Inversa de una matriz utilizando determinantes

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(1)

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Marco te´orico: Matriz inversa

Matriz inversa de orden 2: Sea A ∈ R2×2 tal que

A =

 a b c d

Hallaremos la matriz inversa de A por medio de la siguiente f´ormula:

A−1 = 1

|A|

d −b

−c a

 (1)

Matriz inversa de orden mayor o igual que 3: Vamos a desarrollar el m´etodo de la adjunta de una matriz para calcular la matriz inversa asociada a ella. Planteamos la siguiente expresi´on:

A−1 = adj(A)

|A| , ∀ |A| 6= 0 (2)

donde adj(A) es la matriz adjunta y |A| el determinante de A ∈ Rn×n.

Ejercicio 1

Hallar la inversa de las siguientes matrices utilizando la f´ormula general:

(2)

A =

−5 0 0 0 3 0 0 0 √

2

i) B =

1 0 0

0 i 2i 1 − i 0 i + 1

 ii)

C =

√2 0 √ 3 0 1 0

√3 0 √ 2

iii) D =

1 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 2 0

 iv)

Ejercicio 2:

Decir para que valores de x la matriz A no admite matriz inversa:

A =

3 x x 1 −1 0 3 −2 0

Ejercicio 3:

Discutir si A tiene inversa, en caso afirmativo, hallarla:

A =

cos θ sin θ

− sin θ cos θ

(3)

Solucionario

Ejercicio 1

i) Hallar la inversa de A utilizando la f´ormula general:

A =

−5 0 0 0 3 0 0 0 √

2

De acuerdo a la ecuaci´on (2) debemos calcular el |A| y hallar la adj(A). Comenzamos por el determinante y como se trata de una matriz diagonal, el determinante de A ser´a el producto de los elementos de su diagonal principal

|A| = (−5) · (3) · (√

2) = −15√ 2

y ahora hallamos la matriz adjunta, reemplazando cada elemento de la matriz por su menor adjunto y luego trasponiendo la matriz resultante

adj(A) =

 +

3 0 0 √

2

0 0 0 √

2

+

0 3 0 0

0 0 0 √

2

+

−5 0 0 √

2

−5 0 0 0 +

0 0 3 0

−5 0 0 0

+

−5 0 0 3

t

que al resolvemos cada uno de los determinantes no queda

adj(A) =

 3√

2 0 0

0 −5√ 2 0

0 0 −15

t

(4)

e intercambiamos filas por columnas para obtener la adj(A), pero notemos que al tratarse de una matriz diagonal, su traspuesta es la misma matriz, y por lo tanto

adj(A) =

 3√

2 0 0

0 −5√ 2 0

0 0 −15

Finalmente, al sustituir la adjunta en la f´ormula (2) resulta

A−1 =

 3√

2 0 0

0 −5√ 2 0

0 0 −15

−15√

2 =

 3√

2

−15√

2 0 0

0 −5√

2

−15√

2 0

0 0 −15

−15√ 2

y al simplificar tenemos

A−1 =

−1 5 0 0 0 1

3 0 0 0

√2 2

ii) Hallar la inversa de B utilizando la f´ormula general:

B =

1 0 0

0 i 2i 1 − i 0 i + 1

Comenzamos por el determinante para luego obtener la matriz adj(B)

|B| = 1 ·

i 2i 0 i + 1

= i2+ i = i − 1

(5)

donde hemos usado que i2 = −1. Ahora hallamos la matriz adjunta buscando los 9 menores conjugados de orden 2

adj(B) =

 +

i 2i 0 i + 1

0 2i 1 − i 1 + i

+

0 i 1 − i 0

0 0 0 i + 1

+

1 0

1 − i i + 1

1 0 1 − i 0 +

0 0 i 2i

1 0 0 2i

+

1 0 0 i

t

y resolvemos cada uno de los determinantes

adj(B) =

i2+ i 2i − 2i2 −i + i2

0 i + 1 0

0 −2i i

t

=

i − 1 2i + 2 −i − 1 0 i + 1 0

0 −2i i

t

para acabar buscando la traspuesta

adj(B) =

i − 1 0 0 2i + 2 i + 1 −2i

−i − 1 0 i

 Finalmente, usando la f´ormula (2) tenemos que

B−1 =

i − 1 0 0 2i + 2 i + 1 −2i

−i − 1 0 i

i − 1 =

 i − 1

i − 1 0 0

2i + 2 i − 1

i + 1 i − 1

−2i i − 1

−i − 1

i − 1 0 i

i − 1

Ahora, al estar trabajando con matrices cuyos coeficientes son complejos la simplifi- caci´on nos llevar´a un poco m´as de trabajo. Tendremos que multiplicar y dividir por el conjugado, es decir, por i + 1 para reducir las fracciones. Os dejamos un ejemplo ( el elemento a21)

2i + 2

i − 1 · i + 1

i + 1 = (2i + 2) · (i + 1)

(i + 1) · (i + 1) = 2i2+ 4i + 2 i2− 1

(6)

= −2 + 4i + 2

−2 = −2i

y operando de la misma forma con el resto de los elementos tenemos la matriz

B−1 =

1 0 0

−2i −i i − 1 i 0 1−i2

iii) Hallar la inversa de C utilizando la f´ormula general:

C =

√2 0 √ 3 0 1 0

√3 0 √ 2

De acuerdo a la ecuaci´on (2) debemos calcular el |C| y hallar la adj(C). Para ello comenzamos por el determinante, resolviendo por menores a partir de la segunda fila (ya que tiene 2 ceros)

|C| = 1 ·

√2 √ 3

√3 √ 2

=√ 2 ·√

2 −√ 3 ·√

3 = −1

y ahora hallamos la matriz adjunta

adj(C) =

 +

1 0 0 √

2

0 0

√3 √ 2

+

0 1

√3 0

0 √ 3 0 √

2

+

√2 √ 3

√3 √ 2

√2 0

√3 0 +

0 √ 3 1 0

√2 √ 3 0 0

+

√2 0 0 1

t

(7)

que nos queda

adj(C) =

√2 0 −√ 3

0 −1 0

−√

3 0 √

2

t

=

√2 0 −√ 3

0 −1 0

−√

3 0 √

2

ya que es una matriz sim´etrica y no se ve afectada al trasponerla. Finalmente, dividi- endo por el determinante obtenemos

C−1 =

√2 0 −√ 3

0 −1 0

−√

3 0 √

2

−1 =⇒ C−1 =

−√

2 0 √ 3

0 1 0

√3 0 −√ 2

iv) Hallar la inversa de D utilizando la f´ormula general:

D =

1 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 2 0

Esta matriz, aunque sea de orden 4, requerir´a los mismo pasos y tambi´en utilizare- mos la ecuaci´on (2). El problema ser´a que en lugar de 9 determinantes de orden 2, tenderemos 16 de orden 3 y por lo tanto deberemos ser muy cuidadosos con no equivo- carnos. Recordad los c´alculos implicados son siempre sumas, restas y multiplicaciones pero muchas veces los errores que comentemos son siempre por descuidos al copiar o con los signos. Comencemos por calcular el |D| y hallar la adj(D), y para el determinante, desarrollaremos por menores por la primer columna

|D| = 1 ·

1 0 0 0 1 3 0 2 0

= 1 ·

1 ·

1 3 2 0

= 1 · [1 · (−3 · 2)] = −6

(8)

ahora hallamos la matriz adjunta

adj(D) =

 +

1 0 0 0 1 3 0 2 0

0 0 0 0 1 3 0 2 0

+

0 1 0 0 0 3 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 2

−1 0 0 0 1 3 0 2 0

+

1 0 0 0 1 3 0 2 0

1 −1 0 0 0 3 0 0 0

+

1 −1 0 0 0 1 0 0 2

+

−1 0 0 1 0 0 0 2 0

1 0 0 0 0 0 0 2 0

+

1 −1 0 0 1 0 0 0 0

1 −1 0 0 1 0 0 0 2

−1 0 0 1 0 0 0 1 3

+

1 0 0 0 0 0 0 1 3

1 −1 0 0 1 0 0 0 3

+

1 −1 0 0 1 0 0 0 1

t

y primero ponemos ceros donde tenemos una fila o una columna de ceros. Esto nos ayudar´a a que todo parezca m´as simple. En definitiva, hay tantos ceros que tendremos que calcular 6 determinantes ´unicamente

adj(D) =

 +1 ·

1 ·

1 3 2 0

 0 0 0

−1 ·

−1 ·

1 3 2 0

 +1 ·

1 ·

1 3 2 0

 0 0

0 0 0 −1 ·

1 ·

1 0 0 2

0 0 −1 ·

1 ·

1 0 0 3

 +1 ·

1 ·

1 0 0 1

t

(9)

adj(D) =

−6 0 0 0

−6 −6 0 0 0 0 0 −2 0 0 −3 1

t

=

−6 −6 0 0 0 −6 0 0 0 0 0 −3 0 0 −2 1

 Finalmente buscamos la inversa dividiendo por le determinante

D−1 =

−6 −6 0 0 0 −6 0 0 0 0 0 −3 0 0 −2 1

−6 y concluimos que

D−1 =

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 12 0 0 13 −16

(10)

Ejercicio 2

Decir para que valores de x la matriz A no admite matriz inversa:

A =

3 x x 1 −1 0 3 −2 0

Una matriz no admite inversa cuando su determinante es igual a cero, por lo que un buen plan ser´a hallar el determinante de A e igualarlo a cero. Resolvemos por la tercera columna porque tenemos 2 ceros

|A| = x ·

1 −1 3 −2

= x · [1 · (−2) − (−1) · 3] = x

y al igualar a cero obtenemos x = 0. Por lo tanto,

Para x = 0 la matriz no tiene inversa

Ejercicio 3

Discutir si A tiene inversa, en caso afirmativo, hallarla:

A =

cos θ sin θ

− sin θ cos θ

Igual que en el ejercicio anterior, para saber si tiene inversa comenzamos analizando si el determinante es distinto de cero

|A| = cos θ · cos θ − sin θ · − sin θ = cos2θ + sin2θ

(11)

que por identidades trigonom´etricas no queda

cos2θ + sin2θ = 1 =⇒ |A| = 1

y por lo tanto, A admite inversa, y la encontramos utilizando la ecuaci´on (1)

A−1 = 1 1 ·

cos θ − sin θ

−(− sin θ) cos θ

y concluimos que

A−1 =

cos θ − sin θ sin θ cos θ

Figure

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Referencias

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