Historia de la Geometría

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Historia de la Geometría

Se inicia por la necesidad del hombre de medir terrenos.

Nació en Egipto alrededor de 3000 años a.C. Los egipcios necesitaban tener conocimientos adecuados para construir pirámides, monumentos, etc. Aproximadamente, siete siglos a.C., la Geometría pasó de los egipcios a los griegos, quienes le dieron gran impulso.

2. GEOMETRÍA PLANA

Estudia sólo figuras de dos dimensiones, (largo y ancho), que se pueden representar en un plano, como líneas, ángulos, triángulos, círculos, polígonos, etc.

Ejemplos:

B

La Geometría antigua era sólo ‘‘intuitiva’’, se aceptaban los hechos sin necesidad de probarlos. Tales de Mileto (600 a.C.) introdujo la idea de ‘‘probar’’ los hechos. Esta notable contribución marca el comienzo de la Geometría

‘‘demostrativa’’. Los métodos demostrativos inventados por los griegos encontraron aplicación en la ‘‘Lógica’’, que es el estudio del razonamiento correcto.

línea O α ^ángulo

A

La Geometría elemental actual se conoce como

‘‘Geometría euclídea’’ porque se basa en el importante libro escrito por el sabio Euclides (aprox. 280 a.C.) llamado Elementos, el que se sigue utilizando como texto con muy pocas variaciones. La Geometría elemental se basa en ciertos principios estudiados por el sabio Euclides, sin embargo, en el siglo antepasado se han inventado varios sistemas geométricos distintos a los de Euclides.

triángulo círculo

3. GEOMETRÍA DEL ESPACIO

Estudia las figuras sólidas o de tres dimensiones (largo, ancho y alto) como el cubo, la esfera, el cilindro, el cono, etcétera.

1. DEFINICIÓN

Etimológicamente proviene de dos voces griegas: Geo (tierra) y Metron (medida); por lo tanto significa

“medida de la tierra”.

Es la parte de la Matemática que trata de las propiedades, medidas y relaciones de puntos, líneas, superficies y sólidos. Se suele dividir en Geometría Plana y del Espacio.

Ejemplos:

cubo esfera

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Rayo, Semirrecta y Segmento de Recta

1. RAYO

cilindro cono

Se determina en la línea recta, tomando un punto (como origen) y uno de los sentidos.

4. FIGURA GEOMÉTRICA

Conjunto de puntos que tienen forma, tamaño y posición definidos.

O A

Notación Ejemplos:

5. PLANO

B Forma

(∆ ABC) Tamaño

A C

plano de referencia (posición)

OA, donde el punto de origen es O.

2. SEMIRRECTA

Es uno de los sentidos de la recta.

O A

Notación Es el conjunto de puntos que forman un espacio de dos

dimensiones.

Al plano se le designa con una letra mayúscula.

OA, donde O no es punto de origen.

3. SEGMENTO DE RECTA

P

6. RECTA

La intersección de dos planos es un conjunto de puntos que forman un espacio de una dimensión llamado recta.

Es la porción de la línea recta comprendida entre dos puntos. Sólo en el segmento de recta es posible la medida de longitud.

A B

Notación

A B AB

7. PUNTO

Es la intersección de dos rectas.

m

O n

m ∩ n = {O}

Postulados

1) La línea recta posee dos sentidos.

2) La líne a recta se e x ti en d e indefinidamente en ambos sentidos.

3) Dos puntos determinan una recta.

4) Por un punto pasa una infinidad de rectas.

(3)

Triángulos Pitagóricos

Son aquellos triángulos rectángulos que se caracterizan por tener como longitud para sus catetos e hipotenusa valores enteros. Para formar un triángulo pitagórico se establece la siguiente regla de formación:

Ejemplos:

1 x

Donde:

n²+ 1

2 n

n²- 1 2

7

x²= 1²+ 7² x²= 1 + 49 x = 5 2

n : es un número entero impar (≠ 1)

n : 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... 4 8

n²- 1

n 2

n²+ 1

2 x

3 4 5

5 12 13

7 24 25

9 40 41

11 60 61

. . .

Teorema de Pitagóras

A) Originalmente se enunciaba así:

El cuadrado mayor, construido sobre la hipotenusa, tiene un área exactamente igual a la suma de las áreas de los otros dos cuadrados construidos sobre los catetos.

x²+ 4²= 8² x²= 64 - 16

x = 4 3

Triángulos Notables

A. TRIÁNGULOS NOTABLES EXACTOS

A.1.

k k 2

k 45º

B) Actualmente se enuncia así:

5²= 4²+ 3²

25 = 16 + 9

A.2.

k 60º 2k k 3 30º

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

A

A.3.

B

c b

B a C

h

A 15º C

Se cumple: a²= b²+ c² h = AC

4

(4)

H

B. TRIÁNGULOS NOTABLES APROXIMADOS B.1.

53º

Resolución:

Partiendo de un triángulo equilátero de lado “2a”, trazamos altura BH.

3k 5k B

4k 37º

2a 2a

B.2.

A 60º 60º

a H a C

1k 5 k

53º/2 2k

⇒ AH = HC = a Luego por Pitágoras :

BH²+ a²= (2a)²

⇒ BH = a 3

B.3.

EJERCICIOS RESUELTOS

10 k 1k

1. Calcule la distancia de “B” a AC.

B

B.4.

37º/2 3k

A 45º 37º C

35m

74º

7k 25k

24k 16º

Resolución:

3k

45º 37º

3k 4k

35 Demostración

En todo triángulo rectángulo de 30º y 60º se cumple que :

3k + 4k = 35

⇒ k = 5

∴ 3k = 15

2. Calcule la distancia de A a la bisectriz del ángulo B.

B

B a 3 2a

a 60º

⇒ BH = a 3

C A 30º C

20

(5)

Resolución:

10 B 45º 45º

⇒ 10 45º

x

5. En la figura, BC = CP. Calcule m ACD.

B C

60º

D x

A

∴ x = 5 2

30º C

Resolución:

A 75º P

3. Calcule AC si la distancia de B a AC es 10 m.

B

B 60º 30º

a C

45º 60º x

A 53º/2 37º/2 C

a a a

45º D

75º

Resolución:

75º P

A

B 10

A 53º/2 20 30 37º/2 C x

Unimos BP ⇒ ∆ BPC equilátero Luego ∆ ABP es isósceles : AB = BP

∆ ABC es notable de 45º.

∆ ADC notable de 30º y 60º.

x = 60º

∴ x = 50 m

4. Si ABCD es un cuadrado y CDP es un triángulo equilátero de lado 4 m. Calcule la distancia de C a AP.

B

A Resolución:

4

C

P

D

4

x 4 45º

15º 4

x

60º 4

4 45º

15º

∴ x = 2 2 m

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R esolviendo en clase

1

En la figura, halla AB si la distancia de B a AD mide 3. Calcule AB

C B

3

En la figura, AB = 4, BC = 10 y CD = 2.

Calcule AD.

B C

127º 143º

A

Resolución:

30º D A D

Resolución:

Rpta: Rpta:

2

En un triángulo ABC, m ∠ A = 30º. Sobre AC se ubica un punto “D”, tal que BD = BC = 10 cm.

y calcule DC si AB = 12 cm.

Resolución:

4

En un triángulo PQR, m ∠ R = 37º, sobre PR se ubica un punto “S”, de tal forma que PQ = QS = 6.

y QR = 5 2. Calcule m ∠ PQS.

Resolución:

Rpta: Rpta:

(7)

A

5

Si: ABCD es un rectángulo, AB = 10 y AD = 12, calcule la distancia desde el vértice “A” hasta

6

En la figura, AD = 4. Calcule la proyección de BP sobre BC.

CE.

A

B Resolución:

B C

E D P

A D

60º C

Resolución:

Rpta: Rpta:

A hora en tu cuaderno

7. Calcule ‘x’’.

B 9 3 C

30º

E

9. Calcule la longitud de “x” si PT = 8.

H

θ

A θ

x D 37º T

R P S

x 8. Calcule BD.

B β β

8 45º D

10. Calcule ‘‘n’’.

80

H C 80 n

(8)

a) 6 3 cm b) 12 cm c) 24 cm

d) 12 3 cm

^e) ^{8 cm}

11. Calcule ‘‘x’’.

M x N

12. Calcule ‘‘n’’.

C D

6 4

B 18

Q 45º

S A 30º E

n

P ara reforzar

1. Calcule “x”. 3. En la figura, calcule la distancia desde “B” hasta AC

si BC = 8 cm.

x B

8 2

45º 6

A 28º

C

a) 37 b) 3 3 c) 39

d) 6 e) 4 a) 4 2 cm b) 4 cm c) 3 cm

d) 5 cm e) 3 2 cm

2. Calcule el perímetro del triángulo ABC si AB = BC = 15.

B 106º

4. Calcule AB si: CD = 12 cm.

D C

E

α α

A C α

A B

a) 58 b) 54 c) 45

d) 50 e) 56

(9)

P ara reforzar

5. Calcule AP si: PC = 15.

B P

9. En la figura, AD es bisectriz. y BD = 4.

Calcule CD.

B

23º

A 37º C

D

A 30º C

a) 15 b) 18 c) 16

d) 20 e) 12 3

6. Si ABCD es un cuadrado de perímetro 32 cm, calcule la distancia desde el vértice “A” hasta EC (∆ EAB es equilátero).

B C

E

a) 2 b) 3 c) 4

d) 8 e) 10

10. En la figura, calcule “x”.

a) 80 3 b) 100 3

D c) 400/ 3 x

A d) 250 3 /2

a) 4 2 cm b) 3 2 cm c) 4 cm

d) 3 cm e) 4 3 cm

e) 175

75

7. Calcule “α ” si AB = DC.

C 45º

11. En la figura, calcule la distancia de A hasta BC.

B 12 150º

A C

D

A 30º α B

a) 8 b) 6 c) 4

d) 2 e) 1

a) 15º b) 12º c) 18º

d) 20º e) 23º

12. En la figura, AC = 10. Calcule BH.

8. En la figura, AC = 14. Calcule BC B

B 45º

H

A 30º 15º C A N C

a) 12 2 b) 6 2 c) 10

d) 8 e) 7 2

a) 5 2 b) 3 2 c) 5 2 /2

d) 4 2 e) 5