La recta común se llama arista y los semiplanos caras del ángulo diedro.

A

B P

Q Ángulos Diedros

Concepto.- Es la reunión de dos semiplanos que tienen como origen una recta común.

La recta común se llama arista y los semiplanos caras del ángulo diedro.

En la figura se tiene el ángulo diedro de arista

⃗ AB y caras P y Q. A este ángulo diedro o simplemente diedro lo denotaremos por:  P – AB – Q algunas veces es suficiente nombrar dos puntos de la arista. Así diedro AB.

DEFINICIÓN

Es aquel poliedro en el cual sus caras son regiones poligonales congruentes entre sí, de modo que en todos sus vértices concurran el mismo número de aristas.

Sólo existen cinco poliedros regulares los cuales son:

TETRAEDRO REGULAR

Limitado por cuatro regiones triangulares equiláteras.

Notación: Tetraedro regular L – ABC Altura:

LG = a √ ⁶

3 Área de la superficie

A = a

√ ³

Área lateral:

A

= 3a

√ 3 4 Volumen:

A = a

√ ²

12

Del gráfico:

G: baricentro de la región triangular ABC Desarrollo de la superficie del tetraedro regular

HEXAEDRO REGULAR Limitado por seis regiones cuadradas.

Notación: Hexaedro regular ABCD – EFGH Diagonal:

AG = a √ ³

Área de la superficie:

A = 6a

Área lateral:

A

= 4a

Volumen:

V = a

Observación:

O : centro del hexaedro regular.

Desarrollo de la superficie del hexaedro regular

OCTAEDRO REGULAR

Limitado por ocho regiones triangulares equiláteras.

Notación: Octaedro regular M – ABCD – N Diagonal:

MN = a √ ²

Área de la superficie:

A = 2a

√ ³

Volumen:

V = a

√ ²

3 Observación:

O : centro del octaedro regular.

ABCD ; AMCN ; BMDN : cuadrados

Desarrollo de la superficie del octaedro regular

DODECAEDRO REGULAR

Limitado por doce regiones pentagonales regulares.

a A

B C

D M

N O A a

E

B C

D

G H F

O

A B a

C L

a

G

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

Poliedros Regulare

s

Poliedros Regulare

s

Prof. Edwin Meza Flores “Amar, adorar y servir”

C

olegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús”

Desarrollo de la superficie del dodecaedro regular

ICOSAEDRO REGULAR

Limitado por veinte regiones triangulares equiláteras.

Desarrollo de la superficie del icosaedro regular

PRISMA RECTO

Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.

Área de la Superficie Lateral:

A

= (2p

)a

Área de la Superficie Total:

A

= A

+ 2A

Volumen:

V = (A

) a

Observación:

Si las bases de un prisma recto son regiones limitadas por polígonos regulares, entonces se trata de un prisma regular.

PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR, ORTOEDRO O RECTOEDRO Es un paralelepípedo recto cuyas bases son rectángulos. En consecuencia, las seis caras son rectángulos.

Área de la Superficie Lateral:

A

= 2ac + 2bc Área de la Superficie Total:

A

= 2ac + 2bc + 2ab

Volumen:

V = abc Diagonal:

D

= a

+ b

+ c

CILINDRO CIRCULAR RECTO Denominado también “cilindro de revolución”

debido a que puede generarse por una región rectangular al girar una vuelta en torno a uno de sus lados.

En forma práctica se dice que un cilindro se desarrolla en una región rectangular y dos círculos, aquí mostramos entonces el desarrollo de su superficie lateral.

Área de la Superficie Lateral : A

= 2rg

Área de la superficie Total : A

2r (g + r) Volúmen:

V =  r

g

PIRÁMIDE REGULAR

Es la pirámide recta que tiene la base limitada por un polígono regular.

O : centro de la base

VH : Apotema de la pirámide Área de la Superficie Lateral :

A

= (p

) . a

Área de la superficie Total : A

= A

+ A

Volumen:

V =

A_BASE h

3 Observaciones:

En una pirámide regular las aristas laterales tienen longitudes iguales.

A

B C

D H E F

V

O ap

g

2r

g r

r h

r

360°

a

b c D

A

B C

D

B´

F E aL

C´

a

Sólidos Geométrico

s

h

Quinto de secundaria

Prof. Edwin Meza Flores “Amar, adorar y servir”

C

olegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús”

En la pirámide regular la altura de la cara lateral trazada del vértice de la pirámide se denomina apotema.

En la pirámide regular las caras laterales son congruentes.

CONO CIRCULAR RECTO

Denominado también “cono de revolución”

debido a que puede generarse por una región triangular recta al girar una vuelta en torno a uno de sus catetos.

Para calcular el área de la superficie lateral ésta se desarrolla como un sector circular.

Área de la Superficie Lateral : A

=  r g

Área de la Superficie Total:

A

=  r (g + r) Volumen:

V = π r

h

3 Observaciones

Un cono se denomina equilátero si es revolución y la generatriz tiene la misma longitud que el diámetro de la base.

El desarrollo de la superficie lateral de un cono equilátero es un semicírculo.

ESFERA

Es el sólido limitado por una superficie esférica, la cual se define como el conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo denominado centro.

La distancia de todo punto de la superficie esférica al centro se denomina radio.

Un plano secante a una esfera determina en ella un círculo, al cual se le denomina máximo si contiene al centro de la esfera y menor en otro caso.

V = 4

3  R

A

= 4 R

1. Determinar el área total de un hexaedro regular, sabiendo que la distancia de uno de sus vértices al centro de la cara opuesta es 2m.

2. De cada vértice de un paralelepípedo rectángulo se extrae un cubo cuya arista mide

“x”. Si el volumen del sólido que resulta de extraer los cubos es igual a ocho veces la suma de los volúmenes de dichos cubos. Calcular

“x”, sabiendo que las dimensiones del paralelepípedo es 6, 8 y 12.

3. Calcular el volumen de un cilindro circunscrito a un cubo de arista “a”

4. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro es un cuadrado de área S. Hallar el volumen del cilindro.

5. Se tiene un cuadrado de lado “a”, el cual sirve de base para construir un paralelepípedo rectangular cuya diagonal es 2a. Hallar el volumen de dicho paralelepípedo.

6. Se tiene un ladrillo que pesa 4 kg. Si sus dimensiones se reducen a la cuarta parte se obtendría un ladrillito del mismo material.

¿Cuál es el peso del ladrillito?

7. El área lateral de un cilindro es “S”; y su volumen, “V”. Hallar el radio de su base.

8. El número de tubos circulares con diámetro interior de 3 cm que transportan el mismo caudal de agua que en un tubo de 9 cm de diámetro interior (tubos del mismo largo) es:

9. Dos esferas de metal de radios 2a y 3a se funden juntas para hacer una esfera mayor.

Calcular el radio de la nueva esfera.

10. Superponiendo 3 cubos de igual arista se obtiene un ortoedro cuya área total es 56 cm

. Hallar el volumen de cada cubo.

11. Una caja con base cuadrada y sin tapa se construye partiendo de una lámina cuadrada de

estaño, cortando un cuadrado de 3 pulgadas en cada esquina, y doblando hacia arriba los lados. Si la caja debe contener 48 pulg

. ¿Qué dimensión debe tener la lámina en pulgadas?

12. Determinar el volumen de una esfera inscrita en cubo de área lateral igual a 24 cm

. 13. ¿En qué relación se encuentran las áreas totales de una esfera y una semiesfera del mismo radio?

14. El volumen de un cubo es 12/p m

. Determinar el volumen de la esfera inscrita en el cubo.

15. El área total de un paralelepípedo rectangular es 10 m

. Si el largo es el doble del acho y el ancho es igual a la altura, calcular la diagonal del paralelepípedo rectangular:

16. Un vaso cilíndrico de diámetro “d” y altura

“h” está completamente lleno de agua. Si se vierte el contenido en otro vaso cilíndrico de diámetro “2d”, hasta qué altura subirá el agua?

17. ¿A qué distancia del centro de una esfera de 15 cm de radio debe pasar un plano para que el círculo sección tenga 12 cm de radio?

18. Hallar el volumen de un paralelepípedo cuya diagonal de la base mide 2 √ ³ y uno de los lados es el triple del otro. Además el paralelepípedo tiene altura igual a 10.

A) 18 B) 36 C) 12 D)10 E) 15

R R O

círculo máximo r

g

360°

h g

r O

h

Ejercicios de

Aplicación

Tarea

Quinto de secundaria

Prof. Edwin Meza Flores “Amar, adorar y servir”

C

olegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús”

19. En un paralelepípedo rectangular las diagonales de las caras miden √ ³⁴ m,

√ ⁵⁸ m y √ ⁷⁴ m. Calcular el volumen del paralelepípedo.

A) 105 B) 85 C) 90 D)75 E) 125 20. Si el área lateral de un prisma cuadrangular regular es 40 m

y la medida de la altura es 5 m, entonces su área total es:

A) 48 m

C) 60 m

E) 96 m

B) 50 m

D) 65 m

21. Hallar el área total de un paralelepípedo rectángulo si sus tres dimensiones están en progresión aritmética de razón 4, y su diagonal mide 5 √ ¹¹ m.

A) 320 m

C) 420 m

E) 430 m

22. B) 410 m

D) 454 m

23. Una esfera de cobre se funde y con el metal se hacen conos del mismo radio que la esfera y de altura igual al doble de dicho radio.

¿Cuántos conos se obtienen?

A) 3 B) 4 C) 2 D)5 E) 6 24. El área de una esfera es A, hallar su volumen.

A) 1

6 √ ^{A π}

^{C) 6 π √ A}

E) π √ ^{6 A}

B) 1 6 π √ ^A

D) π √ ^{A 6}

25. Hallar el volumen de un prisma recto cuyas bases son trapecios isósceles de altura 9 m y la diagonal 15 m, sabiendo que la altura del prisma mide 10 m.

A) 1200 m

B) 1024 m

C) 1080 m

D) 1136 m

E) 980 m

26. Calcular el volumen de un prisma triangular en el cual el área de una cara lateral es 20 m

mientras que la distancia desde la arista opuesta hasta dicha cara es 6m.

A) 120 m

B) 60 m

C) 80 m

D) 90 m

E) 75 m

27. Un cilindro está circunscrito a una esfera de radio R. Calcular el volumen del cilindro si es recto.

A) pR

B) 8/3pR

C) 3pR

D) 4pR

E) 2pR

28. En un cilindro recto, el área lateral es igual al área de la base. Calcular el volumen del cilindro si el radio de la base mide 8 m.

A) 256p m

B) 132p m

C) 68p m

D) 162p m

E) 164p m

29. Calcular el volumen de un cilindro de revolución, si su altura mide 20 m y el

desarrollo del área lateral del cilindro tiene por área 200 m

.

A) 300m

B) 500m

C) 250m

D) 200p m

E) 450p m

30. ¿Cuál es el área total de una esfera circunscrita a un cubo de 6 √ ³ m de arista?

A) 162 p m

B) 324 p m

C) 360 pm

D) 81p m

E) 486 p m

31. Un cilindro es tal que visto de frente se ve como un cuadrado de lado “a” ¿cuál es su volumen?

A) p a

B) pa

/4 C) p a

/2 D) p a

/8 E) 3p a

/4

32. Hallar la relación en que se encuentran el área de una esfera y el área total del cilindro circunscrito a la esfera

A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3 D) 3/2 E) 2

33. La diagonal de un paralelepípedo rectángulo es 5 √ ² m. Sabiendo que sus dimensiones están en progresión aritmética de razón 1, hallar el volumen del sólido.

A) 80 m

B) 60 m

C) 70 m

D) 40 m

E) 50 m

34. La altura de un cilindro recto mide 6 m y el área lateral 36p m

. Hallar su volumen.

A) 54 m

C) 36 m

E) N.A.

B) 54p m

D) 36p m

35. Se tiene un paralelepípedo recto cuyas aristas miden 6, 3 y 6p, el cual es equivalente a un cilindro de revolución de radio igual a 3.

Hallar la altura del cilindro.

A) 4 B) 6 C) 12 D) 4 p E) 6p 36. En un prisma recto de base cuadrada se encuentra inscrito un cilindro. Calcular el volumen del cilindro si el volumen del prisma es de 12 m

.

A) 4 m

C) 12 m

E) 3 m

B) 6 m

D) N.A.

37. Una esfera cuya área es 100 cm

se secciona con un plano distante 3 cm del centro.

Calcular el área del círculo sección.

A) 16  cm

B) 1800 cm

C) 1500  cm

D) 600  cm

E) 600  cm

38. Hallar el área total de un prisma recto de 17 cm de altura, siendo la base un rombo de 25 cm de lado y 30 cm de diagonal menor.

Quinto de secundaria

A) 2800 cm

B) 2700 cm

C) 3000 cm

D) 2900 cm

E) N.A.

Prof. Edwin Meza Flores “Amar, adorar y servir”