La probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 lanzamientos de una moneda es. 2) (2) (2) "it^g) = 64

Las distribuciones binomial, normal y de Poisson

CAPITULO 7

Wmmr

Si p es la probabilidad de que cualquier evento ocurra en un solo ensayo (denominada probabilidad de éxito) y q = 1 - p es la probabilidad de que no ocurra en un solo ensayo (denominada probabilidad de fracaso), entonces la probabilidad de que el evento ocurra exactamente X veces en /V ensayos (es decir, X éxitos y N - X fracasos) está dada por

donde X= 0, 1, 2,..., N; N\ = N(N- l ) ( / V - 2 ) • ••• 1, y 0! = 1 por definición (véase el pro- blema 6.34).

E J E M P L O 1 La probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 lanzamientos de una moneda es

2) (2) (2) "iT^G)

6 4

utilizando la fórmula (7) con N =6, X=2y p = q=\.

E J E M P L O 2 La probabilidad de obtener al menos 4 caras en 6 lanzamientos de una moneda es

' 6 Y i y n

V⁴/

4 , ^ 6 - 4 ^ ^ i f r i Y " % ^ 6 y i y ^⁶"^{6 =} i 5⁺_ 6 _⁺_ i H

2 12 6 [2 [ 2 64 64 64 32

La distribución de probabilidad discreta (7) se denomina distribución binomial yaque paraX = 0, 1, 2,..., /V corresponde a términos sucesivos de la fórmula binomial o <

binomial,

donde 1, (*), (?),... se denominan coeficientes binomiales.

1-^Z~-.Z ~ • LOS distribuciones binomial, normal y de Poisson

E J E M P L O 3 (^q+^Pf = ^g4+ Q ^ + Q^qy + Q ^{q P} ' + /

= q⁴ + 4q³p + 6q²p² + 4qp³ + p⁴

La distribución (1) también se denomina distribución de Bernoulli, debido a que James Bernoulli la descubrió a finales del siglo x v n . En la tabla 7-1 se incluyen algunas de la propiedades de la distribución binomial.

Tabla 7-1 Distribución binomial

Media fi = Np

Varianza a² — Npq

Desviación estándar a = v'Npq

Coeficiente momento de asimetría q-p

Q³ =

VNpq

Coeficiente momento de curtosis « 4 = 3 + Npq

E J E M P L O 4 En 100 lanzamientos de una moneda la media de caras es /x = Np = (100)(i) = 50, que es el numere esperado de caras, en 100 lanzamientos. La desviación estándar es a= VÑp~q = V(100)(i)(i) = 5.

L A D I S T R I B U C I O N N O R M A L

Uno de los ejemplos más importantes de una distribución de probabilidad continua es la dis- tribución normal, curva normal o distribución gaussiana. Se define por medio de la ecuación

Y = _J_ ^e- l / 2 ( * - „ ) V ⁽J j

ovlir

donde p. = media, a = desviación estándar, TT= 3.14159- • • y e - 2.71828- • -. El área total limitada por la curva (3) y el eje X es 1; por consiguiente, el área bajo la curva entre dos ordenadas X = a y X - b, donde a < b, representa la probabilidad de que X esté entre a y b.

Esta probabilidad se denota por Pr{a < X < b).

Cuando la variable X está expresada en unidades estándar [z = (X - pS)/a], la ecuación (3) se reemplaza por la denominada/orma estándar

Y = 4=e~^W2z2 (4)

V2n

En tal caso, se dice que z está normalmente distribuida, con media 0 y varianza 1. La figura 7-1 es una gráfica de esta curva normal estandarizada. Muestra que las áreas incluidas entre z - - 1 y +1, z = - 2 y +2 y z - -3 y +3 son iguales, respectivamente, a 68.27%, 95.45% y 99.73% del área total, que es 1. La tabla del apéndice I I indica las áreas bajo esta curva, limitadas por las ordenadas en z = 0 y cualquier valor positivo de z. A partir de esta tabla se puede encontrar el área entre cualesquiera 2 ordenadas, usando la simetría de la curva res- pecto de z = 0.

Algunas propiedades de la distribución normal dadas por la ecuación (3) se incluyen en la tabla 7-2.

Distribución de Poisson • 1 5 9

F I G U R A 7 - 1 0.4_ y

/ 0.3 0.2-

i " —

— i

0.1-

- 3 - 2 - 1 0

-68.27%- -95.45%- -99.73%-

Tabla 7-2 Distribución normal

Media P

Varianza a²

Desviación estándar a

Coeficiente momento de asimetría Q³ = 0 Coeficiente momento de curtosis 0:4 = 3 Desviación media ay/ïpn = 0.7979(7

R E L A C I Ó N E N T R E D I S T R I B U C I Ó N B I N O M I A L Y D I S T R I B U C I Ó N N O R M A L

Si N es grande y si ni p ni q se acercan a cero, la distribución binomial puede ser muy aproximada a la distribución normal, con una variable estandarizada dada por

_ X -Np y/Ñpq

La aproximación mejora al incrementarse N y en el caso límite es exacta; esto se muestra en las tablas 7-1 y 7-2, donde está claro que conforme N aumenta, la asimetría y la curtosis de la distribución binomial se acercan a las de la distribución normal. En la práctica, la aproxi- mación es muy buena si tanto Np como Nq son mayores que 5.

M P D I S T R I B U C I Ó N D E P O I S S O N

La distribución de probabilidad discreta

p(X) = ^ - A- = 0 , 1 , 2 , . . .

donde e = 2.71828- • • y X es una constante dada, se denomina distribución de Poiatm.

debido a que Siméon-Denis Poisson la descubrió a inicios del siglo xxx. El valor de plt puede calcularse con la tabla del apéndice V I I I (que proporciona los valores de e" p a n diversos valores de X) o por medio de logaritmos.

Algunas de las propiedades de la distribución de Poisson se incluyen ea h i a ü t "

CAPÍTULO 7 • Los distribuciones binomial, normal y de Poisson

Tabla 7-3 Distribución de Poisson

Media fj = X

Varianza <x² = A

Desviación estándar a= \/Â

Coeficiente momento de asimetría Q³ = l/v/Â Coeficiente momento de curtosis Q⁴ = 3 + 1/A

R E L A C I Ó N E N T R E L A D I S T R I B U C I Ó N B I N O M I A L Y L A D I S T R I B U C I Ó N D E P O I S S O N

En la distribución binomial (7), si N es grande y la probabilidad p de ocurrencia de un evento se acerca a 0, de tal manera que q = 1 - p se acerca a 1, entonces el evento se denomina suceso raro o inusual. En la práctica se debe considerar que un evento es raro si el número de ensayos es de por lo menos 50 (7V> 50), mientras que Np es menor que 5. En tal caso, la distribución binomial (7) se aproxima estrechamente a la distribución de Poisson (5), con \ = Np. Esto se comprueba comparando las tablas 7-1 y 7-3, ya que, al poner X = Np, q ~ 1 y p = 0 en la tabla 7-1, se obtienen los resultados de la tabla 7-3.

Como hay una relación entre la distribución binomial y la distribución normal, se dedu- ce que también existe una relación entre la distribución de Poisson y la distribución normal.

De hecho, se puede demostrar que la distribución de Poisson se aproxima a una distribución normal con variable estandarizada (X

- X y v T

D I S T R I B U C I O N M U L T I N O M I A L

Si los eventos E^{,E²,...,E^K pueden ocurrir con probabilidades p¡,p²,...,p^K, respectivamente, entonces la probabilidad de q u e £ „ E²,E^Kocurran X^UX²,..., X^K, veces, en ese orden, es

TV! ^{x x} x

x

\x

\...x

\*

* ~'~

'

donde X^l + X² +...+ X^K = N. Esta distribución, que es una generalización de la distribución binomial, se denomina distribución multinomial, puesto que la ecuación (6) es el término general en la expansión multinomial (p^{ + p² + • • • + p^K)^N.

E J E M P L O 5 Si un dado se lanza 12 veces, la probabilidad de obtener 1, 2, 3,4, 5 y 6 puntos exactamente dos veces cada uno es

12! ( 1VV1 V f

1YY1

1YY1V

= 0.00344

El número esperado de veces queis,,^ E^Kocurrirán enNensayos es Np^t, Np²,...,Np^K, respectiva- mente.

A J U S T E D E D I S T R I B U C I O N E S T E Ó R I C A S A

D I S T R I B U C I O N E S D E F R E C U E N C I A M U E S T R A L E S Cuando se tiene cierta indicación de la distribución de una población por medio de razona- miento probabilístico o de otro tipo, suele ser posible ajustar dichas distribuciones teóricas (también llamadas distribuciones modelo o esperadas) a distribuciones de frecuencia obte-

Problemas resueltos • 1 6 1

nidas a partir de una muestra de la población. El método consiste, en general, en usar la media y la desviación estándar de la muestra para calcular la media y la desviación estándar de la población (véanse los problemas 7.31, 7.33 y 7.34).

Para comprobar la bondad de ajuste de las distribuciones teóricas, se utiliza la prueba chi-cuadrada (explicada en el capítulo 12). En un intento por determinar si una distribución normal representa un buen ajuste para ciertos datos, es conveniente usar papel milimétrico.

como se le suele llamar (véase el problema 7.32).