Función Cuadrática
Otra de las funciones útiles que se encuentran a menudo es la función cuadrática. General- mente se presenta en problemas geométricos de áreas; también en problemas de lanzamiento de objetos o saltos de animales, es también utilizado en la construcción de estructuras arquitec- tónicas. Permite resolver además problemas donde se busquen cantidades máximas o mínimas de un determinado fenómeno o situación.
1 Caracterización de la función cuadrática
De…nición 1 Sea f : IR ! IR una función. Se dice que f es una función cuadrática si existen constantes a; b; c 2 IR con a 6= 0 tal que f (x) = ax2+ bx + c.
¿Por qué a 6= 0?
En criterio de una función cuadrática f (x) = ax2+ bx + cel coe…ciente "a" debe ser distinto de cero (a 6= 0), pues si a = 0, se trataría de una función lineal f (x) = bx + c:
Ejemplo: Son criterios de funciones cuadráticas las siguientes:
1. f (x) = 4x2+ 5x 2;con a = 4, b = 5, y c = 2 2. g (x) = 3x2+ 7x + 6;con a = 3, b = 7, y c = 6 3. h (x) = 0:5x2 1; con a = 0:5, b = 0, y c = 1 4. f (x) = 6x2 14x; con a = 6, b = 14, y c = 0 5. g (x) = x2; con a = 1, b = 0, y c = 0
Nota: A la grá…ca de una función cuadrática se le llama parábola.
La parábola posee un vértice, una recta que se conoce como eje de simetría; puede además ser cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Los valores de a, b y c determinan cada una de estás características.
Vértice
eje de simetría
Vértice
eje de simetría
Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
1.1 Concavidad
Sea f (x) = ax2 + bx + cel criterio de una función cuadrática. La concavidad de la parábola depende del valor que tenga la constante a, en efecto, si a > 0 la parábola es concava hacia arriba y posee un punto mínimo. En el caso que a < 0 la parábola es concava hacia abajo y posee un punto máximo. Esto punto máximo o mínimo corresponde al vértice de la parábola.
Punto mínimo
Punto máximo
Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
a>0 a<0
1.2 Vértice
De…nición 2 Sea f (x) = ax2 + bx + c el criterio de una función cuadrática, el vértice es el punto en la parábola, donde f alcanza su punto máximo o mínimo. El vértice lo denotaremos con la letra V está dado por las coordenadas V = b
2a; f b
2a :
Es frecuente utilizar la fórmula
4a como la segunda coordenada del vértice, es decir:
f b
2a =
4a . Observemos de donde proviene.
Tenemos que f (x) = ax2+ bx + c; pero de la primera coordenada tenemos que x = b 2a:
f b
2a = a b
2a
2
+ b b 2a + c
= a b2 4a2
b2 2a+ c
= b2 4a
b2 2a + c
= b2 2b2 + 4ac 4a
= b2+ 4ac 4a
= (b2 4ac)
4a =
4a
De esta forma, se encuentra que las coordenadas del vértice también puede expresarse:
V = b
2a;
4a :
1.3 Eje de simetría
De…nición 3 Sea f (x) = ax2+ bx + c el criterio de una función cuadrática, el eje de simetría de una parábola es la recta vertical de ecuación x = b
2a:
Esta recta es importante cuando se realiza la grá…ca de una función cuadrática, pues divide a la parábola en dos partes congruentes, es decir, cualquier punto de la parábola tendrá un punto homólogo al otro lado de este eje.
1.4 Intersección con los ejes cartesianos
1.4.1 Intersección con el eje x
Recordemos que los puntos que se encuentra sobre el eje x tienen coordenadas de la forma (x; 0)donde x 2 IR; por lo que para encontrar los puntos de intersección entre la grá…ca de una función y el eje x, basta encontrar cuales de los punto sobre dicha grá…ca posee coordenada y igual cero.
Sea f (x) = ax2+bx+cel criterio de una función cuadrática, como los punto sobre la parábola tiene coordenada (x; f (x)) con x 2 IR; entonces, para encontrar el punto de intersección con el eje x, basta preguntarnos cuándo f (x) = 0; o bien, cuándo y = 0: Es decir, para encontar el punto de intersección con el eje x, debemos resolver la ecuación: ax2+ bx + c = 0:
En resumen:
Si > 0; la parábola interseca el eje x, en dos puntos, (x1; 0) y (x2; 0), donde x1 y x2 son las soluciones de la ecuación ax2+ bx + c = 0:
Ix : (x1; 0) y (x2; 0)
Si = 0; la parábola interseca el eje x, en un punto, (x1; 0), donde x1 es la única solución de la ecuación ax2+ bx + c = 0:
Ix : (x1; 0)
Si < 0; la parábola no interseca el eje x, pues la ecuación ax2 + bx + c = 0 no tiene solución.
Ix : ? 1.4.2 Intersección con el eje y
Los puntos sobre el eje y tiene ecuación (0; y) con y 2 IR; por lo que el punto de intesección entre la grá…ca de una función f y el eje y está dado por (0; f (0)) ; siempre que f (0) exista.
Sea f (x) = ax2 + bx + cel criterio de una función cuadrática, entonces, el punto de inter- sección de la grá…ca de f con el eje y; está dado por:
(0; f (0)) donde
f (0) = a 02+ b 0 + c = c es decir:
Iy : (0; c)
Por lo tanto la grá…ca de la función cuadrática siempre interseca al eje y en el punto (0; c) :
1.5 Ámbito o Rango
Sea f : IR ! IR; una función, con f (x) = ax2+ bx + c.tal que a; b; c 2 IR con a 6= 0. El ámbito de dicha función está de…nido por el intervalo:
i. R =
4a ; +1 si a > 0
Cóncava hacia arriba a>0
x y
-b 2a
-∆
4a
ii. R = 1; 4a si a < 0
Cóncav a hacia abajoa<0
x y
-b 2a -∆
4a
1.6 Intervalos de monotonía
Sea f : IR ! IR; tal que f (x) = ax2+ bx + c, con a; b; c 2 IR y a 6= 0; entonces, los intervalos de monotonía de f están dados dependiendo de los siguientes casos:
f : IR! IR; tal que f (x) = ax2+ bx + c.tal que a; b; c 2 IR con a > 0
Cóncava hacia arriba a>0
x y
-b 2a
-∆
4a
i. Estrictamente creciente si x 2 b 2a; +1 ii. Estrictamente decreciente si x 2 1; b
2a
f : IR! IR; tal que f (x) = ax2+ bx + c.tal que a; b; c 2 IR con a < 0
Cóncav a hacia abajoa<0
x y
-b 2a -∆
4a
i. Estrictamente creciente si x 2 1; b 2a ii. Estrictamente decreciente si x 2 b
2a; +1
1.7 Ejemplos resueltos
1. Si f es una función de…nida por f (x) = 5 6x x2;halle el intervalo máximo en el cual f es estrictamente creciente y estrictamente decreciente.
Solución:
Como en la función cuadrática f (x) = 5 6x x2;el valor de la constante a = 1;nos indica que la parábola es cóncava hacia abajo.
Recordemos que para dar el intervalo de crecimiento o decreciemiento de una función, se hace con respecto al eje x: En el caso de la función cuadrática observamos que cambia de monotonía exactamente en el vértice.
Cálculo del vértice:
V = b
2a; f b 2a b
2a = 6
2 1 = 3
f ( 3) = 5 6 3 ( 3)2 = 14
Entonces el vértice tiene coordenadas V = ( 3; 14)
La función es estrictamente creciente cuando x 2 ] 1; 3[
La función es estrictamente decreciente cuando x 2 ] 3; +1[
2. Encuentre los puntos de intersección de la grá…ca de f (x) = 3x2 + 5x 2 con el eje de abscisas y el eje de las ordenadas.
Solución:
Punto de intersección con el eje de las ordenadas (eje y) Se obtiene haciendo x = 0 en la función dada.
y = 3 02+ 5 0 2 = 2 Iy : (0; 2)
Punto(s) de intersección con el eje de las abscisas (eje x)
Se obtiene preguntado para cuál valor de x se cumple que f (x) = 0; para lo cual se resuelve la ecuación 3x2+ 5x 2 = 0. Como el > 0; la grá…ca de la función interseca al eje x; en dos puntos ( 2; 0) y 1
3; 0 :
3. Halle el ámbito de la función f : IR ! IR dada por f (x) = 2x + 1 + x2: Solución:
Como en la función cuadrática f (x) = 2x + 1 + x2; el valor de la constante a = 1; nos indica que la parábola es cóncava hacia arriba.
Recordemos que para dar el ámbito de la función, se hace con respecto al eje y: Como la función dada es cóncava hacia arriba, el vértice representa un punto mínimo.
Cálculo del vértice:
V = b
2a; f b 2a b
2a = 2
2 1 = 1
f b
2a = f (1) = 2 1 + 1 + 12 = 0
Entonces el vértice tiene coordenadas V = (1; 0) y el ámbito es Af = [0; +1[ :
4. Halle el criterio de la función cuadrática que corresponde a la parábola que tiene vértice V = (2; 1) y cuyo eje de simetría es vertical1, además, la parábola corta al eje y en el punto (0; 5) :
Solución:
Tenemos que hallar las constantes a; b y c de la función cuadrática f (x) = ax2+ bx + c:
Sabemos que:
i. El vértice de la parábola es V = (2; 1) ; pero la fórmula del vértice es V = b
2a; f b
2a :
De lo anterior tenemos que:
b
2a = 2 y f (2) = 1 b
2a = 2 b = 4a
b = 4a (1)
1En cursos de matemática más avanzados (universitarios) se trabaja con parábolas cuyo eje de simetría es horizontal, estas no son funciones.
f (2) = 1
f (2) = a 22+ b 2 + c = 1
=) 4a + 2b + c = 1 (2) ii. La parábola corta al eje y en (0; 5) ; lo que implica que c = 5 (3) Sustituyendo (1) y (3) en (2) tenemos:
4a + 2 4a + 5 = 1 4a + 8a + 5 = 1
4a = 4
a = 1 Sustituyendo a = 1 en (1) obtenemos:
b = 4a
b = 4 1
b = 4
Como encontramos que a = 1; b = 4 y c = 5; la función cuadrática qcuyo vértice es (2; 1) y cuya parábola corta al eje y en el punto (0; 5) es la función f (x) = x2 4x + 5
2 Representación grá…ca de una función cuadrática
2.1 Construcción de la parábola
Pasos para trazar la grá…ca de una función cuadrática 1. Se determina la concavidad de la parábola.
2. Se calcula el discriminantem con la fórmula.
3. Encontrar el o los puntos de intesección con el eje x; en casos de que existan.
4. Se determina el punto de intersección con el eje y:
5. Se calcula el vértice.
6. Se determina el eje de simetría.
7. Se traza la parábola utilizando la información obtenida en los pasos anteriores.
2.2 Ejemplos resueltos
Trace la grá…ca de las siguientes funciones cuadráticas y halle el ámbito y los intervalos de monotonía.
i. g (x) = 6x + x2 ii. f (x) = 4 + x2 4x
Solución:
i. Para realizar la grá…ca de g (x) = 6x + x2; sigamos los pasos anteriores:
1. Como en este caso a = 1; la parábola es cóncava hacia arriba y el vértice representa el punto mínimo.
2. = 62 4 1 0 = 36
Como > 0 la parábola interseca al eje x en dos puntos distintos.
3. Resolvemos la ecuación 6x + x2 = 0, para encontrar los puntos de intersección con el eje x:
Recordemos que cuando se buscan los puntos de intersección de la grá…ca con re- specto al eje x siempre y = 0:
Luego de resolver la ecuacion correspondiente tenemos que los puntos de intersección con el eje x están dados por (0; 0) y ( 6; 0).
4. La grá…ca interseca al eje y en el punto (0; c) ; en este caso (0; 0) : 5. Cálculo del vértice
V = b
2a; f b 2a b
2a = 6
2 1 = 3
f b
2a = f ( 3) = 6 3 + ( 3)2 = 9 El vértice es V = ( 3; 9)
6. Eje de simetría x = 3
7. Grá…ca de la función g (x) = 6x + x2
-8 -6 -4 -2 2
-10 10 20
x y
Ag: [ 9; +1[
Estrictamente decreciente:] 1; 3[
Estrictamente creciente:] 3; +1[
ii. Realice la grá…ca de f (x) = 4 + x2+ 4x:
2.3 Análisis de la parábola
El objetivo de esta sección es dada la grá…ca de una función cuadrática, determinar caracterís- ticas como concavidad, intersección con los ejes coordenados, vértice, eje de simetría, intervalos de monotonía y ámbito.
Ejemplo #1
y
x
-9 -3
Características de la grá…ca de la función:
1. La función cuadrática es cóncava hacia abajo.
2. Interseca al eje x en ( 3; 0) y al eje y en (0; 9) : 3. Vértice es ( 3; 0)
4. Eje de simetría corresponde a x = 3
5. La función es creciente ] 1; 3[y la función es decreciente en ] 3; 1[ : 6. El ámbito de la función es ] 1; 0]
Ejemplo #2
y
x
-5 -3
4
-5 -1
Características de la grá…ca de la función:
1. La función cuadrática es cóncava hacia abajo.
2. Interseca al eje x en ( 5; 0) y en ( 1; 0) e interseca al eje y en (0; 5) : 3. Vértice es ( 3; 4)
4. Eje de simetría corresponde a x = 3
5. La función es creciente ] 1; 3[y la función es decreciente en ] 3; 1[ : 6. El ámbito de la función es ] 1; 4]
Ejercicio: Realice el análisis completo de las siguientes grá…cas:
y
x
50
-70
22 78
y
x
9 26
5 13 a
14
3 Aplicaciones de la función cuadrática
Como se mencionó al principio, la grá…ca de una función cuadrática de la forma f (x) = ax2+ bx + c; es una parábola con vértice en b
2a;
4a : Este vértice es el punto más alto de la grá…ca si a < 0 y el más bajo si a > 0: Si el vértice es el punto más alto (a < 0) entonces
4a es el valor máximo de f: Si el vértice es el punto más bajo (a > 0) entonces
4a es el valor mínimo de f: Estas ideas propician el desarrollo de muchas aplicaciones.
Ejemplos
1. El dueño de una fábrica de refrescos sabe que su ganancia en miles de colones semanales, como función del número x de cajas de refrescos vendidas, está dada por la ecuación U = 0:01x2 + 9x 1296: ¿Cuántas cajas deben vender para obtener una ganancia máxima?¿Cuál es la ganancia máxima?
Solución:
Como la ecuación que representa la relación entre las cajas de refrescos vendidos y la ganancia está representada por la función cuadrática U = 0:01x2+ 9x 1296;podemos notar su parábola tiene cóncava hacia abajo y como consecuencia va a tener un punto máximo que es el vértice.
Hallemos el vértice:
V = b
2a; f b 2a b
2a = 9
2 0:01 = 450
U (450) = 0:01 (450)2+ 9 450 1296 = 729 El vértice es V = (450; 729)
La primera coordenada del vértice representa el número de cajas vendidas y la segunda coordenada la ganancia que se obtuvo con dicho número de cajas, por lo que si se venden 450 cajas se obtiene una ganancia máxima de 729 mil colones.
2. El dueño de un automóvil determina que el costo en colones por kilómetro al conducir su vehículo a una velocidad v km=h es C = 0:015v2 2:5v + 120:Encuentre la velocidad donde el automóvil consume el costo mínimo.
Solución:
Como la ecuación que representa la relación entre la velocidad de un vehículo y el costo por kilómetro está representada por la función cuadrática C = 0:015v2 2:5v + 120;
podemos notar su parábola tiene cóncava hacia arriba y como consecuencia va a tener un punto mínimo que es el vértice.
Hallemos el vértice:
V = b
2a; f b 2a b
2a = 2:5
2 0:015 = 83: 333
La primera coordenada del vértice representa la velocidad del vehículo, por lo que en este caso sólo es necesario calcular dicha coordenada. Para obtener una gasto mínimo se tiene que conducir el automovil a una velocidad de 83:333 km=h:
