Taller del Curso de Bioelectricidad y Biomagnetismo

(1)

Taller del Curso de Bioelectricidad y Biomagnetismo

Taller # 10

Tema: Repaso.

Docentes: Gilles Pieffet, Juan P. Beltr´an.

1. vectores 1. Calcule las magnitud y la direcci´on (´angulo formado con el eje x positivo) de los vectores con componentes:

a) ~a = (2, 2) b) ~b = (1, 2).

c) ~c = (2, 1/2).

d ) ~d = (0, 2).

2. vectores 2. Calcule la fuerza el´ectrica ~Feproducida por las cargas q1, q2 sobre la carga q = 5 µC en el punto ~r = (20, 20) acomodadas como se muestra en la figura.

Taller del Curso de Bioelectri- cidad y Biomagnetismo

Taller # 1

Temas: Repaso de vectores, carga el´ectrica, ley de Coulomb.

1ra Parte. Repaso de vectores.

1. Calcule las magnitud y la direcci´on (´angulo formado con el eje x positivo) de los vectores con componentes:

a) ~a = (2, 2) b) ~b = ( 1,p

2)

c) ~c = ( 2, 1/2) d ) ~d = (0, 2)

2. Con los vectores del ejercicio anterior, haga las siguientes operaciones y calcule la magnitud y direcci´on del vector resultante de cada operaci´on:

a) ~a + 2~b ~c b) 2~a + 3~b ~c

c) ~a + ~b ~c d~ d ) 3~b + ~c + 2 ~d

3. Calcule el vector resultante (las componentes, la magnitud y la direcci´on) de la sumatoria de los vectores ~A, ~F y ~M representados en la figura 1.

∣⃗F∣=6

∣ ⃗M∣=8

∣⃗A∣=7

x y

53^o

Figura 1: Vectores ~A, ~F y ~M del ejercicio 4 2da Parte. Carga el´ectrica y ley de Coulomb.

4. Mn⁷⁺. ¿ C´ual es la carga el´ectrica del ion de manganeso VII (Mn⁷⁺)?

5. Fuerza el´ectrica entre dos protones. Uti- lizar la ley de Coulomb para calcular la fuerza entre dos protones separados por una distancia de: a) r1 = 0.1 nm; b) r2 = 0.1 µm; c) r3

= 0.1 mm.

6. Calcule la fuerza el´ectrica ~Fe producida por las cargas q1, q2 sobre la carga q = 5µC en el punto ~r = (20, 20) acomodadas como se muestra en la figura 2.

y F_e

q=5.0  C

q₂=2.0μC q1=−3.0  C

20 cm

⃗r=(20, 20)

x

Figura 2: Ley de Coulomb, ejercicio 6.

7. Calcule la fuerza el´ectrica ~Fe producida por las cargas q1, q2 sobre la carga q = 5µC en el punto ~r = (20, 20) acomodadas como se muestra en la figura 3.

x y

F_e

q=5.0  C

q₂=2.0μC 20 cm

20 cm q1=−1.0μ C

⃗r=(20, 20)

Figura 3: Ley de Coulomb, ejercicio 7.

1

3. Fuerza el´ectrica. Calcule la fuerza el´ectrica entre dos protones separados por una distancia r = 50 mm cuando se encuentran en los siguientes medios:

a) Vac´ıo.

b) Agua. H₂O= 80 0

c) Membrana lip´ıdica. membrana= 2,5 0

¿En qué medio es más intensa la fuerza eléctrica?

4. Dipolo eléctrico en dos dimensiones. En la molécula de H2O, cada enlace H-O forma un dipolo eléctrico con un momento dipolar pOH = 5,1

×10⁻³⁰ C.m. Teniendo en cuenta la geometr´ıa de esta mol´ecula representada en la figura, calcule el momento dipolar total de la mol´ecula.

a) Molécula de HF. La molécula de fluoruro de hidrógeno, HCl, forma un dipolo eléctrico con momento dipolar p = 6,2⇥ 10 ³⁰C.m. Si la distancia del enlace HF es aproximadamente 91.7 pm como se representa en la figura, calcule el valor aproximado de las cargas en los extremos de esta molécula.

(a) Enlace HF.

(b) Mol´ecula de HF.

Figura 3: Mol´ecula de Fluoruro de hidr´ogeno, HF.

b) Ejercicio del libro de D. Jou. Haga el ejercicio 2 del cap´ıtulo 6, p´agina 323 del libro de D. Jou.

4. Dipolo eléctrico en dos dimensiones. Los siguientes ejercicios corresponden a dipolos eléctricos de moléculas en dos dimensiones.

a) Molécula de agua. En la molécula de H2O, cada enlace H-O forma un dipoo eléctrico con un momento dipolar pOH= 5,1⇥ 10 ³⁰C.m. Teniendo en cuenta la geometr´ıa de esta molécula representada en la figura (4a), calcule el momento dipolar total de la molécula.

b) Trifluoruro de Boro. En la mol´ecula de BF3, cada enlace B-F forma un dipolo el´ectrico los cuales forman

´

angulos de 120 entre ellos. Teniendo en cuenta la geometr´ıa de esta molécula representada en la figura (4b), calcule el momento dipolar total de la molécula y muestre que esta es una molécula no polar.

O

+ -

p +

H H

p1

p²

105^o

(a) Molécula de agua. (b) Molécula de BF3. Figura 4: Moléculas de agua y de BF3.

5. Energ´ıa y torque de un dipolo eléctrico en un campo eléctrico. La energ´ıa Upy el torque ⌧pde un dipolo eléctrico en presencia de un campo eléctrico, se expresa mediante las siguientes ecuaciones:

Up= ~p· ~E = p.E cos ✓

⌧p=|~p ⇥ ~E| = p.E sen ✓,

donde ✓ es el ´angulo formado entre el campo el´ectrico ~E y el momento dipolar ~p. Ver figura (5). Con base a estas expresiones, realice los siguientes ejercicios:

2

5. Energ´ıa potencial eléctrica. Un part´ıcula de ma- sa m = 1,2 × 10⁻⁸kg y carga q = 5 mC se desplaza una distancia de 50 cm en una región donde hay un campo eléctrico paralelo a la dirección de desplaza- miento de la part´ıcula y con intensidad E = 5,2 V /m.

Calcule la variaci´on de energ´ıa potencial U y la velocidad de la part´ıcula al final del trayecto de 50 cm (suponga que la part´ıcula parte del reposo).

6. Energ´ıa y torque de un dipolo eléctrico. La energ´ıa Up y el torque τp de un dipolo eléctrico en presencia de un campo eléctrico, se expresa mediante las siguientes ecuaciones:

Up=−~p · ~E =−p.E cos θ τp =|~p × ~E| = p.E sin θ,

donde θ es el ´angulo formado entre el campo el´ectrico E y el momento dipolar ~~ p.

Un dipolo eléctrico constituido por dos cargas iguales q = 5 µC y separadas por una distancia d = 3mm, se encuentra en una región donde hay un campo elétrico uniforme con magnitud E = 12 V /m.

Si el dipolo y el campo forman un ángulo θ, calcule la energ´ıa del dipolo y el torque producido por el campo sobre el dipolo. ¿Para que valores del ángulo la energ´ıa y el torque adquieren sus máximos valores?

Figura 5: Dipolo en un campo el´ectrico

a) Un dipolo eléctrico constituido por dos cargas iguales q = 5µC y separadas por una distancia d = 3mm, se encuentra en una región donde hay un campo elétrico uniforme con magnitud E = 12V/m. Si el dipolo y el campo forman un ángulo ✓, calcule la energ´ıa del dipolo y el torque producido por el campo sobre el dipolo.

¿Para que valores del ´angulo la energ´ıa y el torque adquieren sus m´aximos valores?

b) Si ~p = (2, 3/4) y ~E = ( 5, 0), calcule la energ´ıa del dipolo ~p en el campo el´ectrico ~E. Calcule tambi´en el

´angulo ✓ entre los dos vectores. Ayuda: Recuerde que en componentes, el producto escalar de dos vectores A~· ~B = AB cos ✓ es igual a ~A· ~B = AxBx+ AyBy.

6. Campo eléctrico de un dipolo. Utilice la simulación de campo eléctrico de la página del PHET:

http://phet.colorado.edu/sims/charges-and-fields/charges-and-fields en.html

para representar un dipolo el´ectrico. Ubique las cargas -1 nC (carga azul) a la izquierda y +1 nC (carga roja) a la derecha, separadas por una distancia de 2 m. Sobre la linea que une las cargas, calcule el campo el´ectrico en:

La mitad de las cargas.

Un metro a la izquierda de la carga azul.

Un metro a la derecha de la carga roja.

Envie por e-mail a su profesor encargado un “pantallazo” con el montaje y con sus respuestas. No imprima la imagen, s´olo se recibir´an los ejercicios enviados por e-mail.

Recomendaciones y lecturas complementarias

1. Leer la sección 6.2 del libro de David Jou, “F´ısica para ciencias de la vida”. En especial, estudiar los ejemplos resueltos 6.3 y 6.4 y la relación entre el potencial del dipolo eléctrico y los electrocardiogramas.

3

7. Calcule el campo eléctrico en el interior de un condensador de placas paralelas de área 1 mm² y con capacitancia 10 µF cuando el espacio entre las placas esta relleno de aire (vac´ıo) y está conectado a una bateria de 6 V. Repita el cálculo anterior suponiendo ahora que el espacio entre las placas del condensador esta relleno de papel con una constante dieléctrica κ = 4.

8. Capacitancia de un ax´on. Calcule la capacitancia y la carga en un ax´on no mielinizado con las siguientes caracter´ısticas:

Longitud del axón L = 1 m; ancho de membrana d = 10 nm; radio a = 2,5 µm; constante dieléctrica κ = 7. Suponga que el axón esta sometido a una di- ferencia de potencial (voltaje) de V = 70 mV entre

1

(2)

su capa interna y externa.

Nota: Utilice la f´ormula para la capacitancia:

C = ^κ_d⁰^A

y suponga que el ax´on tiene forma cil´ındrica.

9. Circuito el´ectrico.

a) Calcule las corrientes que circulan por cada una de las resistencias del circuito representado en la siguiente figura

b) Calcule la potencia en cada una de las resistencias.

9. Calcule las corrientes I1e I2que circulan en el circuito representado en la siguiente figura:

10. Una tipo de anguila eléctrica, encontrada en los rios de Brasil, puede producir descargas eléctricas letales de 1 A a 400 V. Cuanta potencia eléctrica es capaz de generar una anguila de este tipo?

11. Un electrodoméstico tiene una potencia de 125 W. Si el electrodoméstico permanece encendido en promedio durante 30 horas en un mes, calcule la energ´ıa eléctrica gastada por este en un mes. Si el precio del kWh es de

$ 350 pesos, calcule el precio de mantener en funciona- miento este electrodom´estico en un mes en promedio.

12. Constante de tiempo ⌧ = RC. En un circuito RC (R es resistencia y C es capacitancia), el par´ametro

⌧ = RC,constante de tiempo, es un indicativo de ritmo al cual se descarga el condensador del circuito.

a) Muestre que las unidades de este parámetro son unidades de tiempo y que en el sistema SI sus unidades son los segundos. b) Utilice las fórmulas de R y C de los ejercicios de las caracter´sticas eléctricas del axón para calcular la constante de tiempo en la sección no mielinizada y en la sección mielinizada. Depende este tiempo de las dimensiones (factores geométricos) del axón?

13. Circuito RC. En un circuito RC en serie, el condensador de capacitancia C = 10µF est´a cargado inicialmente con Q0 = 200µC y cuando se cierra el interruptor, la corriente inicial medida en el circuito es I0 = 0,5mA. Calcule la carga en el condensador y la

corriente en el circuito despu´es de 0,2 s. Calcule tambi´en el tiempo requerido para que la carga en el condensador se reduzca a la tercera parte del valor inicial.

14. Circuito RC y membranas celulares. El circuito RC en serie se utiliza para modelar membranas celulares donde C es la capacitanca entre las capas de la membrana y R es la resistencia del medio entre las capas . Si la resistividad de una membrana de ancho d = 6 nm es ⇢m= 1,6⇥ 10⁷⌦.m y su capacitancia es- pec´ıfica es ¯c = 1µF/cm², calcule el producto ⌧ = RC en esta membrana.

and again replacing the two capacitors with a single capacitor C and noting that the voltages across each capacitor are the same because they are in paral- lel (V₁!V₂!V), we find

(16.18) Remember that, just as for resistors, these results for combining two capacitors in series or parallel can easily be generalized to larger arrays of capacitors using the same tools as in the above discussion. Circuits with only resistors or only capacitors present are ideals. In the next section we turn to a presentation of more realistic circuits with both resistors and capacitors present. Such circuits are more realistic because there is always a small amount of resistance (in the conducting wires themselves) or stray capacitance (between different conducting surfaces) present in any circuit regardless of whether an actual resistor or capacitor device is present in the circuit. We approach this topic using a model for cell membranes.

3. MEMBRANE ELECTRICAL CURRENTS

In the last chapter membranes were considered as ideal capacitors with a specific capacitance (capacitance per unit area) of about 1 "F/cm². This turns out to be a very good approximation for a pure phospholipid bilayer which has an extremely high resistivity of about 10¹⁵#-cm, comparable to a very good insulator. The very high equivalent resistance prevents charge from crossing the lipid region and maintains the stored charge as if the bilayer were an ideal capacitor. However, as discussed in the last chapter, biological membranes are full of proteins that act as channels allowing ionic currents to flow across a membrane.

The simplest model, or equivalent circuit, for a biological membrane in the resting state is shown in Figure 16.13 and is known as an RC series circuit. For now, we ignore how the equivalent capacitor was charged (to a voltage V₀!Q₀/C) and we imagine that at time zero the switch S is closed (corresponding to the membrane channels opening), discharging the capacitor. The capacitor does not discharge instanta- neously, but follows a time course that depends on the values of R and C.

The resistance R represents the effective resistance to current flow across the membrane and is discussed further below.

To analyze this circuit, we use Kirchhoff’s loop method, discussed in the last section. Let’s write a loop equation for the circuit in Figure 16.13 after the switch is closed and a path is provided for current flow.

When the switch is closed current will flow from the $Q₀side of the capacitor clockwise around the circuit. Starting at the switch S and mentally going clockwise around the loop, we find

(16.19) Because both Q and I vary with time, it turns out that we need calculus to solve this equation (see box) to find that the charge on the capacitor and the current through the resistor are given by

(16.20a)

(16.20b) I ! I₀ e^%

t RC, Q ! Q₀ e^%

t RC,

%IR $Q C!0.

C ! C₁$C₂.

(capacitors in parallel) Q ! CV ! C₁ V $ C₂ V or

4 1 2 EL E C T R I CCU R R E N T A N DCE L LME M B R A N E S

R C

Q_o –Q_o

S

Starting from Equation (16.19), and substi- tuting from the definition of

(the minus sign is needed to make the current positive because it is equal to the time rate of decrease of the capacitor charge), the equation becomes

. Rewriting, we have

.

Integrating both sides of this equation from t !0 to time t and from Q(t ! 0) ! Q₀to a value of Q(t), written simply as Q, we find

, so that

. Taking the antilog of both sides, remembering that these logarithms are to the base e, we find

,

or Equation (16.20a). To then find the current as a function of time, we again use its definition, so that

, or Equation (16.20b). This same procedure can be used to analyze any electrical circuit consisting of batteries, capacitors, and resistors via the loop equation.

I ! %dQ

dt ! %Q₀d(e^%

t RC) dt !Q₀

RCe^%

t RC

Q Q₀!e^%

t RC

log Q % log Q₀!logQ Q₀!% t

RC L_Q₀

QdQ Q !% 1

RC L

t 0

dt dQ

Q ! % dt RC RdQ

dt $Q C!0 I ! %dQ

dt

FIGURE 16.13An RC series circuit with the capacitor initially charged before closing the switch S connected to the resistor.

15. Ecuaci´on de Nerst. Utilice la ecuaci´on de Nerst:

VK = RT zF ln(co

ci

)

donde R = 8,31J/(mol K), F = N^Ae = 9,6⇥ 10⁴C/mol, z es la valencia del ion, T es la temperatura en grados Kelvin para verificar que los potenciales de Nerst de los iones de Na⁺, K⁺, Ca⁺²y Cl son los que aparecen en la siguiente tabla:

The Nernst potential represents the equilibrium situation for a particular ion species. If the transmembrane potential is equal to the Nernst potential for some ion species “A,” V_A, then there will be no net flow of A across the membrane even if the membrane has a high conductivity for A. No net flow does not mean that the channels do not allow any ion flow, but rather that the inward and outward flows of ion A are equal. If the transmembrane potential is higher or lower than the Nernst potential then there will be a net flow of A one way or the other across the membrane with the ionic current proportional to the difference between the actual potential and the Nernst potential for that ion

(16.23) where G_Ais the A ion conductance and V is the actual transmembrane potential. If only the one ion species can cross the membrane, then the membrane potential will equilibrate at the Nernst potential for that ion. In the resting state, open K^!channels dominate and the resting potential is close to the equilibrium potential for K^!, "0.1 V. This behavior is identical to that expected if there were a battery in series with a resistor for each ion species. These separate batteries across the membrane function when their corresponding channels are open, corresponding to when their series resistance decreases.

At this point in our discussion we can present a more realistic circuit diagram for a membrane than a simple RC circuit. In the membranes of the axons of neu- rons, Na^! and K^!channels dominate, and Hodgkin and Huxley proposed the equivalent circuit shown in Figure 16.16. The arrows through the resistors in the figure indicate conductances that can vary with time as the ionic channels are made to open or close (known as gated channels). Only Na^!and K^!channels are explic- itly indicated with a net leakage conductance representing other net ion flows.

Before we study some of the electrical properties of neurons and this equivalent circuit representation in Section 5, we first give a more qualitative overview of the structure and functioning of neurons and the ways in which their electrical properties have been studied.

4. OVERVIEW OF NERVE STRUCTURE AND FUNCTION;

MEASUREMENT TECHNIQUES

The human nervous system consists of some 10¹¹nerve cells, or neurons, each one making an average of over 1000 interconnections. On an individual level we have a reasonable understanding of the functioning of a single nerve cell,

I_A#G_A (V " V_A ),

OV E RV I E W O FNE RV EST R U C T U R E A N DFU N C T I O N; ME A S U R E M E N TTE C H N I Q U E S 4 1 5

Table 16.2Typical Ion Concentrations and Nernst Potentials (Mammalian Skeletal Muscle) Typical Internal Typical External Nernst Potential

Ion Concentration (mM)* Concentration (mM) (mV)

Na^! 12 145 !67

K^! 155 4 "98

Ca^2! 10^"4 1.5 !129

Cl^" 4 120 "90

* 1 mM # 10^"3M # 10^"3mol/L.

IC IK IL

outside

inside C

VNa VK VL

GNa GK GL

INa

FIGURE 16.16The Hodgkin–

Huxley equivalent circuit for an axon membrane. The batteries represent the specific ion Nernst potentials (L ##leakage, represent- ing the small contribution from other ions), producing specific ion currents as shown. The total membrane current is given by the sum of the four currents listed with the capacitor current equal to (from Q ##CV)

where V is the voltage across the membrane.

I_C# C¢V

¢t, Equation (16.22) is known as the Nernst equation and determines the equilibrium

membrane potential contribution from the imbalance of a particular ion, known as the Nernst potential. Table 16.2 gives typical concentrations and Nernst potentials for Na^!, K^!, Ca^2!, and Cl^".

2 b) Calcule la potencia en cada una de las resisten-

cias.

10. Circuito RC. En un circuito RC en serie, el condensador de capacitancia C = 10 µF est´a cargado inicialmente con Q0= 200 µC y cuando se cierra el interruptor, la corriente inicial medida en el circuito es I0= 0,5 mA.

a) Calcule la carga en el condensador y la corriente en el circuito despu´es de 0,2 s.

b) Calcule tambi´en el tiempo requerido para que la carga en el condensador se reduzca a la tercera parte del valor inicial.

11. Velocidad de un electrón. A que velocidad debe viajar un electrón (e = 1,6 ×10⁻¹⁹ C) en un campo magnético extremamente alto, de 100 T , de tal manera que la fuerza sobre el sea de 1× 10⁻¹⁰N ? 12. Dirección de la fuerza magnética. Una carga

eléctrica negativa q, viaja en dirección Sur en un plano horizontal y atraviesa una región donde hay un campo magnético uniforme perpendicular al plano de la trayectoria de la part´ıcula, apuntando vertical- mente hacia arriba. Haga un dibujo que represente esta situación y dibuje la fuerza magnética que ac- tuá sobre la carga.

13. Fuerza sobre una corriente. Sobre un alambre recto de longitud L = 25 cm circula una corriente el´ectrica I = 2 µA en la direcci´on Este (E).

Calcule la magnitud y la dirección de la fuerza sobre el alambre producida por un campo magnético uniforme de intensidad B = 0,4 mT dirigido en la direccion Norte (N). Haga un dibujo que represente esta situación.

14. Momento magnético. Calcular el momento dipolar magnético µ de una espira (anillo) de radio r = 20 cm a lo largo del cual circula una corriente I = 10 A. Repetir el mismo cálculo para el caso en que tenemos 10 espiras iguales con la misma corriente.

Si la corriente circula en el sentido de las manecillas del reloj, ¿en que direcci´on apunta el vector del momento dipolar magn´etico?

Soportar su respuesta con un gr´afico que ilustre la situaci´on.

15. Fuerza entre dos corrientes paralelas. Calcular la magnitud y la dirección de la fuerza entre dos corrientes I1 e I2 que circulan a lo largo de dos cables paralelos muy largos de longitud L. Suponga que las corrientes están separadas por una distancia a y que las corrientes: (a) van en la misma dirección; (b) van en dirección contraria. Haga un dibujo que ilustre ambas situaciones.

Ayuda: Recuerde que la intensidad del campo magnético producido por un alambre largo es B = µ0I/(2πr) donde r es la distancia hasta el alambre y que la magnitud de la fuerza magnética producida por un campo magnético B sobre un alambre perpendicular de longitud L por el cual circula una corriente I es Fm= ILB.

16. Trayectoria de una part´ıcula en el interior de un solenoide. Un solenoide se construye enrollando 10000 vueltas de alambre por metro (n = 10000m⁻¹) sobre el cual circula una corriente I = 10 A. En el interior del solenoide se encuentra un prot´on (mp = 1,67× 10⁻²⁷Kg, e = 1,6× 10⁻¹⁹C) que gira en una

´orbita circular con velocidad lineal v = 5× 10⁵ m/s.

Calcule: (a) El radio de la trayectoria del prot´on.

(b) La frecuencia de giro del prot´on (Recuerde las f´ormulas de movimiento circular: v = ω.r, f = ω/2π).

17. Calcule la f.e.m. inducida por la variación del flujo magnético pasando por el anillo representado en la figura siguiente cuando el ángulo entre la normal al

´area y ~B pasa de θ = 0^◦ a θ = 30^◦ en 10⁻³ s. B se mantiene constante con un valor B = 2mT .

29.2 Ley de Faraday 999

Si se tiene una bobina con N espiras idénticas y si el flujo varía a la misma tasa a través de cada espira, la tasa total de cambio a través de todas las espiras es N veces más grande que para una sola espira. Si F_Bes el flujo a través de cada espira, la fem total en una bobina con N espiras es

(29.4) Como se vio en la introducción de este capítulo, las fem inducidas desempeñan un papel esencial en la generación de energía eléctrica para uso comercial. Varios de los ejemplos que siguen exploran diferentes métodos para generar fem por medio del movimiento de un conductor con respecto a un campo magnético, lo que da lugar a un flujo cambiante a través de un circuito.

E 5 2NdFB

dt

Estrategia para resolver problemas 29.1 Ley de Faraday

IDENTIFICAR:los conceptos relevantes: La ley de Faraday se aplica cuando hay un campo magnético cambiante. Para utilizarla hay que asegurarse que es posible identificar un área a través de la cual hay un flujo de campo magnético. Por lo general, ésta será el área encerrada por una espira, hecha de un material conductor [aunque no siempre;

véase el inciso b) del ejemplo 29.1]. Como siempre, hay que identificar la(s) variable(s) buscada(s).

PLANTEARel problemade acuerdo con los siguientes pasos:

1. La ley de Faraday relaciona la fem inducida con la tasa de cambio del flujo magnético. Para calcular esa tasa primero se tiene que entender qué es lo que genera el cambio del flujo: ¿El conductor se está moviendo? ¿Está cambiando su orientación? ¿El campo magnético está cambiando? Recuerde que no es el flujo en sí mis- mo lo que importa, sino su tasa de cambio.

2. Elija una dirección para el vector de área o La dirección siempre debe ser perpendicular al plano del área. Observe que siempre hay dos opciones de dirección. Por ejemplo, si el plano del área es horizontal, podría apuntar directamente hacia arriba o hacia abajo.A^S

dA^S. AS

Es como elegir cuál es el sentido positivo en un problema de movimiento rectilíneo. No importa cuál dirección se elija, pero hay que usarla de manera consistente en todo el problema.

EJECUTARla solucióncomo sigue:

1. Calcule el flujo magnético con base en la ecuación (29.2) si es uniforme sobre el área de la espira, o con la (29.1) si no es uniforme, tomando en cuenta la dirección que se eligió para el vector de área.

2. Calcule la fem inducida empleando la ecuación (29.3) o la (29.4).

Si el conductor tiene N espiras en una bobina, no olvide multiplicar por N. Recuerde la regla de los signos referente a la dirección po- sitiva de la fem y úsela en forma congruente.

3. Si conoce la resistencia del circuito, puede calcular la magnitud de la corriente inducida I con E 5 IR.

EVALUARla respuesta:Compruebe las unidades de los resultados y vuelva a revisar que haya empleado correctamente las reglas de los signos para el cálculo del flujo magnético y la fem inducida.

B^S

Ejemplo 29.2 Magnitud y dirección de una fem inducida

Se coloca una bobina de alambre que contiene 500 espiras circulares con radio de 4.00 cm entre los polos de un electroimán grande, donde el campo magnético es uniforme y tiene un ángulo de 60° con respecto al plano de la bobina. El campo disminuye a razón de 0.200 T>s. ¿Cuá- les son la magnitud y dirección de la fem inducida?

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR:Nuestra incógnita es la fem inducida por un flujo mag- nético variable a través de la bobina. El flujo varía debido a que la magnitud del campo magnético disminuye.

PLANTEAR:Se elige que la dirección del vector de área sea la que se observa en la figura 29.7. Con esta elección, la geometría es muy si- milar a la de la figura 29.6b. Esa figura nos ayudará a determinar la dirección de la fem inducida.

EJECUTAR:El campo magnético es uniforme en toda la espira, por lo que es posible calcular el flujo con la ecuación (29.2): FB5BAcosf, donde f 5 30°. En esta expresión, la única cantidad que cambia con respecto al tiempo es la magnitud B del campo.

AS

CUIDADO Recuerde cómo se definef Tal vez estuvo tentado a utilizar f 5 60° en este problema. Si así fue, recuerde que f es el án- gulo entre y A^S B^S,no entre B^S,y el plano de la espira.❚

29.7 Diagrama para este problema.

continúa

2