Adaptado por Profa. Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico en Arecibo
Factorización trinomios
cuadráticos de la forma
x 2 + bx + c
Factorización de trinomios
Sea x
2+ bx + c un trinomio con coeficientes racionales, donde
• b se llama coeficiente lineal
• c se llama coeficiente constante entonces x
2+ bx + c factoriza si
x
2+ bx + c = (x + n)(x + m) donde
• n y m son factores de c
• m + n es igual a b.
Factorización de trinomios
Ejemplos: Factorice
a) x
2+ 8x + 12
elegimos los valores de m y n tal que su producto sea 12 y su suma sea 8.
x
2+ 8x + 12 = (x + 2)(x + 6)
= (x + m)(x + n)
Esos números son 2 & 6, por lo que
Factorización de trinomios
b) y
2– 11y + 24 =
c) a
2– 13a – 30 =
Factorización de trinomios
d) x
2+ x – 5 =
NO factoriza.e) w
2+ 5w – 36 =
Factorización de trinomios
Factorice completamente: – 2y
2– 26y + 28
= -2(y
2+ 13y – 14)
Tratemos de factorizar el polinomio cuadrático restante.
Se necesitan dos números cuyo producto sea - 14 y cuya suma sea 13
-2(y
2+ 13y – 14) = -2(y + 14)(y + -1)
Esos números son 14 & -1, por lo que
= -2(y + 14)(y – 1)
Nota: Los términos tienen un factor de 2 en
común
Ejemplo: Factorice completamente:
100 – 45x + 5x
2Solución:
Adaptado por Profa. Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico en Arecibo
Factorización trinomios
cuadráticos de la forma
ax 2 + bx + c
Forma general de los trinomios cuadráticos
• Los trinomios cuadráticos, en general, tienen la forma
ax
2+ bx + c , donde a, b,c son reales;
a≠0
• Ejemplos:
2 x
2 25 x 12
4 z
2 6 z 2
32 − 12𝑥 − 8𝑥
2, donde a=2, b=25, c=12 , donde a=4, b=-6, c=2
, donde a=-8, b=-12, c=32
Factorizar binomios de la
forma ax 2 + bx + c
• Algunos trinomios cuadráticos se
pueden factorizar como el producto de dos binomios.
• Para identificar los factores binomiales de un trinomio podemos utilizar
• Tanteo
• el Método AC
Ejemplo con tanteo
Factorice completamente:
factores de 9:
factores de 4:
Las posibles combinaciones son:
Por lo tanto,
4 15
9 x
2 x
1(9) 3(3) 1(4) 2(2)
(9x 4)(x 1)
(9x 1)(x 4) (9x 2)(x 2) (3x 2)(3x 2) (3x 1)(3x 4)
4 15
9 x
2 x (3 x 1)(3 x 4).
9x2 13x 4
9 x
237 x 4
9x2 20x 4
9x2 12x 4
9x2 15x 4
=
Factorización de trinomios
• Cuando multiplicamos binomios se forman 4 productos:
• Podrían haber términos semejantes y se reduce el polinomio a un trinomio.
• El trinomio 𝑎𝑥
2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 factoriza si existen factores de ac que sumen b.
Factorización de trinomios
Factorice: 10x
2+ 31x + 15
En esta expresión a=10, b=31, c=15, ac=150 Buscamos factores de 150 que sumen 31.
Los factores son: 25 y 6
= 10x
2+ 25x + 6x + 15
= 5x(2x + 5) + 3(2x + 5)
= (5x + 3)(2x + 5)
Factorice completamente:
(a) 6y
2+ 23y + 20
𝐛 𝟔𝐱 𝟐 +𝐱 − 𝟏𝟓
(c) 12w
2– 11w + 2
Factorice completamente:
32 − 12𝑝 − 8𝑝
2• Observar que el polinomio no está en la forma general.
• −8𝑝2 − 12𝑝 + 32
• Observar que existen un factor común en los términos
• El factor común es -4
• -4(2p2 + 3p – 8 )
• Debemos ver si el trinomio cuadrático que queda es factorizable
• a = 2, b= 3, c = -8, ac = -16
• Buscamos dos números que multiplican -16 y que sumen 3
• Dos números que multiplican -16 son:
• -2 y 8 (pero suman 6)
• 2 y -8 (pero suman -6)
• 4 y -4 (pero suman 0)
• Por lo tanto, 32 − 12𝑝 − 8𝑝
2= -4(2p
2+ 3p – 8 )
-16 y 1 (pero suman -15) 16 y -1 (pero suman 15)
