Determinar la solución particular en una Ecuación Diferencial
de la forma F( D ) y = g(t) mediante varios métodos
Preparado por Profesora: Rosa Cristina De Peña Presentamos una Ecuación Diferencial de la forma:
I. F ( D )y = g(t) para n = 2 tenemos que la ecuación I se puede expresar:
( A2 D2 + A1 D + A0 )y = g(t)
**¿Cómo obtener la misma solución particular con los tres métodos?:
1. Coeficientes indeterminados 2. Variación de los parámetros 3. Transformada de Laplace.
*** La Transformada de Laplace genera la solución particular.
1. Método de Coeficientes Indeterminados.
(D2 -5D + 6) y = 4 siendo t = 0 y = 4 Dy = -5 y = yc+ yp
r2-5r + 6 = 0 (r-3) (r-2) = 0 r1= 3 r2 = 2 yc = C1e3t + C2 e2t
g(t) = 4 g’ (t) = 0 yp= A D yp= 0 D2 yp= 0 D2yp -5 D yp + 6 yp= 4 yp =
3 2 64 = Y = yc + yp = C1e3t + C2 e2t +
3 2 Y’ = 3 C1e3t + 2 C2 e2t
Para las condiciones iniciales : 4 = C1e3(0) + C2 e2(0) +
3
2 = C1 + C2
-5 = 3 C1e3(0) + 2 C2 e2(0) = 3 C1 + 2 C2
Resolviendo el sistema anterior: C1= 15 C2 = 3
−35
2. Método de Variación de los Parámetros.
(D2 -5D + 6) y = 4 siendo t = 0 y = 4 Dy = -5
y = yc+ yp
r2-5r + 6 = 0 (r-3) (r-2) = 0 r1= 3 r2 = 2 yc = C1e3t + C2 e2t
yp = µ1e3t +µ2e2t
y’p : µ'1e3t +µ'2e2t =0
3µ'1e3t +2µ'2e2t =4
t t t t
t t t
e e
e e e
e
W e3 2 5 2 5
2 3
3 2 2
3 = − =−
=
t t
t t
t t
e e e e
e e
3 5
2 5
2 2
1 4 2 4 4
0
' = −
−
= −
= −
µ µ1 =
∫
4e−3tdt = 4−e−33tt t
t t
t t
e e e e
e e
2 5
3 5
3 3
2 3 4 4 4
0
' =− −
= −
= −
µ t
t
t e e
dt
e 2
2 2
2 2
2
4 4 −
− − =
−
= −
−
=
∫
µ
yp = µ1e3t +µ2e2t =
3 2 3
6 2 4
3 2 4
3
4 3 3 2 2
+ =
= −
− +
=
− −t t + − t t e e e e
y = yc+ yp = C1e3t + C2 e2t + 3 2
Y’ = 3 C1e3t + 2 C2 e2t
Para las condiciones iniciales :
4 = C1e3(0) + C2 e2(0) + 3
2 = C1 + C2
-5 = 3 C1e3(0) + 2 C2 e2(0) = 3 C1 + 2 C2
Resolviendo el sistema anterior: C1= 15 C2 = 3
−35
Y= F(t) = 15 e3t 3
−35e2t + 3 2
3. Transformada de Laplace
(D2 -5D + 6) y = 4 siendo t = 0 y = 4 Dy = -5
{
2 5 6}
δ{ }
4 δ D y− Dy+ y ={ }
2 5δ{ }
6δ{ }
4δ{}
1δ D y − Dy + y =
S2 F(s) –S F(0) – F’(0) – 5 [ S F(s) – F(0)] + 6 F(s) = 4 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ s 1
S2 F(s) – 4 S – (-5) – 5 S F(s) + 5 (4) + 6 F(s) = 4 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ s 1
S2 F(s) – 4 S + 5 – 5 S F(s) + 20 + 6 F(s) = 4 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ s 1
S2 F(s) – 4 S + 25 – 5 S F(s) + 6 F(s) = 4
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ s 1
S2 F(s) – 5 S F(s) + 6 F(s) = 4
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ s
1 + 4 s - 25
[S2 – 5 S + 6 ] F(s) = 4 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ s
1 + 4 s - 25
F(s) =
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ + −
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+
− 4 4 25
6 5 1
2 s
s s s
F(s) =
) 2 )(
3 (
25 4
4 2
−
−
− +
s s s
s
s =
) 2 )(
3 (
4 25 4 2
−
− +
− s s s
s s
{ }
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
−
− +
= − −
−
) 2 )(
3 (
4 25 ) 4
(
2 1 1
s s s
s s s
F δ
δ
) 2 )(
3 (
4 25 4 2
−
− +
− s s s
s
s =
2 3+ − + −
s C s
B s A
4s2 -25 s + 4 = A( s2 -5s +6 ) + B( s2-2s) + C( s2 -3s)
4s2 -25 s + 4 = (A+ B + C ) s2 + (-5A -2B -3C)s + 6 A
T. I. : 4 = 6A A=
3 2 T. Lineal s : -25 = -5A -2B -3C T. Cuadrático s2 : 4 = A+ B + C
Sustituyendo A : -25 = - 2B 3C 3
10− − -25 + 2B 3C
3
10 =− − - 2B 3C 3
65 =− −
4 = 3
2+ B+ C 4- 3
2 = B + C =B+C 3
10
C B 2 3 2
20 = +
-15 = - C C = 15 B =
3 15 35 3
10− =−
{ }
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ + −
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ + −
⎭⎬
⎫
⎩⎨
= − ⎧ − −
−
2 ) 3
( 1 1 1
1
s C s
B s
s A
F δ δ δ
δ
{ }
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ + −
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
− +
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
= − − −
−
2 15 3
3 35 3
2 )
( 1 1 1
1
s s
s s
F δ δ δ
δ =
3 2-
3
35 e3t + 15 e2t
Y= F(t) = 3 2 -
3
35 e3t + 15 e2t