DIFERENCIAS DE ORDEN k Y MONOMIOS GENERALIZADOS
FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ
Resumen. En el siguiente problema estudiamos las diferencias de orden k asociados a una sucesi´on y los monomios generalizados. Aplicamos dicho estudio al c´alculo de las sumas Sk = 1k+ 2k+ · · · + nk con k entero positivo.
Enunciado
(a) Si a1, a2, a3, . . . , am, . . . es una sucesi´on de n´umeros reales, se definen las diferencias de ´ordenes 1, 2, 3, . . . , k . . . de la forma
∆am= am+1− am
∆kam = ∆
∆k−1am
si k > 1.
Determinar expl´ıcitamente ∆2am y ∆3am.
(b) Demostrar que ∆kam=
k
X
j=0
(−1)jk j
am+k−j. (c) Calcular expl´ıcitamente ∆4am, y ∆5am.
(d) Sea S el espacio vectorial real de las sucesiones reales. Demostrar que la aplicaci´on ∆ : S → S es lineal. ¿Es ∆k: S → S lineal?
(e) Se llaman monomios generalizados a los polinomios en n :
n(0)= 1, n(1) = n, n(2) = n(n − 1), n(3) = n(n − 1)(n − 2), . . . , n(k)= n(n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1).
N´otese que n(k)= Vn,k es decir, son las variaciones de n elementos tomados de k en k. Demostrar que B = . . . {n(0), n(1), n(2), . . . , n(k)} es base de Rk[n].
(f) Se considera el polinomio p(n) = n4− 3n3+ 7n2+ n − 5 ∈ R4[n]. Expre- sarlo como combinaci´on lineal de la base B = {n(0), n(1), n(2), n(3), n(4)}.
(g) Demostrar que para k ≥ 1 el operador ∆ act´ua sobre los monomios ge- neralizados, como el operador derivaci´on. Es decir, demostrar que se verifica
Key words and phrases. diferencias, orden k, monomios generalizados.
1
∆n(k) = kn(k−1).
(h) Supongamos que se verifica ak= ∆Akpara k = 0, 1, . . . , n+1. Demostrar que
a0+ a1+ a2+ · · · + an= An+1− A0. (i) Demostrar que una soluci´on de n(k)= ∆Ak es Ak= n(k+1)
k + 1.
Nota. Denotamos a Ak por Int n(k) por analog´ıa con el operador integral.
Quedar´ıa por tanto
Int
n(k)
= n(k+1) k + 1 .
(j) Usando los dos apartados anteriores, dar un procedimiento para calcular sumas del tipo
Sk = 1k+ 2k+ 3k+ · · · + nk (k entero positivo).
(k) Aplicar dicho procedimiento al c´alculo de las sumas a) S2= 12+ 22+ 32+ · · · + n2. b) S3 = 13+ 23+ 33+ · · · + n3. c) S4 = 14+ 24+ 34+ · · · + n4. Soluci´on
(a) Tenemos
∆2am= ∆ (∆am) = ∆ (am+1− am)
= am+2− am+1− (am+1− am) = am+2− 2am+1+ am.
∆3am= ∆ ∆2am = ∆ (am+2− 2am+1+ am)
= am+3− 2am+2+ am+1− (am+2− 2am+1+ am)
= am+3− 3am+2+ 3am+1− am.
(b) Veamos (por ejemplo), que la f´ormula es cierta para k = 1 y k = 2.
Desarrollando el segundo miembro,
1
X
j=0
(−1)j1 j
am+1−j = (−1)01 0
am+1+(−1)11 1
am= am+1−am= ∆1am,
2
X
j=0
(−1)j2 j
am+2−j = (−1)02 0
am+2+ (−1)12 1
am+1+ (−1)22 2
am
= am+2− 2am+1+ am = ∆2am.
Suponiendo que la f´ormula dada es cierta, veamos que es cierta para k + 1.
Tenemos
∆k+1am = ∆
∆kam
= ∆
k
X
j=0
(−1)jk j
am+k−j
=
k
X
j=0
(−1)jk j
am+k+1−j −
k
X
j=0
(−1)jk j
am+k−j (∗) El primer sumando de la l´ınea (∗) lo podemos escribir en forma
k
X
j=0
(−1)jk j
am+k+1−j = am+k+1+
k
X
j=1
(−1)jk j
am+k+1−j
=k + 1 0
(−1)0am+k+1+
k
X
j=1
(−1)jk j
am+k+1−j. El sustraendo de la linea (∗) lo podemos escribir en forma
k
X
j=0
(−1)jk j
am+k−j =
k−1
X
j=0
(−1)jk j
am+k−j+ (−1)kam
=
|{z}
j=i−1 k
X
i=1
(−1)i−1
k i − 1
am+k+1−i+k + 1 k + 1
(−1)kam. En consecuencia,
∆k+1am=k + 1 0
(−1)0am+k+1+
k
X
j=1
(−1)jk j
am+k+1−j.
+
k
X
j=1
(−1)j
k j − 1
am+k+1−j+k + 1 k + 1
(−1)k+1am=k + 1 0
(−1)0am+k+1
+
k
X
j=1
(−1)jk j
+
k j − 1
am+k+1−j +k + 1 k + 1
(−1)k+1am.
Usando la conocida f´ormula de combinatoria k j
+
k j − 1
= k + 1 j
queda
∆k+1am =k + 1 0
(−1)0am+k+1+
k
X
j=1
(−1)jk + 1 j
am+k+1−j
+k + 1 k + 1
(−1)k+1am =
k+1
X
j=0
(−1)jk + 1 j
am+(k+1)−j y la f´ormula es por tanto cierta para k + 1.
(c) Usando la obvia analog´ıa de la f´ormula del apartado anterior con la del binomio de Newton,
(a − b)4= a4− 4a3b + 6a2b2− 4ab3+ b4
⇒ ∆4am= am+4− 4am+3+ 6am+2− 4am+1+ am.
(a − b)5= a5− 5a4b + 10a3b2− 10a2b3+ 5ab4− b5
⇒ ∆5am= am+5− 5am+4+ 10am+3− 10am+2+ 5am+1− am. (d) Para todo α, β ∈ R y am, bn∈ S,
∆ (αam+ βbm) = (αam+1+ βbm+1) − (αam+ βbm)
= α (am+1− am) + β (bm+1− bm) = α∆am+ β∆bm,
luego ∆ es lineal. Dado que ∆k= ∆ ◦ ∆ ◦ . . . ◦ ∆ (k veces) y que la compo- sici´on de aplicaciones lineales es lineal, concluimos que ∆ktambi´en es lineal.
(e) Los k + 1 polinomios de B son de distinto grado y por tanto linealmente independientes. Por otra parte, dim Rk[n] = k + 1 lo cual implica que B es base de Rk[n].
(f) Expresando p(n) =P4
i=0αin(i), operando el segundo miembro, identifi- cando coeficientes y resolviendo el sistema lineal en las inc´ognitas αi obte- nemos
α0= −5, α1= 6, α2= 5, α3 = 3, α4 = 1, es decir p(n) = −5n(0)+ 6n(1)+ 5n(2)+ 3n(3)+ n(4).
Nota. Se demuestra que se pueden hallar los coeficientes αi usando de forma general el siguiente algoritmo:
1 −3 7 1 −5
1 1 −2 5
1 −2 5 6
α0= −5,
1 −2 5 6
2 2 0
1 0 5
α1 = 6,
1 0 5
3 3
1 3
α2 = 5, α3= 3, α4 = 1.
(g) Tenemos
∆n(k) = (n + 1)(k)− n(k)= (n + 1)n(n − 1) · . . . · (n − k + 2)
−n(n − 1)(n − 2) · . . . · (n − k + 2)(n − k + 1)
= [n(n − 1)(n − 2) · . . . · (n − k + 2)] (n + 1 − n + k − 1)
= kn(n − 1)(n − 2) · . . . · (n − k + 2) = k∆n(k−1). (h) Dado que ak= ∆Ak= Ak+1− Ak tenemos
k = 0, a0 = A1− A0 k = 1, a1 = A2− A1 k = 2, a2 = A3− A2
. . .
k = n, an= An+1− An.
Sumando y cancelando, obtenemos
a0+ a1+ a2+ · · · + an= An+1− A0. (i) Tenemos
∆ n(k+1) k + 1
!
=
|{z}
∆ lineal
1
k + 1∆n(k+1)= 1
k + 1(k + 1)n(k)= n(k). (j) Por el apartado 5, podemos expresar nk en la forma
nk= α0n(0)+ α1n(1)+ α2n(2)+ · · · + αkn(k). Debido a la linealidad de ∆, y usando el apartado 9,
Int nk
= α0Int n(0)
+ α1Int n(1)
+ α2Int n(2)
+ · · · + αkInt n(k)
= α0
n(1) 1 + α1
n(2) 2 + α2
n(3)
3 + · · · + αkn(k+1) k + 1 . Por el apartado 8, y teniendo en cuenta que ∆0 = 0,
Sk = 0k+ 1k+ 2k+ 3k+ · · · + nk = Int
(n + 1)k
− 0
= α0
(n + 1)(1) 1 + α1
(n + 1)(2) 2 + α2
(n + 1)(3)
3 + · · · + αk
(n + 1)(k+1) k + 1 . (k) a) Expresando n2en funci´on de monomios generalizados obtenemos n2= n(1)+ n(2). Usando el apartado anterior,
S2= (n + 1)(2)
2 +(n + 1)(3)
3 = (n + 1)n
2 +(n + 1)n(n − 1) 3
= . . . = n(n + 1)(2n + 1)
6 .
b) Expresando n3 en funci´on de monomios generalizados obtenemos n3 = n(1)+ 3n(2)+ n(3). Por tanto,
S3= (n + 1)(2)
2 + 3(n + 1)(3)
3 +(n + 1)(4) 4
= (n + 1)n
2 + (n + 1)n(n − 1) +(n + 1)n(n − 1)(n − 2) 4
= . . . = n(n + 1) 2
2
.
c) Expresando n4 en funci´on de monomios generalizados obtenemos n4 = n(1)+ 7n(2)+ 6n(3)+ n(4). Por tanto,
S3= (n + 1)(2)
2 + 7(n + 1)(3)
3 + 6(n + 1)(4)
4 +(n + 1)(5) 5
= (n + 1)n
2 +7(n + 1)n(n − 1)
3 +3(n + 1)n(n − 1)(n − 2) 2
+(n + 1)n(n − 1)(n − 2)(n − 3)
5 = . . . = 6n5+ 15n4+ 10n3− n
30 .
Monograf´ıas matem´c aticas por Fernando Revilla Jim´enez se dis- tribuye bajo la licencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial- SinDerivar 4.0 Internacional.
M´as material en http://www.fernandorevilla.es
Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES Santa Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Matem´ati- cos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).
E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es