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(0,c) V x v. Si la parábola corta al eje X en un solo punto, entonces x v coincide con el punto de corte.

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Academic year: 2022

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(1)

- Página 1 -

Funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas son aquellas cuya fórmula viene dada por un polinomio de 2º grado.

Estas funciones se pueden expresar de la forma y = ax2 + bx + c, o sea , f(x) = ax2 + bx + c, siendo a ≠ 0.

Su gráfica es una parábola.

- Si a > 0, la parábola tiene las ramas hacía arriba. Decimos entonces que la función es convexa

V(xv , yv)

e: x = xv

V = vértice e = eje de simetría

El vértice V es un mínimo relativo y absoluto de la función

- Si a < 0, la parábola tiene las ramas hacía abajo. Decimos entonces que la función es cóncava

V(xv , yv)

e: x = xv V = vértice e = eje de simetría

El vértice V es un máximo relativo y absoluto de la función

Para calcular los puntos de corte de la parábola con el eje X, resolvemos la ecuación ax2 + bx + c = 0.

Si la ecuación no tuviese solución, entonces la parábola no corta al eje X

El punto donde corta la parábola al eje Y es (0, c)

El vértice de la parábola, V(xv, yv) , se calcula con las fórmulas:

f( )

v

v v

x = b 2a y = x

-

, f(xv) es la imagen de xv

OBSERVACIÓN IMPORTANTE: para dibujar una parábola es imprescindible representar el vértice y al menos un punto de la parábola a la derecha y otro a la izquierda del vértice

Si la parábola corta al eje X en dos puntos x1 , x2 , entonces xv es el punto medio del intervalo [x1 , x2].

X Y

V

(0,c)

x1 | x2

xv

(2)

- Página 2 -

Si la parábola corta al eje X en un solo punto, entonces xv coincide con el punto de corte.

X Y

V

(0,c)

x|v

Cuando b = 0, la parábola y = ax2 + c , con a ≠ 0, tiene como eje de simetría el eje Y . En este caso, son funciones pares y cumplen que f(–x) = f(x)

Ejemplo:

Cuanto mayor es a, en valor absoluto, más “pegadas” al eje de simetría están las ramas de la parábola

(3)

- Página 3 -

Actividades resueltas 1)Dibuja la gráfica de la función f(x) = 3x2 – 3

Resolución

2

v v

2

b 0

x 0, y f(0) 3.0 3 3 V(0, 3)

2a 2.3

x 1 (1,0) Puntos de corte con el eje X : 0 3x 3

x 1 ( 1,0)

= − = = = = − = − → −

= − → = →

= − −

2)Dibuja la gráfica de la función f(x) 1x2 x 3

=5 − + Resolución

2

v v

2 . 5 2

b 1 5 5 1 5 5 25 5 7 5 7

x , y f( ) 3 3 V( , ). Puntos de corte con el eje X :

2a 2.1 2 2 5 2 2 20 2 4 2 4

5

x 0 5 0 1x x 3 0 x 5x 15 (incompatible) no corta al eje X. Tabla de valores :

y 3 3 5

 

= = = = =    − + = − + =

= − + ⎯⎯→ = +

(4)

- Página 4 -

3) Dibuja la parábola y = x2 – 2x – 3

Resolución

a = 1, b = –2, c = –3. La parábola tiene forma de U porque a = 1 > 0 - Se calcula el vértice V(xv, yv): xv b 2 1

2a 2.1

= − = = , yv = imagen de 1 = 12 – 2.1 – 3 = –3 → V(1, –4) - Se calculan los puntos de corte con los ejes:

* Puntos de corte con el eje X: Como en el eje X, la y = 0  0 = x2 – 2x – 3  x = 3 , x = –1 Luego, la parábola corta al eje X en los puntos (3, 0) y (–1, 0).

* Punto de corte con el eje Y: x = 0, y = 02 – 2.0 – 3 = 3  punto (0, –3)

4) Dibuja la parábola y = 6x – x2

Resolución

Siguiendo los mismos pasos que en el ejercicio anterior, la gráfica que se obtiene es

(5)

- Página 5 -

5)Supongamos que la temperatura de un líquido viene dada por la fórmula f(x) = –0,25x2 + 4x + 9, siendo x el tiempo, en horas y f(x) la temperatura en ºC.

a) Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas y deduce para qué valores del tiempo la temperatura fue de 0 ºC y qué temperatura había en el momento inicial (x = 0)

Resolución

Eje X: f(x) = 0  –0,25x2 + 4x + 9 = 0  x = –2 (no válido), x = 18. El punto de corte es (18, 0) A las 18 h la temperatura fue de 0 ºC

Eje Y: x = 0  f(0) = –0,25.02 + 4.0 + 9 = 9. El punto de corte con el eje Y es (0, 9). En el momento inicial la temperatura era de 9 ºC

b) Calcula el vértice y deduce para qué valor del tiempo se alcanza la máxima temperatura y qué máxima temperatura se alcanza.

Resolución

2 v

Vértice de la parábola : x 4 8 ; f(8) 0,25.8 4.8 9 25 V(8, 25) 2.( 0,25)

= − = = − + + = 

Luego, la temperatura máxima fue del 25 ºC y se produjo a los 8 h

c) Representa gráficamente la función.

Resolución

d) ¿Para qué valores del tiempo la temperatura fue de 24 ºC?

Resolución Usando la gráfica se puede ver que fue a las 6 h y a las 10 h

Usando la fórmula: f(x) = 24  –0,25x2 + 4x + 9 = 24  –0,25x2 + 4x – 15 = 0  x = 6, x = 10.

(6)

- Página 6 -

6) El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por:

f(t) = –t2 + 12t – 31 , 4 ≤ t ≤ 7

a) Representa la gráfica de la función f.

Resolución

2 v

2 2

Vértice : t 12 6 ; f(6) 6 12.6 31 36 72 31 5 V(6, 5)

2.( 1)

f(4) 4 12.4 31 16 48 31 1 punto inicial : (4, 1) f(7) 7 12.7 31 49 84 31 4 punto final : (7, 4)

= = = − + = − + = 

= − + = − + = 

= − + = − + = 

b) ¿Para qué valor de t alcanza la empresa su beneficio máximo y a cuánto asciende?

Resolución

Alcanza el beneficio máximo para t = 6 (a los 6 años) y asciende a 5 millones de euros

c) ¿Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo y cuál es este?

Resolución

Alcanza el beneficio mínimo para t = 4 (a los 4 años) y es de 1 millón de euros

7) Los beneficios mensuales, en euros, de una empresa vienen dados por la fórmula B(x) = –0,01x2 + 10x – 900, siendo x el número de artículos fabricados.

Calcula el vértice de la parábola, los puntos de corte con el eje X e indica el número de artículos que deben fabricarse al mes para que el beneficio sea máximo indicando cuál es el beneficio máximo.

Halla también el número de artículos fabricados para el cual el beneficio es nulo.

Resolución

2 v

Vértice : x 10 500 ; B(500) 0,01.500 10.500 900 1600 V(500, 1600) 2.( 0,01)

= − = = − + − = 

Deben fabricarse 500 artículos con un beneficio máximo de 1 600 €

. 100

2 2

2

Puntos de corte con el eje X : 0 0,01x 10x 900 0 x 1000x 90000 x 100

1000 1000 4.( 1)( 90000) 1000 800

x P(100, 0) ; Q(900, 0)

x 900

2( 1) 2

= − + − ⎯⎯⎯→ = − + −

−  − − − −  =

= = → →

− − =

Para 100 artículos o 900 artículos el beneficio es nulo

(7)

- Página 7 -

8) Para cierto tipo de bengala se ha comprobado que el porcentaje de luminosidad Y, en porcentaje, que produce viene dado en función del tiempo X, en minutos, a través de la función

f(x) = 100x – 25x2. a) Calcula el vértice de la parábola

Resolución

2

v v

Vértice : x 100 2 ; y f(2) 100.2 25.2 100 V(2, 100) 2.( 25)

= − = = = − = 

b) Usando el apartado anterior di cuál es el tanto por ciento de luminosidad máxima y el momento se produjo.

Resolución

Al ser una función cuadrática cóncava el máximo absoluto es el vértice.

Luego, el porcentaje de luminosidad máxima es 100 %, que se produce a los 2 min c) Halla los puntos de corte de la parábola con el eje X

Resolución

2 x 0

Puntos de corte con el eje X : 0 100x 25x 100

x 4

25

=

=

= =

d) Usando el apartado anterior indica al cabo de cuánto tiempo se apaga la bengala.

Resolución La bengala está apagada en el momento inicial y a los 4 min

9) Se conoce que el rendimiento, en %, tras una baja por lesión, de un determinado jugador de fútbol durante los primeros 40 minutos de un partido viene dado por la función f(x) = 6,4x – 0,16x2, siendo 0 ≤ x ≤ 40, donde x es el tiempo, expresado en minutos.

a) Calcula el vértice de la parábola

Resolución

2

v v

b 6, 4

Vértice : x 20 ; y f(20) 6, 4.20 0,16.20 128 64 64 V(20, 64) 2a 2.( 0,16)

− −

= = = = = − = − = 

b) Usando el apartado anterior di cuál es el rendimiento máximo y el minuto en que se produce.

Resolución

Al ser una función cóncava, porque el coeficiente de x2 es negativo, el vértice corresponde al máximo absoluto de la función. Luego, el rendimiento máximo es del 64% y se produce en el minuto 20 c) Halla los puntos de corte de la parábola con el eje X

Resolución

2

x 0 ; punto (0, 0) Puntos de corte con el eje X : 6, 4x 0,16x 0 x(6, 4 0,16x) 0 6, 4

x 40 ; punto (40, 0) 0,16

=

= → = →

= =

d) Usando el apartado anterior indica en qué minutos el rendimiento es nulo.

Resolución

Es nulo en el minuto 0 y en el minuto 40 e) ¿En qué minutos tiene un rendimiento igual a 48%?

Resolución

2 2

x 9,6 30 6, 4 3,2 0,32 f(x) 48 6, 4x 0,16x 48 0,16x 6, 4x 48 0 x

0,32 x 3,2 10 0,32

= =

= = + = → =

= =

Luego, el rendimiento es del 48% en los minutos 10 y 30

(8)

- Página 8 -

10) Durante los treinta días consecutivos del mes de abril de 2020 las acciones de una determinada compañía han tenido unas cotizaciones dadas por la función f(x) = 0,2x2 – 8x + 100,

siendo 0 ≤ x ≤ 30, donde x es el día del mes, f(x) es el valor, en euros, de las acciones ese día.

a) Calcula el vértice de la parábola

Resolución

2

v v

b 8

Vértice : x 20 ; y f(20) 0,2.20 8.20 100 80 160 100 20 V(20, 20) 2a 2.(0,2)

= − = = = = − + = − + = 

b) Usando el apartado anterior di cuál es el valor mínimo de las acciones y el día en que se produce.

Resolución

Al ser una función convexa, porque el coeficiente de x2 es positivo, el vértice corresponde al mínimo absoluto de la función. Luego, el valor mínimo es de 20 € y se produce el día 20 de abril

c) Halla el valor de las acciones en el momento inicial y el día 30 de abril Resolución

El momento inicial es para x = 0, f(0) = 0,2.02 – 8.0 + 100 = 100.

Luego, en el momento inicial las acciones tenían un valor de 100 €

El día 30 del mes es para x = 30, f(30) = 0,2.302 – 8.30 + 100 = 180 – 240 + 100 = 40.

Luego, el día 30 de abril las acciones tenían un valor de 40 €

d) ¿En qué día o días las acciones tenían un valor de 25 €?

Resolución

2 2

x 10 25 8 2 0, 4 f(x) 25 0,2x 8x 100 25 0,2x 8x 75 0 x

0, 4 x 6 15 0, 4

= =

= + = + = → =

= =

Luego, las acciones tenían un valor de 25 € los días 15 y 25 de abril e) Dibuja la gráfica de la función

Resolución

(9)

- Página 9 -

11) Los beneficios que obtiene una empresa, en euros, cuando fabrica x ordenadores vienen dados por la función f(x) = –0,02x2 + 30x

a) Calcula el vértice de la parábola

Resolución

2

v v

b 30

Vértice : x 750 ; y f(750) 0,02.750 30.750 11250 22500 11250 V(750, 11250) 2a 2.( 0,02)

= = = = = − + = − + =

b) Usando el apartado anterior di cuál es el beneficio máximo y el nº de ordenadores que tiene que fabricar la empresa.

Resolución

Al ser una función cóncava, porque el coeficiente de x2 es negativo, el vértice corresponde al máximo absoluto de la función. Luego, el beneficio máximo es de 11250 € y debe fabricar 750 ordenadores

c) Halla los puntos de corte de la parábola con el eje X Resolución

2

x 0 ; punto (0, 0) Puntos de corte con el eje X : 0,02x 30x 0 x( 0,02x 30) 0 x 30 1500 ; punto (1500, 0)

0,02

=

+ = → − + = →

= =

d) Usando el apartado anterior indica cuánto ordenadores fabricados dan beneficio nulo.

Resolución

Es nulo el beneficio para 0 ordenadores y para 1500 ordenadores

e) Dibuja la gráfica de la función

(10)

- Página 10 -

12) Calcula los puntos de corte de las parábolas f(x) = x2 , g(x) = 5x – 6 . Resolución

Para calcular los puntos de corte entre sus gráficas debemos resolver el sistema y x2

y 5x 6

 =



= −

 .

Igualando las expresiones, x2 = 5x – 6 → x2 – 5x + 6 = 0 Resolviendo la ecuación de 2º grado se obtiene x = 2, x = 3

Si x = 2, y = 22 = 4 → Punto P(2, 4) Si x = 3, y = 32 = 9 → Punto Q(3, 9)

13) Dibuja en los mismos ejes las rectas y = 4x , y = 8 – 4x y la parábola y = 2x – x2 y encuentra los puntos de contacto.

Resolución

2 2

v v

2 2 2

2

y 2x x . Vértice : x 2 1 ; y 2.1 1 1 V(1, 1); rectas : y 4x , y 8 4x 2.( 1)

y 2x x

Puntos de corte : 2x x 4x x 2x 0 (soluciones : x 0, x 2) y 4x

x 0 y 4.0 0 P(0, 0) ; x 2 y 4.( 2) 8 Q( 2, 8) y 2x x 2x

y 8 4x

= − = − = = − =  = = −

 = −

 → − = → + = = = −

 =



= → = =  = − → = − = −  − −

 = −

 →

 = −



2 2

x 8 4x x 6x 8 0 (soluciones : x 2, x 4) x 2 y 8 4.2 0 R(2, 0) ; x 4 y 8 4.4 8 Q(4, 8)

y 4x 4x 8 4x 8x 8 (solución : x 1). x 1 y 4.1 4 T(1, 4) y 8 4x

− = − → − + = = =

= → = − =  = → = − = −  −

 =

→ = − → = = = → = = 

 = −

(11)

- Página 11 -

14) Dada la función cuadrática f(x) 1x2 x 3

2 2

= − − a) Halla su vértice y los puntos de corte con los ejes.

Resolución

2

v v

2 . 2 2

2

b 1 1 3

x 1 ; y f(1) 1 1 2 V(1, 2)

2a 2.1 2 2

2

1 3

Puntos de corte con el eje X : 0 x x 0 x 2x 3 x 3 P(3, 0) ; x 1 Q( 1, 0)

2 2

1 3 3 3

Punto de corte con el eje Y : y f(0) 0 0 R(0, )

2 2 2 2

= − = = = = − − = −  −

= − − ⎯⎯⎯→ = − −  = → = − → −

− −

= = − − = 

b) Representa en los mismos ejes de coordenadas la función anterior y la función lineal y 3x 4

= − y halla los puntos de corte de ambas funciones.

Resolución

2 . 4 2 2

1 3 3

x x x 2x 4x 6 3x 2x x 6 0

2 2 4

3 3 3 3 3 3 9 3 9

x 2 y 2 A(2, ) ; x y B( , )

4 2 2 2 4 2 8 2 8

− − = − ⎯⎯⎯→ − − = −  − − =

− − − − − − −

= → = =  = → = = 

15) Sean f(x) = x2 – 2x +3 y g(x) = (1/2)x2 + 1. Dibuja sus gráficas usando los mismos ejes de coordenadas y halla su punto de corte.

Resolución

2

v v

2

v v

2 2 . 2 2 2 2

2

Vértice de f : x 2 1 ; y f(1) 1 2.1 3 2 V(1, 2) 2.1

Vértice de g : x 2.01 0 ; y g(0) (1 / 2).0 1 1 V(0, 1)

2

Punto de corte : x 2x 3 1x 1 2x 4x 6 x 2 x 4x 4 0 2

x 2 y 12 1 3 P(2, 3). Las parábolas se cortan en P 2

= = = = − + = 

= = = = + = 

− + = + ⎯⎯⎯→ − + = +  − + =

= → = + = 

(12)

- Página 12 -

16) Considera las funciones f(x) = 6x – x2 y g(x) = x2 – 2x.

Dibuja sus gráficas usando los mismos ejes de coordenadas y halla sus puntos de corte.

Resolución

2

v v

2

v v

2 2 2

2 2

Vértice de f : x 6 3 ; y f(3) 6.3 3 9 V(3, 9) 2.( 1)

Vértice de g : x 2 1 ; y g(1) 1 2.1 1 V(1, 1) 2.1

Puntos de corte : 6x x x 2x 2x 8x 0 (soluciones : x 0, x 4) x 0 y 0 2.0 0 P(0, 0) ; x 4 y 4 2.4 8 Q(4, 8)

= − = = = − = 

= = = = − = −  −

− = −  − = = =

= → = − =  = → = − = 

(13)

- Página 13 -

17) Sea f: R → R la función definida por f(x) = –x2 + 2x + 3.

Dibuja la gráfica de f y la recta 2x + y – 7 = 0 en los mismos ejes. Después calcula el punto de corte.

Resolución

2

v v

2 2

Vértice de f : x 2 1 ; y f(1) 1 2.1 3 4 V(1, 4); recta : y 2x 7 2.( 1)

Puntos de corte : x 2x 3 2x 7 x 4x 4 0 (solución : x 2) x 2 y 2.2 7 3 P(2, 3). La parábola y la recta sólo se cortan en P

= − = = = − + + =  = − +

− + + = − +  − + − = =

= → = − + = 

18) Sea f: R → R la función definida por

9 x2

f(x) 4

= − . Dibuja la gráfica de f y la recta x + 2y = 5 en los mismos ejes y calcula el punto de corte.

Resolución

2 2

v v

2 . 4 2 2

1 9 0 9 0 9 9 5 x

f(x) 4 x 4. Vértice de f : x 2. 1 0 ; y f(0) 4 4 V(0, 4); recta : y 2 4

9 x 5 x

Puntos de corte : 9 x 10 2x x 2x 1 0 (solución : x 1)

4 2

x 1 y 5 1 2 P(1, 2). La parábola y la recta sólo se cortan en P 2

= + = = = = = =

= ⎯⎯⎯→  − = + = =

= → = = 

(14)

- Página 14 -

19) Considera las siguientes curvas y = x2 , y = 2 – x2, y = 4. Dibújalas en los mismos ejes y calcula los puntos de corte.

Resolución

2 2

v v

2 2

v v

2 2 2 2

2

2 2

2

y x . Vértice : x 0 0 ; y 0 0 V(0, 0) 2.1

y 2 x . Vértice : x 0 0 ; y 2 0 2 V(0, 2); recta : y 4 2.( 1)

y x

Puntos de corte : x 2 x 2x 2 (soluciones : x 1) y 2 x

x 1 y ( 1) 1 P( 1, 1) ; x 1 y 1 1 Q(1, 1) y x

y 4

= = = = = 

= − = = = − =  =

 = = − = = 

= −



= − → = − =  = → = = 

 =

=

2

2 2

2 2 2

x 4(soluciones : x 2)

x 2 y 2 4 R(2, 4) ; x 2 y ( 2) 4 S( 2, 4) y 2 x

2 x 4 x 2 (no tiene solución) y 4

= = 



= → = =  = − → = − = 

 = −

→ − = = −

=



Interpolación y extrapolación cuadrática

Supongamos que una función viene dada en forma de tabla o que sólo conocemos algunos puntos de su gráfica y queremos averiguar puntos que no se encuentren en la tabla o gráfica. En estos casos, se usa la interpolación y extrapolación.

La interpolación consiste en hallar un valor comprendido entre dos datos de la tabla o de la gráfica.

La extrapolación consiste en hallar un valor NO comprendido entre los datos de la tabla o gráfica.

La interpolación o extrapolación es cuadrática si para averiguar los datos desconocidos usamos una parábola

La estimación del dato desconocido por interpolación o extrapolación cuadrática será muy fiable si los puntos se concentran en torno a una parábola y el dato desconocido está muy próximo a alguno de los datos dados.

(15)

- Página 15 -

Actividades resueltas

1)La temperatura de una habitación según las horas transcurridas viene dada por la tabla

a) Halla la función cuadrática que se ajusta a los datos Resolución

2

2 2

2

La gráfica pasa por (2, 15) f(2) 15 15 a.2 b.2 c 4a 2b c 15 f(x) ax bx c La gráfica pasa por (3, 16) f(3) 16 16 a.3 b.3 c 9a 3b c 16 La gráfica pasa por (5, 12) f(5) 12 12 a.5 b.5 c 25a 5b c 12 Resolviendo el

 → = → = + + → + + =

= + +  → = → = + + → + + =

 → = → = + + → + + =



 sistema, a= −1, b 6, z 7. Luego, f(x)= = = − +x2 6x 7+

b) Calcula por interpolación cuadrática la temperatura cuando han transcurrido 4 h.

Resolución

x 4= →f(4)= − +42 6.4 7+ = − +16 24 7 15ºC+ =

2) Sea la función cuadrática f que pasa por los puntos A(–4, –5), B(–2, 3) y C(3, –12) a) Halla su fórmula

Resolución

2

2 2

2

La parábola pasa por A f( 4) 5 a.( 4) b.( 4) c 5 16a 4b c 5 f(x) ax bx c La parábola pasa por B f( 2) 3 a.( 2) b.( 2) c 3 4a 2b c 3

La parábola pasa por C f(3) 12 a.3 b.3 c 12 9a 3b c 12 Resolviendo e

 → − = − → − + − + = − → − + = −

= + +  → − = → − + − + = → − + =

 → = − → + + = − → + + = −



l sistema, a= −1, b= −2, z 3. Luego, f(x)= = − −x2 2x 3+

b) Halla por interpolación cuadrática, f(1) y f(–3)

Resolución

f(1) = –12 – 2.1 + 3 = –1 – 2 + 3 = 0 f(–3) = –(–3)2 – 2.(–3) + 3 = –9 + 6 + 3 = 0

Funciones polinómicas de grado superior a dos

Son funciones del tipo f(x) = p(x), siendo p(x) un polinomio de grado mayor que dos.

Su gráfica ya no es ni una recta ni una parábola.

(16)

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Actividades resueltas

1) Tomando un cartón rectangular de dimensiones 2,1 dm x 1,6 dm se construye una caja sin tapa recortando un cuadrado de lado x en cada esquina y luego doblando las cuatro pestañas:

a) Halla la función superficie y la función volumen de la caja Resolución La función superficie es S(x) = 16 . 21 – 4x2 = 336 – 4x2.

La función volumen es V(x) = (21 – 2x)(16 – 2x)x = 4x3 – 74x2 + 336x

b) Determina el dominio de definición de las funciones anteriores Resolución

Para que se pueda recortar el cuadradito, el lado x debe ser menor que la mitad del lado menor del cartón. Luego, 0 < x < 8. Por tanto, el dominio es el intervalo (0, 8)

c) Halla la superficie y el volumen de la caja para x = 2,5 cm Resolución

S(2,5) = 336 – 4.2,52 = 311 cm2 V(2,5) = (21 – 2.2,5)(16 – 2.2,5)2,5 = 16. 11 . 2,5 = 440 cm3

d) Calcula las dimensiones del cuadradito que tenemos que recortar si queremos obtener una caja de 3 dm2 de superficie

Resolución

3 dm2 = 300 cm2. Luego, S(x) = 300 → 336 – 4x2 = 300 → 4x2 = 36 → x = 3 Debemos recortar un cuadradito de 3 cm de lado.

e) ¿Qué dimensiones de debe tener el cuadradito para obtener una caja con capacidad de 0,33 litros?

Resolución

0,33 l = 0,33 dm3 = 330 cm3. Luego, V(x) = 330 → 4x3 – 74x2 + 336x = 330 4x3 – 74x2 + 336x – 330 = 0. Resolviendo obtenemos x = 5

Debemos recortar un cuadradito de 5 cm de lado.

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2) Se tiene una cartulina rectangular de dimensiones 8 dm x 4 dm

De cada esquina se recorta un cuadrado de lado x con el fin de hacer una caja sin tapa.

a) Halla la función superficie y la función volumen de la caja Resolución La función superficie es S(x) = 8 . 4 – 4x2 = 32 – 4x2.

La función volumen es V(x) = (8 – 2x)(4 – 2x)x = 4x3 – 24x2 + 32x

b) Determina el dominio de definición de las funciones anteriores Resolución

Para que se pueda recortar el cuadradito, el lado x debe ser menor que la mitad del lado menor del cartón. Luego, 0 < x < 2. Por tanto, el dominio es el intervalo (0, 2)

c) Calcula las dimensiones del cuadradito que tenemos que recortar si queremos obtener una caja de 31 dm2 de superficie

Resolución S(x) = 31 → 32 – 4x2 = 31 → 4x2 = 1 → x = 0,5.

Debemos recortar un cuadradito de 0,5 dm = 3 cm de lado

d) ¿Qué dimensiones de debe tener el cuadradito para obtener una caja con capacidad de 12 litros?

Resolución

12 l = 12 dm3. Luego, V(x) = 12 → 4x3 – 24x2 + 32x = 12 ; 4x3 – 24x2 + 32x – 12 = 0.

Resolviendo obtenemos x = 1. Debemos recortar un cuadradito de 1 dm = 10 cm de lado

Referencias

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