ECUACIONES. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES. APROXIMACIÓN NUMÉRICA DE RAICES.

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ECUACIONES. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.

APROXIMACIÓN NUMÉRICA DE RAICES.

Índice

1. INTRODUCCIÓN...2

2. CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS POR RADICALES...2

Ecuación...2

Ecuaciones polinómicas de una variable de primer, segundo, tercer y cuarto grado...3

Ecuaciones polinómicas de una variable de grado superior a cuatro...7

Teorema fundamental del álgebra...7

Fórmulas de Cardano Vieta...8

Regla de Ruffini...9

Otros métodos para buscar raíces...11

3. ACOTACIÓN DE RAÍCES DE POLINOMIOS...13

Cotas de raíces...13

Algoritmo de Horner...15

Número de raíces ...17

Delimitación de raíces ...23

4. MÉTODOS NUMÉRICOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES...24

Teorema del punto fijo ...24

Método de aproximaciones sucesivas ...25

Cotas de error ...28

Método de Newton (o de las tangentes) ...30

Método de Regula Falsi (o de las secantes) ...31

Método de Bisercción ...31

Interpretación geométrica de algunos métodos numéricos ...33

5. CONCLUSIONES...35

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1. INTRODUCCIÓN.

En las primeras civilizaciones avanzadas, como la egipcia, la babilónica o la griega, existían algunos problemas que no hacían cuestión a una cantidad fija, tal y como se recoge en algún pairo egipcio (ver http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/algebra.htm) o tablilla babilónica (ver http://www.uned.es/geo-1-historia-antigua-

universal/NOTICIAS/TABLILLA_MATEMATICA_PLIMPTON.htm), pudiéndose considerar este tipo de problemas como antecedente muy remoto de las ecuaciones. Sin embargo, la primera civilización que trató las ecuaciones de primer grado de forma más rigurosa, fue la civilización árabe, que se utilizaría posteriormente en Europa, tras su traducción.

Sin embargo, la dificultad se produjo al intentar resolver ecuaciones de grado mayor que 2, a lo cual dedicaron bastantes esfuerzos los matemáticos italianos del siglo XVI. En esta época, la invención de los símbolos algebraicos fue gradual, y se asocia al Matemático Viète, gran parte la notación simbólica asociada a las ecuaciones.

Con la contribución de muchos matemáticos a lo largo de la historia, como Lagrange, Euler, Abel, Gauss, Galois, etc., se ha avanzado en el estudio y análisis de ecuaciones, así como su relación con el álgebra, otras ramas matemáticas y científicas

2. CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS POR RADICALES.

Ecuación

Entendemos por ecuación, una igualdad entre expresiones matemáticas (algebraicas, diferenciales, etc.) que solamente se verifica para unos determinados valores denominados incógnitas o variables, los cuales están representados por medio de letras.

Cuando tenemos varias ecuaciones, denominamos sistema de ecuaciones.

Si encontramos valores que al sustituir por las variables se cumple la igualdad, decimos que estos valores son solución de la ecuación.

Debido a las características del tema, haremos mayor hincapié en las ecuaciones del tipo algebraico, y en particular las ecuaciones polinómicas de una variable. Donde una ecuación algebraica, es aquella cuyos miembros de la igualdad son expresiones algebraicas, es decir expresiones matemáticas representadas por letras y números.

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Si las expresiones de las ecuaciones son polinomios, las denominamos ecuaciones polinomiales, y su grado vendrá dado por el grado del polinomio que resulta al simplificar la ecuación (operar e igualar la expresiones polinomiales a cero). Algunas ecuaciones de primer grado ya eran conocidas y resueltas hace más de 2.000 años, en civilizaciones como la China o Babilónica. Algunas de segundo grado, ya fueron resueltas en las civilizaciones de Grecia y Roma, se resolvían algunas ecuaciones de segundo grado. Los algebristas italianos, obtuvieron más tarde soluciones generales para ecuaciones de tercer y cuarto grado.

Posteriormente se ha ido demostrando la imposibilidad de resolver algunas ecuaciones por métodos algebraicos cuando su grado es mayor que cuatro.

Conviene recordar:

 Las constantes no nulas son polinomios de grado 1, y el 0 por convenio, tiene grado.

 Si P  x es un polinomio de una variable, r es raíz de P, entonces P r =0 .

 Cuando dos ecuaciones admiten las mismas soluciones o raíces, se dice que son equivalentes.

 Ejemplo: Las ecuaciones  x−1²=0 y 2 x²– 4 x2=0 , son equivalentes por tener como raíz x=1

Cuando queremos hallar las raíces de ecuaciones polinómicas, solemos resolver ecuaciones equivalentes representadas por un polinomio igualado a cero.

 Ejemplo: Para resolver la ecuación x²2 x−1 = x²3 x−2 , es más fácil resolver x – 1 =0

Ecuaciones polinómicas de una variable de primer, segundo, tercer y cuarto grado

 Denominamos, ecuaciones de primer grado o ecuaciones lineales, cuando una vez simplificada la ecuación se puede representar como

a xb=0 a , b , c ∈ ℝ , a≠0

La solución de esta ecuación, despejando la x es ^x=−^b

a . Si además, a la ecuación, le imponemos la condición de que dicha solución pertenezca a algún conjunto numérico A (habitualmente ℕ , ℤ ,ℚ o ℝ ), esta solución existirá si y solo si −b

a ∈ A .

Hay que observar, que podemos extender estas ecuaciones a ℂ , si a ,b ∈ ℂ .

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 Ejemplo.- La ecuación 2. x – 1=0 no tiene ninguna solución natural, ya que x =1

2 ∉ ℕ

 Denominamos, ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas, cuando una vez simplificada la ecuación se puede representar como

a x²b xc =0 a ,b , c ∈ ℝ , a≠0

Dicha ecuación cuadrática con coeficientes complejos la podemos escribir:

x² p xq =0  p=b a ,q=c

a Y teniendo en cuenta que

x² p xq = x² p x



²^p



²⁻



²^p



²^{q =}



^x

^

²^p

^ 

²⁻

^

²^p

^

²^q=0

Es decir:



^x²^p



²⁼



²^p



²^{−q }



^x²^p



^=±

 ^

²^p

^

²^{−q x = −}²^p ^±

 ^

²^p

^

²^−q

x = −b

2a ±

 ^

^b^2a

^

²⁻^c^a ^{= −}^b^2a ^±



^b²^{−4 a c}^{4 a}²

x =−b±



^b²^{−4 a c}

2 a Hay que observar:

Si b²−4 a c0 Dichas raíces no existen en ℝ Si b²−4 a c=0 Entonces ^– ^b

2 a es raíz doble de la ecuación.

Si b²−4 a c0 Dichas raíces son reales y distintas.

 Ejemplo.- La ecuación 6 x²5 x 1 =0 tiene por soluciones x=1 2 y 1

3

Si además, a la ecuación, le imponemos la condición de que dicha solución pertenezca a algún conjunto numérico A (habitualmente ℕ , ℤ ,ℚ , ℝ o ℂ ), esta solución existirá so y sol si

−b±



^b²^{−4 a c}

2 a ∈ A .

Hay que observar, que podemos extender estas ecuaciones a ℂ , si a ,b ∈ ℂ , siempre existe solución en ℂ .

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 Denominamos, ecuaciones de tercer grado, cuando una vez simplificada la ecuación se puede representar como

a x³b x²c xd =0 a , b , c , d ∈ ℝ , a≠0

La fórmula que permite resolver ecuaciones de tercer grado fue descubierta por Del Ferro, alrededor del año 1500, y posteriormente hallada de nuevo por Tartaglia y publicada por Cardano en su obra “Ars magna”.

La solución de esta ecuación se fundamenta en los siguientes principios:

• Se dividen todos los términos por a, obteniendo la ecuación x³B x²C xD =0  B=b

a , C=c

a , D=d a 

• Se sustituye x por otra incógnita y, tal que x= y – B

3 , siendo B

3 es el Baricentro del triángulo de vértices los afijos de las raíces de la ecuación. Con ello se busca eliminar el término en x² y obtener la siguiente ecuación equivalente



^y−3^B



³^{B .}



^y−3^B



²^C



^y−3^B



^{D =0  y}³⁻



^B³²^−C



^{. y}



^2.^B³³³⁻^CB³ ^D



⁼⁰

 y³ p . yq=0 ; p=−B²

3 C ; q=2.B³ 3³−CB

3 D Para resolver esta última ecuación, se establece

y = u + v obteniendo la ecuación

u³v³uv.3 u v pq=0

Si uv verifica la ecuación y además, se cumple 3 u v p=0 , se obtiene el sistema de ecuaciones equivalente

u³v³=−q u v=−p

3



u³v³=−q u³. v³=−p³ 3³ Y denominando

z₁=u³; z₂=v³

Teniendo en cuenta, las fórmulas de Cardano Vieta, z₁=u³; z₂=v³ serán solución de la ecuación de segundo grado:

t²q .t – p³ 3³ =0 .

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Cuyo discriminante es:

=q²4 .p³

3³ =



^{4 . p}³^{27 . q}³³ ³



Y cuyas raíces son

u³=z₁=



^−q−²

^

^{ }



^v³^{= z}²⁼



^−q²

^

^



Luego será:

u=³



^z1=



3^−q−

^

^{4 . p}²³^{27 . q}³³ ³

v=



³ ^z2=



3^−q

^

^{4. p}²³^{27 . q}³³ ³

Y deshaciendo los cambios, obtenemos:

y=uv=



3^−q−

^

^{4 . p}²³^{27 . q}³³ ³^



³^−q

^

^{4 . p}²³^{27 .q}³³ ³

x= y−B 3=



3^−q−

^

^{4 . p}²³^{27 .q}³³ ³^



³^−q

^

^{4 . p}²³^{27 . q}³³ ³⁻^B³

Además

• =



^{4 . p}³^{27 .q}³³ ³



^{0 , u}³ ^{y v}³ son reales, luego u y v consta de una raíz real y dos conjugadas, al igual que uv , y por tanto también x.

• =



^{4 . p}³^{27 .q}3³ ³



^{=0 ,} ^u³^v³⁼^−q² , luego u=v consta de una raíz real y dos conjugadas, luego u + v consta de tres raíces reales, y por tanto, también x.

• =



^{4 . p}³^{27 .q}3³ ³



^{0 ,} ^u³ ^y ^v³ , no son raíces reales, luego u y v consta de tres raíces complejas, al igual que u + v, y por tanto, también x.

 Denominamos, ecuaciones de cuarto grado, cuando una vez simplificada la ecuación se puede representar como

a x⁴b x³c x²d xe =0 a ,b , c , d , e ∈ ℝ ,a≠0

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Ferrari (Matemático discípulo de Cardano) encontró el método general de resolución de este tipo de ecuaciones, y consiste en transformar la ecuación

x⁴b a x³c

a x²d a x e

a =0 a≠0

En la ecuación:

 x² p xq. x²r xs=0 Y resolver las ecuaciones de segundo grado.

x² p xq=0 x²r xs=0

Ecuaciones polinómicas de una variable de grado superior a cuatro

Las ecuaciones ecuaciones de grado superior a cuatro son de la forma

a_nxⁿa_n−1xⁿ⁻¹...a₁xa₀=0 a_0,a_1,... , a_n−1, a_n∈ ℝ , a_n≠0 ;n4

Aproximadamente en el año 1770, Matemáticos como Lagrange, Ruffini y Abel, se afanaron en demostrar la imposibilidad de aplicar métodos algebraicos para la resolución de ecuaciones de grado superior a cuatro. Sin embargo, fue Galois quien definitivamente (en la noche anterior a su muerte en un duelo) expuso sus ideas sobre la resolución de ecuaciones de grado n mediante radicales.

Según Galois esta resolución depende de la existencia o no de ciertas propiedades (fórmulas de Cardano-Vietta), ya que la resolución mediante radicales, de estas ecuaciones no es posible, salvo casos triviales, pues no hay ningún algoritmo que permita la descomposición del polinomio en factores irreducibles.

Teorema fundamental del álgebra

Uno de los problemas más habituales en las Matemáticas es el cálculo de raíces de un polinomio a(x). Es decir, la determinación de los números complejos x para los que se cumple la ecuación a(x) = 0. La demostración de dicho teorema se basa en el las propiedades de funciones analíticas complejas y funciones enteras, es decir, tiene carácter topológico.

 Teorema fundamental del Álgebra.- Dado un polinomio de grado n > 0 y con coeficientes complejos ^aⁿ^xⁿ^aⁿ⁻¹^xⁿ⁻¹^...a¹^{x a}⁰^{=0 a}^0,^a^1,^{... , a}ⁿ⁻¹^{, a}ⁿ^{∈ ℂ , a}ⁿ^≠0 . Se cumple ∃ r₁∈ ℂ tal que a r₁ = 0

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Teniendo en cuenta este teorema, si r1∈ℂ es una raíz de a(x), resulta que

 x−r₁ | a  x

Por lo tanto existe un polinomio b  x de grado n−1 tal que:

a x = a_n. x−r₁. b x .

Aplicando ahora el teorema fundamental del Álgebra al polinomio b(x), existe r₂∈ℂ tal que un polinomio b r2 = 0 . Y siguiendo este razonamiento, reiteradamente, llegaremos a una factorización de la forma:

a x = a_n. x−r₁ . x−r₂... x−r_n

El número de veces que se repite una raíz ri de a(x) se denomina raíz múltiple.

Teniendo en cuenta estas observaciones del teorema fundamental, deducimos que el número de raíces de un polinomio complejo (contando multiplicidades) coincide con su grado. Además, salvo factores, un polinomio está completamente caracterizado por sus raíces.

Para ver, que no se cumple necesariamente en el conjunto ℝ de los números reales, basta considerar la ecuación x²1 = 0 . cuya soluciones son x=±



^{−1 .}

En ocasiones, lo que nos interesa es conocer la relación existente entre los coeficientes y las raíces de un polinomio, para lo cual solemos utilizar las fórmulas de Cardano Vieta.

Fórmulas de Cardano Vieta

Si a x es un polinomio con el coeficiente director a_n=1 (esto es siempre posible, pues si a_n≠1 , basta dividir todos los coeficientes a_i por a_n ). Es decir, a x = xⁿa_n−1xⁿ⁻¹...a₁xa₀= 0 . Como por el teorema fundamental del Álgebra, existirán n raíces complejas r1, r₂, … , r_n , contando multiplicidades, tales que:

a  x  =  x−r₁. x−r₂ .... . x−r_n

Desarrollando dicha expresión e igualando los coeficientes en términos de raíces, obtenemos la relación (fórmulas de Cardano Vieta) :

a₀=−1ⁿ. r₁. r₂. r₃. …. r_n a₁=−1ⁿ⁻¹

∑

i=1 n

∏

j≠i n

r_j a₂=−1ⁿ⁻²

∑

i , j=1 n

∏

k ≠i , j n

r_j ...…….

a_n−1=−1

∑

i , j=1 n

r_j

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# Demostración:

Si consideramos el polinomio:

a  x  =  x−r₁. x−r₂ .... . x−r_n

Y utilizamos el desarrollo de Taylor para el polinomio a(x) en torno al punto x = 0. Como, a(x) es derivable hasta orden n en cualquier intervalo (-a, a) real, será:

a  x =

∑

i =0 n

a^{i }0

i ! . xⁱo  xⁿ

Donde, o  xⁿ es una función que tiende a cero cuando x tiende a cero. Y teniendo en cuenta que grado a  x=n , será o  xⁿ=0 .

Si desarrollamos el polinomio, como suma de monomios, es decir:

a  x  =  x−r₁. x−r₂ .... . x−r_n= xⁿa_{n −1}. xⁿ⁻¹a_n−2. xⁿ⁻²...a₁. xa₀ Identificando los coeficientes a_i de a  x  , con los coeficientes del desarrollo de Taylor

a_i=a^{ i}0

i ! ; i = 0,1,2 , ... , n obtenemos las fórmulas de Cardano Vieta.

Ejemplo.- Sea la ecuación x⁴– x²−2 = 0 , y sean r1,r_2,r_3,r₄ sus raíces complejas.

Como fácilmente se comprueba que r1= −1 y r2= 1 son raíces de la ecuación. Utilizando las relaciones de Cardano Vieta:

a₀= −1⁴. r₁. r₂. r₃. r₄ −r₃. r₄= −2

a₃= −1⁴⁻³.r₁r₂r₃r₄ −r₃r₄ = 0

Que resolviendo el sistema se obtiene, r₃=



^{2.î ; r}3=−



^2.î

Regla de Ruffini

En general cuando el grado de una ecuación es superior a 2, un modo numérico sencillo para conocer posibles raíces (particularmente raíces enteras) es mediante la regla de Ruffini, que esta basado en la división entera de polinomios

 Si p(x) es un polinomio ∃! polinomios q(x), R(x) (con grado de R(x) < 1) tal que p  x = q x.  x−aR  x

Que en el caso particular de que a sea raíz, se tiene p a = q a.0 Ra = R a = 0

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Además, si a es raíz del polinomio

p  x = a_n. xⁿa_n−1. xⁿ⁻¹…a₁. xa₀ Será:

p a =a . a_n. aⁿ⁻¹a_n−1. aⁿ⁻²…a₁a₀=0 Es decir:

a .  a_n. aⁿ⁻¹a_n−1.aⁿ⁻²…a₁ = −a₀ Luego, si a es raíz, a| a₀ .

Por lo que, en el caso de que busquemos raíces enteras, si a0 es un número entero, tendremos que buscarla entre los divisores enteros de a0 .

 La regla de Ruffini permite calcular los coeficientes del polinomio cociente y el resto de una división entera de un polinomio por x−a , sin necesidad de efectuar la mencionada operación de la división.

 Ejemplo.- Sea la ecuación x⁴5 x³5 x²– 5 x – 6=0 . Por tanteo probamos lo divisores de 6

1 5 5 -5 -6

X = 1 1 6 11 6

1 6 11 6 0

Resto = 0, x = 1 es raíz del polinomio.

1 5 5 -5 -6

X = -1 -1 -4 -1 6

1 4 1 -6 0

Resto = 0 , x = - 1 es raíz del polinomio.

1 5 5 -5 -6

X = 2 2 14 38 66

1 7 19 33 60

Resto ≠ 0 , x = 2 no es raíz del polinomio.

1 5 5 -5 -6

X = -2 -2 -6 2 6

1 3 -1 -3 0

Resto = 0 , x = - 2 es raíz del polinomio.

1 5 5 -5 -6

X = 3 3 24 87 246

1 8 29 82 240

Resto ≠ 0 , x = 3 no es raíz del polinomio.

1 5 5 -5 -6

X = -3 -3 -6 3 6

1 2 -1 -2 0

como el Resto = 0 , x = - 3 es raíz del polinomio.

Y dado que un polinomio de cuarto grado tiene como máximo cuatro raíces, que es el número de raíces distintas que hemos encontrado, será p(x) = (x-1) . (x+1) . (x+2) . (x+3) = 0

Es decir, las soluciones serán { -3, -2, -1, +1 }

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