zyxA 221  121122 aaaaA 

(1)

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN

El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen.

Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gráficas.

Calificación total máxima: 10 puntos.

Tiempo: Hora y media.

OPCIÓN A

Ejercicio 1 : Calificación máxima: 3 puntos.

Dada la matriz

















a a

A

1 2

1 1

2

2 ²

a) (1 punto) Calcular el rango de A en función de los valores de a.

b) (1 punto) En el caso a = 2, discutir el sistema

































b z y x

A 1

2

en función de los valores de b, y resolverlo cuando sea posible.

c) (1 punto) En el caso a = 1, resolver el sistema















 

















2 2 1 z

y x A

a) (1'5 puntos) Hallar el volumen del tetraedro que tiene un vértice en el origen y los otros tres vértices en las intersecciones de las rectas

z y x

r₁    ,

 





  0

0 2 z

r y

^,

 





  0

0 3 z

r x

b) (1'5 puntos) Hallar la recta s que corta perpendicularmente a las rectas 2

1 2

5 1

1

4 

 

 

 x y z

r ,

1 1 3

1

5 2 

 

 

 x y z

r

(2)

a) (1 punto) Calcular la integral



³ ^

1

5 2

4 x dx

x .

b) (1 punto) Hallar los valores mínimo y máximo absolutos de la función f

 

x  123x² .

Ejercicio 4: Calificación máxima: 2 puntos.

a) (1 punto) Calcular el siguiente límite:

x x

x

x^^ 

lim

b) (1 punto) Demostrar que la ecuación 4x⁵ + 3x + m = 0 sólo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número m. Justificar la respuesta indicando qué teoremas se usan.

OPCIÓN B Ejercicio 1 : Calificación máxima: 3 puntos.

Dada la función:

 

⁴₃ ¹

x x ax

f 

 se pide:

a) (1 punto) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x = 1. Para ese valor de a, obtener los otros puntos en que f tiene un extremo relativo.

b) (1 punto) Obtener las asíntotas de la gráfica de y = f(x) para a = 1.

c) (1 punto) Esbozar la gráfica de la función para a = 1.

(3)

a) (2 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones AX = B, donde





















0 0

2

1 1 0

1 1

0 m

m

A ,

















 z y x

X ,



















 2 m

m m B

según los valores del parámetro m.

b) (1 punto) Resolver el sistema en los casos m = 0 y m = 1.

Dados los planos: ₁ 2x y2z 1, ₂  x y2z1 se pide:

a) (0'5 puntos) Estudiar su posición relativa.

b) (1'5 puntos) En caso de que los planos sean paralelos hallar la distancia entre ellos; en caso de que se corten, hallar un punto y un vector de dirección de la recta que determinan.

a) (0'75 puntos) Hallar la ecuación del plano  que pasa por los puntos A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 1).

b) (0'75 puntos) Hallar la ecuación del plano  que contiene al punto P(1, 2, 3) y es perpendicular al vector v(2,1,1).

c) (0'5 puntos) Hallar el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y P.

(4)

SOLUCIÓN OPCIÓN B

Dada la función:

 

⁴₃ ¹

x x ax

f 

 se pide:

a) (1 punto) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x = 1. Para ese valor de a, obtener los otros puntos en que f tiene un extremo relativo.

b) (1 punto) Obtener las asíntotas de la gráfica de y = f(x) para a = 1.

c) (1 punto) Esbozar la gráfica de la función para a = 1.

a) _'

 

_ ⁴ ^· ^³



^¹



_⁴ ^³



^¹



_ ^³_₀_ 4 _₃_₀_ 4

4 4

6 4 2 3 3

x ax ax x

ax ax

x ax x x x ax

f

Si tiene un mínimo relativo en x = 1, entonces:

 

1 3 0 3

' a  a f

Para a = 3, tenemos

 

³ ⁴₃ ¹

x x x

f 

 . Para hallar los extremos relativos…

 

³ ³ ⁰ ³ ³ ⁰ ¹ ¹

' ⁴₄   ⁴   ⁴   

 x x x

x x x f

Por lo tanto en x = –1 habrá otro extremo relativo.

Estudiando el entorno de la función en x = –1 vemos que se trata de un máximo, ya que:

f(–2) es menor que f(–1) y éste mayor que f(– 0,5), sabiendo que no hay más extremos relativos.

b) Para a = 1 tenemos

 

⁴ ₃ ¹

x x x

f   .

 Asíntotas verticales: x³ = 0, x = 0 es una asíntota vertical.

 Asíntotas horizontales:

 

^ ^ ^^







 3

4 1 lim

lim x

x x

f x

x . Luego no tiene asíntota horizontal.

 Asíntotas oblicuas: Tendrá una asíntota ya que el grado del numerador es uno más que el del denominador, y será de la forma y = mx + n, donde

 

x x m f

x

 lim y n



f

 

x mx



x 

 lim

(5)

1 1 lim ⁴₄ 

  x m x

x , 1 0

1 lim 1 lim

lim ₃ ₃

4 3 4 3

4 



 



 



 



  





 



  

   x  x

x x x x

x n x

x x

x

Los límites en –∞ son idénticos.

Por lo tanto la asíntota será y = x

c) Sabemos que tiene una asíntota vertical en x = 0 y una asíntota oblicua cuya ecuación es y = x.

Buscamos los máximos y mínimos:

 

_ ⁴ ^· ^³



^¹



_ ⁴ ^³



^¹



_ ^³_₀_ _₃_₀_

' ₄ ⁴

4 6

4 2 6 6

4 2 3 3

x x x x

x x x x x

f

316 , 1 3

3 ⁴

4  x 

x

Para comprobar si son máximos o mínimos:

     

5 8

4 3 7 8

4 3 4

3· 4 3 4 4 3 12

'' 4

x x

x x x x

x x x x x

f       

(6)

 

máximo

f

mínimo f













0 316 , 1 ''

Calculamos ^f



^⁴ ³



para obtener el valor de la ordenada de los extremos relativos.



^⁴ ³



^^¹^,⁷⁵⁵

f y ^f

 

⁴ ³ ^¹^,⁷⁵⁵

Por lo tanto ya podemos esbozar la gráfica de la función:

a) (2 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones AX = B, donde





















0 0

2

1 1 0

1 1

0 m

m

A ,

















 z y x

X ,



















 2 m

m m B

según los valores del parámetro m.

b) (1 punto) Resolver el sistema en los casos m = 0 y m = 1.

a) La matriz ampliada es A* =





















2 0

0 2

1 1 0

1 1

0

m m



⁴ ⁴



⁰ ⁰^, ²

4 4 0

0 2

1 1 0

1 1

0

2 1

2 2

3         







 m m m m m m m m

m

m A

(7)

 Si ^m^⁰ ^y ^m^² ^ ^A ^⁰ ^ rg(A) = rg(A*) = 3. El sistema es compatible determinado.

 Si m0, sustituimos el valor en A* y calculamos el rango a partir de uno de los menores:

A*= 















 2 0 0 2

0 1 1 0

Para este valor de m rg (A) = 2, ya que el menor _⁰₂ ^₀¹ ^⁰ rg(A*) = 2, ya que la segunda fila multiplicada por (–1) da lugar a la primera.

rg (A) = rg (A*) = 2, menor que el número de incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado.

 Si m = 2, tenemos A*=

















4 0 0 0

2 1 1 0

Para este valor de m rg (A) = 1, ya que la primera fila es igual que la segunda, y la tercera es nula.

Por otro lado para calcular el rango de la matriz ampliada se observa que la primera y segunda fila son iguales, pero linealmente independientes de la tercera. Por lo tanto el rango de A* es 2.

rg(A) ≠ rg (A*), por lo que el sistema será incompatible.

b) Para m = 0 el sistema queda:



















































2 0 0 0

0 2

1 1 0

z y x

 

 







 

 



 

 

 











 z y x x

zy x

zy

zy 1 1

0 22

0 0

Para m = 1 tendremos un sistema compatible determinado. El sistema será el siguiente:

(8)

















































 3

1 1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

z y x

;

 

 







 



 







 3 1 1 3 1 1

x z y x z y

Dados los planos:

1 2

1 2x y z 

 , ₂  x y2z1

se pide:

a) (0'5 puntos) Estudiar su posición relativa.

b) (1'5 puntos) En caso de que los planos sean paralelos hallar la distancia entre ellos; en caso de que se corten, hallar un punto y un vector de dirección de la recta que determinan.

a) Estudiamos el rango de la matriz formada por los coeficientes de los planos: _



 







 1 2 1 1

1 2 1 2

A simple vista se observa que los coeficientes no son proporcionales, por lo tanto rg(M) = rg(M*) = 2 El sistema tiene solución, pero los planos no coinciden, por lo que se cortan en una recta.

b) Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones de los planos:

(9)

 





 









 





 

 





 

 













 z y

x x λz

zy x

3 16

3 23 2

dejando y

ecuaciones ambas sumando 12

12 2

Así pues encontramos dos puntos de la recta de intersección de los planos dando valores al parámetro .

 



 





 

 



 



 

 



  



1 3 , , 5 3 1 2

0 3 , , 1 3 0 2

B A



El vector director de la recta podrá ser el vector que va de A a B: v_r  AB



0 ,2 ,1



Por lo tanto, la recta r, si tomamos como punto de la recta el punto 



 



 

0 3 , , 1 3

A 2 , será:

 





 









 





 z

y x

3 2 1 3 2

4 : Calificación máxima: 2 puntos.

a) (0'75 puntos) Hallar la ecuación del plano  que pasa por los puntos A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 1).

(10)

b) (0'75 puntos) Hallar la ecuación del plano  que contiene al punto P(1, 2, 3) y es perpendicular al vector v (2, 1, 1).

c) (0'5 puntos) Hallar el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y P.

a) El vector normal del plano vendrá determinado por el producto vectorial de dos vectores del mismo…

1,2,0



v AB y u BC0,2,1

2,1,2

1 2 0

0 2

1 1 





k j i n

 



 . Por lo tanto, el plano es de la forma : 2x + y +2z + D = 0. Imponiendo

que pase por el punto (1, 0, 0) obtenemos D = –2, por lo tanto : 2x + y + 2z – 2 = 0

b) Si es perpendicular a v



2,1,1



, entonces su vector normal será



2 ,1 ,1



2 

n .

Tendrá por ecuación : 2x + y + z + D = 0. Imponiendo que pase por el punto (1, 2, 3) obtenemos 2 + 2 + 3 + D = 0, D = –7. Por lo tanto : 2x + y + z – 7 = 0

c) Los puntos que determinan el tetraedro son: A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = (0, 0, 1) y P(1, 2, 3)

El volumen de un tetraedro es:

Altura A

V _base·

3

1

O bien la sexta parte del volumen del paralelepípedo que se forma con los vectores AB,AC,AP.

(11)

3 pedo

paralelepí 3

4 6 8 3 2 0

1 0 1

0 2 1 6 1 6

1 6

1 u

AP AC AB V

V   



