zyxA 221  121122 aaaaA 

Texto completo

(1)

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN

El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen.

Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gráficas.

Calificación total máxima: 10 puntos.

Tiempo: Hora y media.

OPCIÓN A

Ejercicio 1 : Calificación máxima: 3 puntos.

Dada la matriz





a a

a a

A

1 2

1 1

2

2 2

a) (1 punto) Calcular el rango de A en función de los valores de a.

b) (1 punto) En el caso a = 2, discutir el sistema

b z y x

A 1

2

en función de los valores de b, y resolverlo cuando sea posible.

c) (1 punto) En el caso a = 1, resolver el sistema

 

2 2 1 z

y x A

Ejercicio 2 : Calificación máxima: 3 puntos.

a) (1'5 puntos) Hallar el volumen del tetraedro que tiene un vértice en el origen y los otros tres vértices en las intersecciones de las rectas

z y x

r1    ,

 

  0

0

2 z

r y

,

 

  0

0

3 z

r x

b) (1'5 puntos) Hallar la recta s que corta perpendicularmente a las rectas 2

1 2

5 1

1

4

 

 

xy z

r ,

1 1 3

1

5 2

 

 

x y z

r

(2)

Ejercicio 3 : Calificación máxima: 2 puntos.

a) (1 punto) Calcular la integral

3

1

5 2

4 x dx

x .

b) (1 punto) Hallar los valores mínimo y máximo absolutos de la función f

 

x 123x2 .

Ejercicio 4: Calificación máxima: 2 puntos.

a) (1 punto) Calcular el siguiente límite:

x x

x

x

lim

b) (1 punto) Demostrar que la ecuación 4x5 + 3x + m = 0 sólo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número m. Justificar la respuesta indicando qué teoremas se usan.

OPCIÓN B Ejercicio 1 : Calificación máxima: 3 puntos.

Dada la función:

 

43 1

x x ax

f

se pide:

a) (1 punto) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x = 1. Para ese valor de a, obtener los otros puntos en que f tiene un extremo relativo.

b) (1 punto) Obtener las asíntotas de la gráfica de y = f(x) para a = 1.

c) (1 punto) Esbozar la gráfica de la función para a = 1.

(3)

Ejercicio 2 : Calificación máxima: 3 puntos.

a) (2 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones AX = B, donde

0 0

2

1 1 0

1 1

0 m

m

m

A ,

z y x

X ,

2 m

m m B

según los valores del parámetro m.

b) (1 punto) Resolver el sistema en los casos m = 0 y m = 1.

Ejercicio 3 : Calificación máxima: 2 puntos.

Dados los planos: 12xy2z1,2xy2z1 se pide:

a) (0'5 puntos) Estudiar su posición relativa.

b) (1'5 puntos) En caso de que los planos sean paralelos hallar la distancia entre ellos; en caso de que se corten, hallar un punto y un vector de dirección de la recta que determinan.

Ejercicio 4 : Calificación máxima: 2 puntos.

a) (0'75 puntos) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 1).

b) (0'75 puntos) Hallar la ecuación del plano que contiene al punto P(1, 2, 3) y es perpendicular al vector v(2,1,1).

c) (0'5 puntos) Hallar el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y P.

(4)

SOLUCIÓN OPCIÓN B

Ejercicio 1 : Calificación máxima: 3 puntos.

Dada la función:

 

43 1

x x ax

f

se pide:

a) (1 punto) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x = 1. Para ese valor de a, obtener los otros puntos en que f tiene un extremo relativo.

b) (1 punto) Obtener las asíntotas de la gráfica de y = f(x) para a = 1.

c) (1 punto) Esbozar la gráfica de la función para a = 1.

a) '

 

4 · 3

1

4 3

1

30 4 30 4

4 4

4 4

6 4 2 3 3

x ax ax x

ax ax

x ax x x x ax

f

Si tiene un mínimo relativo en x = 1, entonces:

 

1 3 0 3

' a  af

Para a = 3, tenemos

 

3 43 1

x x x

f

 . Para hallar los extremos relativos…

 

3 3 0 3 3 0 1 1

' 44   4   4   

x x x

x x x f

Por lo tanto en x = –1 habrá otro extremo relativo.

Estudiando el entorno de la función en x = –1 vemos que se trata de un máximo, ya que:

f(–2) es menor que f(–1) y éste mayor que f(– 0,5), sabiendo que no hay más extremos relativos.

b) Para a = 1 tenemos

 

4 3 1

x x x

f   .

 Asíntotas verticales: x3 = 0, x = 0 es una asíntota vertical.

 Asíntotas horizontales:

 

3

4 1 lim

lim x

x x

f x

x . Luego no tiene asíntota horizontal.

 Asíntotas oblicuas: Tendrá una asíntota ya que el grado del numerador es uno más que el del denominador, y será de la forma y = mx + n, donde

 

x x m f

x

 lim y n

f

 

x mx

x

 lim

(5)

1 1 lim 44 

x m x

x , 1 0

1 lim 1 lim

lim 3 3

4 3 4 3

4 

 

 



 

  



 

  

x x

x x x x

x n x

x x

x

Los límites en –∞ son idénticos.

Por lo tanto la asíntota será y = x

c) Sabemos que tiene una asíntota vertical en x = 0 y una asíntota oblicua cuya ecuación es y = x.

Buscamos los máximos y mínimos:

 

4 · 3

1

4 3

1

30 30

' 4 4

4 6

4 2 6 6

4 2 3 3

x x x x

x x x x

x x x x x

f

316 , 1 3

3 4

4  x 

x

Para comprobar si son máximos o mínimos:

     

5 8

4 3 7 8

4 3 4

3· 4 3 4 4 3 12

'' 4

x x

x x x x

x x x x x

f       

(6)

 

 

máximo

f

mínimo f

0 316 , 1 ''

0 316 , 1 ''

Calculamos f

4 3

para obtener el valor de la ordenada de los extremos relativos.

4 3

1,755

f y f

 

4 3 1,755

Por lo tanto ya podemos esbozar la gráfica de la función:

Ejercicio 2 : Calificación máxima: 3 puntos.

a) (2 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones AX = B, donde

0 0

2

1 1 0

1 1

0 m

m

m

A ,

z y x

X ,

2 m

m m B

según los valores del parámetro m.

b) (1 punto) Resolver el sistema en los casos m = 0 y m = 1.

a) La matriz ampliada es A* =

2 0

0 2

1 1 0

1 1

0

m m

m m

m m

4 4

0 0, 2

4 4 0

0 2

1 1 0

1 1

0

2 1

2 2

3

m m m m m m m m

m

m

m A

(7)

 Si m0 y m2 A 0 rg(A) = rg(A*) = 3. El sistema es compatible determinado.

 Si m0, sustituimos el valor en A* y calculamos el rango a partir de uno de los menores:

A*=

2 0 0 2

0 1 1 0

0 1 1 0

Para este valor de m rg (A) = 2, ya que el menor 02 01 0 rg(A*) = 2, ya que la segunda fila multiplicada por (–1) da lugar a la primera.

rg (A) = rg (A*) = 2, menor que el número de incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado.

 Si m = 2, tenemos A*=

4 0 0 0

2 1 1 0

2 1 1 0

Para este valor de m rg (A) = 1, ya que la primera fila es igual que la segunda, y la tercera es nula.

Por otro lado para calcular el rango de la matriz ampliada se observa que la primera y segunda fila son iguales, pero linealmente independientes de la tercera. Por lo tanto el rango de A* es 2.

rg(A) ≠ rg (A*), por lo que el sistema será incompatible.

b) Para m = 0 el sistema queda:

2 0 0 0

0 2

1 1 0

1 1 0

z y x

 

 



 

 



 

 

 







z y x x

zy x

zy

zy 1 1

0 22

0 0

Para m = 1 tendremos un sistema compatible determinado. El sistema será el siguiente:

(8)

3

1 1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

z y x

;

 

 



 

 



 3 1 1 3 1 1

x z y x z y

Ejercicio 3 : Calificación máxima: 2 puntos.

Dados los planos:

1 2

12xyz

,2xy2z1

se pide:

a) (0'5 puntos) Estudiar su posición relativa.

b) (1'5 puntos) En caso de que los planos sean paralelos hallar la distancia entre ellos; en caso de que se corten, hallar un punto y un vector de dirección de la recta que determinan.

a) Estudiamos el rango de la matriz formada por los coeficientes de los planos: 



1 2 1 1

1 2 1 2

A simple vista se observa que los coeficientes no son proporcionales, por lo tanto rg(M) = rg(M*) = 2 El sistema tiene solución, pero los planos no coinciden, por lo que se cortan en una recta.

b) Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones de los planos:

(9)

 

 

 



 

 

 

 





z y

x x λz

zy x

zy x

3 16

3 23 2

dejando y

ecuaciones ambas sumando 12

12 2

Así pues encontramos dos puntos de la recta de intersección de los planos dando valores al parámetro .

 

 

 

 

 

 

 

  

1 3 , , 5 3 1 2

0 3 , , 1 3 0 2

B A

El vector director de la recta podrá ser el vector que va de A a B: vr  AB

0 ,2 ,1

Por lo tanto, la recta r, si tomamos como punto de la recta el punto 

 

 

0 3 , , 1 3

A 2 , será:

 

 

 

z

y x

3 2 1 3 2

4 : Calificación máxima: 2 puntos.

a) (0'75 puntos) Hallar la ecuación del plano  que pasa por los puntos A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 1).

(10)

b) (0'75 puntos) Hallar la ecuación del plano  que contiene al punto P(1, 2, 3) y es perpendicular al vector v (2, 1, 1).

c) (0'5 puntos) Hallar el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y P.

a) El vector normal del plano vendrá determinado por el producto vectorial de dos vectores del mismo…

1,2,0

v AB y u BC0,2,1

2,1,2

1 2 0

0 2

1 1

k j i n

. Por lo tanto, el plano es de la forma : 2x + y +2z + D = 0. Imponiendo

que pase por el punto (1, 0, 0) obtenemos D = –2, por lo tanto : 2x + y + 2z – 2 = 0

b) Si es perpendicular a v

2,1,1

, entonces su vector normal será

2 ,1 ,1

2

n .

Tendrá por ecuación : 2x + y + z + D = 0. Imponiendo que pase por el punto (1, 2, 3) obtenemos 2 + 2 + 3 + D = 0, D = –7. Por lo tanto : 2x + y + z – 7 = 0

c) Los puntos que determinan el tetraedro son: A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = (0, 0, 1) y P(1, 2, 3)

El volumen de un tetraedro es:

Altura A

V base·

3

1

O bien la sexta parte del volumen del paralelepípedo que se forma con los vectores AB,AC,AP.

(11)

3 pedo

paralelepí 3

4 6 8 3 2 0

1 0 1

0 2 1 6 1 6

1 6

1 u

AP AC AB V

V

Figure

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