gradiente. Derivada Direccional y Diferenciales Regla de la Cadena

(1)

CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES F

^ORMACIÓN ^POR

C

OMPETENCIAS

Regla de la Cadena Diferenciales

Derivada Direccional y

gradiente.

(2)

Logros esperados

 Aplica la regla de la cadena para funciones de varias variables en situaciones intra-extra

matemáticas.

 Resuelve problemas de contexto real en

variadas situaciones que involucran el concepto de diferencial, derivadas direccionales y sus

diversas interpretaciones.

 Analiza el concepto de derivada direccional y su

relación con la razón de cambio de una función

de varias variables.

(3)

(4)

Regla de la cadena

Sean 𝑔 = 𝑔₁; 𝑔₂; ⋯ ; 𝑔_𝑚 : 𝐷 ⊂ ℝ^𝑛 → ℝ^𝑚 , 𝑓: 𝐸 ⊂ ℝ^𝑚 → ℝ y 𝑢₀ ∈ 𝐷, tales que:

• Para cada 𝑘 ∈ 1; 2; ⋯ ; 𝑚 y cada 𝑖 ∈ 1; 2; ⋯ ; 𝑛 existen las derivadas parciales ^𝜕𝑔^𝑘

𝜕𝑢_𝑖 (𝑢₀)

• La función 𝑓 es diferenciable en 𝑔 𝑢₀ = 𝑥₀ Entonces para la función 𝑓 ∘ 𝑔 se cumple

𝝏 𝒇 ∘ 𝒈

𝝏𝒖_𝒊 𝒖_𝟎 = 𝝏𝒇

𝝏𝒙_𝒌 𝒙_𝟎

𝒏 𝒌=𝟏

𝝏𝒈_𝒌

𝝏𝒖_𝒊 𝒖_𝟎 ; ∀𝒊 = 𝟏; 𝟐; ⋯ 𝒏

𝒖 ∈ 𝑫 𝒈 𝒖 = 𝒙 𝒇 𝒙

(5)

Regla de la cadena

La regla de la cadena da la forma de calcular las derivadas parciales de la composición 𝑓 ∘ 𝑔, esto se visualiza mejor con un esquema de árbol.

Si 𝑤 = 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) es una función real de 3 variables (𝑚 = 3) y cada variable es función de otras, digamos 𝑢 y 𝑣, (𝑛 = 2) entonces

𝑤

𝒙

𝒚

𝒛

𝒖

𝒗 𝒖 𝒗 𝒖 𝒗

𝝏𝒘

𝝏𝒖 = 𝝏𝒘

𝝏𝒙

𝝏𝒖 + 𝝏𝒘

𝝏𝒚

𝝏𝒖 + 𝝏𝒘

𝝏𝒛

𝝏𝒖

𝝏𝒘

𝝏𝒗 = 𝝏𝒘

𝝏𝒙

𝝏𝒗 + 𝝏𝒘

𝝏𝒚

𝝏𝒗 + 𝝏𝒘

𝝏𝒛

𝝏𝒗

(6)

Ejemplo

Regla de la cadena

1

En cada caso, determine las derivadas parciales ^𝜕𝑢

𝜕𝑠 y/o ^𝜕𝑢

𝜕𝑡

a.- 𝑢 = sin 2𝑥 + 3𝑦² ; 𝑥 = 𝑠 cos 𝑡 ; 𝑦 = 𝑠 sin 𝑡 b.- 𝑢 = 4𝑥 − 𝑦²; 𝑥 = 𝑠 𝑡² ; 𝑦 = 𝑠³𝑡

c.- 𝑢 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 ; 𝑥 = 𝑡² − 1 ; 𝑦 = 𝑡³ + 1 ; 𝑧 = 1 − 2𝑡

Solución

(7)

Ejemplo

Regla de la cadena

2

Sean 𝑢 = _1+𝑥𝑦^𝑥−𝑦 y además 𝑥 = tan 𝑠 ; 𝑦 = tan 𝑡. Calcule el valor de:

𝜕𝑢

𝜕𝑠 _𝑠=𝜋

4 ;𝑡=𝜋 4

+ 𝜕𝑢

𝜕𝑡 _𝑠=𝜋

4 ;𝑡=𝜋 4

Solución

(8)

Ejemplo

Regla de la cadena

3

La producción de trigo 𝑊, en un año dado, depende del promedio de temperatura 𝑇 y la cantidad de lluvia anual 𝑅.

Los expertos estiman que el promedio de temperatura está subiendo a razón de 0,15°C/año y la lluvia está decreciendo a razón de 0,1 cm/año. También se estima que, a los niveles actuales de producción ^𝜕𝑊

𝜕𝑇 = −2,25 y ^𝜕𝑊

𝜕𝑅 = 8,5. Bajo estas condiciones estime la razón de cambio de la producción de trigo

Solución

(9)

Caso para que analice el estudiante: 1

Considere una función 𝑓 real de variable real y defina la función 𝑧 = 𝑦 + 𝑓 𝑥² − 𝑦² . Si se cumple la igualdad

𝑦 𝜕𝑧

𝜕𝑥 + 𝑥 𝜕𝑧

𝜕𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

para cualquier valor de 𝑥 y 𝑦, determine el valor de 𝑎 + 𝑏.

Solución

PASO 1: Como la igualdad dada se cumple para cualquier valor de 𝑥 y 𝑦, entonces debe tratarse de una identidad.

PASO 2: Determinemos la expresión del lado izquierdo de esta igualdad.

𝜕𝑧

𝜕𝑥 = 𝑓^′ 𝑥² − 𝑦² 2𝑥 = 2𝑥𝑓′(𝑥² − 𝑦²)

𝜕𝑧

𝜕𝑦 = 1 + 𝑓^′ 𝑥² − 𝑦² −2𝑦 = 1 − 2𝑦𝑓′(𝑥² − 𝑦²)

(10)

Caso para que analice el estudiante: 1

𝑦 𝜕𝑧

𝜕𝑥 = 2𝑥 𝑦 𝑓′(𝑥² − 𝑦²) 𝑥 𝜕𝑧

𝜕𝑦 = 𝑥 − 2 𝑥 𝑦𝑓′(𝑥² − 𝑦²) Sumamos para obtener: y ^𝜕𝑧

𝜕𝑥 + 𝑥 ^𝜕𝑧

𝜕𝑦 = 𝑥

PASO 3: La identidad dada inicialmente queda expresada como:

𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏

de donde obtenemos 𝑎 = 1 y 𝑏 = 0. En consecuencia 𝑎 + 𝑏 = 1

(11)

(12)

Diferencial total

Sean 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ

^𝑛

→ ℝ y dos puntos 𝑎, = 𝑎

₁

; 𝑎

₂

; ⋯ ; 𝑎

_𝑛

y 𝑏 = 𝑏

₁

; 𝑏

₂

; ⋯ ; 𝑏

_𝑛

en 𝐷

Definimos la variación de 𝑓 como:

𝚫𝒇 = 𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂

Y si las derivadas parciales de 𝑓 existen en 𝑎, definimos el diferencial de 𝑓 en 𝑎 como:

𝒅𝒇 𝒂 = 𝝏𝒇

𝝏𝒙_𝒊 𝒂 𝒃_𝒊 − 𝒂_𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

En ℝ

³

(o en ℝ

²

) se suele usar una notación mas adecuada. Si 𝑎 = (𝑥; 𝑦; 𝑧) y 𝑏 = (𝑥 + 𝑑𝑥; 𝑦 + 𝑑𝑦; 𝑧 + 𝑑𝑧) entonces

𝒅𝒇 𝒂 = 𝝏𝒇

𝝏𝒙 𝒂 𝒅𝒙 + 𝝏𝒇

𝝏𝒚 𝒂 𝒅𝒚 + 𝝏𝒇

𝝏𝒛 𝒂 𝒅𝒛

(13)

Interpretación geométrica en ℝ

^𝟐

El diferencial 𝑑𝑓(𝑎) es una aproximación de la variación Δ𝑓 = 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 cuando el punto 𝑏 se encuentra próximo al punto 𝑎 = (𝑥; 𝑦)

𝒅𝒇(𝒙; 𝒚) ≈ 𝚫𝒇(𝒙; 𝒚)

𝑎 𝑏

𝑎 = (𝑥; 𝑦)

𝑏 = (𝑥 + Δ𝑥; 𝑦 + Δ𝑦) 𝚫𝒚

𝚫𝒙

𝚫𝒇 𝒅𝒇

𝒙 𝒚 𝒛

𝒙 𝒚

(14)

Ejemplo 1

Determine el diferencial total de cada una de las siguientes funciones:

a.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 5𝑥^2𝑦³ b.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = ^𝑦²

𝑥

c.- 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑧² sin(2𝑥 − 3𝑦)

Solución

(15)

Ejemplo 2

La potencia calorífica disipada, en vatios, en una resistencia eléctrica viene modelada por la expresión 𝑃 = ^𝐸²

𝑅 . Si 𝐸 = 250 voltios y 𝑅 = 12 ohmios, determine la variación que

experimenta la potencia cuando 𝐸 y 𝑅 disminuyen en 5 voltios y 0,4 ohmios, respectivamente

Solución

(16)

Ejemplo

Diferenciales

3

Una lámina metálica de forma triangular tiene 12 cm de base y 9 cm de altura. Se calienta en un horno durante un tiempo.

Al extraerla del horno, su base se ha incrementado en 0,5 mm y su altura en 0,2 cm. Use el diferencial para determinar un valor aproximado del incremento de área.

Solución

(17)

Errores (relativo y relativo porcentual)

Para una función 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ

^𝑛

→ ℝ

El error cometido al considerar 𝑓(𝑎) por 𝑓(𝑏) es:

𝚫𝒇(𝒂) = 𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 ≈ 𝒅𝒇(𝒂) El error relativo es

𝚫𝒇 𝒂

𝒇(𝒂) ≈ 𝒅𝒇 𝒂 𝒇(𝒂) Y el error relativo porcentual es

𝚫𝒇 𝒂

𝒇(𝒂) × 𝟏𝟎𝟎% ≈ 𝒅𝒇 𝒂

𝒇 𝒂 × 𝟏𝟎𝟎%

(18)

Ejemplo 1

El radio de la base y la altura de un cono circular recto miden 10cm y 25cm, respectivamente, con un posible error en la

medición de 0,1cm. Utilice diferenciales para estimar el error así como el error relativo porcentual en el cálculo del volumen del cono

Solución

(19)

Caso para que analice el estudiante: 1

Una lata de metal en forma de cilindro circular recto, con tapa debe ser fabricada con las siguientes especificaciones: una altura interior de 8 pulgadas, radio interior 3 pulgadas y

espesor 0,2 pulgadas. Si el costo del metal que va ser usado es de $10 por pulgada cúbica, use diferenciales para calcular el costo del metal que se usará en la fabricación de dicha

lata

Solución

PASO 1: Primero, observemos que el costo del material se obtiene multiplicando el volumen total del material con el costo por unidad de volumen.

Costo = 10(Volumen del material de la lata)

(20)

Caso para que analice el estudiante: 1

PASO 2: El volumen del material de la lata 𝑉_𝑚𝑎𝑡 lo hallamos por una diferencia de volúmenes. Para ello denotemos por 𝑅 al radio interior y 𝑕 a la altura interior.

𝑉_𝑚𝑎𝑡 = 𝜋 𝑅 + 0,2 ² 𝑕 + 0,4 − 𝜋𝑅²𝑕 Definamos la función

𝑉 = 𝜋𝑅²𝑕 y notemos

𝑉_𝑚𝑎𝑡 = 𝑉 𝑅 + 0,2; 𝑕 + 0,4 − 𝑉 𝑅; 𝑕

𝑅=3;𝑕=8

≈ 𝑑𝑉(3; 8)

0,2 pulg.

𝑅

𝑕

PASO 3: Calculemos el diferencial con los datos siguientes:

𝑅 = 3; 𝑕 = 8; 𝑑𝑅 = 0,2; 𝑑𝑕 = 0,4

𝑉 = 𝜋𝑅²𝑕 → 𝑉_𝑅 = 2𝜋𝑅𝑕 ; 𝑉_𝑕 = 𝜋𝑅² → 𝑑𝑉 = 2𝜋𝑅𝑕 𝑑𝑅 + 𝜋𝑅² 𝑑𝑕

Evaluamos en los valores adecuados y obtenemos:

𝑑𝑉 = 41,469

Concluimos que el costo del metal es aproximadamente:

10 41,469 = 414,69 dólares.

(21)

(22)

Gradiente

Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ

^𝑛

→ ℝ tal que sus derivadas parciales existan en un punto 𝑥

₀

∈ 𝐷. El gradiente de 𝑓 en el punto 𝑥

₀

, que se denota 𝜵𝒇(𝒙

_𝟎), es el vector

𝛁𝒇 𝒙

_𝟎

= 𝝏𝒇

𝝏𝒙

_𝟏

𝒙

_𝟎

; 𝝏𝒇

𝝏𝒙

_𝟐

𝒙

_𝟎

; ⋯ ; 𝝏𝒇

𝝏𝒙

_𝒏

𝒙

_𝟎

Otra notación para el gradiente es 𝐠𝐫𝐚𝐝 𝒇 .

Observación

(23)

Derivada direccional

Si 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ

^𝑛

→ ℝ es una función definida en 𝐷 ⊂ ℝ

^𝑛

, 𝑥

₀

∈ 𝐷 y un vector 𝑣 ∈ ℝ

^𝑛

, la derivada direccional de 𝑓 en el punto 𝑥

₀

y en la dirección del vector 𝑣 se define como:

𝑫

_𝒗

𝒇 𝒙

_𝟎

= lim

𝒕→𝟎

𝒇 𝒙

_𝟎

+ 𝒕𝒗 − 𝒇(𝒙

_𝟎

) 𝒕

siempre y cuando este límite exista

Al igual que la derivada parcial, ésta derivada tiene una

interpretación geométrica.

(24)

Interpretación geométrica

Con la definición de límite, y cuando el vector 𝑣 es unitario, la derivada direccional se puede interpretar como:

𝑫_𝒗𝒇(𝒙_𝟎; 𝒚_𝟎)

Pendiente en el punto 𝑥₀; 𝑦₀; 𝑓( 𝑥₀; 𝑦₀) de la curva 𝐶 (orientada en la dirección de 𝑣 )

formada por la intersección de la gráfica de 𝑓 y el plano perpendicular a 𝑋𝑌 que pasa por

𝑥₀: 𝑦₀ y es paralelo a 𝑣 .

𝑣 𝑧

𝑥 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) 𝑦

𝑪

𝑃; 𝑓 𝑃

(25)

Derivada direccional y gradiente

Si 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ

^𝑛

→ ℝ es una función diferenciable en 𝑥

₀

∈ 𝐷, entonces la derivada direccional de 𝑓 en el punto 𝑥

₀

y en la dirección del vector unitario 𝒖 se calcula por la fórmula:

𝑫

_𝒖

𝒇 𝒙

_𝟎

= 𝛁𝒇 𝒙

_𝟎

∙ 𝒖

Así como las derivadas parciales nos dan información de

la

razón de cambio

de 𝑓 a lo largo de los ejes

coordenados, la derivada direccional hace lo mismo pero

en una dirección 𝑢 específica.

(26)

Ejemplo

Derivada direccional

1

En cada caso calcule la derivada direccional de 𝑓 en el punto 𝑃 dado y en la dirección del vector 𝑣 indicada.

a.- 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥²𝑦 + 𝑥³𝑦², en 𝑃(1; −2), 𝑣 = (−3; 6).

b.- 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 𝑦², en 𝑃(1; 1) hacia el punto 0; 0

c.- 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥² − 𝑥𝑒^𝑦³, en 𝑃(−1; 0) , 𝑣 forma un ángulo de ^𝜋₃ radianes con el semieje positivo 𝑋

Solución

(27)

Ejemplo

Derivada direccional

2

Una lámina de metal plana se encuentra en un plano 𝑋𝑌 y su temperatura (en grados Celcius) en un punto 𝑥, 𝑦 está dada por la siguiente expresión 𝑇 𝑥; 𝑦 = 10 𝑥² + 𝑦^{2 2} (donde 𝑥 e 𝑦, se miden en centímetros). Calcule la razón de cambio de la temperatura desde la posición 1; 2 hacia:

a.- El punto 4; 4 b.- El punto 2; 0

Solución

(28)

Propiedades del gradiente

Sabemos que para una función diferenciable 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ

^𝑛

→ ℝ se cumple:

𝑫

_𝒖

𝒇 𝒙

_𝟎

= 𝛁𝒇 𝒙

_𝟎

∙ 𝒖

𝜽

𝛁𝒇 𝒙_𝟎

𝒖

Si 𝜃 es el ángulo que forman los vectores

𝛻𝑓(𝑥₀) y 𝑢 entonces:

𝛻𝑓 𝑥₀ ⋅ 𝑢 = 𝛻𝑓 𝑥₀ 𝑢 cos 𝜃 de donde

𝑫_𝒖𝒇 𝒙_𝟎 = 𝛁𝒇(𝒙_𝟎) 𝐜𝐨𝐬 𝜽

Geométricamente:

Notemos que:

Cuando −^𝜋₂ < 𝜃 < ^𝜋₂: 𝑫_𝒖𝒇 𝒙_𝟎 es positivo

Cuando −𝜋 < 𝜃 < −^𝜋₂ o ^𝜋₂ < 𝜃 < 𝜋:

𝑫_𝒖𝒇 𝒙_𝟎 es negativo

𝜽

(29)

Propiedades del gradiente

Así tenemos que el gradiente determina dos regiones:

𝜽

𝛁𝒇 𝒙_𝟎

𝒖 Vector dirección

Vector gradiente Región donde 𝑓

tiende a crecer 𝐷_𝑢𝑓 > 0

Región donde 𝑓 tiende a decrecer

𝐷_𝑢𝑓 < 0

(30)

Propiedades del gradiente

Sea 𝑓 una función diferenciable en el punto (𝑥; 𝑦)

1. Si 𝛻𝑓 𝑥; 𝑦 = 0 entonces 𝐷

_𝒖

𝑓(𝑥; 𝑦) = 0 para todo 𝒖.

2. La

dirección

de máxima tasa de cambio de crecimiento de 𝑓 está dada por 𝛻𝑓 𝑥; 𝑦 y el valor máximo de 𝐷

_𝒖

𝑓(𝑥; 𝑦) es 𝛻𝑓(𝑥; 𝑦) .

3. La

dirección

de máxima tasa de cambio de decrecimiento de 𝑓 está dada por −𝛻𝑓 𝑥; 𝑦 y el valor mínimo de 𝐷

_𝒖

𝑓(𝑥; 𝑦) es − 𝛻𝑓(𝑥; 𝑦) .

4. El vector gradiente 𝛻𝑓 𝑥; 𝑦 es perpendicular a la

curva de nivel que pasa por el punto 𝑥; 𝑦

(31)

Ejemplo 1

Para las siguientes funciones, calcule

• La dirección de máximo crecimiento de 𝑓 en el punto 𝑃,

• La máxima tasa de crecimiento de 𝑓 (o equivalentemente el valor máximo de la derivada direccional de 𝑓

a.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥² − 𝑥𝑒^𝑦³ en 𝑃 = (−1; 0) b.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = ^𝑥

𝑥²+𝑦² en 𝑃 = (−4; 3) c.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑥² en 𝑃 = (1; 1)

Solución

(32)

Ejemplo 2

En cierta montaña, la altura 𝑧 en metros, sobre el nivel del mar en la que se encuentra un alpinista, viene dada por la

expresión 𝑧 = 2000 − 2𝑥² − 4𝑦². Un alpinista se encuentra en el punto 𝐴(−20 ; 5 ; 1100). Sean 𝑃(1; 2) y 𝑄(1; −1) dos

puntos en el plano 𝑋𝑌 .

a.- Determine la razón de cambio de 𝑧, si el alpinista se

mueve desde el punto 𝐴, siguiendo la trayectoria del vector que va del punto 𝑃 al punto 𝑄.

b.- Una vez que llegue el alpinista al punto 𝑄, determine la dirección en la que debe moverse para que ascienda a la cima lo más rápidamente posible.

Solución

(33)

Ejemplo 3

Un cisne se encuentra en la superficie de un lago, el fondo de este puede ser descrito aproximadamente por la función

𝑓 𝑥, 𝑦 = −250 − 2𝑥² − 3𝑦², (considere la superficie del lago completamente plana y contenida en el plano 𝑋𝑌. Además asuma que cada unidad en los ejes equivale a un metro). El cisne se encuentra ubicado en el punto (2; 1).

¿En qué dirección debe nadar para que la profundidad debajo de él disminuya lo más rápido posible?

Solución

Rpta. −^𝟒_𝟓; −^𝟑_𝟓

(34)

Caso para que analice el estudiante: 1

Suponga que una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico 𝑧 = 1,2 − 𝑥² − 2𝑦² , donde 𝑥 e 𝑦 son las

coordenadas este-oeste y norte-sur, y 𝑧 es la altitud sobre el nivel del mar (𝑥, 𝑦 y 𝑧 están medidas en kilómetros).

a.- Calcule la rapidez de cambio de la altitud en el punto 0,5; 0,5 en la dirección hacía el punto A −1; 1 .

b.- Determine la dirección en la que aumenta más rápido la altitud en el punto 0,5; 0,5 .

c.- Si se suelta una canica en 0,5; 0,5; 0,45 , ¿en qué dirección comenzará a rodar?

d.- Determine la máxima rapidez de aumento de la altitud en el punto 0,5; 0,5 .

Solución

(35)

Caso para que analice el estudiante: 1

PASO 1: Al pedir la rapidez de cambio de la altitud en una cierta dirección, tenemos que calcular la derivada direccional de la altitud (representada por 𝑧)

PASO 2: Calculamos el gradiente:

Derivadas parciales: 𝑧_𝑥 = −2𝑥 ; 𝑧_𝑦 = −4𝑦

Evaluamos en 0,5; 0,5 : 𝑧_𝑥 _𝑥=0,5 = −1 ; 𝑧_𝑦 _𝑦=0,5 = −2 Luego el gradiente es: 𝛻𝑓 𝑃 = (−1; −2)

PASO 3: Calculamos la dirección unitaria. De acuerdo al enunciado, la dirección esta dada por el vector

desde 𝑃(0,5; 0,5) hasta el punto A −1; 1 , es decir

𝑢 = 𝐴 − 𝑃

𝐴 − 𝑃 = − 3

10; 1 10

𝑷

𝑨 𝒖

a)

(36)

Caso para que analice el estudiante: 1

PASO 4: Calculamos la derivada direccional:

𝐷_𝑢𝑓 𝑃 = −1; −2 ⋅ −3

10; 1

10 = 1 10 Es decir, la altitud aumenta en ¹

10 = 0,316 kilómetros por cada kilómetro que se avance en la dirección 𝑢

b)

PASO 1: La dirección en la que aumenta más rápido la altitud a partir del punto (0,5; 0,5) es la dirección dada por el gradiente de la función que representa la altitud en el punto (0,5; 0,5).

𝛻𝑓 𝑃 = −1; −2 (ya calculado en el paso anterior) PASO 2: Calculamos la dirección unitaria: 𝑢_𝑚𝑎𝑥 = ^{𝛻𝑓 𝑃}

𝛻𝑓 𝑃 = − ¹

5;⁻²

5

𝒖_𝒎𝒂𝒙 𝑷

(37)

Caso para que analice el estudiante: 1

c)

PASO 1: Analicemos la situación. Para que la canica comience a rodar desde el punto (0,5;0,5;0,45), ésta deberá seguir la dirección donde la altura disminuya lo más rápidamente posible, es decir la dirección de máxima tasa de cambio de decrecimiento, la cual esta dada por el negativo del gradiente en el punto P = (0,5; 0,5)

−𝛻𝑓 𝑃 = 1; 2 (ya calculado en el item a)

PASO 2: Calculamos la dirección unitaria: 𝑢_𝑚𝑖𝑛 = ^{−𝛻𝑓 𝑃}

𝛻𝑓 𝑃 = ¹

5; ²

5

𝑷 𝒖_𝒎𝒊𝒏

(𝟎, 𝟓; 𝟎, 𝟓; 𝟎, 𝟒𝟓)

(38)

Caso para que analice el estudiante:

d)

La máxima rapidez de aumento de la altitud desde el punto 𝑃 nos la da el módulo del gradiente en el punto 𝑃:

𝛻𝑓 𝑃 = 5

es decir, desde el punto (0,5;0,5;0,45) la altitud aumenta a razón de 5 ≈ 2,24 kilómetros por cada kilómetro que se avance en la

dirección 𝑢_𝑚𝑎𝑥 = ^{𝛻𝑓 𝑃}

𝛻𝑓 𝑃 = − ¹

5;⁻²

5

(39)

Lo que no debes olvidar

• La derivada direccional es un número y el gradiente es un vector.

• Los pasos a seguir para hallar la derivada direccional:

Para hallar 𝐷_𝑢𝑓(𝑃)

PASO 1 Se determinan las derivadas parciales de la función

PASO 2 Se evalúan las derivadas parciales en 𝑃

PASO 3 Se determina la dirección unitaria

PASO 4 Se realiza el producto escalar entre el gradiente y la dirección

• La derivada direccional nos informa sobre la razón de cambio instantánea de la función en una direccional particular y en un punto dado.

𝐷_𝑢𝑓 𝑃 > 0: No significa que la función 𝑓 sea creciente 𝐷_𝑢𝑓 𝑃 < 0: No significa que la función 𝑓 sea decreciente 𝐷_𝑢𝑓 𝑃 = 0: No significa que la función 𝑓 sea constante

(40)