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CAPÍTULO 13 RESUMEN
Movimiento periódico: Un movimiento periódico se repite en un ciclo definido; se presenta siempre que un cuerpo tiene una posición de equilibrio estable y una fuerza de restitución que actúa cuando el cuerpo se desplaza del equilibrio. El periodo T es lo que tarda un ciclo. La frecuencia f es el número de ciclos por unidad de tiempo. La frecuencia angular v es 2p veces la frecuencia. (Véase el ejemplo 13.1.)
(13.1)
(13.2) v 5 2pf 5 2p
T f 5 1
T T 5 1 f
Movimiento armónico simple: Si en el movimiento periódico la fuerza de restitución F
xes directamente proporcional al desplazamiento x, el movimiento se denomina armónico simple (MAS). En muchos casos, esta condición se satisface si el desplazamiento con respecto al equilibrio es pequeño. La frecuencia angular, la frecuencia y el periodo en un MAS no dependen de la amplitud, sólo dependen de la masa m y la constante de fuerza k. En un MAS, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración son funciones senoidales del tiempo; la amplitud A y el ángulo de fase f de la oscilación están determinados por la posición y velocidad iniciales del cuerpo. (Véanse los ejemplos 13.2, 13.3, 13.6 y 13.7.)
(13.3)
(13.4)
(13.10)
(13.11)
(13.12)
(13.13) x 5 A cos 1 vt 1 f 2
T 5 1 f 5 2p
Å m k f 5 v
2p 5 1 2p Å k
m v 5 Å k
m a
x5 F
xm 5 2 k m x F
x5 2kx
Energía en movimiento armónico simple: La energía se conserva en un MAS. La energía total se puede expresar en términos de la constante de fuerza k y la amplitud A.
(Véanse los ejemplos 13.4 y 13.5.)
(13.21) E 5 1
2 mv
x21 1 2 kx
25 1
2 kA
25constante
Movimiento armónico simple angular: En el MAS angular, la frecuencia y la frecuencia angular están relacionados con el momento de inercia I y la constante de torsión k.
(13.24) v 5 Å k
I y f 5 1 2p Å k
I
F
xa
xx x
n
mg y n
mg y
F
xa
xx n
mg y x = 2A x = 0
x , 0 x . 0 x = A x
x
2T t
O A 2 A T
Energía
x E 5 K 1 U
O A
2A U
K
t
zu
Resorte Rueda de
balance
La torca del resorte t
zse opone al desplazamiento angular u
Péndulo simple: Un péndulo simple consiste en una masa puntual m en el extremo de un cordón sin masa de longitud L. Su movimiento es aproximadamente armónico simple si la amplitud es lo bastante pequeña; entonces, la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo dependen sólo de g y L, no de la masa ni de la amplitud.
(Véase el ejemplo 13.8.)
(13.32)
(13.33)
(13.34) T 5 2p
v 5 1 f 5 2p
Å L g f 5 v
2p 5 1 2p Å g
L v 5 Å g
L L
T
mg sen u
mg mg cos u
u
Términos clave
movimiento armónico simple (MAS), 421 oscilador armónico, 422
círculo de referencia, 423 fasor, 423
ángulo de fase, 426 péndulo simple, 436 péndulo físico, 438 amortiguamiento, 440
oscilación amortiguada, 440 amortiguamiento crítico, 441 sobreamortiguamiento, 441 subamortiguamiento, 441 fuerza impulsora, 442 oscilación forzada, 442 frecuencia angular natural, 442 resonancia, 443
(v
x5 0), ya que la fuerza ejercida por el resorte depende de si se comprime o se estira, y con qué distancia. Esto explica las respuestas a) a e). Si la aceleración es cero como en f), la fuerza total también debe ser cero y por ello el resorte debe estar relajado: x 5 0.
13.2 Respuestas: a) A + 0.10 m, f * 0; b) A + 0.10 m, f + 0 En ambas situaciones, la velocidad v
0xinicial (t 5 0) no es cero, de mane-
ra que de la ecuación (13.19) la amplitud es
mayor que la coordenada inicial x
05 0.10 m. A partir de la ecuación (13.18), el ángulo de fase es el cual es positi- vo si la cantidad (el argumento de la función arcotangente) es positivo, y es negativo si es negativo. En el inciso a) x
0y v
0xson ambos positivos, así que y En el inciso b) x
0es positivo y v
0xes negativo, por lo que y 13.3 Respuestas: a) iii), b) v) Para aumentar la energía total
en un factor de 2, la amplitud A debe aumentar en un fac- tor de Puesto que es MAS, un cambio de amplitud no afecta la frecuencia.
13.4 Respuesta: i) El periodo de oscilación de un cuerpo de masa m unido a un resorte colgante de constante de fuerza k está dado por la misma expresión que para el cuerpo unido al resorte T 5 2p "m / k ,
"2 . E 5
12kA
2f . 0.
2v
0x/ vx
0. 0
f , 0.
2v
0x/ vx
0, 0 2v
0x/ vx
02v
0x/ vx
0f 5 arctan 1 2v
0x/ vx
02 ,
A 5 "x
021 1 v
0x2/ v
22
movimiento periódico (oscilación), 419 desplazamiento, 420
fuerza de restitución, 420 amplitud, 420
ciclo, 420 periodo, 420 frecuencia, 420 frecuencia angular, 420
Respuesta a la pregunta de inicio de capítulo ?
Ninguna de ellas; el reloj seguiría marcando correctamente el tiempo.
Si la masa de su varilla es despreciable, el péndulo es simple y su pe- riodo es independiente de la masa [véase la ecuación (13.34)]. Si se in- cluye la masa de la varilla, se trata de un péndulo físico. Un aumento de su masa m al doble también duplica su momento de inercia I, así que la razón I >m no cambia y el periodo [ecuación (13.39)] sigue siendo el mismo.
Respuestas a las preguntas de Evalúe su comprensión
13.1 Respuestas: a) x * 0, b) x + 0, c) x * 0, d) x + 0, e) x 5 0, f) x + 0 La figura 13.2 muestra que la componente x de la fuerza total F
xy la aceleración a
xson ambas positivas cuando x , 0 (así que el cuerpo se desplaza hacia la izquierda y el resorte se comprime);
mientras que F
xy a
xson ambas negativas cuando x . 0 (así que el cuerpo se desplaza hacia la derecha y el resorte se estira). Por lo tanto, F
xy a
xsiempre tienen signos opuestos. Esto es válido si el objeto se mueve a la derecha (v
x. 0), a la izquierda (v
x, 0), o no se mueve
T 5 2p "I / mgd
Péndulo físico: Un péndulo físico es un cuerpo suspendido de un eje de rotación. La frecuencia angular y el periodo para oscilaciones de amplitud pequeña son independientes de la amplitud, aunque dependen de la masa m, la distancia d del eje de rotación a su centro de gravedad, y del momento de inercia I con respecto al eje. (Véanse los ejemplos 13.9 y 13.10.)
(13.38)
(13.39) T 5 2p
Å I mgd v 5 Å mgd
I d
z
mg sen u
mg mg cos u
cg O
d sen u u
0
2A A
T0 2T0 3T0 4T0 5T0 t Ae2(b
/
2m)t xb 5 0.1冪km b 5 0.4冪km
Oscilaciones amortiguadas: Si a un oscilador armónico
simple se le aplica una fuerza F
x5 2bv
xproporcional a la velocidad, el movimiento se denomina oscilación amorti- guada. Si (condición de subamortiguamiento), el sistema oscila con amplitud decreciente y una frecuencia angular que es más baja de la que tendría sin amortigua- miento. Si (condición de amortiguamiento crítico) o (condición de sobreamortiguamiento), cuando el sistema se desplaza regresa a su posición de equilibrio sin oscilar.
b . 2 b 5 2 "km "km v r
b , 2 "km
Oscilaciones impulsadas y resonancia: Si a un oscilador armónico amortiguado se aplica una fuerza impulsora que varía senoidalmente, el movimiento resultante se deno- mina oscilación forzada. La amplitud es función de la frecuencia impulsora v
dy alcanza un máximo con una frecuencia impulsora cercana a la frecuencia natural del sistema. Este comportamiento se denomina resonancia.
(13.46)
A 5 F
máx" 1 k 2 mv
d22
21 b
2v
d2F
máx/ k
2F
máx/ k
3F
máx/ k
4F
máx/
k5F
máx/ k
0.5 1.0 1.5 2.0
A
b 5 0.2冪km
0 v
d/ v
b 5 0.4 冪km b 5 0.7冪km b 5 1.0 冪km
b 5 2.0冪km (13.42)
(13.43) v r 5 Å
k m 2 b
24m
2x 5 Ae
21b/
2m2tcos v rt
Preguntas para análisis 447
horizontal. Ni m ni k cambian cuando el aparato se lleva a Marte, por lo que no cambia el periodo. La única diferencia es que en el equili- brio, el resorte se estirará una distancia más corta en Marte que en la Tierra, debido a la gravedad más débil.
13.5 Respuesta: no Al igual que para un objeto que oscila en un re- sorte, en la posición de equilibrio la rapidez de la lenteja del péndulo no cambia instantáneamente (es donde la rapidez es máxima, así que su derivada en este tiempo es cero). Sin embargo, la dirección del mo- vimiento es variable porque la lenteja del péndulo sigue una trayecto- ria circular. Por ello, la lenteja debe tener una componente de aceleración perpendicular a la trayectoria y hacia el centro del círculo (véase la sección 3.4). Para originar esta aceleración en la posición de equilibrio cuando el cordón es vertical, la fuerza de tensión hacia arri- ba en esta posición debe ser mayor que el peso de la lenteja. Esto pro- voca una fuerza total hacia arriba sobre la lenteja y una aceleración hacia arriba y al centro de la trayectoria circular.
13.6 Respuesta: i) El periodo de un péndulo físico está dado por la ecuación (13.39), La distancia d 5 L desde el pivote hasta el centro de gravedad es la misma tanto para la varilla como para
T 5 2p "I / mgd .
el péndulo simple, cuando la masa es m. Esto significa que para cual- quier ángulo de desplazamiento u actúa la misma torca de restitución sobre la varilla y sobre el péndulo simple. Sin embargo, la varilla tiene un momento de inercia mayor: I
varilla5 e I
simple5 mL
2(toda la masa del péndulo está a una distancia L del pivote). Por lo tanto, la varilla tiene un periodo mayor.
13.7 Respuesta: ii) Las oscilaciones son subamortiguadas con una amplitud decreciente en cada ciclo de oscilación, como las que se gra- fican en la figura 13.26. Si las oscilaciones fueran no amortiguadas, continuarían con la misma amplitud indefinidamente. Si fueran crítica- mente amortiguadas, la punta no se balancearía verticalmente, sino que suavemente regresaría a su posición de equilibrio original sin sobrea- mortiguamiento.
13.8 Respuesta: i) La figura 13.28 muestra que la curva de amplitud contra frecuencia impulsora se mueve hacia arriba con todas las frecuen- cias, conforme el valor de la constante de amortiguamiento b disminuye.
Así, para valores fijos de k y m, el oscilador con el amortiguamiento mí- nimo (el menor valor de b) tendrá la respuesta más grande en cualquier frecuencia impulsora.
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