Física 2º Bachillerato
Tema 1. Campo gravitatorio
0. Concepto de campo
Diremos que en una región del espacio existe un campo creado por una magnitud física si es posible asignar en cada instante un valor a dicha magnitud para todos los puntos de dicha región.
Ej: Si tenemos un vaso que contiene agua con hielo, donde no se ha alcanzado el equilibrio térmico y medimos la Tª cada punto tendrá una Tª distinta. Existe un campo de Tª.
Si estudiamos la velocidad con la que se desplaza un fluido por una tubería vemos que depende del rozamiento de las paredes y la viscosidad, por tanto a cada pto de la tubería le corresponde una velocidad. Esto es un campo de velocidades.
Si la magnitud que define al campo es un escalar decimos que es un campo escalar ( Tª) y si es vectorial que es un campo vectorial ( velocidad ).
Decimos que un campo es estacionario si no depende del tiempo.
Si la magnitud que define al campo permanece cte el campo es uniforme.
Un campo escalar se puede representar mediante superficies isoescalares, por ejemplo las superficies isobaras, que miden la presión atmosférica. El corte de estas superficies con planos paralelos a la superficie de la tierra definen las líneas isobaras.
Un campo vectorial se define mediante líneas de campo, que son líneas tangentes en cada punto a la magnitud vectorial que define el campo.
Cuando la magnitud que define el campo es una fuerza, se llaman campos de fuerzas.
Propiedades de las líneas de campo:
• Su sentido de recorrido y el vector que representa el campo coinciden en cada punto.
• Pueden ser cerradas ( campo magnético) o abiertas ( campo gravitatorio y eléctrico)
• En cada punto de la línea el campo solo puede tener una dirección por lo que las líneas de campo no se pueden cortar.
• Parten de manantiales o fuentes y llegan o convergen en sumideros.
• Si el campo es uniforme, las líneas de campo son rectas paralelas.
• En los puntos o zonas donde las líneas están más juntas o tienden a converger el campo es más intenso.
Dos ejemplos de campos de fuerza son:
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0.1 Campos conservativos . Energía potencial
Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar una partícula de un punto A a uno B depende del punto inicial y final y no del camino seguido.
Propiedades.
I)El trabajo que realiza el campo dentro de una trayectoria cerrada es cero.
0
·
·
·
·
· =
−
=
+
=
∫ ∫ ∫
∫
Fdr∫
ABFdr I BaFdr II ABFdr I BAFdr IIII)El trabajo que realiza el campo puede expresarse como la variación de la energía potencial entre dos puntos inicial y final . W = A B
B
A F dr =Ep − Ep
∫
· = -ΔEp;Ep mgh
mgh h
h mg mgdr
W B B A
A− = − B − A = − + = −∆
=
∫
( )Ep kx
kx kxdx
W B B A
A− = − + = −∆
=
∫
21 2 21 2III) Tª de la fuerzas vivas.
Supongamos un cuerpo que se desplaza con una trayectoria cualquiera bajo la acción de una fuerza F
. ( Supondremos que la F
es paralela a la dirección de desplazamiento, si no habría que coger únicamente su componente tangencial). El trabajo realizado por F
es
2 2 2
2 1 2
1
· 2
· B BA B A
A B
A B
A
B A
B
A v mv mv
m mvdv dtdr
mdv dr
ma Fdr
r d F
W =
∫
=∫
=∫
=∫
=∫
= = −Esto se conoce como Tª de las fuerzas vivas. Sea cual sea la naturaleza de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, el trabajo total realizado al trasladarlo entre dos puntos es igual a la variación de la energía cinética. W = ΔEc.
Debemos recordar, por tanto que si sobre un cuerpo solo actúan fuerzas conservativas su energía mecánica se mantiene constante.
W = ΔEc; W = -ΔEp; Por tanto EcB-EcA= EpA – EpB y por tanto EcB+EpB= EpA + EcB
Son campos conservativos cualquier central, el eléctrico, el gravitatorio y el elástico.
1.Concepciones del universo. Desde la antigüedad hasta Kepler.
El estudio del universo interesó a las personas desde la más remota antigüedad. Los egipcios dividían en 36 grupos las estrellas, En Mesopotamia se introdujeron los meses y la semana bautizando los días por el Sol, La luna y los cinco planetas conocidos. También dividieron el día en 2 grupos de 12 horas, y la hora en minutos y segundos. Los chinos se preocuparon del universo.
Para ellos, los cuerpos celestes más importantes eran la estrella polar y las estrellas circumpolares, que nunca salen ni se ponen. La polar era el emperador de los cielos, las circumpolares príncipes y el resto de estrellas funcionarios.
Rompiendo con las explicaciones míticas de las civilizaciones anteriores los grandes filósofos y astrónomos griegos emiten las primeras teorías racionales sobre la forma de la tierra y su concepción del universo.
1.1 Teorías geocéntricas
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Anaximandro ( siglo VII a.C.), dice que la tierra era de forma cilíndrica y estaba rodeada de una neblina formada por tres anillos estelares que se movían alrededor de la tierra, las estrellas, la luna y el Sol en la que de forma ocasional se abrían agujeros y entonces se podía ver que más allá brillaban el fuego y la luz( el sol, la luna y las estrellas). Thales de Mileto predice un eclipse.
Pitágoras ( siglo VI a.C.) explicó la estructura del universo en términos matemáticos. El gran fuego central, origen de todo se relacionaba con el uno, origen de los números. A su alrededor giraban la tierra, La luna, El sol y los planetas conocidos. El periodo de la Tierra en torno al fuego central era de 24 horas y ofrecía a este siempre su cara oculta, donde no habitan las personas.
También se conocían los periodos de la Luna ( un mes) y del Sol ( 1 año) . El universo concluía en una esfera celeste de estrellas fijas y más allá estaba el Olimpo. La obsesión matemática de los pitagóricos le llevó a pensar que el número de cuerpos que formaban el universo era diez, ya que este es el número perfecto. Como solo encontraban nueve supusieron que el décimo estaba entre la tierra y el gran fuego y por eso no era visible. Lo llamaron Antitierra.
Filolao de Tarento ( siglo V a.C.) formuló la idea de una tierra esférica. Esta idea fue fácilmente aceptada ya que era el único modelo capaz de aceptar fenómenos como la desaparición gradual del casco y velamen de los barcos en el horizonte o que la sombra que la tierra proyecta sobre la Luna en los eclipses es circular.
En el siglo IV a. C. Platón elabora un teoría del universo basada en que la tierra esférica, ocupa el centro del universo, y los cuerpos celestes son de carácter divino y se mueven en torno a la tierra con movimientos circulares uniformes.
Aristóteles, discípulo de Platón, añade que el Cosmos está dividido en dos partes, el mundo sublunar y el mundo supralunar. El mundo sublunar está compuesto por los cuatro elementos de la región terrestre ( tierra, aire, agua y fuego). El mundo supralunar es el mundo de la armonía perfecta, donde todos los planetas se mueven con movimiento circular uniforme y está compuesto por la quinta esencia el éter.
Esta concepción tenía una cierta consistencia al explicar los movimientos observados en la superficie terrestre. En esta época no se tenía en cuenta la medición y la experimentación, y era comúnmente admitido que los objetos más pesados caen más deprisa que los más ligeros. La razón es que al contener más cantidad del elemento tierra , su tendencia a situarse en su lugar natural era más acusada. Igualmente el vapor tendía a ascender por encima de la tierra hacia su lugar natural, el aire.
Esta teoría no daba una explicación satisfactoria del movimiento retrogrado que a veces parecían experimentar los planetas ( estrellas errantes ) ni de las variaciones de brillo observadas para esos planetas y que se asociaban ( correctamente ) con variaciones de distancia.
Con el debilitamiento de Atenas , surge la etapa de Alejandría, con nuevos astrónomos que desarrollaban programas de observación y valoraban la observación sistemática.
Entre ellos destaca Aristarco de Samos ( Siglo III a.C.) que ideó métodos para calcular la relación entre los diámetros de la Tierra y la Luna, la distancia Tierra-Luna en función del diámetro de la Tierra y la distancia entre la Tierra y el Sol en relación con a la distancia Tierra – Luna. Los resultados no son muy exactos debido a la imprecisión de los aparatos pero los métodos son correctos. Aristarco mantenía la idea de un Universo en el que el centro es el Sol y en torno a él giran la Tierra y los demás planetas. Es el precursor del modelo heliocéntrico, que no fue aceptada en su cultura. También indica que la Tierra gira sobre su eje, basándose en los estudios de
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Hericlades del Porto. Un discípulo suyo, Eratóstenes de Cirene, ideó un método para medir el diámetro de la tierra.
Hiparco de Nicea ( siglo II a.C.) considerado el mejor astrónomo de la antigüedad, estudió el movimiento del Sol y observó que no tiene siempre la misma velocidad. Propuso un modelo en el cual es Sol se mueve en un circulo que llamo epiciclo: el centro del epiciclo a su vez se mueve en torno a la tierra describiendo otro circulo llamado deferente.
En el siglo II de nuestra era, Ptolomeo, siguiendo Con los trabajos de Hiparco, sugirió un esquema geocéntrico según el cual la Tierra seguía estando inmóvil en el centro del universo y los astros, en orden de proximidad la Luna, Mercurio, Venus
El Sol, Marte, Júpiter , Saturno y las estrellas efectuaban dos tipos de movimientos: Un movimiento orbital en el llamado epiciclo del planeta, y otro movimiento que llevaba a cabo el centro del epiciclo alrededor de la tierra y que se llamaba deferente.
Ajustando adecuadamente las velocidades del movimiento del planeta y en su epiciclo y de su centro en la deferente se podía dar una explicación bastante precisa de todos los problemas, como el movimiento retrogrado de los planetas tuvo una gran aceptación y se mantuvo en vigor durante muchos siglos. Mantenía el movimiento circular uniforme como movimiento natural de los cielos. El artificio de los epiciclos no satisfacía a los que abogaban por un modelo simplista como el aristotélico.
1.2 Teorías heliocéntricas
La primera teoría heliocéntrica la formula Aristarco de Samos ( siglo III a.C.) Sugiere que el esquema más simple del movimiento de los astros se obtiene si se sitúa el Sol en el centro del Universo. La Tierra tendría dos movimientos , rotación diaria y traslación anual. Esta teoría fue desechada frente a la aristotélica, porque la Tierra debía ser el centro del universo. Además se le hacía un reproche; Si la teoría fuese acertada la Tierra estaría unas veces más cerca y otras más lejos de ciertas estrellas del fondo estelar, lo que haría que se vieran como si hubieran sufrido un desplazamiento sobre el fondo de las estrellas más lejanas. Nadie había observado este desplazamiento. A esto se le conoce como paralaje estelar.
Galileo fue quién apuntó, en el siglo XVII, la clave de la dificultad para medir el paralaje:
las estrellas estaban mucho más lejos de lo que se pensaban. En 1838, un astrónomo alemán, Bessel, midió el primer paralaje de una estrella. El resultado que obtuvo equivaldría al tamaño del ángulo de una peseta medido desde 5 km de distancia.
Teoría heliocéntrica de Copérnico
Nicolás Copérnico ( 1473-1543) expone una teoría heliocéntrica que desecha la teoría Ptolomeica y retorna a la simplicidad de los movimientos planetarios. Sitúa al Sol en el centro del
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Sistema y todos los planetas, incluida la Tierra se moverían en circunferencias concéntricas. La Tierra tendría un doble movimiento de traslación y rotación.
Esta concepción del Universo es contraria a la Biblia y a las teorías de Aristóteles, por lo que no fueron aceptadas por sus contemporáneos . De hecho, Copérnico nunca publicó su obra De revolutionibus orbius caelestium ( Revoluciones de las esferas celestes) que se publicó póstumamente en 1443
Uno de los mayores aciertos de la teoría de Copérnico fue el establecimiento de los periodos orbitales de los planetas alrededor del Sol y las distancias relativas de los planetas al Sol.
También ofrecía una sencilla explicación del movimiento retrogrado de los planetas. Si se observa el dibujo, la retrogradación del planeta tiene lugar cuando la Tierra lo adelanta, debido a que su periodo de revolución alrededor del Sol es más corto.
Justificó también correctamente la no observación del paralaje. Las Estrellas estaban tan lejos que la diferencia era inapreciable.
Galileo
Galileo Galilei ( 1564-1642) apoyó y desarrolló la teoría heliocéntrica de Copérnico.
En 1610 publica el Mensajero celestial donde dice:
• Júpiter tiene cuatro planetas ( Kepler los llamaría después satélites) girando en torno a él.
Esto venía a decir que la Tierra no era el centro de rotación de todos los cuerpos celestes y rompía con el dogma de los siete cuerpos celestes, aparte de las estrellas fijas, que se suponía constituían el universo.
• La superficie lunar no era lisa ni perfectamente esférica sino que tenía rugosidades , cadenas montañosas y valles . Esto supone atentar contra la idea de que salvo la Tierra los demás cuerpos celestes eran esféricos y uniformes
• Las estrellas fijas no parecían aumentar a través del telescopio .Esto implicaba que estaban increíblemente lejos, lo que permite explicar la ausencia de paralajes observadas.
• La Vía Láctea, cuyo nombre se deber al aspecto lechoso que presenta su rastro en el cielo, estaba compuesto por una infinidad de estrellas indistinguibles a simple vista.
En 1632 publica Diálogos sobre los dos grandes sistemas del mundo, obra en la que hace una defensa del sistema Coperniciano ( sigue creyendo que las orbitas son circulares) y expone el principio de la inercia y la idea de la caída libre de los cuerpos independientemente de la masa, en contra de Aristóteles.
Sus ideas le acarrearon problemas con la inquisición y abjuró de ellas.
Paralaje: Desplazamiento aparente que sufre un objeto cuando el observador cambia de lugar. Por ejemplo: Si mantienes inmóvil el dedo índice de una mano frente a la cabeza y desplazas ésta de un lado a otro, parece como si el dedo también se moviera.
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2. Dinámica de rotación.
2.1 Momento de un vector respecto de un punto Consideraremos que el vector es una fuerza.
El momento de una fuerza F
aplicada en el punto P, con respecto a un punto O, es un vector con las siguientes características:
• Módulo: El producto de la fuerza por la distancia del punto a la línea de acción de la fuerza.
• Dirección : La de la perpendicular la plano formado por el punto y la línea de acción de la fuerza.
• Sentido: el del avance de un sacacorchos al llevar r sobre F por el camino más corto.
Esto es un producto vectorial M = rxF
Propiedades.
Las del producto vectorial.
Y una más:
Si la recta direccional del vector pasa por el centro de momentos el vector es nulo, no hay momento.
0
| 0 |
|
| =
=
= M
d vd
M
Todo esto es muy útil, por ejemplo en aplicaciones como la ley de la palanca. Esta ley establece que el efecto de una fuerza al actuar sobre un punto de aplicación no depende solo de su valor, sino también de la distancia al punto de apoyo, o eje de giro. Aparece una nueva magnitud que es el producto de una fuerza por una distancia, lo llamamos momento.
2.2 Momento cinético o angular
Momento cinético o angular de una partícula de masa m, que se mueve con velocidad v , con respecto a un punto O es el producto vectorial de su posición, r
por su cantidad de movimiento, p.L=rxp= rxmv
α α
α
rsen r d
sen d
pd rpsen
L
=
=
=
=
;
Tª del momento angular
Derivando la ecuación anterior se obtiene: rxma rxF M
dt v xmd r v dt xm
r d dt
L
d
=
=
= +
=
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Ya que la derivada del vector de posición respecto del tiempo es la velocidad y el producto vectorial de esta por la cantidad de movimiento es cero, pues son vectores paralelos.
dt L d
=M
A esta expresión se le conoce como Tª del momento angular: “ La variación del momento angular de una partícula con respecto a un punto en la unidad de tiempo, es igual al momento resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula con respecto a dicho punto.”
Conservación del momento angular. Consecuencias
Si el momento angular M =0 entonces L = cte. Es decir, si la suma de los momentos de las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema es cero, el momento angular del sistema permanece cte.
Por ejemplo esto ocurre en el caso de las fuerzas centrales ya que al tener r y F la misma dirección el momento es cero
2.3 Par de fuerzas
Se denomina par de fuerzas a dos fuerzas paralelas, iguales en módulo y de sentido contrario. La resultante es 0. R = F1-F2 = 0.
• No produce movimiento de traslación, solo de rotación
• El módulo del producto de un par de fuerzas es igual al producto del módulo de una de las fuerzas por la distancia entre ellas. M = Fd. A d se le conoce como brazo del par
3. Leyes de Kepler
A finales del siglo XVI, un astrónomo danés, Brahe, calculó numerosos datos sobre el movimiento de los planetas con muchísima precisión. También trató de medir algún paralaje pero no lo consiguió. Conocía las teorías de Copérnico, pero también el poder de la iglesia y creó un modelo geocéntrico y heliocéntrico a la vez. Todos los planetas giraban alrededor del Sol y todo ese conjunto, a su vez, gira alrededor de la Tierra que está inmóvil en el centro del universo.
Johanes Kepler fue su discípulo, pero era un Coperniciano convencido. A la muerte de Brahe, Kepler decidió interpretar esos datos adaptándolos a las órbitas circulares de Copérnico. Los cálculo cuadraban hasta Marte. Según los datos de Brahe la orbita de Marte estaba a 8`de arco ( 0,13º) fuera del esquema de Copérnico. Al estudiar esta discrepancia Kepler se dio cuenta de que si las órbitas son elípticas en las que en uno de los focos se situaba el Sol se solucionaba el problema.
Con esto y el resto de los datos Kepler enunció tres leyes que describían el movimiento planetario:
1ª ley : Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol.
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2º ley: Las áreas barridas por el radio vector que parte del centro del Sol, son directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas. cte
t S t
S = = ...=
2 2 1
1
Velocidad areolar: Es el cociente entre el área barrida y el tiempo empleado en barrerla. Va=s/t m/s.
Por esto a esta propiedad también se conoce como Tª de las áreas.
Esta propiedad es consecuencia del Tª de conservación del momento angular. Como el sistema solar es un sistema aislado
∑
M = 0y por tanto L= cte. Como las fuerzas de atracción son centrales→
→ y r
F son paralelos y por tanto M
=0. Las órbitas son planas ya que si L
=cte lo es en dirección y sentido , L
es perpendicular a r y a v
y por tanto deben estar en un mismo plano.
Por tanto,
dt md dt r
rmrd dt rmds mvr
L= = = ϑ = 2 ϑ
Como sabemos que
dt d r dt
d r dt
dA π ϑ
ϑ π
2
2 2
2
=
= y despejando
dt dA dt r
d
2
= 2
ϑ ; Sustituyendo arriba
dt mdA dt
dA mr r
L 2 2
2
2 →
= Así que si L = cte→ cte
dt dA =
Como consecuencia de esta 2ª ley de Kepler: las áreas barridas en tiempos iguales son iguales.
t1=t2 →
2 2 1 1
t S t
S = →S1 = S2
Nota: Perihelio Posición de un planeta en su órbita más próxima al Sol. Afelio: Posición más alejada. Si hablamos de órbita alrededor de la Tierra se llama apogeo y perigeo
Esto quiere decir que en los puntos próximos al perihelio la v es mayor que en el afelio ya que recorre más arco en el mismo t.
3º ley : Los cuadrados de los periodos son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores ( distancia media ) de las elipses.
r cte T r T r
T = = 3 = ...=
3 2 3 3 2
2 2 3 1
2 1
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Periodo es el tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa.
Las leyes de Kepler son validas para el movimiento de los planetas alrededor del Sol y de los satélites alrededor del planeta..
Ejemplos:
Calcula el periodo de revolución de Marte sabiendo que la distancia media de Marte al Sol es de 228 millones de km, la distancia media de la Tierra al Sol de 149,6 millones de km y el periodo de revolución de la tierra de 365,26 días.
días r T
T r r T
T r r T
T r T
M T
M T M T
M T M T
T M
M 687,23
6 , 149 26 228 , 365
;
;
;
3 3 3
3 2 3
2 3
2
=
=
→
=
→
=
→
=
El periodo de traslación de un planeta es 12 veces mayor que el periodo de traslación de la Tierra alrededor del Sol. Halla la distancia del Sol a ese planeta si la distancia Tierra –Sol es de 149.500.000 km
( )
( )
r( )
r kmr T
r T r
T r T
p p
p T
p T T
T p
p 3 5 3 8
5 2 2
2 2 3
2 3
2 3
2
10
· 836 , 7
; 144
· 10
· 1495 10 ;
· 1495
1
; 144 149500000
;→ 12 = → = → = → =
=
Si el radio de la orbita circular de un planeta A es cuatro veces mayor que el de otro B¿ En qué relación están su periodos y sus velocidades medias?
B
A r
r = 4 ; 3
2 3 2
B B A A
r T r
T = → A B A B
B B B
A T T T T
r T r
T 64 8
64
2 2
· 2 3 2
=
→
=
→
= La velocidad
T r t v= s = 2π
B B B
B B B
B B
B A
A A
T v r
T r T
r T
r T
v r ρ
π π π
π 2
8 8 8
4 2 2
=
=
=
→
=
A B B
B B B
B
A v v
T r T
r
v
v 2
2 1 2
=
→
=
= π π
4. Nociones actuales sobre el sistema solar.
La idea que tenemos hoy acerca del sistema solar no coincide con mucho de lo visto hasta ahora. Para empezar, tampoco el Sol es centro de nada. Nuestro sistema planetario no es más que uno de los muchos que posiblemente acompañan a numerosas estrellas de la galaxia en que habitamos, la Vía Láctea. A su vez nuestra galaxia no es más que una de los billones o trillones de galaxias que posiblemente componen el Universo.
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Características de nuestro sistema solar:
• Todos los planetas efectúan dos movimientos distintos: uno de traslación alrededor del Sol y otro de rotación en torno a su propio eje.
• Todos los planetas describen orbitas planas alrededor del Sol.-
• Casi todas las órbitas planetarias están aproximadamente en el mismo plano.
• Todos los planetas se trasladan en el mismo sentido alrededor del Sol ( en sentido antihorario ).
La mayoría de los satélites hacen lo mismo alrededor de los planetas
• El eje de rotación de la mayor parte de los planetas ( salvo Urano y Plutón) es prácticamente perpendicular al plano orbital.
• La mayoría de los satélites describen órbitas en el plano ecuatorial delos planetas. ( Salvo los de Urano y Plutón)
• Todos los planetas rotan en sentido antihorario excepto Venus, Urano y Plutón.
• La fuerza que gobierna el movimiento planetario es de tipo central y actúa en la dirección que une planeta y Sol.
• Las órbitas planetarias son estables. Asumiendo que la masa del planeta apenas varía, su distancia media al Sol permanece constante.
• Las orbitas de los satélites en torno a los planetas son planas y estables
• La fuerza que gobierna el movimiento de los satélites en torno a los planetas es de tipo central, dirigida a lo largo de la línea que une satélite y planeta.
5. Ley de la gravitación universal
Newton desarrolló lo que conocemos como la ley de la gravitación universal:
“ La interacción gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva y puede expresarse mediante una fuerza central directamente proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
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ur
r Gmm
F
2
− `
= G es la cte de gravitación universal 6,67 ·10-11 Nm2/kg2. El valor de esta constante es tan pequeña que a menos que una de las masas sea muy grande la fuerza de atracción es inapreciable.
El signo negativo de la expresión vectorial indica el carácter atractivo de la fuerza y el vector ur la dirección radial, su dirección siempre es la recta que une las dos masas.
Son fuerzas a distancia, no necesitan un medio material para existir.
Siempre se presentan a pares. Si un cuerpo m atrae a otro m` con una fuerza F, el m` atrae al m con una fuerza que es igual en modulo y dirección pero sentido contrario. Por ejemplo, la fuerza que la Tierra ejerce sobre la Luna es igual que la que la Luna ejerce sobre la Tierra. En el caso de una piedra y la Tierra, la fuerza con que la Tierra atrae a la piedra es la misma con la que la piedra atrae a la Tierra.
La distancia r debe entenderse como la distancia entre los centros de los cuerpos.
Si G = 6,67 ·10-11 N m2/kg2 , la MT = 6 · 1024 kg y el radio de la Tierra = 6370 km determina a) Magnitud con que la Tierra atrae a una piedra de 100 g
( )
Nr m Gm
F T 0,98
10
· 6370
10
· 6
· 1 ,
· 0 10
· 67 ,
· 6
3 2 24 11
2 = =
−
= −
b) Magnitud con la que la piedra atrae a la Tierra.
Igual pero de sentido contrario
c) El valor de la aceleración que adquiere la piedra
g s m m
a= F = = 9,8 / 2 = 1
, 0
98 , 0
d) Aceleración de la Tierra F
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24 1,63·10 25 / 2 10
· 6
98 ,
0 m s
m
a = F = = − Es imperceptible
• Fuerza con la que la Tierra atraerá a otra piedra de m=10 kg y aceleración que adquiere
( )
Nr m Gm
F T 98
10
· 6370
10
· 6
·
· 10 10
· 67 ,
· 6
3 2 24 11
2 = =
= − → 9,8 / 2
10
98 m s
m
a= F = = La aceleración es
independiente de la masa
5.1 Fuerzas gravitatorias en un conjunto de masas ( Principio de superposición)
La fuerza que actúa sobre una masa cualquiera de un conjunto de masas es igual a la resultante de las fuerzas que las demás ejercen sobre ella consideradas individualmente.
Tenemos cuatro partículas iguales de 2 kg de masa en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado.
Determina el módulo de la fuerza gravitatoria que experimenta debido a la presencia de las otras tres.
41 31
21 F F
F
F + +
=
Módulos r N
m Gm
F 2 11 2 10
1 2 1
21 2,67·10
1 2
·
·2 10
· 67 , 6
|
| = = − = −
r N m Gm
F 2 11 2 10
2 3 1
31 1,33·10
2 2
·
·2 10
· 67 , 6
|
| = = − = −
2 1 12 2
2 = + =
r N
r m Gm
F 2 11 2 10
3 4 1
41 2,67·10
1 2
·
·2 10
· 67 , 6
|
| = = − = −
i
F 10
21 = 2,67·10− j
F 10
41 = 2,67·10−
j i
j i
j sen F i F
F
11 11
10 10
31 31
31 9,4·10 9,4·10
2 10 2
· 33 , 2 1 10 2
· 33 , 1
cos + = − − − = − − −
= α α
j i
F 10 10
10
· 61 , 3 10
· 61 ,
3 − − −
=
( ) ( )
NF = 3,61·10−10 2 + 3,61·10−10 2 = 5,1·10−10
6. Consecuencias de la ley de gravitación universal
1º Avala matemáticamente las ideas de Galileo sobre la caída libre de los cuerpos 2º Da significado físico a la cte de la 3ª ley de Kepler
6.1 Aceleración de caída libre de los cuerpos en las superficies planetarias
Si un cuerpos de masa m se encuentra a una altura h sobre la superficie terrestre, se hallará
sometido a 2
) (r h G mm F
T T
= + . Como F = m·a entonces ma
h r
m G m
T
T ·
) (
·
2 =
+ y por tanto a
(
rTGmh)
2T
= + 1 m
F21
F31 F41
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: La aceleración con que cae a tierra un objeto de masa m depende de la masa de la Tierra y no de la del objeto. Por tanto una piedra de 100 g cae con la misma aceleración que una de 10 kg.
La aceleración varía de manera inversa al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra . Si h es muy pequeña en comparación al rT ( h <<<< rT ) se puede escribir
( )
T 2T
r
a= Gm Si sustituimos G = 6,67
· 10-11Nm2/kg2 ; mT= 6 · 1024 kg y rT = 6370 km obtenemos a = 9,8 m/s2 6.2 Significado de la cte en la 3ª ley de Kepler
Consideremos un planeta de masa m que orbita en torno al Sol ( masa ms) a una distancia r. La fuerza gravitacional es centrípeta y por tanto mw r
r
Gmm2s = 2 . Sabemos que
w= 2Tπ T r
r m
Gmms 2
2 2
4π
= . Según la 3ª ley de Kepler T2=Kr3 kr r
r m
Gmms 3
2 2
4π
= . Y despejando K
s s
K Gm Kr
r
Gm 2
2 2 2
4 4π → = π
=
Esto quiere decir que Kepler tenía razón cuando atribuía al Sol el movimiento planetario pues K es la misma para el movimiento de todos los planetas y solo depende de la masa del sol, no de los planetas.
Lo mismo ocurre con la K de un satélite en torno a un planeta. Solo depende de la masa del planeta.
De esta forma se podría hallar la masa del planeta:
3 2 2 3
2
2 4 4
GT r m Gm r
T = π → = π
Si no te acuerdas de la fórmula se puede deducir mw r r
m
GMP2 = 2 ;
G T M r G
r
Mp w p 2
3 2 3
2 → = 4π
=
Determina la masa de Marte sabiendo que uno de sus dos satélites, Fobos, describe una orbita circular de 9,27 · 106 m de radio alrededor del planeta de 7,5 horas
( )
kgG T
Mp r 11 4 2 23
6 3 2
2 3 2
10
· 47 , ) 6 10
· 7 , 2
·(
10
· 67 , 6
10
· 27 , 9 4
4 = =
= π π −
G representa la fuerza con la que se atraen dos masas de 1 kg al situarlas a una distancia de 1 m una de la otra. En este caso se atraen con 6,67 · 10-11 N.
7. Campo gravitatorio terrestre
Llamaremos campo gravitatorio a la perturbación que un cuerpo produce en el espacio que le rodea por el hecho de tener masa.
g1 g2
u2 u1
30 km
50 km M2 = 6 · 106 kg M1= 6 · 106 kg
Física 2º Bachillerato
Podemos considerar una partícula de masa M que perturba el espacio que le rodea, creando un campo gravitatorio. Dicho campo se hace evidente cuando una partícula testigo de masa m se sitúa en él a una distancia r del centro de M y es atraída con una fuerza
ur
r GMm
F
− 2
= donde r = R + d; Estaremos fuera del campo gravitatorio cuando F = 0. Para ello r debe ser ∞. Esto es teórico. Si las masas son pequeñas en relación a la distancia la F →0. Ej: Tiza- bolígrafo
7.1 Intensidad del campo gravitatorio
La fuerza depende de la cantidad de masa m. Vamos a definir una característica del campo que solo dependa de la masa que origina el campo M y la distancia al punto que consideremos.
La intensidad del campo gravitatorio, g, en un punto del espacio es la fuerza que actuaría sobre la unidad de masa situada en ese punto. Su unidad es N/kg . Frecuentemente se usa el término campo gravitatorio para designar la Intensidad de campo gravitatorio.
Para determinar el campo gravitatorio creado por una masa puntual M situamos una masa de prueba m en un punto P del espacio a una distancia R de la masa M. Calculamos la F por unidad de masa
r
r u
r GM m
r u GMm m
g F
2
2 = −
= −
=
Podemos decir que el campo gravitatorio tiene las siguientes propiedades:
• Es un campo central y disminuye con el cuadrado de la distancia.
• El signo negativo es porque g y ur tienen sentidos contrarios. Las fuerzas gravitatorias siempre son atractivas
Podemos escribir la ecuación de la intensidad como F= mg. Esto coincide con P= mg. En la superficie de la Tierra r
T
o u
R G M
g
− 2
=
Calcula el campo gravitatorio creado por el sistema de la figura en el punto P. Determina el módulo de la fuerza gravitatoria que actúa sobre una masa m= 0,5 kg colocada en el punto P.
i u j
u
−
=
−
= 2
1 ;
kg N u r u
G M
g 3,7·10 /
) 10
· 3 (
10
·
· 5 10
· 67 ,
6 4 2 13 1
6 11
2 1 1
1 1
= − = − − = − −
2 13 2
4 6 11
2 2 2
2
2 1,6·10
) 10
· 5 (
10
·
· 6 10
· 67 ,
6 u
r u GM
g = − = − − = − −
j i
g g g
g 13 13
2
1 + ; = 1,6·10− + 3,7·10−
= ;
kg N g = (1,6·10−13)2 +(3,7·10−13)2 = 4,03·10−13 /
N g
m
F= = 0,5·4,03·10−13 = 2,0·10−13
Física 2º Bachillerato
El campo gravitatorio se visualiza a través de unas líneas imaginarias que se llaman líneas de fuerza. Son la trayectoria que seguiría la unidad de masa dejada en libertad dentro del campo gravitatorio.
Así también puede definir la intensidad de campo.
uds unidad de superficie.
Intensidad de campo es el número de líneas que atraviesan la uds colocada perpendicularmente a dichas líneas
Si suponemos que la causante está en el infinito con respecto al observador
• Pueden considerarse las líneas paralelas en el cilindro
• IA=IB
7.2 Flujo del campo gravitatorio ( Φ )
Es el número de líneas que atraviesan una región del espacio.
Tenemos un campo gravitatorio g, que atraviesa una superficie S, que podemos caracterizar por un vector S
, perpendicular a la superficie y de módulo su área ( Esto es la interpretación geométrica del producto vectorial).
Se define el Φ del campo gravitatorio como φ = g·S= gscosθ
. Si g y S son perpendiculares no hay flujo.
7.3 Tª de Gauss
Gauss definió un Teorema para calcular el flujo del campo electrostático. Para el campo gravitatorio se usa una modificación de este.
Sea M una masa puntual encerrada en una esfera de radio r.
El flujo es φ = g·S= gScos180= −gS
Si M está en el centro de la esfera 2 r GM g =−
Como S = 4 π r2 →Φ=− G M·4π ·r2 = −4π ·GM
Física 2º Bachillerato
M es la masa encerrada dentro de la superficie
“ El flujo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada es el producto de una constante ( - 4πG) por la masa encerrada dentro de la superficie”.
Mediante el Tª de Gauss puede justificarse que una esfera homogénea se comporte en su exterior como una masa puntual situada en su centro. Basta con elegir una esfera concéntrica de radio r y suponer que el campo gravitatorio es cte y perpendicular a la superficie de la esfera elegida.
Tª Gauss Φ = -4πGMinterior
Definición de Φ; Φ = -gS= -g4πr2
8. Variaciones de la intensidad de campo
1º Intensidad en el exterior de un planeta de radio R y masa M
ur
d GM
g
− 2
= .
Conforme nos acercamos al planeta la g es mayor ( en módulo ) y si hacemos un pozo en el centro del planeta sería ∞. ESTO NO ES CIERTO. LA LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL SOLO SE CUMPLE PARA LA SUPERFICIE DEL PLANETA.
2º Interior de un planeta macizo
Sobre el punto A solo hay contribución de la masa que hay por debajo.
Suponemos la densidad de la esfera constante.
r2
G m gA = ;
3 3
3 3 3 3
3
· 4 3 4 3 · 4 3 · 4
R m Mr R M r m
R d M
r d m
=
→
=
=
=
π π π π
r R k
GMr R
Mr r
G r G m
gA · 3 3 ·
3 2
2 = = =
=
Justo sobre la superficie g= 2 R GM
Igualando
2 int
r GM g= erior
Física 2º Bachillerato
Hallar la intensidad del campo gravitatorio en un punto situado a igual distancia del centro de la Tierra que de la superficie.
2 r = R
o
p g
R GM R
GM R
GM R
g 2
1 2
1 2
; = 32 = 2 = 2 =
9. Energía potencial de un campo gravitatorio
Vamos a intentar calcular el W para llevar una masa m desde un punto a otro dentro del campo gravitatorio. Es un campo conservativo central
Nota:
r r
dr r r r dr
1 1 1 2
1 2 2 1 1
2 = −
= − +
= −
=
∫
− − + −∫
1 ) (1
1) (
· 180
·cos
·
· 2
B A r
r r
r r
B A
B A B
A
B AB A
r GMm r
GMm r r dr
G Mm r dr
G Mm dr
F dr
F r
d F
W B BA
A
−
−
=
−
−
=
−
=
−
=
−
=
=
=
∫
∫ ∫ ∫ ∫
Es el trabajo que se realiza para llevar la masa m del pto A al B dentro del campo gravitatorio.
Sabemos que W = - ΔEp= EpA-EpB
EpA-EpB= 1 1) (
B
A r
GMm r −
−
Para obtener la Ep relativa a un punto del campo hay que fijar un sistema de referencia que asigne 0 al valor de la Ep. Se elige el ∞. Si llevo B al infinito rB = ∞ → 1/rB = 0
EpA= rA
GMm
_ Trabajo que hay que realizar para llevar la masa desde A al ∞ y al revés ( desde
∞ al punto A). También expresa la Ep de la masa m en el pto A.
W > 0 si :
I) La masa se desplaza por acción de las fuerzas del campo gravitatorio II) La masa m disminuye su energía potencial gravitatoria
III) Se acercan dos masas W<0 si:
e) La masa m se desplaza por acción de una fuerza exterior al campo gravitatorio f) La masa m aumenta su energía potencial gravitatoria
g) Se separan dos masas
10. Potencial en el campo gravitatorio.
Es la variación de la Ep que ha sufrido el cuerpo cuando ha pasado del punto A al B
Física 2º Bachillerato
Los campos de fuerza conservativos se pueden caracterizar además de por su intensidad por una magnitud escalar, el potencial. El potencial gravitatorio se define como la energía potencial por unidad de masa colocada en un punto.
A p
A r
G M m
V = E A = −
En un punto B sería VB = rB
GM
− y por tanto VA – VB = (1 1)
B
A r
GM r −
− Diferencia de potencial
entre dos puntos . Es igual al trabajo que hay que realizar para llevar la unidad de masa de un punto a otro.
2 2
) ( 0
·
r GM r
GM r
dr
g = − dV = − − − = −
10.1 Representación del campo gravitatorio
El campo gravitatorio puede representarse mediante superficies equipotenciales que son el conjunto de puntos del campo que están al mismo potencial.
El trabajo realizado para trasladar una masa cualquiera m entre dos puntos A y B de una superficie equipotencial será nulo.
0 0
· )
·( − = =
=
−
=
∆
−
= Ep Ep Ep m V V m
WAB A B A B
g
corta a la superficie equipotencial perpendicularmente en cada punto.
∫
= →→
= 0 F·dr 0 WAB
F y dr son perpendiculares. F y g llevan la misma dirección y dr entre dos puntos A y B es tangente a la superficie → g es perpendicular a la superficie
10.2 Energía potencial en la Tierra
Si la masa creadora del campo es la masa de la Tierra ( MT) la energía potencial será
−
−
=
−
B A T B
A Ep GM m r r
Ep 1 1
Si elegimos como Ep =0 el suelo de la Tierra rB = RT → EpB = 0
− +
→
−
−
= GM m R R h
R m r
GM E
T T T T
A T pA
1 1
1 1
Se identifica con el trabajo que es preciso realizar contra las fuerzas del campo, para trasladar una masa de 1 kg desde A hasta el infinito.
