MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
¡Por fin llegó el momento de construir la cancha nueva en la escuela! El rector y la junta administrativa están estudiando el presupuesto y el tiempo y el tiempo en que se llevará a cabo la obra. Ellos han diseñado la siguiente tabla con algunos datos que consiguieron.
Número de obreros 15 10 6 3 2
Tiempo (días) 10 15 25 50 75
Analicemos las magnitudes: número de obreros y tiempo; nos damos cuenta de que, si disminuye el número de obreros, aumenta el tiempo; en este caso, decimos que las dos magnitudes están inversamente
correlacionadas.
Ahora hallemos los productos obtenidos al multiplicar los valores correspondientes de las dos magnitudes.
15 × 10 = 150; 10 × 15 = 150; 6 × 25 = 150; 3 × 50 = 150; 2 × 75 = 150
En todos los casos el producto es igual (150), es decir, es constante; por tanto, las dos magnitudes son inversamente proporcionales.
Dos magnitudes varían en forma inversamente proporcional si:
- Están correlacionadas inversamente, y
- el producto entre los valores de las magnitudes que se relacionan es el mismo.
Representamos los valores de la tabla en una gráfica.
Los valores correspondientes están ubicados sobre una curva que decrece o baja.
1. ¿Cuáles de las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales? Completa las tablas y realiza las gráficas.
2. Determina si las siguientes magnitudes son directa o inversamente proporcionales.
a. El número de llantas de un auto y el número de autos.
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b. El número de horas que tarda un automóvil en ir de una ciudad a otra y la velocidad del auto.
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c. El número de obreros y el número de días que tardan en hacer una obra.
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d. El precio de cierto número de litros de leche y la cantidad de litros de leche que se puede comprar.
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REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Para las sorpresas de una fiesta, Lina compró 8 bolsas de colombinas; y en cada bolsa hay 12 colombinas.
Lina va a preparar 16 sorpresas cada una con igual cantidad de colombinas. A última hora le avisan que van a asistir 8 amigos más. ¿Cuántas colombinas debe colocar ahora en cada sorpresa?
En este problema se relacionan dos magnitudes: el número de sorpresas y el número de colombinas.
Escribamos en una tabla la información que tenemos.
Número de sorpresas Colombinas en cada sorpresa
16 6
24
𝒙
Un problema en el que hay magnitudes inversamente proporcionales y se desconoce uno de los términos, se llama regla de tres simple inversa.
Veamos cómo resolverlo.
Recordemos que, cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales, su producto siempre es el mismo. Por tanto, podemos escribir:
16 × 6 = 24 × 𝒙
Y al resolverla obtendremos:
16 × 6 24 = 𝒙
96 24 = 𝒙
4 = 𝒙
Lina puede poner 4 colombinas en cada sorpresa.
3. Resolución de problemas.
a. Para ir a un paseo, 5 amigos alquilaron una cabaña y cada uno aporto $ 12 000. ¿Cuál será la cuota si solo fueran al viaje 2 amigos? ______________
b. La profesora dijo: “los 5 niños que presenten los mejores trabajos recibirán una caja de 18 chocolates cada uno” al día siguiente, había 6 trabajos excelentes. ¿Cómo repartió la profesora los chocolates?
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c. El camión de don Jaime puede transportar 80 cajas de 125 kilogramos cada una. Si empaca el mismo pedido en cajas de 50 kilogramos, ¿Cuántas cajas puede transportar? _________________
4. Completa la siguiente tabla y representa los datos en la gráfica. Luego, responde la pregunta.
Número de operarios en
una fábrica
Horas de trabajo para
realizar un producto
1 48
2 3
4 12
6 8
4
a. ¿Se trata de magnitudes directa o inversamente proporcionales? Justifica tu respuesta.
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PORCENTAJE
Un grupo de 100 personas fue entrevistado sobre su gusto musical. Los resultados fueron.
Música Número de
personas
Salsa 25
Rock 30
Balada 40
Bachata 5
Escribamos las razones entre el número de personas que prefieren cada clase de música y el total de los entrevistados.
De 100, 25 prefieren salsa; se representa: 25
100= 25 %.
De 100, 30 prefieren rock: 30
100 = 30 %
De 100, 40 prefieren balada en inglés: 40
100= 40 %
De 100, 5 prefieren Bachata: 5
100= 5 %
Una razón que compara un número con 100 recibe el nombre de porcentaje.
Su símbolo es % y significa “parte de 100”.
5. Expresa como razón cada porcentaje.
a. 17 % = _____ b. 73 % = _____
c. 39 % = _____ d. 50 % = _____
6. Escribe como porcentaje cada razón.
a. 27
100
= _______
b. 18100
= _______
c. 54
100
= _______
d. 97100
= _______
7. Representa cada porcentaje.
50 % 25 %
75 % 100 %
Observa cómo se calcula el porcentaje de un número.
5 % de 200 5
100 𝑑𝑒 200 = 5 × 200
100 = 1000
100 = 10
El 5 % de 200 es 10
8. Hallo el porcentaje indicado de cada número.
a. 10 % de 200 = _________ b. 50 % de 4630 = ________ c. 25 % de 500 = ________
d. 30 % de 3920 = ________ e. 25 % de 400 = _______ f. 3 % de 120 = ________
g. 75 % de 1200 = ________ h. 12 % de 180 = _______ i. 19 % de 7800 = _______
9. Resuelvo problemas.
a. Mauricio tiene 100 canicas. A su prima le regala 35 % y a su hermano, el 18 %. ¿Cuántas canicas regaló Mauricio en total y con cuántas se quedó?
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b. En un almacén ofrecen los siguientes descuentos:
DESCUENTOS
Sacos en hilo 30 %
Sacos en casimir 20 %
Blusas 18 %
Bufandas 25 %
Una bufanda cuesta $ 15 000 y Teresa lleva 3 bufandas. ¿Cuánto pago en total después de aplicar el descuento? _______________
Uno de los modelos de sacos de hilo cuesta $ 87 000. ¿Cuál es el precio con descuento? _______________
10. En la tabla se registra el descuento de algunos electrodomésticos en una tienda. Calcula el precio de venta de cada uno. Luego, completa la tabla.
Producto Precio normal Descuento Precio con descuento
Microcomponente $ 350 000 10 %
DVD $ 200 000 15 %
Microondas $ 180 000 5 %
Grabadora $ 300 000 22 %
11. Escribe la razón, el porcentaje y el número decimal que está representado en cada caso.
