadores y bobinas, las leyes que rigen a estos dispositivos y realizaremos las gráficas típicas de voltajes, corrientes, potencia y de energía. Así mismo analizaremos configuraciones básicas entre estos dispositivos: serie y paralelo.

4.1 El Capacitor (Condensador) Es un elemento de dos terminales que consta de dos placas conductoras separadas por un material no conductor (dieléctrico).

La carga eléctrica se almacena en las placas

El símbolo del capacitor es:

El espacio entre las placas se llena de un material dieléctrico

El valor de la capacidad C = ε A / d (Unidad: Faradio) [Coulomb/Voltio]

donde:

ε = constante dieléctrica d = espacio libre entre placas A = área de la placa

+ V -

+ V - + +

+ + + +

+ + - --

- - - - - - - -

i d

fuente

+ - C

La constante dieléctrica o permisividad es una propiedad que determina la energía almacenada por unidad de volumen por unidad de diferencia de voltaje a través de un capacitor.

La energía para mover la carga q de la placa (-) a la placa (+) la provee el voltaje de la batería v.

El capacitor se ha cargado al voltaje v que será proporcional a la carga q.

La Capacitancia es una medida de la propiedad de un dispositivo para almacenar energía en la forma de cargas separadas o en la forma de campo eléctrico.

Sabemos que i = dq/dt

Luego tenemos que dq/dt = C dv/dt = i

El voltaje de un capacitor no puede cambiar instantáneamente.

Análogamente, el voltaje en el capacitor:

y dicho voltaje no puede cambiar instantáneamente, es decir no puede haber una discontinuidad.

Como indicamos anteriormente, la unidad de la capacitancia es el Faradio y las unidades típicas usadas en Electricidad y Electrónica son:

µF (10^-6F), nF (10^-9F), pF (10^-12F), mF (10^-3F) (opcional)

Ejemplo 4.1 Ej. Halle el voltaje V si:

La forma de onda de la corriente i es

v C q = *

dt C dv i =

∫ ⁺

=

C o

t V idt

V ( )

F

C 2

=1 y V(t_o)= V(0)=0

Solución. Para hallar el voltaje en el condensador, es necesario parametrizar la función corriente i(t), es decir definir una función de corriente en este caso por tramos de tiempo

Función i(t) parametrizada:

Aplicamos el concepto:

Note que la constante K es una valor que es fácil de determinar de acuerdo al criterio que el voltaje en el condensador no puede variar bruscamente. Se evalúa el valor de K a partir del tramo 2

Graficando:

1 2 3

0 t(s)

i(t) 1A

0 1 0 t

2 2 1

1 0

0

>

≤

<

≤

<

≤

t t

t t

= ) (t i

 

 

= ∫

c

i t dt

t C V

0

) 1 (

) (

K t t V

) 1 ( 2

) 0 (

2

−

2 2 1

1 0

0

>

≤

<

≤

<

≤

t t

t t

= ) (t

V

2

3

El valor de la constante K vale a la consideración de continuidad por el tramo 2 es de 3V.

Ejemplo 4.2 Si i(0)=0 para t<0 e i(t) = 2 + 2cos5t para t≥0 V(0) = 1/5 V en el condensador C = 5F

Halle V(t)

Donde V(t ) está dado por:

1 2 3

0 t(s)

V(t)

3V

1

2

3

i(t)

V(t)

+ -

t(seg) i(A)

o

t

t V

t C

V ^{( )} = ¹ ∫

^{( 2} + ^{2 cos 5 )} +

En t = 0

Luego V(t) estará dado por:

Graficando adicionalmente la gráfica de v(t):

4.1.1. Almacenamiento de energía en un capacitor Está dado por la siguiente expresión:

como q = Cv

V

t t

V  +



 

  +

=

= sen 5

5 2 2 5 1 5 ) 1 0

( 5

= 1 V

25 5 sen 2 5 2 5 ) 1

( t t

t

V = + + ∀t ≥ 0

t(seg) V(t)

∫

=

C

t vidt

W ( )

Como

dt C dv i =

dt dt C dv v t

W

^{( ) =} ∫

^{( )}

∫

^vdv

) 2 (

v

C t W

=

) (

) (

−∞

v t

v

( )

2

1

t

= Cv

luego:

Ejemplo 4.3 . Dado el voltaje a través de un condensador de 5mF varía según como se muestra en la figura. Determine la forma de onda de la corriente, potencia y energía en el condensador.

Solución . Para encontrar las formas de ondas pedidas, debemos de parametrizar la forma de onda de voltaje en el condensador.

Una vez establecido la función corriente parametrizada, procedemos a graficar.

 

 

 =



 



= 

C t q C

t C q t

W

( )

2 1 )

( 2

) 1 (

2 2

Joule

2 4 6

0 t(s)

Vc(t)

100

50

1 3 5

50 50 200 50 0

t t

−

3 3 2

2 0

0

>

≤

<

≤

<

≤

t t t t

= ) (t

V dt

C dv t

i ( ) =

Sabemos

0 25 . 0

25 . 0 0

− +

3 3 2

2 0

0

>

≤

<

≤

<

≤

t t t t

= ) (t

i

3

El cálculo de la potencia es como sigue:

El cálculo de la potencia, se hace multiplicando el voltaje por la corriente tramo por tramo y de acuerdo a los resultados parciales se va graficando. Recuerde que la gráfica de la potencia puede tener cambios bruscos puesto que la corriente en el capacitor puede tener también cambios bruscos.

Calculamos ahora la energía:

2 4 6

t(s) i(t)

0.25

0

1 3 5

-0.25

C*tgθ=100/2 * 5mF = 0.25A

C*tgθ=-100/2 * 5mF =- 0.25A

1

2

3

0

5 . 12 50

5 . 12 0

t t

+

−

3 3 2

2 0

0

>

≤

<

≤

<

≤

t t t t

= ) (t P

2 4 6

t(s) p(t) W

25

0

1

3

5 -25

) (

* ) ( )

( t v t i t

p =

-12.5

K

t t

t

2 2

25 . 6 50 25 . 6 0

+

−

3 3 2

2 0

0

>

≤

<

≤

<

≤

t t t t

=

)

(t

w

Se puede calcular la energía de dos maneras:

O bien: ²

2 ) 1

(t CV

W = Deben de dar los mismos resultados matemáticos y gráficos

4.1.2 Asociación de condensadores Serie

Por la LKV asumiendo las C.I. (condiciones iniciales) nulas:

Voltaje de fuente es igual a la suma de los voltajes en los capacitores C1, C2 y C3

2 4 6

t(s) w(t) J

25

12.5

1 3 5

0

∫

=

p t dt t

w ( ) ( )

6.25

+

V

- i

C1 C2 C3

V2 V3

V1

+

V

- i

C eq

3 2

1

V V

V

V = + +

∫

∫

∫

∫ ^{idt =} _C ^{idt +} _C ^{idt +} _C ^idt

C

1 1

1

1

Reemplazamos el valor de cada voltaje en función de la capacidad y la corriente y como los capacitores están en serie, entonces la corriente i es el mismo y se pueden eliminar todas las integrales quedando finalmente:

La expresión final indica que la inversa de la capacidad equivalente es la suma de las inversas de todas las capacidades que se encuentren en serie, según la disposición circuital.

En general:

Paralelo

Por la LKC :

La corriente de la fuente es igual a la suma de las corrientes que circulan por cada capacitor

Reemplazando la corriente en función de la capacidad y el voltaje resulta la expresión mostrada

3 2 1

1 1 1 1

C C C

C

= + +

∑

=

n n

eq

C

C

1 1

+ V

- i

C1 C2 C3

+ V -

i

i1 i2 i3

C

3 2

1

i i

i

i = + +

dt C dv dt

C dv dt

C dv dt

C

dv =

+

+

Finalmente, como los voltajes son los mismos por estar los elementos en paralelo, se eliminan las derivadas quedando finalmente:

La Ceq se calcula sumando todos los capacitores que se encuentren en serie, puesto que la corriente es común a todos ellos.

En general:

4.2 El Inductor (Bobina) Es un elemento de dos terminales que consta de un embobinado de N vueltas para introducir una inductancia en un circuito eléctrico.

El símbolo de la inductancia es

3 2

1

C C

C

C

= + +

∑

=

n n

eq

C

C

1

if i

fuente + V -

L

El voltaje a través de la bobina es proporcional a la rapidez de cambio de la corriente que circula en el inductor.

El valor de la bobina está dado por:

donde

N = Número de vueltas A = Área transversal en m²

l = longitud en m d = diámetro en m

µo = permeabilidad en espacio libre = 4π 10^-7 H/m

Un inductor ideal es una bobina sin resistencia. Una corriente que varía con el tiempo produce un voltaje autoinducido. Es imposible un cambio brusco (o instantáneo) de la corriente puesto que sería necesario un voltaje infinito.

Según la Ley de Faraday:

pero

Nφ = Li, luego Ndφ = Ldi

dt L di V

=

N vueltas

i

+ V -

d l

A L

N

45 . 0

2

= µ +

dt

N d

V

₌ φ

Entonces:

La inductancia es la medida de la capacidad de un dispositivo de almacenar energía en forma de campo magnético

El cálculo de la corriente se evalúa a partir de la operación inversa de integral definida con condición inicial.

Ejemplo 4.4 . Halle el voltaje en la bobina si L = 0.1H

Solución.

Procedemos a calcular VL a partir de la definición

dt L di V

=

∫ ⁺

=

t

t

t

i L vdt

i

0

) 1 (

t Si.

te

i = 20

^{i ( 0 ) = 0}

t(seg) i(A)

Una vez obtenido la VL, graficaremos la función

Podemos adicionalmente evaluar los máximos y mínimos de esta función resultante.

Valor máximo de VL es 2.0V y el mínimo es -0.2707V

4.2.1. Almacenamiento de energía en un inductor Sabemos que la potencia P = v.i

La energía WL es:

( ²⁰ ) ² [ ^{( 2 )} ]

1 .

0

2

− +

 =



 



= 

=

L

e te

dt te d

dt L di V

) 2 1 ( 2 e

t V

=

−

t(seg) VL(V)

dt i L di t

p 



 



=  ) (

∫ ^{t t}

^pdt

^{L ∫}

^idi

Evaluando la integral tenemos la siguiente expresión:

con condiciones iniciales nulas.

Ejemplo 4.5. Hallar la potencia y la energía en la bobina de 0.1H cuando la corriente y el voltaje son como aparecen en la figura.

Solución. Para encontrar las formas de ondas pedidas, debemos parametrizar la forma de onda de corriente y voltaje en la bobina.

Conocido la corriente y la tensión, entonces la potencia y la energía tendrán la siguiente función parametrizada:

2 )

2

( t i

= L

) (

) (

t

i t

2 i

) ( t L i

W

=

1 2 3

0 t(s)

V(t)

2

1

1 2 3

0

t(s) i(t)

20

10

20 20 0

t

1 1 0

0

>

≤

<

≤

t t

=

) (t i

0 2 0

1 1 0

0

>

≤

<

≤

t t

=

) (t V

0 40 0

t

1 1 0

0

>

≤

<

≤

t t

=

) (t p

p(t) W 20

10

La energía:

4.2.2 Asociación de bobinas Serie

Por la LKV asumiendo las C.I. (condiciones iniciales) nulas:

El voltaje de fuente V es igual a la suma de los voltajes en cada bobina

Expresando el valor del voltaje en función de L y de la corriente, y al ser un circuito serie las derivadas son iguales, por tanto se pueden simplificar quedando

finalmente la expresión de la Leq:

∫

= pdt w

20 40 0

2

= K

t

1 1 0

0

>

≤

<

≤ t

t

=

) (t w

1 2 3

0 t(s)

w(t) J

2

10

+ V

-

L1 L2 L3

V2 V3

V1

+ V

-

i

L

3 2

1

V V

V

V = + +

dt L di dt L di dt L di dt

L

di =

+

+

3 2

1

L L

L

L

= + +

En general:

Paralelo

Por la LKC asumiendo las C.I. (condiciones iniciales) no nulas:

La corriente de la fuente es igual a la suma de las corrientes que circulan por cada bobina

pero

además

∑

=

n n

eq

L

L

1

+ V

-

i

L1 L2 L3

+ V -

i

i1 i2 i3

L

3 2

1

i i

i

i = + +

∫ ⁺

= 1 ( 0 )

1 1

1

vdt i

i L

∫ ⁺

= 1 ( 0 )

2 2

2

vdt i

i L

∫ ⁺

= 1 ( 0 )

i L vdt

i

eq

∫ ⁺

= 1 ( 0 )

3 3

3

vdt i

i L

La inversa de la Leq es igual a la suma de las inversas de las L que se encuentran en paralelo.

En general:

4.3 Condiciones Iniciales de circuitos con interruptor

Cuando se analizan circuitos con bobinas y condensadores debemos tener en cuenta el comportamiento físico de cada elementos de almacenamiento de energía

Una inductancia se comporta como:

- c.a. (interruptor abierto) en DC t = 0^- (*)

- c.c. (interruptor cerrado) en DC t = 0⁺ o mejor dicho cuando t
∞ (*) Siempre y cuando no haya existido corriente en t = 0^-.

Cuando en una inductancia en condiciones de tiempo estable en t = 0^-, tiene un valor de corriente fijo (DC) y luego existe un cambio de condiciones de energía en el circuito (cambio en las fuentes de voltaje o corriente) la bobina tendrá un nuevo valor de corriente en tiempo estable, es decir cuando pase un lapso prudente para que se estabilice en su nuevo valor final de corriente.

Una capacitancia se comporta como:

- c.c. (interruptor abierto) en DC t = 0^- (**)

- c.a. (interruptor cerrado) en DC t = 0⁺ o mejor dicho cuando t
∞ (**) Siempre y cuando no haya existido corriente en t = 0^-.

Cuando en una capacitancia en condiciones de tiempo estable en t = 0^-, tiene un valor de voltaje fijo (DC) y luego existe un cambio de condiciones de energía en el circuito (cambio en las fuentes de voltaje o corriente) el condensador tendrá un nuevo valor de voltaje en tiempo estable, es decir cuando pase un lapso prudente para que se estabilice en su nuevo valor final de voltaje.

3 2

1

1 1

1 1

L L

L

L

= + +

∑

=

n n

eq

L

L

1

1

4.4 Resumen

Variable Bobinas Condensadores -Convención de signo

-Voltaje (V)

-Corriente (A)

-Potencia (W)

-Energía (J)

Es muy importante conceptuar el comportamiento de los elementos de almacenamiento de energía de acuerdo a esta tabla práctica:

Variable L C

-No se admite un cambio

instantáneo para el elemento en uso- Corriente Voltaje -Sí admitirá un cambio

instantáneo para el elemento en uso- Voltaje Corriente

L C

+ V -

+ V -

dt L di

v = ^{v =} _C ¹ ∫

^{idt + v ( 0 )}

dt C dv i =

∫ ⁺

=

t

o

i L vdt

i 1 ( 0 )

dt Li di p =

2

2 1 Li W

=

dt Cv dv p =

2

2

1 Cv

W

=

Ejemplo 4.6. Halle

Condiciones

iniciales:

Solución. Debemos de tener en cuenta que:

Además que

Sabemos que:

dt di dt

V dV

i

( 0 )

) , 0 ), (

0 ( ), 0

(

+ -

2

10 1/2F

+ -

Vc 1H

2A 1

iL

2 ) 0 (

0 ) 0 (

−

=

=

−

− C L

V i

dt dv dt

dV ( 0

) =

= 0+

t

2 ) 0 ( ) 0 (

0 ) 0 ( ) 0 (

−

=

=

=

=

− +

− +

C C

L L

V V

i i

dt Ldi V

dt C dV i

L L C C

=

=

L V dt

di

C i dt

dV

L L

C C

) 0 ( ) 0 (

) 0 ( ) 0 (

+ +

+ +

=

=

Aplicando la LKV en t =0⁺

Luego:

Aplicando la LKC en t =0⁺

Luego:

En t = 0

+ -

2

10 1/2F

+

-

Vc 1H

1

i

) 0 ( ) 0 ( ) 0 (

0 1

+ +

+

= −

= +

−

L C

L

L C L

i V

V

i V V

V V

( 0

) = − 2 − 0 = − 2

s L A

V dt

di

) 2 0 ( )

0

(

=

= −

A V i

i

0 6

2 ) 2 ( ) 10

0 2 (

) 0 ( ) 10

0

(

= −

−

= − − − =

s C V

i dt

dV

2 12 1

6 ) 0 ( ) 0

(

=

= =