CAI Sesion 14 - Diseño de columnas

(1)

Diseñar una columna de sección rectangular sometida a las siguientes cargas. Pu = 100 tonf, Mux=22.5 tonf-m y Muy=15.5 tonf-m. Considerar concreto f'c=280kgf/cm2 y acero de fy=4200kgf/cm2

Utilizar el método de Bresler.

1. Datos:

≔

P

_u

100 tonnef M

_ux

≔ 22.5 tonnef m ⋅ M

_uy

≔ 15.5 tonnef m ⋅

≔

f'

_c

280 ―― kgf

cm

²

f

_y

≔ 4200 ―― kgf cm

²

2. Dimensionamiento

La columna se predimensionará considerando una cuantía dentro del intervalo minimo y maximo

≤

%

1 ρ 6 %

—> se adopta

ρ ≔ 2 %

El area bruta de concreto de la columna debe ser:

A

_g

≥ ―――――― P

_u

0.45 ⎛⎝ + ⋅ f'

_c

f

_y

⋅ ρ⎞⎠

≔

A

_g

―――――― P

_u

=

0.45 ⎛⎝ + ⋅ f'

_c

f

_y

⋅ ρ⎞⎠ 610.501 cm

²

La relación anterior da buenos resultados cuando es utilizada en columnas sometidas a flexión en una dirección. En este caso, la columna resiste momentos considerables en dos direcciones (X y Y). Por ello, las dimensiones de la columna se tomarán mayores que las estimadas.

Se prueba una sección de:

b 30 ≔ cm h 40 ≔ cm

El diseño por el método de Bresler consiste en determinar el refuerzo de la columna en las dos direcciones independientemente y finalmente verificar que la carga axial que puede resistir la columna sometida a flexión biaxial sea mayor que la aplicada.

Dirección x-x:

Sección:

b 30 ≔ cm h 40 ≔ cm γ ≔ ―――― h - 2 6 ⋅ cm =

h 0.7 ϕ 0.65 ≔

≔

K

_n

―――― P

_u

=

⋅

ϕ f'

_c

b h 0.458

≔

R

_n

―――― M

_ux

=

⋅

ϕ f'

_c

b h

²

0.258

Del diagrama de interacción (DI) C-22, se obtiene que la cuantía de refuerzo en la sección analizada es

ρ ≔ 3.5 %

, lo que equivale a un área de acero de

A

_s

≔ ρ b h 42 ⋅ ⋅ = cm

². Esta puede ser provista por 4 varillas #6 y 6 varillas #8. La sección es muy pequeña para esta cantidad de refuerzo, por lo que se incrementará la sección a:

Sección:

b 35 ≔ cm h 45 ≔ cm γ ≔ ―――― h - 2 6 ⋅ cm =

h 0.733 ϕ 0.65 ≔

≔

K

_n

―――― P

_u

=

⋅

ϕ f'

_c

b h 0.349

≔

R

_n

―――― M

_ux

=

⋅

ϕ f'

_c

b h

²

0.174

Del DI C-22, se obtiene que la cuantía de refuerzo en la sección analizada es

ρ ≔ 1.3 %

, equivalente a un área de acero

A

_s

≔ ρ b h 20.475 ⋅ ⋅ = cm

². Los cuales pueden ser provistos por 4 varillas #8 Mtro. Ing. Marco Muñiz P.

(2)

DISEÑO DE COLUMNAS

Del DI C-22, se obtiene que la cuantía de refuerzo en la sección analizada es

ρ ≔ 1.3 %

, equivalente a un área de acero

A

_s

≔ ρ b h 20.475 ⋅ ⋅ = cm

². Los cuales pueden ser provistos por 4 varillas #8

Dirección y-y:

Sección:

b 45 ≔ cm h 35 ≔ cm γ ≔ ―――― h - 2 6 ⋅ cm =

h 0.657 ϕ 0.65 ≔

≔

K

_n

―――― P

_u

=

⋅

ϕ f'

_c

b h 0.349

≔

R

_n

―――― M

_uy

=

⋅

ϕ f'

_c

b h

²

0.154

Del C-22, se obtiene

ρ ≔ 1.0 %

, que equivale a

A

_s

≔ ρ b h 15.75 ⋅ ⋅ = cm

²que puede ser provisto por 2 #8 + 2 #6. Este refuerzo es adicional al calculado para la dirección X-X

El paso final del método consiste en estimar la resistencia de la columna a la compresión axial y verificar que ésta sea superior a la carga aplicada.

La cuantía total de la columna, considerando el refuerzo requerido en la dirección x-x e y-y es:

≔

A

_s

(( 6 5.1 ⋅ + 2 2.85)) ⋅ ⋅ cm

²

= 36.3 cm

²

≔

ρ ―― A

_s

=

⋅

b h 0.023

Para aplicar la ecuación (10-35) es necesario determinar la resistencia a la compresión axial de la columna si ésta se encuentra sometida únicamente a flexión en una dirección. Haciendo uso de los diagramas de interacción correspondientes, se obtiene los siguientes resultados:

Dirección x-x:

Sección:

b 35 ≔ cm h 45 ≔ cm γ ≔ ―――― h - 2 6 ⋅ cm =

h 0.733 ϕ 0.65 ≔

≔

R

_n

―――― M

_ux

=

⋅

ϕ f'

_c

b h

²

0.174

Mtro. Ing. Marco Muñiz P.

(3)

≔

R

_n

―――― M

_ux

=

⋅

ϕ f'

_c

b h

²

0.174 = ρ 0.023

Del C-6, se obtiene

K

_n

≔ 0.48

como:

K

_n

＝ ―――― P

_u

⋅

ϕ f'

_c

b h

^—>

P

_ux

≔ K

_n

⋅ ⎛⎝ ϕ f' ⋅

_c

⋅ b h⎞⎠ 137592 ⋅ = kgf

Dirección y-y:

Sección:

b 45 ≔ cm h 35 ≔ cm γ ≔ ―――― h - 2 6 ⋅ cm =

h 0.657 ϕ 0.65 ≔

≔

R

_n

―――― M

_uy

=

⋅

ϕ f'

_c

b h

²

0.154 = ρ 0.023

Del C-6, se obtiene

K

_n

≔ 0.66

como:

K

_n

＝ ―――― P

_u

⋅

ϕ f'

_c

b h

^—>

P

_uy

≔ K

_n

⋅ ⎛⎝ ϕ f' ⋅

_c

⋅ b h⎞⎠ 189189 ⋅ = kgf

resistencia a la compresion de la columna

≔

ϕP

₀

ϕ ⎛⎝ ⋅ 0.85 f' ⋅

_c

⋅ ⎛⎝ b h A ⋅ -

_s

⎞⎠ + f

_y

⋅ A

_s

⎞⎠ 337135.89 = kgf

Resistencia a la compresión de la columna sometida a flexión biaxial

≔

ϕP

_nx

P

_ux

= 137592 kgf ϕP

_ny

≔ P

_uy

= 189189 kgf ϕP

₀

= 337135.89 kgf

―― 1 ＝

ϕP

_i

―― 1 + - ϕP

_nx

―― 1

ϕP

_ny

―― 1

ϕP

₀ ^—>

ϕP

_i

≔ ――――――― 1 = -

+

―― 1

ϕP

_nx

―― 1

ϕP

_ny

―― 1 ϕP

₀

104303.337 kgf

como:

ϕP

_i

= 104303.337 kgf

>

P

_u

= 100000 kgf

—> Ok

Diseñar una columna de sección rectangular sometida a las siguientes cargas. Pu = 160 tonf, Mux=30 tonf-m y Muy=20 tonf-m. Considerar concreto f'c=280kgf/cm2 y acero de fy=4200kgf/cm2

Utilizar el método de Contorno de carga

(4)

DISEÑO DE COLUMNAS

Diseñar una columna de sección rectangular sometida a las siguientes cargas. Pu = 160 tonf, Mux=30 tonf-m y Muy=20 tonf-m. Considerar concreto f'c=280kgf/cm2 y acero de fy=4200kgf/cm2

Utilizar el método de Contorno de carga 1. Datos:

≔

P

_u

160 tonnef M

_ux

≔ 30 tonnef m ⋅ M

_uy

≔ 20 tonnef m ⋅

≔

f'

_c

280 ―― kgf

cm

²

f

_y

≔ 4200 ―― kgf cm

²

2. Dimensionamiento

La columna se predimensionará considerando una cuantía dentro del intervalo minimo y maximo

≤

%

1 ρ 6 %

—> se adopta

ρ ≔ 2 %

El area bruta de concreto de la columna debe ser:

A

_g

≥ ―――――― P

_u

0.45 ⎛⎝ + ⋅ f'

_c

f

_y

⋅ ρ⎞⎠

≔

A

_g

―――――― P

_u

=

0.45 ⎛⎝ + ⋅ f'

_c

f

_y

⋅ ρ⎞⎠ 976.801 cm

²

Si la sección estuviera sometida a flexión uniaxial, se podría considerar una sección de 35x35 cm. o una de 25x40. Sin embargo, en este caso, el cálculo se iniciará con una sección de mayor área 35x50 cm.

El diseño por el método del contorno de carga consiste en estimar un momento equivalente que pretende tomar en cuenta el efecto de los momentos en las dos direcciones. Dependiendo de la relación entre Muy/Mux b/h

Para determinar el momento equivalente es necesario conocer los siguientes parámetros:

Sección:

b 35 ≔ cm h 50 ≔ cm

=

―― M

_uy

M

_ux

0.667 ― b = h 0.7

Como

―― M

_uy

=

M

_ux

0.667

^<

― b =

h 0.7

^—>

M

_ox

＝ M

_ux

+ M

_uy

⋅ ⎛ ⋅

⎜ ⎝ ― h b

⎞ ⎟

⎠

⎛ ⎜

⎝ ―― 1 β - β

⎞ ⎟

⎠

El valor de

β

oscila entre 0.55 y 0.90 pero se le suele tomar igual a 0.65 para iniciar el diseño

≔

β 0.65

^—>

M

_ox

≔ M

_ux

+ M

_uy

⋅ ⎛ ⋅ =

⎜ ⎝ ― h b

⎞ ⎟

⎠

⎛ ⎜

⎝ ―― 1 β - β

⎞ ⎟

⎠ 45384.615 kgf m ⋅

≔

γ ―――― h - 2 6 ⋅ cm =

h 0.76 ϕ 0.65 ≔

≔

K

_n

―――― P

_u

=

⋅

ϕ f'

_c

b h 0.558

≔

R

_n

―――― M

_ox

=

⋅

ϕ f'

_c

b h

²

0.285 ≔ ρ 3.5 %

(5)

ρ ≔ 3.5 %

Como:

ρ ―― ＝ A

_s

⋅

b h

^—>

A

_s

≔ ρ b h 61.25 ⋅ ⋅ = cm

²

≔

cm2 cm

²

qm ≔ ―― kgf

m ≔

d

_b

A

_sb

q

_sb

⎡ ⎢

⎢ ⎢⎣

⎤ ⎥

⎥ ⎥⎦

Rebar: 8 (1) A

_sb

= 5.1 cm

²

=

d

_b

2.54 cm

≔

nbs trunc ⎛ =

⎜ ⎝ ―― A

_s

A

_sb

⎞ ⎟

⎠ 12

^—>

A

_sp

≔ nbs A ⋅

_sb

= 61.2 cm

²

12#8 no caben paralelamente al lado menor de la columna, por ellos se incrementa la seccion

Sección:

b 40 ≔ cm h 60 ≔ cm

―― M

_uy

=

M

_ux

0.667 ― b = h 0.667

Como

―― M

_uy

=

M

_ux

0.667

=

― b =

h 0.667

—>

M

_ox

＝ M

_ux

+ M

_uy

⋅ ⎛ ⋅

⎜ ⎝ ― h b

⎞ ⎟

⎠

⎛ ⎜

⎝ ―― 1 β - β

⎞ ⎟

⎠

≔

M

_ox

M

_ux

+ M

_uy

⋅ ⎛ ⋅ =

⎜ ⎝ ― h b

⎞ ⎟

⎠

⎛ ⎜

⎝ ―― 1 β - β

⎞ ⎟

⎠ 46153.846 m kgf ⋅

≔

γ ―――― h - 2 6 ⋅ cm =

h 0.8 ϕ 0.65 ≔

≔

K

_n

―――― P

_u

=

⋅

ϕ f'

_c

b h 0.366

≔

R

_n

―――― M

_ox

=

⋅

ϕ f'

_c

b h

²

0.176 ρ ≔ 1.15 %

Como:

ρ ―― ＝ A

_s

⋅

b h

^—>

A

_s

≔ ρ b h 27.6 ⋅ ⋅ = cm

²

≔

cm2 cm

²

qm ≔ ―― kgf

m ≔

d

_b

A

_sb

q

_sb

⎡ ⎢

⎢ ⎢⎣

⎤ ⎥

⎥ ⎥⎦

Rebar: 8 (1) A

_sb

= 5.1 cm

²

=

d

_b

2.54 cm

≔

nbs ceil ⎛ =

⎜ ⎝ ―― A

_s

A

_sb

⎞ ⎟

⎠ 6

—> (6#8)

A

_sp

≔ nbs A ⋅

_sb

= 30.6 cm

²

(6#8) Mtro. Ing. Marco Muñiz P.

(6)

DISEÑO DE COLUMNAS

(6#8)

En la dirección y-y son necesarias :

≔

A

_s2

A

_s

⋅ ⎛ =

⎜ ⎝ ― h b

⎞ ⎟

⎠ 41.4 cm

² —> (6#8 + 4#6)

(( 6 5.1 ⋅ + 4 2.84))

^—>

⋅ ⋅ cm

²

= 41.96 cm

²

(6#8 + 4#6)

Por lo tanto, el refuerzo longitudinal de la columna sera:

≔

A

_s

(( 8 5.1 ⋅ + 4 2.84)) ⋅ ⋅ cm

²

= 52.16 cm

²

≔

ρ ―― A

_s

=

⋅

b h 0.022

Considerando la carga axial que resiste la columna y la cuantía provista es posible determinar la resistencia a la flexión de la pieza si está sometida únicamente a flexión uniaxial.

Resistencia a la fexión en x-x

b 40 ≔ cm h 60 ≔ cm ρ 0.022 =

≔

γ ―――― h - 2 6 ⋅ cm =

h 0.8 ϕ 0.65 ≔

≔

K

_n

―――― P

_u

=

⋅

ϕ f'

_c

b h 0.366

Del diagrama C.7 se obtiene:

R

_n

≔ 0.19

Ademas:

R

_n

＝ ―――― M

_ox

⋅

ϕ f'

_c

b h

² ^—>

M

_ox

≔ R

_n

⋅ ⎛⎝ ϕ f' ⋅

_c

⋅ b h ⋅

²

⎞⎠

≔

M

_ox

R

_n

⋅ ⎛⎝ ϕ f' ⋅

_c

⋅ b h ⋅

²

⎞⎠ 49795.2 = kgf m ⋅

≔

b 60 cm h 40 ≔ cm ρ 0.022 =

Resistencia a la fexión en y-y

(7)

b 60 ≔ cm h 40 ≔ cm ρ 0.022 =

≔

γ ―――― h - 2 6 ⋅ cm =

h 0.7 ϕ 0.65 ≔

≔

K

_n

―――― P

_u

=

⋅

ϕ f'

_c

b h 0.366

R

_n

≔ 0.18

Ademas:

R

_n

＝ ―――― M

_oy

⋅

ϕ f'

_c

b h

² ^—>

M

_oy

≔ R

_n

⋅ ⎛⎝ ϕ f' ⋅

_c

⋅ b h ⋅

²

⎞⎠

≔

M

_oy

R

_n

⋅ ⎛⎝ ϕ f' ⋅

_c

⋅ b h ⋅

²

⎞⎠ 31449.6 = kgf m ⋅

Verificacion de la resistencia de la columna

Determinacion del parametro

β

―― M

_ux

= M

_ox

0.602 ―― M

_uy

= M

_oy

0.636 ≔ β 0.62

≔

α ――― log ((β)) = log ((0.5)) 0.69

=

⎛ +

⎜ ⎝ ―― M

_ux

M

_ox

⎞ ⎟

⎠

α

⎛

⎜ ⎝ ―― M

_uy

M

_oy

⎞ ⎟

⎠

α

1.437

^{> 1.00} —> La columna no resiste, incrementar refuerzo

Reemplazamos las varillas #6 por varillas #8 y adicionamos 2 varillas #8, se tiene:

(14#8)

≔

A

_s

(( ⋅ 14 5.1)) ⋅ cm

²

= 71.4 cm

²

≔

ρ ―― A

_s

=

⋅

b h 0.03

b 40 ≔ cm h 60 ≔ cm ρ 0.03 =

≔

γ ―――― h - 2 6 ⋅ cm =

h 0.8 ϕ 0.65 ≔

≔

K

_n

―――― P

_u

=

⋅

ϕ f'

_c

b h 0.366

(8)

CONCRETO ARMADO I

DISEÑO DE COLUMNAS 2022-1

≔

K

_n

―――― P

_u

=

⋅

ϕ f'

_c

b h 0.366

R

_n

≔ 0.22

Ademas:

R

_n

＝ ―――― M

_ox

⋅

ϕ f'

_c

b h

² ^—>

M

_ox

≔ R

_n

⋅ ⎛⎝ ϕ f' ⋅

_c

⋅ b h ⋅

²

⎞⎠

≔

M

_ox

R

_n

⋅ ⎛⎝ ϕ f' ⋅

_c

⋅ b h ⋅

²

⎞⎠ 57657.6 = kgf m ⋅

b 60 ≔ cm h 40 ≔ cm ρ 0.03 =

≔

γ ―――― h - 2 6 ⋅ cm =

h 0.7 ϕ 0.65 ≔

≔

K

_n

―――― P

_u

=

⋅

ϕ f'

_c

b h 0.366

R

_n

≔ 0.205

Ademas:

R

_n

＝ ―――― M

_oy

⋅

ϕ f'

_c

b h

² ^—>

M

_oy

≔ R

_n

⋅ ⎛⎝ ϕ f' ⋅

_c

⋅ b h ⋅

²

⎞⎠

≔

M

_oy

R

_n

⋅ ⎛⎝ ϕ f' ⋅

_c

⋅ b h ⋅

²

⎞⎠ 35817.6 = kgf m ⋅

β

―― M

_ux

=

M

_ox

0.52 ―― M

_uy

=

M

_oy

0.558 β 0.535 ≔ α ≔ ――― log ((β)) = log ((0.5)) 0.902

=

⎛ +

⎜ ⎝ ―― M

_ux

M

_ox

⎞ ⎟

⎠

α

⎛

⎜ ⎝ ―― M

_uy

M

_oy

⎞ ⎟

⎠

α

1.146

^{> 1.00} —> La columna no resiste, incrementar refuerzo

Adicionamos 2 varillas #8 en los lados menores:

(16#8)

≔

A

_s

(( ⋅ 16 5.1)) ⋅ cm

²

= 81.6 cm

²

≔

ρ ―― A

_s

=

⋅

b h 0.034

b 40 ≔ cm h 60 ≔ cm ρ 0.034 =

≔

γ ―――― h - 2 6 ⋅ cm =

h 0.8 ϕ 0.65 ≔

≔

K

_n

―――― P

_u

=

⋅

ϕ f'

_c

b h 0.366

(9)

≔

K

_n

―――― P

_u

=

⋅

ϕ f'

_c

b h 0.366

R

_n

≔ 0.24

Ademas:

R

_n

＝ ―――― M

_ox

⋅

ϕ f'

_c

b h

² ^—>

M

_ox

≔ R

_n

⋅ ⎛⎝ ϕ f' ⋅

_c

⋅ b h ⋅

²

⎞⎠

≔

M

_ox

R

_n

⋅ ⎛⎝ ϕ f' ⋅

_c

⋅ b h ⋅

²

⎞⎠ 62899.2 = kgf m ⋅

b 60 ≔ cm h 40 ≔ cm ρ 0.034 =

≔

γ ―――― h - 2 6 ⋅ cm =

h 0.7 ϕ 0.65 ≔

≔

K

_n

―――― P

_u

=

⋅

ϕ f'

_c

b h 0.366

R

_n

≔ 0.22

Ademas:

R

_n

＝ ―――― M

_oy

⋅

ϕ f'

_c

b h

² ^—>

M

_oy

≔ R

_n

⋅ ⎛⎝ ϕ f' ⋅

_c

⋅ b h ⋅

²

⎞⎠

≔

M

_oy

R

_n

⋅ ⎛⎝ ϕ f' ⋅

_c

⋅ b h ⋅

²

⎞⎠ 38438.4 = kgf m ⋅

β

―― M

_ux

=

M

_ox

0.477 ―― M

_uy

=

M

_oy

0.52 β 0.50 ≔ α ≔ ――― log ((β)) = log ((0.5)) 1

=

⎛ +

⎜ ⎝ ―― M

_ux

M

_ox

⎞ ⎟

⎠

α

⎛

⎜ ⎝ ―― M

_uy

M

_oy

⎞ ⎟

⎠

α

0.997

^{< 1.00} —> La columna resiste las cargas