Página 1 1) Código para magnitudes binarias
Los números binarios se pueden codificar como códigos binarios de bloque.
Usted ya sabe que un código binario de bloque tiene la característica de que todas sus líneas tienen la misma cantidad de dígitos, observado desde una tabla con la que ya está familiarizado..
Esto ocurre, según vimos en el capítulo anterior, cuando convertimos a binario cantidades pertenecientes a sistemas numéricos de base cuatro, octal o hexadecimal. En dicho caso, los números binarios resultantes pueden tener todos la misma cantidad de dígitos sin que esto afecte a la cantidad. Esta propiedad los califica como códigos binarios de bloque naturales.
Pero, en general, todos los números binarios se pueden codificar como códigos de bloque.
Bit Se lo define como la mínima unidad de información binaria.
Cada dígito de un número binario es un bit, tanto como cada dígito correspondiente a un código de bloque.
Llamaremos Palabra a todo número binario que contenga uno o más bits.
Un código de bloque puede constituirse por palabras de dos, cuatro, ocho, doce, dieciséis bits, etc.
Llamaremos Byte a toda palabra que contenga ocho bits.
P1 ¿Cuáles son las magnitudes extremas para un código de un byte?.
Partimos de que un byte es una palabra de ocho bits. De ahí que los ocho bits tienen que estar en 0 para determinar la magnitud mínima, es decir
00000000
Es razonable pensar, entonces, que, si los ocho bits están en 1 podemos determinar la magnitud máxima:
11111111
Estas magnitudes mínima y máxima son, respectivamente: 0 y 255
Además está permitido poner que:
255 = 28 - 1
P2 ¿Cuáles son las magnitudes extremas para un código de n bits?.
2) Operaciones aritméticas entre magnitudes binarias codificadas
Entre las operaciones aritméticas que se conocen, nosotros vamos a estudiar la suma y la resta aplicadas a los códigos binarios.
De acuerdo a P2, para cada código, el resultado de una operación aritmética debe ser :
0 ≤ 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 ≤ 2𝑛− 1
En caso contrario, dicho resultado no pertenece al código, por lo cual, la operación se la califica como incorrecta.
2 – a) Suma
Veamos ejemplos para sumas entre dos bytes.
Ej 1 Ej 2
11111 1 11 +0100110110011011
11101000
Se observa en el Ej 1 que el resultado es correcto ya que se encuentra dentro del intervalo que hemos definido. En color rojo se han colocado los unos del acarreo hacia la columna siguiente.
En el ejemplo 2 se observa un acarreo final (en color azul), que no tiene columna donde posicionarse, y en consecuencia, será el bit más significativo del resultado de la operación. Como éste es de nueve bits en lugar de 1 byte, la operación es incorrecta.
2 – b) Resta
+← 11001101 11001110 10011011
Página 2 Dado que estamos trabajando con
magnitudes carentes de signo, el resultado de la resta no puede dar < 0.Cuando se da el caso en el que esto ocurre, aparece un préstamo final que invalida la operación.
Veamos dos ejemplos.
Ej 1 0 0
−1010110101001011 01100010
2 – b – 1) Complemento a uno (1°C)
El complemento a uno de una palabra binaria es la inversión de todos sus bits.
Por ejemplo:
101011100 Complemento a uno: 010100011 P3
Dados los números 255 y 179, pasarlos a binario y restarlos. ¿Qué característica tiene el resultado?.
Ya resuelto el problema por el lector, podemos concluir que
1°𝐶 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛° = 2𝑛− 1 − 𝑛° 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚.
2 – b – 2) Complemento a dos (2°C) Lo definimos como:
2°𝐶 = 1°𝐶 + 1
O bien, sumando uno en ambos miembros de la expresión (en 2 – b – 1)
1°𝐶 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛°+ 1
=1 + 2𝑛 − 1 − 𝑛° 𝑎 𝑐𝑜𝑚.
2°𝐶 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛° = 2𝑛− 𝑛° 𝑎 𝑐𝑜𝑚.
P4
Sacar el 2°C de 101101011010 de las dos maneras propuestas en 2 – b – 2)
2 – c) Resta por complemento a dos
Si restamos Minuendo – Sustraendo, el método que vamos a considerar es la suma siguiente: 2°C del S + M, la cual, puede dar dos resultados posibles:
1°: con acarreo, que nos lleva a un resultado correcto, en cuanto a que es positivo.
Recuerde que estamos trabajando con cantidades carentes de signo.
2°: sin acarreo, que nos lleva a un resultado incorrecto, en cuanto a que es negativo. Y en efecto, veremos en la operación primitiva que el Sustraendo es mayor que el Minuendo Ejemplos
−101101011010 M 100100010110 S +011011101001 1 +011011101010 101101011010 1 001001000100
−100010011011 M 110011110010 S +001100001101 1 +001100001110 100010011011 101110101001 En el ejemplo de la izquierda, el acarreo se ha eliminado, por el solo hecho de no pertenecer al resultado de la operación primitiva.
A la derecha, el resultado de la operación resultó incorrecto, y esto significa que el método no funciona cuando el minuendo es menor al sustraendo. Para esta situación, habrá que buscar la manera de codificar números binarios enteros para incorporar el signo negativo en el caso que corresponda.
P5 Restar por complemento a dos a) b)
−100110110100100010101111
−100110110100101111101101
3) Codificación en complemento a dos para números binarios enteros
Como se trata de binarios enteros, éstos pueden ser positivos o negativos. Se codifican de la siguiente manera:
los positivos por su magnitud los negativos por el complemento a dos de su magnitud P6 De acuerdo a lo expresado mas arriba, completar la siguiente tabla
Página 3 Número Codificación
+ 111 0111 + 110
+ 101 + 100
+ 11 0011 + 10
+ 1 0001 0
- 1 1111 - 10
- 11 - 100
- 101 1011 - 110
- 111
- 1000 1000
P7 ¿Cuánto vale el bit más significativo en los números codificados que representan a las cantidades positivas?. ¿Y a las negativas?.
Respondida la pregunta anterior, podemos sacar como conclusión que el bit más significativo se utiliza como indicador de signo.
P8 Analizar la representación codificada de la cantidad 0
Si se lo considera positivo (+0)→ 0000
Si se lo considera negativo (- 0) → 1°C: 1111
→ 2°C: 0000 Observe que cuando suma 1111 + 1 = 10000, el 1 más significativo se descarta, pues desborda al código.
Como conclusión, el 0 se codifica como 0000 P9 Pruebe si se puede representar la cantidad (– 1001) con 4 bits.´
Conclusión
Siendo n el número de bits , sólo se puede representar hasta el número negativo
−2𝑛−1 Y el número positivo 2𝑛−1− 1
Por ejemplo, para n = 4 bits, los extremos positivo y negativo serán, respectivamente:
+111 y – 1000 P10 Para n = 8:
a) Representar: +101011 b) Representar: - 10110
c) ¿Cuál es el máximo representable positivo y el máximo representable negativo?. ¿Cómo se representan ambos?.
d) Se pueden representar las cantidades:
+10000000 y – 10110110 ?.
e) ¿A qué número representa: 01101100?.
f) ¿A qué número representa: 10110010?.
(Sug. Haga el camino inverso al procedimiento de b))
3 – a) Suma de enteros codificados en complemento a dos
3 – a – 1) Dos enteros positivos
Si se suman dos números enteros que son positivos, sabemos de antemano que el resultado debe ser positivo, por más que desconozcamos su magnitud. Entonces , si A y B son enteros positivos, puede ocurrir que:
i) 𝐴 + 𝐵 < 2𝑛−1 ó (𝐴 + 𝐵) ≤ 2𝑛−1− 1, en tales casos, el resultado está dentro del código y se considera correcto.
ii) (𝐴 + 𝐵) ≥ 2𝑛−1, el resultado será incorrecto, pues se sale del cóidigo (desborda) y da negativo.
Ejemplos: Para n = 4
a) 11 + 10 (cantidades binarias, en decimal:
(3 + 2). Ahora codificamos: b) 11 + 110 +0011 (3)
0010 (2) 0101 (5)
+0011 (3) 0110 (6) 1001 (−7) Observamos, entonces que el resultado de la suma a) es correcto; en cambio, el resultado de la suma b) desborda porque es mayor a
2n – 1 = 8 = 1000, cuando el máximo
representable, hemos visto que es: 2n – 1 – 1
=7 = 0111. Observamos en el ejemplo que el resultado no es verdadero.
P11 Sumar y verificar si los resultados son correctos, convirtiendo a decimal.
Página 4 a) b)
+01010110 00011111
+01011010 01111011
3 – a – 2) Dos enteros negativos
Los enteros negativos se deben representar por sus complementos a dos, antes de sumarlos.
(-) con acar. desc. (Correcto) Resultado
(+) Desborda. (Incorrecto) Ejemplos: Para n = 4
a) -10 + (-100) b) -100 + (-110) +↵1110 (−2)
1100 (−4) 1010 (−6)
+↵1100 (−4) 1010 (−6) 0110 (+6) Da +, desborda
1010 – 1 =1001 y es incorrecto
-110 = -6 Es correcto Con ↵ simbolizamos el acarreo.
P12 Sumar en n = 8 a) – 10001 + ( - 1000110 ) = b) – 111111 + ( - 1000011 ) =
Verifique los resultados en sistema decimal.
3 – a – 3) Dos enteros de distinto signo Tenemos dos posibilidades:
i) A + ( - B )
𝐴 > 𝐵 𝐴 < 𝐵 Result:+𝐶 < 𝐴 Result: −𝐶 ∕ 𝐶 < 𝐵 ii) −𝐴 + 𝐵
𝐴 < 𝐵 𝐴 > 𝐵 Result: +𝐶 < 𝐵 Result:−𝐶 < 𝐴 Ejemplos: Para n = 4
a) -100 + 10 b) -100 + 111 + 1100 (−4)
0010 (+2) 1110 (−2)
+ ↵1100 (−4) 0111 (+7) 0011 (+3) P13 Sumar en n = 8
a) – 10000000 + 11111
b) – 101011 + 1010001 c) 1111111 + ( - 1110001) d) 10010 + ( - 1010101)
P14 Sea una unidad sumadora que opera con 8 bits. Se pide : a) Efectuar las seis sumas indicadas. Se señalará la eventual aparición de un acarreo final pero el resultado de dará siempre en 8 bits. B) Discutir la validez del resultado suponiendo que los operandos eran magnitudes (números naturales). C) Idem si los operandos eran números enteros representados en código complemento a dos.
a) 00110101 + 01000111 b) 00110101 + 01101100 c) 00110101 + 11010011 d) 00110101 + 10001001 e) 11010011 + 10111000 f) 11010011 + 10001001
3 – b) Resta de enteros codificados en complemento a dos
Para realizar la resta se suma al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Para entender los criterios que se toman acerca de si es correcto o no el resultado obtenido, veremos los ejemplos correspondientes.
Ejemplos: Para n = 8 a)
−10101101 01001011
+↵10101101 10110101 01100110
A la izquierda está expresada la resta y a la derecha se le ha sumado el segundo complemento del sustraendo al minuendo.
Se descartó el acarreo y el resultado obtenido es incorrecto, ya que da positivo y esto significa que desborda. Para poder comprenderlo pensémoslo así:
Se está restando −𝑚 − +𝑠 por lo tanto, el signo del resultado debe coincidir con el del minuendo 𝑚, independientemente de que: 𝑚 > 𝑠 𝑜 𝑚 < 𝑠
Si convertimos en decimales a los números de la resta tendremos:
−83 − +75 = −158, lo cual justifica que el resultado de la operación binaria era
Página 5 incorrecto; en efecto, convirtiendo el
resultado en decimal: 011001102 = 102 b)
−10101101 11001011
+ 10101101 11110100 11100010
Observamos que no hay desborde y concluimos que la resta de dos números de igual signo no desborda.
Si convertimos en decimales a los números de la resta tendremos:
−83 − −53 = +30, lo cual justifica que el resultado de la operación binaria es correcto; en efecto, convirtiendo el resultado en decimal: 1100010 – 1 = 1100001 → 1°C:
00111102 = 30 c)
−10101101 00001011
+↵10101101 11110100 10100001
Se descarta el acarreo y observamos que el resultado tiene el mismo signo que el minuendo, por lo tanto, no desborda y es correcto. El lector puede hacer la comprobación por medio de las correspondientes conversiones a decimal.
Finalmente, fijar los conceptos de criterios de desborde, para la suma y para la resta, recordando lo siguiente:
a) Para la suma: debe descartarse el acarreo final y habrá desborde sólo en el caso de que los sumandos sean de igual signo y el resultado tenga diferente signo respecto de ambos.
b) Para la resta: debe descartarse el acarreo final y habrá desborde sólo en el caso de que el minuendo y el sustraendo sean de signo contrario y el resultado obtenido no tenga el signo del minuendo.
P15
a)Codificar en n =8 y restar.
b) Aplicando el criterio de desborde verificar si los resultados son correctos.
c) Repetir la verificación convirtiendo en decimal los operandos y el resultado que obtuvo en a).
1) 100011 – 1010=
2) 101010 – ( - 1001011) = 3) – 101101 – ( + 1011101 ) = 4) – 1101101 – ( - 101100 ) =
