La función Zeta de Riemann y su relación con los números primos.

La funci´ on Zeta de Riemann y su relaci´ on con los n´ umeros primos.

Diego Gonz´ alez S´ anchez

Universidad Aut´ onoma de Madrid diego.gonzalezs@estudiante.uam.es Director: Fernando Chamizo Lorente

22 de mayo de 2015

´Indice General

1 Parte 1 Contenido Herramientas

El Teorema de los N´ umeros Primos

2 Parte 2 Contenido Herramientas

Demostraci´ on del Teorema de Dirichlet

3 Parte 3 Contenido

Teor´ıa de la funci´ on Zeta

Parte 1: Contenido

Queremos probar el teorema de los n´ umeros primos, π(x ) ∼ _{log x} ^x . Nuestras herramientas b´ asicas ser´ an las identidades

ζ(s) =

∞

X

n=1

1

n ^s = Y

p primo

 1 − 1

p ^s

 −1

,

− ζ ⁰ (s) ζ(s) =

∞

X

n=1

Λ(n) n ^s y 1

ζ(s) =

∞

X

n=1

µ(n) n ^s .

Con Λ(n) =

( log p si n = p ^k

0 en otro caso. y µ(n) =



 

 

1 si n = 1 (−1) ^k si n = p 1 ...p _k 0 en otro caso.

Es conocido que π(x ) ∼ _{log x} ^x ⇔ ψ(x) = P

n≤x Λ(n) ∼ x .

Herramientas

F´ ormulas de sumaci´ on de Abel y Euler-Maclaurin.

Variable compleja.

Teorema de los Residuos.

Criterio M de Weierstrass.

La desigualdad 1 ≤ ζ(τ ) ³ |ζ(τ + it)| ⁴ |ζ(τ + 2it)|.

El Teorema de los N´ umeros Primos

Nosotros presentamos la versi´ on debida a H. Iwaniec, que da el teorema de los n´ umeros primos en su forma x ⁻¹ P

n≤x µ(n) → 0. Para la prueba se usan los siguientes elementos:

G (s) = X

m

µ(m)

m ^s (log m) ^k = (1/ζ(s)) ^k) . (1) F (x ) = X

m≤x

µ(m)(log m) ^k log x

m . (2)

(log y ) ₊ = 1 2πi

Z

(σ)

y ^s s ⁻² ds, (3)

El esquema de la prueba es el siguiente:

1 Hallar una buena estimaci´ on de G usando Euler-Maclaurin y la desigualdad 1 ≤ ζ(τ ) ³ |ζ(τ + it)| ⁴ |ζ(τ + 2it)|.

2 Usar la f´ ormula (3) para obtener una buena estimaci´ on de F mediante F (x ) = 1

2πi Z

(σ)

x ^s G (s)s ⁻² ds.

3 Despejar P

n≤x µ(n) de F para concluir el Teorema de los N´ umeros Primos:

X

m≤x

µ(m) = O(x log ^−A x )

donde A = (k − 3)/8, k es arbitrario, por tanto para k > 3 se tiene el

TNP.

Parte 2: Contenido

Queremos probar el teorema de Dirichlet de existencia de infinitos primos en progresiones aritm´ eticas no triviales. La idea es usar algo parecido a la identidad de Euler, que ser´ an las funciones L de Dirichlet:

L(s, χ) =

∞

X

n=1

χ(n)

n ^s = Y

p primo



1 − χ(n) p ^s

 −1

y L ⁰ (s, χ) L(s, χ) = −

∞

X

n=1

Λ(n)χ(n) n ^s . Las funciones χ se las conoce como caracteres de Dirichlet y su

importancia radica en que permiten seleccionar los primos congruentes con

un determinado resto y son completamente multiplicativos.

Herramientas

Los caracteres se usan para hacer Transformada de Fourier Discreta, en nuestro caso se usan en grupos de tipo U (Z m ).

La definici´ on de car´ acter se extiende a car´ acter de Dirichlet para poder hacer las mismas operaciones en Z.

Usando una determinada combinaci´ on de funciones L logramos seleccionar las potencias de primos congruentes con un determinado resto:

− X

χ

χ(a) L ⁰ (s, χ)

L(s, χ) = ϕ(q) X

n≡a(q)

Λ(n) n ^s .

En esta ´ ultima ecuaci´ on haremos s → 1 ⁺ para demostrar el teorema de

Dirichlet.

Demostraci´ on del Teorema de Dirichlet

De todos los caracteres m´ odulo m, hay uno especial, que llamaremos el car´ acter principal, χ ₀ , que se relaciona con la funci´ on ζ mediante L(s, χ ₀ ) = ζ(s) Q

p|m (1 − p ^−s ).

− L ⁰ (s, χ 0 ) L(s, χ ₀ ) − X

χ6=χ

χ(a) L ⁰ (s, χ)

L(s, χ) = ϕ(q) X

n≡a(q)

Λ(n) n ^s .

Al hacer s → 1 ⁺ , el polo de ζ har´ a el miembro izquierdo ir a infinito siempre y cuando L(1, χ) 6= 0 para χ 6= χ 0 .

La prueba del teorema de Dirichlet se reduce a ver que las funciones L

de caracteres no principales no se anulan en s = 1.

Parte 3: Contenido

Esta ´ ultima secci´ on nos presenta la teor´ıa cl´ asica de teor´ıa anal´ıtica de n´ umeros de manera similar a c´ omo se desarroll´ o originalmente para concluir la demostraci´ on del TNP. Entre otros, se emplea:

La funci´ on Gamma Γ.

La f´ ormula de sumaci´ on de Poisson.

La f´ ormula de Jensen.

Teor´ıa de funciones enteras de orden 1.

Principio del Argumento

Para esta secci´ on, cabe destacar el libro [Dav80].

Teor´ıa de la funci´ on ζ

Comenzamos probando la Ecuaci´ on Funcional como lo hizo Riemann en su memoria de 1859:

π ^−s/2 Γ(s/2)ζ(s) = π ^−(1−s)/2 Γ((1 − s)/2)ζ(1 − s)

Casi mejor que esto es multiplicar ambos lados por s(s − 1) con lo que obtenemos la funci´ on entera:

ξ(s) = 1

2 s(s − 1)π ^−s/2 Γ(s/2)ζ(s)

con la simetr´ıa ξ(s) = ξ(1 − s). De aqu´ı se deduce que los ceros triviales

de ζ est´ an en los pares negativos y que el resto de ceros (los no triviales)

deben estar en la banda cr´ıtica 0 ≤ Re(s) ≤ 1.

Teor´ıa de la funci´ on ζ

Hadamard desarroll´ o la teor´ıa de funciones enteras de orden finito para factorizar ξ,

ξ(s) = e ^A+Bs Y

ρ

(1 − s/ρ)e ^s/ρ

donde ρ recorre los ceros no triviales de ζ.

Teor´ıa de la funci´ on ζ

Con esta informaci´ on (la factorizaci´ on de ξ y la Ecuaci´ on Funcional ) se puede hallar una f´ ormula asint´ otica para los ceros de ζ en la banda cr´ıtica:

N(T ) = T 2π log T

2π − T

2π + O(log T ).

Y con todo esto lo que conseguimos es despejar de

− ζ ⁰ (s) ζ(s) =

∞

X

n=1

Λ(n) n ^s la funci´ on ψ(x ) = P

n≤x Λ(n).

F´ ormula expl´ıcita de ψ(x )

Aplicando de nuevo el teorema de los residuos, se puede usar la f´ ormula I (a) = 1

2πi Z

(c±iR)

a ^s s ds =

 1 + error si a > 1 error si a < 1, para despejar de la derivada logar´ıtmica de ζ la funci´ on ψ(x ):

ψ(x ) = x − X

|Im(ρ)|<R

x ^ρ

ρ + O( x

R log ² (Rx ) + log x ).

Si todos los cero no triviales tuvieran parte real menor o igual a α 0

entonces tomando R del orden de x llegar´ıamos a

ψ(x ) = x + O(x ^α

log ² x ).

Teorema de los n´ umeros primos con t´ ermino de error

Desafortunadamente no se conoce ning´ un α ₀ < 1 con la propiedad anterior. Para concluir el TNP sin embargo, basta con hallar una regi´ on libre de ceros curva, en particular se prueba que la regi´ on

σ ≥ 1 − c

log(|t| + 2) es libre de ceros. Y tomando un R del orden de e

√ log x se concluye el TNP:

ψ(x ) = x + O(xe ^−K

√ log x ).

References

H. Iwaniec and E. Kowalski.

Analytic number theory, volume 53 of American Mathematical Society Colloquium Publications.

American Mathematical Society, Providence, RI, 2004.

H. Davenport.

Multiplicative number theory, volume 74 of Graduate Texts in Mathematics.

Springer-Verlag, New York, second edition, 1980.

Revised by Hugh L. Montgomery.

¡Fin, muchas gracias!